第三章 圆 单元练习 2026-2027学年苏科版九年级上册数学

**基本信息** 苏科版九年级上册第三章圆单元卷，通过基础题与综合题结合，融入《九章算术》宛田问题、亚运会水纹等文化与现实情境，考查圆的核心知识，适配单元复习，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|点与圆位置关系（1题）、确定圆条件（2题）、正多边形（4题）|结合司南方位（6题）考查几何直观| |填空题|5/15|扇形面积（11题）、切线长定理（13题）|以折叠扇形（14题）体现空间观念| |解答题|5/55|圆与旋转（17题）、切线证明（18题）、圆与相似综合（19题）|探究归纳题（20题）培养推理意识，文化情境（5题）渗透应用意识|

· 第三章圆同步练习 · 2026-2027学年苏科版九年级上册数学 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．已知圆 O 的半径为 5，点 P 到圆心 O 的距离为 3，则点 P 在（　　） A. 圆内  B. 圆上  C. 圆外  D. 无法确定 2．下列说法正确的是（　　） A. 过两点可以作无数个圆 B. 过三点一定可以作一个圆 C. 不在同一直线上的三点确定一个圆 D. 圆心决定圆的大小，半径决定圆的位置 3．已知圆O的半径为4，圆心O到直线 l 的距离为 6，则直线 l 与圆 O 的位置关系是（　　） A. 相切  B. 相交  C. 相离  D. 无法确定 4．下列图形中，是正八边形的是（    ） A． B． C． D． 5．我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释： 宛田是指扇形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么，这口宛田的面积是多少平方步？ 计算可知，这块田的面积是（     ） A．60 平方步 B．90 平方步 C．120 平方步 D．240 平方步 6．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1），司南中心为一圆形，圆心为点O，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点），连结，并延长交于点P．则D点位于点P的南偏西的角度是（   ） A． B． C． D． 7．如图，四边形内接于，连接并延长交于点，连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，正五边形内接于，过点作的切线交对角线的延长线于点，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，若☉O的半径为1，则弦BC的长为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 10．已知一个正六边形，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为a个三角形；从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此六边形分割为b个三角形；从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分割为c个三角形，则的值是（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 12．圆O的半径为7，点P到圆心O的距离为4，则点P在圆________（填"内""上"或"外"） 13．从圆外一点 P 引圆的两条切线 PA、PB（A、B 为切点），则 PA 与 PB 的大小关系是 PA________PB（填">""<"或"="） 14．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧上的点处，折痕交于点C，则弧的长是 ___________． 15．以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为_____． 三．解答题（本大题共3小题，共55分） 16．已知圆 O 的半径为 5，点 A、B、C 到圆心 O 的距离分别为 3、5、7。 判断点 A、B、C 分别在圆内、圆上还是圆外，并说明理由. 17．如图，在中，点A、B、C的坐标分别是，将绕点O顺时针旋转得到． (1)画出，并写出的坐标． (2)求线段扫过的区域的面积． 18．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点． 求证：∠ABO=∠APB． 19．如图，☉O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交☉O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P. （1）求证：PD是☉O的切线； （2）若AB＝6，AC＝8，求CP的长. 20．探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C C C B A D B 11． 12．内 13．= 14．5 15．②③ 16．点 A 在圆内（d=3<r=5）；点 B 在圆上（d=5=r）；点 C 在圆外（d=7>r=5）。 理由：点与圆的位置关系由 d 与 r 的大小决定：d<r 在内，d=r 在上，d>r 在外。 17．(1)解：如图所示： (2)． 【分析】本题考查了旋转作图以及勾股定理，扇形面积，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据旋转性质，找出点，再依次连接，得，即可作答． （2）先运用勾股定理算出，，再运用扇形扇形，得出线段扫过的区域的面积，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：依题意，，， 线段扫过的区域的面积． 18．证明见解析 【分析】连结OP、OA，设OP交AB于C，由切线长定理可得PA=PB，PO平分∠APB，∠BOP+∠BPO=90°，再根据OA=OB与线段垂直平分线的判定可得OP与AB垂直，从而可得∠ABO+∠BOP=90°，问题得证． 【详解】连结OP、OA，设OP交AB于点C， ∵PA、PB是⊙O的两条切线， ∴∠OBP=∠OAP=90°，∠BPO=∠APO=∠APB，PA＝PB， ∴∠BOP+∠BPO=90°， ∵OA=OB， ∴PO⊥AB， ∴∠OCB=90°， ∴∠ABO+∠BOP=90°， ∴∠ABO=∠BPO， ∴∠ABO=∠APB． 【点睛】本题主要考查了圆的切线长定理，解决问题的关键是熟练掌握切线长定理，线段垂直平分线的判定，直角三角形两锐角互余． 19． （1）证明：如图，连接OD， ∵☉O是△ABC的外接圆，点O在BC边上， ∴BC是☉O的直径， ∴∠BAC＝90°. ∵∠BAC的平分线交☉O于点D， ∴∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝45°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝90°. ∵PD∥BC交AC的延长线于点P， ∴∠ODP＝∠BOD＝90°. ∵OD是☉O的半径，且PD⊥OD， ∴PD是☉O的切线. （2）解：∵∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC＝ ＝＝10， ∴OD＝OB＝OC＝ BC＝5. ∵OD垂直平分BC， ∴DC＝BD＝ ＝ ＝5 . ∵∠DCP＋∠ACD＝180°，∠ABD＋∠ACD＝180°， ∴∠DCP＝∠ABD. ∵∠CDP＝∠BCD，∠BAD＝∠BCD， ∴∠CDP＝∠BAD， ∴△CDP∽△BAD， ∴ ＝ ， ∴CP＝ ＝ ＝ ， 即CP的长是 . 20．(1)2 (2)2，5，9 (3) (4)共握54次手 【分析】（1）按照题干的分析方法完成即可； （2）按照题干的分析方法完成即可； （3）按照题干的分析方法完成即可； （4）利用前面（3）的结论即可完成． 【详解】（1）解：由题意得：（条）； （2）解：图②，从每一个顶点出发可以作2条对角线，可以作10条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 图③，从每一个顶点出发可以作3条对角线，可以作18条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 故答案分别为：2；5；9； （3）解：对于n边形（），从每一个顶点出发可以作条对角线，可以作条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； （4）解：12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，相当于十二边形的对角线条数问题，由（3）知，每不相邻的人都握一次手，共握手（次）． 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $