广东省茂名市第十六中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

茂名市第十六中学2026-2027学年第一学期高二级开学考 数学试卷 命题人：李森明 审题人：李佳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．在复平面内，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，，，为的中点，则为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下面正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 6．已知函数，则下列结论正确的是（    ）． A．函数的最大值是 B．函数在上单调递增 C．该函数的最小正周期是 D．该函数向左平移个单位后图象关于原点对称 7．已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全得3分。 9．已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（    ） A． B．的虚部是 C．是纯虚数 D．在复平面上对应点在第四象限 10．已知向量，，函数的最小正周期为，则（    ） A．的最大值为 B．在上单调递增 C．在上所有零点之和为 D．把的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，可得到的图象 11．如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（    ） A．正三棱柱的外接球表面积为 B．若是棱中点，则三棱锥的体积为 C．周长的最小值为 D．棱上总存在点，使得直线平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，则在方向上的投影向量为______. 13．已知（）是偶函数，在区间单调递增．则__________． 14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．则角C=_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15．（本小题满分13分） 在等腰梯形中，CD的中点为O，以O为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知． (1)求； (2)若点F在线段CD上，，求． 16．（本小题满分15分） 设函数，（，）．已知的最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 17．（本小题满分15分） 在中，角所对的边分别是，且. (1)证明：； (2)若，求. 18．（本小题满分17分） 如图，在正三棱柱中，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面是平行四边形，且，，． (1)求证：平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 茂名市第十六中学 2026-2027 学年第一学期高二级开学考 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B C B B B ACD ABD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】利用复数模的运算性质及共轭复数的模与原复数模相等的关系求解，也可先化简得到z再计算其共轭的模. 【详解】 已知，对等式两边同时取模，可得： 分别计算两个已知复数的模： ，，代入上式解得，由，因此. 2．A 【详解】已知奇函数在上单调递减， 对于A，，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，，，，D错误． 3．B 【详解】，为的中点，所以， 所以. 4．B 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 5．C 【详解】对于选项A：若，，则或与相交，故A错误； 对于选项B：若，，，则的位置关系有平行、相交或异面，故B错误； 对于选项C：若，，，由面面平行的性质定理可知，故C正确； 对于选项D：若，，则的位置关系有平行或异面，故D错误. 6．B 【分析】根据题意，化简函数，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数， 可得最大值是2，最小正周期是，所以选项A，C错误； 当，可得，根据正弦函数的性质， 可得函数在上单调递增，所以B正确； 将函数图象向左平移得到函数， 此时函数的图象不关于原点对称，所以D错误. 故选：B． 7．B 【分析】由夹角相等转化为余弦值相等直接求解即可. 【详解】，，所以， 因为，所以，且， 即，得 ，，，， 代入得，解得. 8．B 【分析】结合题意由三角函数的对称性得到，再结合正弦函数的周期性和最值求解即可． 【详解】如图， 由三角函数的对称性可得阴影部分的面积等于矩形和矩形的面积之和， 又，所以， 因为函数图象向左平移个单位长度得到的图象，所以 ， 所以 ，即，故， 由图象可得，所以，则， 又 ，所以 ，则， 又，所以． 9．ACD 【分析】由复数的模、复数的定义、复数的几何意义判断各选项． 【详解】 则，A正确；的虚部是，B错误；是纯虚数，C正确；对应点的坐标是，在第四象限，D正确． 故选：ACD． 10．ABD 【分析】先通过向量数量积运算结合辅助角公式推导的解析式，再利用三角函数的性质、图像变换规则逐一判断选项. 【详解】 因为最小正周期为，所以，所以. 对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：当时，令， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确. 对于C：令， 又因为，所以， 所以所有零点和为，故C错误. 对于D：把的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍变为， 再向左平移个单位，可得，故D正确. 11．ABD 【分析】对于A：设外接球半径为，底面外接圆半径为，根据，即可求解；对于B：利用等体积转换即可求解；对于C：由侧面展开图确定周长最小值即可求解；对于D：在上取一点使得，当时，四边形为平行四边形，从而可得，再由线面平行的判定定理得到直线平面. 【详解】对于A,正三棱柱中，， 设外接球半径为，底面外接圆半径为， 所以，即， 因为， 所以正三棱柱正三棱柱得外接球表面积为，故A正确； 对于B，因为是棱中点，所以，因为 , 所以三棱锥的体积为，故B正确； 对于C， 由侧面展开图所示， 周长 , 所以其最小值为故C错误； 对于D, 在上取一点使得，则， 当时，四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以直线平面,故D正确， 故选:ABD. 12． 【分析】由投影向量的定义，结合向量数量积和模长公式计算可求结果. 【详解】， 则在方向上的投影向量为. 故答案为：. 13． 【分析】由是偶函数，可得；结合得到的两个候选值，再根据区间上单调递增检验，确定. 【详解】因为函数为偶函数，则，且， 则,， 若，则，在上单调递减，不符合题意， 若，则，在上单调递增，符合题意. 综上所述：. 14． 【分析】根据三角形内角关系，结合二倍角降幂公式化简，利用辅助角公式，结合三角形内角范围，简单计算可得结果. 【详解】，， ，又， ，即，解得或， ，， ， 故答案为：. 15．(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标，再利用数量积的坐标表示计算即得. （2）设出点的坐标，利用给定的数量积求出点的坐标，再利用向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）依题意，y轴是等腰梯形的对称轴，则，由， 得，， 所以. （2）设，则， ，解得，即，，而， 所以. 16．(1)． 因为的最小正周期为，所以．故． 所以． 由题设，得． 故． 因为且，所以． (2)由（1）知． 函数的单调递减区间为． 由，得． 所以的单调递减区间为． 【分析】（1）利用两角和正弦公式化简可得，结合正弦型函数周期公式列方程求，再由列式求； （2）根据正弦型函数单调区间求法求结论. 【详解】（1）略 （2）略 17．(1)根据正弦定理，设 （），则. 代入中，有，， 变形可得. 在中，由，有， 所以． (2) 【分析】（1）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明； （2）由余弦定理求出的余弦函数值，利用（1）的条件，求解的正切函数值可得. 【详解】（1）略 （2）由已知，，根据余弦定理，有，且， 所以． 由（1）知，，所以， 即，故． 18．(1) 取的中点，连接， 由 ，得四边形为平行四边形，所以 . 由， ， 得四边形为平行四边形，所以 . 因为平面，平面， 所以平面. 同理可得，平面. 因为平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面； (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，由面面平行的判定定理可证平面平面，从而证得平面； （2）由（1）知异面直线与所成角为，求出各边长，根据余弦定理可得，即异面直线与所成角的余弦值； （3）先求得正三棱柱的体积，再根据三棱锥与正三棱柱的体积比求得三棱锥的体积. 【详解】（1）略 （2）由（1）知 ，所以为异面直线与所成的角， ， ， ， 所以，所以. 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. （3）三棱柱为正三棱柱，所以其体积为 . 三棱锥的体积. 19．(1)过作的垂线于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面， ， 因为，所以， 又平面平面，平面平面， 即平面，又平面， 所以， 又都在平面内，且相交， 平面； (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，利用线面垂直得到线线垂直，再进一步证明线面垂直； （2）利用等体积法求出点到平面的距离即可求解； （3）证明出为二面角的平面角，然后进行解三角形即可． 【详解】（1）略 （2） 平面； ，， ，， ， ， 设点到平面的距离为， 底面是平行四边形， ， ，解得：； 设直线与平面所成角为， ； （3）过点作的垂线交于，过点作的垂线交于，连接， 由（2）知平面， 平面， ，， 平面， ，， ，， 平面， ， 为二面角的平面角， 设，则， 利用等面积法：， ， ， 因为， ， 利用等面积法：， ， ， 在中，， 设，， 因为，所以， 所以二面角的正切值的取值范围是． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $