精品解析：广东深圳外国语学校2026-2027学年高二上学期学科练习数学试题（二）

深圳外国语学校2026-2027学年度高二第一学期学科练习 数学试题（二） 试卷满分：120分，考试时间：90分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题 5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 下列直线方程纵截距为的选项为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线：与：（）平行，则与间的距离是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，当点到直线的距离最大时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A. 3x-19y=0 B. 19x-3y=0 C. 19x+3y=0 D. 3x+19y=0 5. “或”是“定点在圆的外部”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. △ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（ ） A. 边BC与直线平行 B. 边BC上的高所在的直线的方程为 C. 过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D. 过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5) 10. 已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D. 若，，则的最小值为 11. 已知点、动点满足，点的轨迹为曲线，点是直线上一点，过点作曲线的切线，切点为，直线与轴的交点为，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 点到直线距离的最小值为 C. 的最小值为 D. 若点坐标为，则的最小值为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 设A为圆上的动点，PA是圆的切线且，则P点的轨迹方程是______． 13. 直线关于直线对称的直线方程__________.（用一般式方程表示）. 14. 若实数、、、，满足，，，则的最大值为________ 四、解答题（本题共3小题，共 47分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及的单调递减区间﹔ （2）将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数，若，，求的值. 16. 如图，四棱锥中，底面是矩形，面面，且是边长为2的等边三角形，，在上，且面 （1）求证：是的中点； （2）求直线与所成角的正切值； （3）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17. 某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回家．已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等． （1）在基础环节中，求样本空间，并计算进入升级环节的概率； （2）求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率； （3）有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校2026-2027学年度高二第一学期学科练习 数学试题（二） 试卷满分：120分，考试时间：90分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题 5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 下列直线方程纵截距为的选项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】纵截距就是令是的值，令每一个选项中的为0，解出y，最后选出符合题意的. 【详解】直线的纵截距为，直线的纵截距为，直线的纵截距为，直线的纵截距为. 故选：B. 2. 若直线：与：（）平行，则与间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行关系求出，再由平行线间的距离公式求解． 【详解】因为与平行，所以，得， 所以：， 所以与间的距离为． 故选：C． 3. 已知直线，当点到直线的距离最大时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定直线过定点，结合垂直关系求解即可. 【详解】由可得， 由得，故过定点， 当直线与点和所在直线垂直时， 点到直线的距离最大，由结合垂直关系可得， 所以直线方程为. 故选：A 4. 过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A. 3x-19y=0 B. 19x-3y=0 C. 19x+3y=0 D. 3x+19y=0 【答案】D 【解析】 【分析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可. 【详解】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 5. “或”是“定点在圆的外部”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. 7. 若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 8. 已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知互相垂直且均经过定点，进而可得，再由基本不等式计算即可求解. 【详解】 已知圆，化为标准方程为，因此圆的圆心，半径， 由直线和，可知互相垂直且均经过定点， 又因为，，所以四边形是一个矩形，且， 因此，当且仅当三点共线且在线段之间时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 检验：当三点共线时，， 直线的方程为，即， 直线与圆联立方程组得，解得两个交点分别为 和 ， 结合题意可知应在离较远的一侧，取， 此时，，所以， 经检验，当时，有最大值为，故A正确. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. △ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（ ） A. 边BC与直线平行 B. 边BC上的高所在的直线的方程为 C. 过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D. 过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5) 【答案】BD 【解析】 【分析】由直线斜率判断A，求出相应的直线方程判断BC，求出边中点坐标判断D． 【详解】直线的斜率为，而直线的斜率为，两直线不平行，A错； 边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，B正确； 过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，C错； 过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为，D正确 ． 故选：BD． 10. 已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D. 若，，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由圆的方程可得圆心坐标及半径，对A转化为直线与圆有交点时斜率最大值可得；对B转化为直线与圆有公共点时的最小值；对C设出直线方程求得点坐标，再用两点距离公式并结合圆点坐标范围可得；对D直接转化圆上的点到原点的距离的最小值问题可得. 【详解】对原圆方程配方得，圆心，半径 对A选项，令表示点与原点连线的斜率，即直线与圆有交点. 所以圆心到直线的距离，即， 平方整理得： ， 解得， 故​最大值为​​，A正确. 对B选项，设，即，即直线与圆有公共点， 所以圆心到直线距离 ，即， 解得，​ 所以的最小值为，不是，故B错误； 对C选项，过斜率为​的直线为， 令，得， ， 因为在圆上，所以，因此，故C正确； 对D选项，设，，， 所以， 因为，所以 ， 所以，故D正确. 11. 已知点、动点满足，点的轨迹为曲线，点是直线上一点，过点作曲线的切线，切点为，直线与轴的交点为，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 点到直线距离的最小值为 C. 的最小值为 D. 若点坐标为，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件化简即可得圆的方程判断A；根据圆心到直线的距离及圆的性质判断B；根据切线及圆的几何性质判断C；利用,，利用三点共线即可求解D. 【详解】因为、，设， 由，得，化简得：， 故曲线的方程为，故A正确； 曲线的圆心， 到直线的距离为， 可知直线与圆相离，从而圆上动点到直线距离的最小值为，故B错误； 在中，，故C正确； 在直线中，令，得，即， 设点，满足,故， 化简可得， 由于在，即， 故，， 故,因此，， ， 当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：根据，利用待定系数法求解，进而根据以及三点共线求解. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 设A为圆上的动点，PA是圆的切线且，则P点的轨迹方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标，根据切线的性质，构造直角三角形，利用勾股定理即可建立等量关系，从而求出P点的轨迹方程. 【详解】设是轨迹上任一点，连接，，， 由圆的方程为，则圆心为， 根据切线的性质，则， 则由勾股定理可得，即，所以， 即P点的轨迹方程为. 13. 直线关于直线对称的直线方程__________.（用一般式方程表示）. 【答案】 【解析】 【分析】联立方程组求出两直线交点坐标，在直线任取一点，设出其关于对称点坐标，由垂直斜率的关系和中点坐标建立方程组，求得对称点坐标，由两点坐标求得对称直线方程. 【详解】联立，得，则两直线的交点为， 在直线上取点，设其关于的对称点为， 则，得，则. 故直线关于直线的对称直线为， 又，所以直线，即. 故答案为：. 14. 若实数、、、，满足，，，则的最大值为________ 【答案】 【解析】 【分析】设，两点在圆上，，可得到直线的距离，由此利用两平行线的距离，即可求解的最大值。 【详解】设, 因为实数， 所以两点在圆上，且, 所以，所以是等边三角形，， 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 在第三象限，所在直线与直线平行， 可设， 由圆心到直线的距离为，可得，解得， 即有两平行线之间的距离为， 所以， 所以， 所以的最大值为。 故答案为：。 【点睛】本题主要考查了代数式的最大值的求法，以及圆的性质和点到直线的距离公式等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。 四、解答题（本题共3小题，共 47分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及的单调递减区间﹔ （2）将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数，若，，求的值. 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间是；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用完全平方公式、正弦的二倍角公式、逆用两角差正弦公式化简，再求最小正周期及的单调递减区间； （2）求出的图象变换后的解析式，再求出的正余弦值利用凑角可得答案. 【详解】. （1）的最小正周期为， 由，，解得，， 所以函数的单调递减区间是. （2）将的图象先向左平移个单位长度，得到函数，再将其横坐标缩小为原来的， 纵坐标不变得到函数， 据题意有，且，则， 则 . 【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考了学生的计算能力，属于基础题. 16. 如图，四棱锥中，底面是矩形，面面，且是边长为2的等边三角形，，在上，且面 （1）求证：是的中点； （2）求直线与所成角的正切值； （3）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质证明， （2）（3）建立空间直角坐标系，由空间向量求解， 【小问1详解】 证明：连交于，连. ∵是矩形，∴是中点.又面，平面，平面平面， ∴，∴是的中点. 【小问2详解】 取中点，由题意得面面，面面，， 平面，则，，两两垂直. 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， ，得，则， 则各点坐标为，，，，，. ，， 则， 则，，直线与所成角的正切值为， 【小问3详解】 设存在满足要求，且，则由， 则， ，， 设平面的一个法向量为，则，令得， 设平面的一个法向量为，则，令得， 当二面角为直角时，，解得， 故存在使得二面角为直角． 17. 某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回家．已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等． （1）在基础环节中，求样本空间，并计算进入升级环节的概率； （2）求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率； （3）有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率． 【答案】（1）设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子，样本空间； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）列出全部样本空间与事件包含的基本事件，统计基本事件个数，直接套用古典概型公式计算取出两个风味不同粽子的概率； （2）顾客带走个粽子等价于第一问事件、事件同时发生，利用相互独立事件的概率乘法公式求出联合概率； （3）恰有一人带走个粽子拆解为 “甲成乙败、甲败乙成” 两个互斥事件之和，结合、相互独立，分别计算两部分概率再相加得到结果. 【小问1详解】 设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子， 设事件“从包含两个咸粽子和三个甜粽子的五个粽子中随机挑选出两个粽子，两个粽子风味不同”，由题意得， 样本空间为， ， 所以，， 根据古典概型的计算公式， 得． 【小问2详解】 设事件“从包含一个咸粽子和两个甜粽子的三个粽子中随机挑选出一个粽子，是咸粽子”， 则， 事件“参加活动的顾客带走5个粽子”， 根据题意可得， 所以参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率为． 【小问3详解】 事件“甲带走5个粽子”，事件“乙带走5个粽子”， 事件“恰有一人带走五个粽子”， 根据题意可得， ， 因为， 由已知，相互独立，所以，相互独立，，也相互独立． 所以 ． 故甲、乙两人恰有一人带走五个粽子的概率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $