精品解析：广东深圳外国语学校2026-2027学年高二上学期学科练习数学试题（一）

深圳外国语学校2026-2027学年度高二第一学期学科练习 数学试题（一） 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题 5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 2. 直线与直线互相垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据互相垂直的直线斜率关系即可求解． 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的斜率为， 故选：Ｂ． 3. 直线：和直线：互相平行，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或1 【答案】A 【解析】 【详解】因为直线：和直线：互相平行， 所以，解得. 4. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】通过对截距的取值是否为进行分类，分别设直线方程为和，代入点，即可求解. 【详解】设直线的横截距为，纵截距为，因为直线在两坐标轴上的截距相等，即， 当时，设直线的方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为； 当时，设直线的方程为，即， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为或. 故选：C 5. 设点，，若直线与线段没有交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为直线的斜率为，且直线过定点，所以将直线与线段没有交点时，求a的取值范围，转化为过的直线与线段没有交点时，求直线斜率的相反数问题，可得a的取值范围. 【详解】直线过定点. 如图，， 直线与线段没有交点时，直线斜率满足， 所以. 故选：C. 6. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由重心坐标公式可得：重心，根据垂直平分线的性质设出外心，根据，求出外心，再求出斜率，利用点斜式即可求出欧拉线方程. 【详解】由重心坐标公式可得：重心，即. 设外心，因为，所以，解得，即：. ，故欧拉线方程为：，即：， 故选：A. 7. 已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式确定求得函数的对称中心，由此得到，化简，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 可得， ， 所以， 即，所以函数的对称中心为， 又因为在直线上，所以，所以， 所以， 因为，所以，， 根据基本不等式有：， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 8. 已知集合，，若，则的值不可能为（     ） A. 或 B. 1 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的定义以及集合中元素所具有的几何意义求解． 【详解】当时，，满足，则； 当时，集合表示一条直线，集合也表示一条直线（去掉一点）， 若直线过点，则，解得或， 若两直线平行，则（），解得， 所以的可能值为. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线在轴上的截距为，则 C. 若直线与直线垂直，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】求出直线过定点坐标即可判断A，将点坐标代入直线方程求解即可判断B，根据直线垂直的关系列式求解即可判断C，根据正切函数的单调性求解倾斜角范围判断D. 【详解】直线，令即，得， 所以直线恒过定点，故A正确； 若直线在轴上的截距为，则直线过点，代入直线方程得， 解得，故B正确； 若直线与直线垂直，则，解得，故C不正确； 设直线的倾斜角为，则， 又，所以由正切函数的单调性可知，故D不正确； 故选：AB 10. 已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有（ ） A. 直线BC的倾斜角不存在 B. 直线AB的斜率为-2 C. 边AB上的高所在直线的方程为 D. 边AB上的中线所在直线的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可判断A选项；利用斜率公式可判断B选项；利用直线的点斜式方程可判断CD选项. 【详解】直线BC的倾斜角为，斜率不存在，A选项错误； 直线AB的斜率为，B选项正确； 边AB上的高线与AB垂直，斜率，又高线过点C， 边AB上的高所在直线的方程为，即，C选项正确； 边AB上的中点坐标为，则边AB上中线所在直线斜率为， 所以中线方程为，即，D选项正确. 故选：BCD. 11. 在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（ ） A. 为直角三角形 B. ，，，依次连起来是一个四边形 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式、两点间距离公式逐项分析判断. 【详解】对于A，直线的斜率，直线的斜率， ，即，为直角三角形，A正确； 对于B，直线的斜率，点共线，B错误； 对于C，在中，，， ，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 过点且倾斜角为的直线方程为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由于过的直线倾斜角为，即该直线垂直于轴， 所以其方程为． 13. 已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据的坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，所以可由斜率公式求解. 【详解】根据题意画出线段AB如下图所示： 的几何意义为与连线的斜率. 又， 所以结合图象可得，. 14. 已知动点在直线上，过点作互相垂直的直线，分别交轴、轴于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，过点作互相垂直的直线，设为，，，求出A,B两点坐标，根据中点坐标公式求出M，利用向量的坐标运算即可得，根据二次函数求最值即可. 【详解】设，，，，，故. , 所以当时， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了直线的方程，向量数量积的坐标运算，二次函数求最值，属于中档题. 四、解答题（本题共5小题，共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知为坐标原点，，，若． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先用向量数量积及二倍角公式化简为，再根据正弦函数的单调性求递增区间. （2）由角的范围结合正弦函数的图象性质求值域即可. 【小问1详解】 由题意得 ， 由正弦型函数的性质可得其单调递增区间满足， 化简得， 即的单调递增区间为，. 【小问2详解】 因为，所以， 在该区间内，， 故. 16. 如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）以A为原点，以所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 已知，，是侧棱的中点，则： ， 故； ，故； ，故； 又，平面， 由线面垂直判定定理可得，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知四棱锥的性质，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，利用向量数量积计算得出线线垂直关系，进而利用线面垂直判定定理得出结论； （2）求出平面相关向量及平面法向量，进而利用线面角公式计算求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，设平面的法向量为， 则，令，则，故， 设直线与平面所成角为， 由线面角公式得：． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式进行角化边，利用余弦定理得，结合得到的值． （2）由利用平方关系求出．将转化为 ，利用两角差的正弦公式求出，利用求出，利用三角形的面积公式得解. 【小问1详解】 将正弦定理代入已知条件， 得． 由余弦定理得， 因为，所以． 【小问2详解】 由，可得． 又 ， 则． 故的面积． 18. 如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形． （1）若是的中点，求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若点到平面的距离为，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接交于点，连接. 因为四边形为矩形，所以点为中点. 在中，是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，可得，再利用线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量即可求二面角的余弦值. （3）设，利用点到面的向量公式即可求的值，进而可求的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面， 以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，，所以. 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，，所以. 所以. 由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 设 因为，所以. 点到平面的距离为，解得. 所以.则. 所以的长为 19. 为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章．闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为m获胜． （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率更大． 【答案】（1）游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求游戏一，游戏二的获胜概率； （2）先求出游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数，利用古典概型求解即可； （3）根据独立事件和互斥事件的概率公式可求先玩游戏二或先玩游戏三时获得科技徽章的概率，从而求出游戏三获胜的概率的范围，据此可求值. 【小问1详解】 设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为. 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以， 所以游戏二获胜的概率为. 【小问2详解】 游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为， 时，样本的个数为2，所以所求概率为； 【小问3详解】 设“先玩游戏二，获得徽章”，“先玩游戏三，获得徽章”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率大，则， 所以，即. 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校2026-2027学年度高二第一学期学科练习 数学试题（一） 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题 5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线与直线互相垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 直线：和直线：互相平行，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或1 4. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 设点，，若直线与线段没有交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，，若，则的值不可能为（     ） A. 或 B. 1 C. D. 0 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线在轴上的截距为，则 C. 若直线与直线垂直，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 10. 已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有（ ） A. 直线BC的倾斜角不存在 B. 直线AB的斜率为-2 C. 边AB上的高所在直线的方程为 D. 边AB上的中线所在直线的方程为 11. 在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（ ） A. 为直角三角形 B. ，，，依次连起来是一个四边形 C. D. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 过点且倾斜角为的直线方程为___________． 13. 已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 14. 已知动点在直线上，过点作互相垂直的直线，分别交轴、轴于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则的最小值为_______. 四、解答题（本题共5小题，共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知为坐标原点，，，若． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域． 16. 如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 18. 如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形． （1）若是的中点，求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若点到平面的距离为，求的长． 19. 为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章．闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为m获胜． （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率更大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $