专题14三角形内切圆及正多边形与圆知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题14三角形内切圆及正多边形与圆知题通关讲义 知识点01：基础概念 1.三角形内切圆定义 与三角形三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。 2.三角形内心定义 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条内角平分线的交点。 3.圆的外切三角形 三边都与同一个圆相切的三角形，叫做这个圆的外切三角形。 知识点02：内心核心性质 1.内心到三角形三条边的距离相等，这个距离就是内切圆的半径r； 2.内心永远在三角形内部（无论锐角、直角、钝角三角形）； 3.内心平分三角形的三个内角。 4.区分外心（三边垂直平分线交点，到三个顶点距离相等） 外接圆圆心（外心）vs 内切圆圆心（内心）对比表格 知识点03：内切圆半径计算公式 1.通用面积公式（任意三角形适用） 2.直角三角形简化公式 直角边a、b，斜边c： 知识点04:正多边形与圆基础概念 1.圆的等分原理： 把一个圆分成相等的 n 段弧（n≥3 且 n 为整数），顺次连接各个分点，就能得到这个圆的内接正 n 边形；反之，任意一个正多边形都存在唯一的外接圆与内切圆，且两圆圆心重合，属于同心圆。 2.专属名词定义 ①正多边形的中心：正多边形外接圆、内切圆公共的圆心； ②正多边形的半径R：中心到正多边形任意一个顶点的线段长度，即外接圆半径； ③边心距r：中心到正多边形任意一条边的垂线段长度，也是正多边形内切圆的半径； ④中心角：正多边形两条相邻半径组成的夹角，是每条边所对外接圆的圆心角。 3.正多边形外接圆 & 内切圆对比表 知识点05:正多边形的有关计算 知识点06:正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形。 2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比、边心距的比、半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 要点诠释： （1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形； （2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形。 知识点07：正多边形的作图方法 1.等分圆周法（通用） ① 画圆；② 计算中心角，用量角器依次截取等弧；③ 顺次连接分点，得到正多边形。 2.特殊正多边形简便画法 正四边形（正方形）：作两条互相垂直的直径，连接端点； 正六边形：以半径长在圆周依次截取 6 个等分点，顺次连接。 1. 混淆内心、外心的形成与对应性质 提醒：内心是三角形三条内角平分线的交点，到三边距离相等，为内切圆圆心；外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，为外接圆圆心，二者性质不可互换。 2. 错误认为内心到三角形三个顶点距离相等 提醒：内心仅到三边距离相等，该距离等于内切圆半径 r；到三个顶点距离相等是外心的性质。 3. 运用公式 r=时，误将半周长当作周长 提醒：式中 S 为三角形面积，p=(a+b+c)} 是半周长，不是周长；直角三角形内切圆半径 r=（c 为斜边）。 4. 默认内切圆与各边的切点为对应边的中点 提醒：一般三角形内切圆的切点不是边的中点；仅等边三角形中切点与边中点重合，该结论不能通用。 5. 认为内心与顶点的连线平分该顶点所对的边 提醒：内心与顶点连线只平分这个内角，不必然平分对边；等腰、等边三角形出现平分对边只是特例，不是定理。 6. 误认为一个三角形可以存在多个内切圆 提醒：任意三角形有且仅有一个内切圆与一个外接圆；同一个圆可作出无数个它的外切、内接三角形。 7. 仅以各边相等或各角相等判定多边形为正多边形 提醒：当边数 n>3 时，仅各边相等不能推出各角相等，仅各角相等也不能推出各边相等；判定正多边形必须同时满足各边相等、各内角相等；三角形是特例，三边相等与三角相等可以互推。 8. 混淆正多边形外接圆半径与边心距对应的线段 提醒：外接圆半径是中心到顶点的线段；边心距即内切圆半径，是中心到这条边的垂线段，边心距垂直且平分该边。 9. 混淆正多边形中心角、内角、外角的计算公式 提醒：正 n 边形：中心角=，内角=，外角=；只有正多边形的中心角与外角数值相等。 10. 计算正多边形中心角时误用 180 n 提醒：中心角是周角被半径等分所得，必须用 360 n 计算。 11. 计算正多边形时直接把完整边长当作直角三角形的直角边 提醒：从中心向边作边心距，将等腰三角形分成两个全等直角三角形，直角边为边心距与二分之一边长，不能代入完整边长。 12. 圆n等分后，非顺次连接分点，仍判定得到正n边形 提醒：只有顺次连接圆上n个等分点，才能得到正n边形，打乱顺序连接不是正多边形。 13. 误认为正多边形的边心距等于它的外接圆半径 提醒：对于有限边的正多边形，边心距恒小于外接圆半径。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形内心有关应用 ★★ 题型二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★ 题型三 三角形内切圆与外接圆综合 ★★★★ 题型四 求正多边形的中心角 ★ 题型五 已知正多边形的中心角求边数 ★ 题型六 正多边形和圆的综合 ★★★ 题型七 尺规作图 —— 正多边形 ★★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 三角形内心有关应用 1．已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵是的内切圆， ∴点O是的内心，即三条角平分线的交点． 2．如图，在中，，的角平分线、交于点，则以点为圆心，以_____为半径，可作的内切圆． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形内心的定义，等腰三角形的性质，三角形内接圆，根据题意可得点O是的内心，即点到三边的距离相等，再根据等腰三角形三线合一可得，进而可得当以点为圆心，以为半径，可作的内切圆． 【详解】解：根据题意可得点O是的内心，即点到三边的距离相等， ∵， ∴， ∴当以点为圆心，以为半径，可作的内切圆． 故答案为：． 3．如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内心、角平分线的性质、平行线的性质，三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，根据点为的内心，可知，，根据平移的性质可证，，根据等角对等边可知，，根据周长的公式可得阴影部分的周长就是的长度． 【详解】解：如图所示，连接、， 点为的内心， 平分，平分， ，， 由平移的性质可知：，， ，， ，， ，， 阴影部分的周长为． 故答案为：. 4．如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则___________． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形内心的性质，角平分线的定义等，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键． 根据折叠的性质和三角形内心的性质得出，平分，平分，求得，然后用周角定义即可求解． 【详解】解：∵沿折叠，点恰好与的内心重合， ∴，平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：40． 题型二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 5．已知的周长为10，面积为15，则的内切圆的周长为___________． 【答案】 【分析】如图所示，点O是△ABC内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，利用三角形面积法可得由此即可求解． 【详解】解：如图所示，点O是△ABC内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r， ∴OD=OE=OF=r， ∴ ， ∵△ABC的周长为10，面积为15， ∴， ∴， ∴内切圆周长， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查求三角形内切圆周长，解题的关键在于能够根据题意得到． 6．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（   ） A． B．12r C．13r D．26r 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键； 根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可． 【详解】 是的内切圆且半径为r，，， ， ， 则的面积为， 故选：C 7．已知的面积是24，周长为12，则的内切圆的半径为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查三角形内切圆．如图所示，点O是内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，利用三角形面积法可得由此即可求解． 【详解】解：如图所示，点O是△ABC内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r， ∴， ∴ ， ∵的面积是24，周长为12， ∴， ∴， ∴的内切圆的半径为4， 故答案为：4． 8．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（） A． B．3 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形内切圆的性质及勾股定理，关键在于作辅助线构建直角三角形．欲求三角形的边长，已知内切圆半径，可过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解． 【详解】解：过点作，则． 是的内心， ； 中，，， ， ， ． 故选：A． 题型三 三角形内切圆与外接圆综合 9．边长为4的正三角形的内切圆半径为______． 【答案】/ 【分析】根据题意画出图形，根据正三角形的内切圆的性质可得OD⊥BC，且BD=CD=2，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，圆O为正三角形ABC的内切圆，与BC相切于点D，连接OB， ∵圆O与BC相切于点D，BC=4， ∴OD⊥BC，且BD=CD=2， ∵O是等边三角形ABC的内切圆的圆心， ∴， ∴OB=2OD， ∵， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正三角形的内切圆的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 10．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．将再次折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，，交于点．则以下结论一定成立的是（  ） A． B． C．点到三边的距离相等 D．点到三个顶点的距离相等 【答案】C 【分析】根据是折痕，可知平分，平分，点为的内接圆的圆心，由此即可求解． 【详解】解：∵是折痕， ∴平分，平分，点为的内接圆的圆心，如图所示， 于，于，于， 选项， 的度数无法确定，与的数量关系也不确定，故选项不符合题意； 选项， 的长度不确定，的数量关系也不确定，故选项不符合题意； 选项，根据角平分的性质可得，，即点到三边的距离相等，故选项符合题意； 选项， ，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查三角形与圆的知识的综合，理解并掌握角平分线的性质，内切圆的知识是解题的关键． 11．如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）、，使为的外心，则的长度是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据为的外心，可得，从而以点为圆心，以长为半径作圆，交格点为点，点，然后利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接，以点为圆心，以长为半径作圆，交格点为点，点， 由题意得：， 的长度是， 故答案为：． 12．如图，O是的外心，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，连接，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵点O是的外心， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 题型四 求正多边形的中心角 13．已知一正多边形的一个外角等于，则该正多边形的中心角等于____________． 【答案】/度 【分析】先根据已知外角度数求出正多边形的边数，再代入中心角公式计算即可． 【详解】解：任意正多边形的外角和为，该正多边形的一个外角等于， 该正多边形的边数为 ． 又正边形的中心角为， 该正多边形的中心角为． 14．如图，正五边形内接于，则的度数为 ________ ． 【答案】/36度 【分析】连接，求出的度数，再根据圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解：连接， 由题意，， ∴． 15．如图，将正八边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是_____°．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】45，90，135，180，225，270，315 【分析】正八边形可以被平分成八部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转45度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成八部分，， ∴该图形绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合， ， 可以为或90或135或180或225或270或315． 16．如图，点O为正六边形的中心，边长，点G为的中点，若点P为边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，正多边形的性质，等边三角形的判定及性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 作点O关于对称的点，连接，，，，则，根据正六边形的性质得到，，，从而是等边三角形，即有，，从而可得，得到点G，B，在同一直线上，求出，再根据即可解答． 【详解】解：作点O关于对称的点，连接，，，，则， ∵点O为正六边形的中心， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵点O与点关于对称， ∴， ∴， ∴点G，B，在同一直线上， ∵点G是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴的最小值为3． 故选：B． 题型五 已知正多边形的中心角求边数 17．一个正多边形的中心角是，则这个多边形是正________边形． 【答案】十二/12 【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得． 【详解】解：∵正多边形的中心角是， ∴边数为， ∴这个多边形是正十二边形． 18．如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接，，    ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 19．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 【答案】十二 【详解】解：设正多边形的外接圆为，连接，． ， ， 而， ∴这个正多边形为正十二边形． 20．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 题型六 正多边形和圆的综合 21．正方形的外接圆半径为，则正方形的边长为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查正多边形与圆；由题意易得正方形的对角线长为，然后问题可求解． 【详解】解：如图，正方形是的内接正多边形， ∴正方形外接圆直径为正方形的对角线长，即为． ∵正方形的外接圆半径为， ∴正方形的对角线长， ∴正方形的边长为； 故答案为：． 22．如图，正五边形内接于，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正五边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ∵五边形是正五边形， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 故选：D． 23．如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________． 【答案】2 【分析】因为已知正方形面积，所以可先通过正方形面积公式求出正方形的边长．因为正方形内接于圆，所以正方形的对角线是圆的直径，结合勾股定理可求出正方形的对角线长度．因为圆的半径是直径的一半，所以用求得的对角线长度除以2即可得到圆的半径． 【详解】解：连接，设正方形边长为， ∵正方形面积为， ∴． ∵正方形内接于， ∴正方形的对角线为的直径． 设半径为r， ． 根据勾股定理，： ∴， 代入， 得， 化简得． ∵半径为正数， ∴． 24．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6个等边三边形，过点O作，则，根据勾股定理求出，求出，进而可得出正六边形的面积，最后根据正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形如下图： ，又， ∴是等边三角形， 同理可知：正六边形可以分成面积相等的6个等边三角形， 过点O作， 则， ∴， ∴， 正六边形的面积为：， 六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：． 题型七 尺规作图 —— 正多边形 25．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 26．我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆、尺规作图、等分圆周等知识，解题的关键是理解将圆六等分的方法，属于作图中的难题． 通过圆规六等分圆后，可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点，但四等分点无法仅用圆规得到． 【详解】解：∵ 只用圆规可完成圆的六等分， 可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点， 但无法只用圆规得到四等分点， ∴ ①②可行，③不可行， 故选：B． 27．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 解答题 1．作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【答案】(1)解：如图，正六边形即为所求； (2)解：四边形是矩形，理由如下， 如图，连接， 六边形是正六边形， ，． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ，， 是等边三角形， ， ． ， ， ， 平行四边形是矩形． 【分析】（1）由正六边形的中心角为，可得是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出的内接正六边形； （2）连接，由六边形是正六边形，则，故，则可得，证得四边形是平行四边形，然后由，，求得，则可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，在中，O是外心，I是内心，，求的度数． 【答案】的度数是 【分析】先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到的度数． 【详解】解：∵I是的内心， ∴，分别平分，， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵O是的外心， ∴． 3．阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系． 解：如图①，连接OA，OB，OC． ，， ，，． 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径． (2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用探究的结论，计算边长分别为的三角形内切圆半径； （2）若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆），且四边形的面积为，各边长分别为，利用四边形面积等于个三角形的面积之和，可得四边形的内切圆半径公式． 【详解】（1）解：， 此三角形为直角三角形， 三角形的面积， ． （2）解：如图，设四边形ABCD内切圆的圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，则 ， ． 【点睛】本题考查了三角形和四边形分别与内切圆的半径关系． 4．如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14三角形内切圆及正多边形与圆知题通关讲义 知识点01：基础概念 1.三角形内切圆定义 与三角形三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。 2.三角形内心定义 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条内角平分线的交点。 3.圆的外切三角形 三边都与同一个圆相切的三角形，叫做这个圆的外切三角形。 知识点02：内心核心性质 1.内心到三角形三条边的距离相等，这个距离就是内切圆的半径r； 2.内心永远在三角形内部（无论锐角、直角、钝角三角形）； 3.内心平分三角形的三个内角。 4.区分外心（三边垂直平分线交点，到三个顶点距离相等） 外接圆圆心（外心）vs 内切圆圆心（内心）对比表格 知识点03：内切圆半径计算公式 1.通用面积公式（任意三角形适用） 2.直角三角形简化公式 直角边a、b，斜边c： 知识点04:正多边形与圆基础概念 1.圆的等分原理： 把一个圆分成相等的 n 段弧（n≥3 且 n 为整数），顺次连接各个分点，就能得到这个圆的内接正 n 边形；反之，任意一个正多边形都存在唯一的外接圆与内切圆，且两圆圆心重合，属于同心圆。 2.专属名词定义 ①正多边形的中心：正多边形外接圆、内切圆公共的圆心； ②正多边形的半径R：中心到正多边形任意一个顶点的线段长度，即外接圆半径； ③边心距r：中心到正多边形任意一条边的垂线段长度，也是正多边形内切圆的半径； ④中心角：正多边形两条相邻半径组成的夹角，是每条边所对外接圆的圆心角。 3.正多边形外接圆 & 内切圆对比表 知识点05:正多边形的有关计算 知识点06:正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形。 2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比、边心距的比、半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 要点诠释： （1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形； （2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形。 知识点07：正多边形的作图方法 1.等分圆周法（通用） ① 画圆；② 计算中心角，用量角器依次截取等弧；③ 顺次连接分点，得到正多边形。 2.特殊正多边形简便画法 正四边形（正方形）：作两条互相垂直的直径，连接端点； 正六边形：以半径长在圆周依次截取 6 个等分点，顺次连接。 1. 混淆内心、外心的形成与对应性质 提醒：内心是三角形三条内角平分线的交点，到三边距离相等，为内切圆圆心；外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，为外接圆圆心，二者性质不可互换。 2. 错误认为内心到三角形三个顶点距离相等 提醒：内心仅到三边距离相等，该距离等于内切圆半径 r；到三个顶点距离相等是外心的性质。 3. 运用公式 r=时，误将半周长当作周长 提醒：式中 S 为三角形面积，p=(a+b+c)} 是半周长，不是周长；直角三角形内切圆半径 r=（c 为斜边）。 4. 默认内切圆与各边的切点为对应边的中点 提醒：一般三角形内切圆的切点不是边的中点；仅等边三角形中切点与边中点重合，该结论不能通用。 5. 认为内心与顶点的连线平分该顶点所对的边 提醒：内心与顶点连线只平分这个内角，不必然平分对边；等腰、等边三角形出现平分对边只是特例，不是定理。 6. 误认为一个三角形可以存在多个内切圆 提醒：任意三角形有且仅有一个内切圆与一个外接圆；同一个圆可作出无数个它的外切、内接三角形。 7. 仅以各边相等或各角相等判定多边形为正多边形 提醒：当边数 n>3 时，仅各边相等不能推出各角相等，仅各角相等也不能推出各边相等；判定正多边形必须同时满足各边相等、各内角相等；三角形是特例，三边相等与三角相等可以互推。 8. 混淆正多边形外接圆半径与边心距对应的线段 提醒：外接圆半径是中心到顶点的线段；边心距即内切圆半径，是中心到这条边的垂线段，边心距垂直且平分该边。 9. 混淆正多边形中心角、内角、外角的计算公式 提醒：正 n 边形：中心角=，内角=，外角=；只有正多边形的中心角与外角数值相等。 10. 计算正多边形中心角时误用 180 n 提醒：中心角是周角被半径等分所得，必须用 360 n 计算。 11. 计算正多边形时直接把完整边长当作直角三角形的直角边 提醒：从中心向边作边心距，将等腰三角形分成两个全等直角三角形，直角边为边心距与二分之一边长，不能代入完整边长。 12. 圆n等分后，非顺次连接分点，仍判定得到正n边形 提醒：只有顺次连接圆上n个等分点，才能得到正n边形，打乱顺序连接不是正多边形。 13. 误认为正多边形的边心距等于它的外接圆半径 提醒：对于有限边的正多边形，边心距恒小于外接圆半径。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形内心有关应用 ★★ 题型二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★ 题型三 三角形内切圆与外接圆综合 ★★★★ 题型四 求正多边形的中心角 ★ 题型五 已知正多边形的中心角求边数 ★ 题型六 正多边形和圆的综合 ★★★ 题型七 尺规作图 —— 正多边形 ★★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 三角形内心有关应用 1．已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 2．如图，在中，，的角平分线、交于点，则以点为圆心，以_____为半径，可作的内切圆． 3．如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______． 4．如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则___________． 题型二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 5．已知的周长为10，面积为15，则的内切圆的周长为___________． 6．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（   ） A． B．12r C．13r D．26r 7．已知的面积是24，周长为12，则的内切圆的半径为______． 8．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（） A． B．3 C．1 D．2 题型三 三角形内切圆与外接圆综合 9．边长为4的正三角形的内切圆半径为______． 10．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．将再次折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，，交于点．则以下结论一定成立的是（  ） A． B． C．点到三边的距离相等 D．点到三个顶点的距离相等 11．如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）、，使为的外心，则的长度是______． 12．如图，O是的外心，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型四 求正多边形的中心角 13．已知一正多边形的一个外角等于，则该正多边形的中心角等于____________． 14．如图，正五边形内接于，则的度数为 ________ ． 15．如图，将正八边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是_____°．（写出一个符合题意的数即可） 16．如图，点O为正六边形的中心，边长，点G为的中点，若点P为边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 题型五 已知正多边形的中心角求边数 17．一个正多边形的中心角是，则这个多边形是正________边形． 18．如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 19．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 20．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 题型六 正多边形和圆的综合 21．正方形的外接圆半径为，则正方形的边长为_____． 22．如图，正五边形内接于，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 23．如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________． 24．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 题型七 尺规作图 —— 正多边形 25．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 26．我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 27．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 2．如图，在中，O是外心，I是内心，，求的度数． 3．阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系． 解：如图①，连接OA，OB，OC． ，， ，，． 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径． (2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式． 4．如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $