30.3 正多边形与圆（讲义，2大知识9大题型）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦“正多边形与圆”核心知识点，系统梳理正多边形外接圆、中心、半径、中心角、边心距等概念，衔接直线与圆位置关系前期知识，构建从概念辨析到内角、周长、面积计算的学习支架。 资料融入“割圆术”等历史素材，通过分层题型（典例+变式）培养推理能力与运算能力，结合作图与综合应用问题发展几何直观与创新意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第三十章 直线与圆的位置关系 30.3 正多边形与圆 知识点一 正多边形的相关概念 正多边形的外接圆：一般地，用量角器把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆. 中心 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 即学即练 知识点二 正多边形的相关计算 1）内角：正n边形的每个内角和为_______________. 2）外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为_______________. 3）周长：正n边形的周长. 4）面积：正n边形的面积. 5）正多边形的半径，边长和边心距之间的关系为 即学即练 1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）某商场的橱窗设计中，用下列四种基础图形进行装饰，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形 2．（2026·山东济宁·二模）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可求得的估计值是（  ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江宁波·二模）如图，正边形内接于，点，是正边形的两个相邻顶点，点是异于，的一个顶点，若，则为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，边长为2的正六边形的中心为，则该正六边形的边心距为______． 题型01 基础概念的辨析 典｜例｜精｜析 例1．（25-26九年级上·浙江·单元复习）下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列命题正确的是（   ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．正多边形外接圆的圆心角是它的中心角 D．正多边形外接圆的半径是它的半径 2．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列关于正多边形的叙述，正确的是（     ） A．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．存在一个正多边形，它的外角和为 C．任何正多边形都有一个外接圆 D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形 3．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）下列关于正多边形的叙述，正确的是（　　） A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．存在一个正多边形，它的外角和为720° C．任何正多边形都有一个外接圆 D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形 4．（2021·四川遂宁·一模）下列命题正确的是（　　） A．正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2﹕1 B．正六边形的边长等于其外接圆的半径 C．圆的外切正多边形的边长等于其边心距的2倍 D．各边相等的圆的外切四边形是正方形 题型02 已知边数求中心角/内角 充分理解正多边形与圆的关系，结合正多边形知识和圆的性质解决问题 典｜例｜精｜析 例2．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）正三角形的中心角等于_____度，正方形的中心角等于_____度，正六边形的中心角等于____ 度． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）边长为的正六边形中心角度数是________，内角度数是________，边心距是________． 2．（2026·江苏南京·一模）已知是正五边形的外接圆，点在上，则的度数为_______． 3．（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）若一个圆内接正n边形的中心角是，则n的值为_______． 题型03 已知中心角求边长 典｜例｜精｜析 例3．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·陕西西安·三模）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为___________． 2．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的对称轴共有_____条． 题型04 已知边长，求边心距、外接圆半径 典｜例｜精｜析 例4．（23-24九年级上·云南昭通·期末）圆内接正四边形的边长为，则它的边心距等于___________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的边心距之比为_______． 2．（2026·北京平谷·二模）如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________． 3．（2026·安徽宿州·三模）有一正六边形的内切圆半径为，则与这个正六边形的外接圆半径之比为___________． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知正六边形的边心距为，则它的外接圆半径为______． 题型05 已知外接圆半径 / 边心距，求正多边形边长 典｜例｜精｜析 例5．（2026·河南周口·二模）我国古代《九章算术》记载“割圆术”思想，若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·广东江门·三模）如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（   ） A． B．3 C．2 D． 2．（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则边长a为_______． 3．（20-21九年级上·湖南长沙·期末）在半径为的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为______． 题型06 正多边形周长计算 典｜例｜精｜析 例6．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已知圆内接正六边形的边心距等于，则的周长等于___________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为____． 2．（2025·青海西宁·三模）如图，若的半径为2，若用的内接正六边形的周长来估计的周长，则的周长与其内接正六边形的周长的差为______．（结果保留） 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，六边形是的内接正六边形，记的周长为，正六边形的周长为，则的值为 ____________________． 4．（2023·吉林松原·二模）如图，已知圆内接正六边形的周长为，则图中阴影部分图形的周长是______（结果保留）．    题型07 正多边形面积计算 解决此类题时，一般作出圆内接正多边形的半径和圆心到正多边形一边的垂线段，构造直角三角形，利用勾股定理求出边心距、边长等，再利用正多边形的相关公式求出面积. 典｜例｜精｜析 例7．（20-21九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）有一个地基是边心距为的正六边形凉亭，则这个地基的面积为_____． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，设的半径为，若用的外切正六边形的面积S来近似地估算的面积，则_____． 2．（2026·陕西汉中·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，的半径为，则___________．（结果保留和根号） 3．（25-26九年级上·江苏南通·期末）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以实现对的近似估算．如图，的半径为1，则圆的面积为，若将其内接正十二边形的面积作为面积的近似值．据此，可得的估计值为（   ） A． B．3.14 C．3.13 D．3 4．（2026·山西太原·二模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，可以用圆内接正十二边形的面积来近似估计的面积，如图，若取及其内接正十二边形的四分之一图，测得半径为，则图中圆部分去掉圆内接正十二边形部分的剩余面积为（    ） A． B． C． D． 题型08 作图问题 典｜例｜精｜析 例8．（25-26九年级上·吉林长春·期末）作图并填空： (1)在下图中，利用尺规作图，作出已知的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） (2)若已知的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (2)在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (3)在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置． 2．（24-25九年级上·全国·暑假作业）如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画出的内接正． (2)在上画出、两点，使得．（画一种即可） 3．（2020九年级下·山东青岛·学业考试）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 4．（2026·甘肃武威·模拟预测）用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 题型9 正多边形与圆综合 典｜例｜精｜析 例9．（2026·江苏南京·二模）在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． (1)圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示） (2)圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（     ） A．    B．    C．   D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点． (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江西宜春·二模）如图，已知是正八边形的一条对角线，请仅用无刻度的直尺完成以下作图． (1)如图1，在正八边形内部以为斜边作等腰直角三角形． (2)如图2，在正八边形内部以为边作正方形． 2．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，在中，，锐角所对的直角边与相邻的直角边的比值称为的坡度，记为“”，即，同样地，．对于锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应． 请回答以下问题： (1)______的函数（填“是”或“不是”） (2)在中，，，则______； (3)在中，，，则______； (4)在中，，，则______； (5)如图2，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则______； (6)如图3，两个边长相等的正六边形的公共边为，点，，在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，则______； 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）综合与实践： 广西灵山是“中国荔枝之乡”，灵山荔枝以果大核小、清甜多汁闻名遐迩，荣获国家地理标志保护．请你根据下面信息和素材，运用数学知识帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在农科院技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年荔枝年产量是5000千克，2025年达到了7200千克，年增长率基本相同． 素材二 荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 市场调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． 任务1：求荔枝年产量的平均增长率； 任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； 任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），寓意“六合甜美”．请直接写出此时纸盒的底面正六边形的边长是多少．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径，老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： (1)通过计算（结果保留根号与）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为______； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______． (2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 直线与圆的位置关系 30.3 正多边形与圆 知识点一 正多边形的相关概念 正多边形的外接圆：一般地，用量角器把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆. 中心 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 即学即练 知识点二 正多边形的相关计算 1）内角：正n边形的每个内角和为. 2）外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为. 3）周长：正n边形的周长. 4）面积：正n边形的面积. 5）正多边形的半径，边长和边心距之间的关系为 即学即练 1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）某商场的橱窗设计中，用下列四种基础图形进行装饰，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形 【答案】C 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 2．（2026·山东济宁·二模）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可求得的估计值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，求得，根据含30度直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，接着得到正十二边形的面积，最后根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心， 过作于，在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为：， ， ， 的近似值为3． 3．（2026·浙江宁波·二模）如图，正边形内接于，点，是正边形的两个相邻顶点，点是异于，的一个顶点，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆周角定理可得的度数，再根据正多边形中心角的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∴， 解得． 4．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，边长为2的正六边形的中心为，则该正六边形的边心距为______． 【答案】 【分析】如图：连接，过O作于H，易得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，过O作于H， ∵点O是正六边形的中心，且正六边形的边长为2， ∴,, ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即该正六边形的边心距为． 题型01 基础概念的辨析 典｜例｜精｜析 例1．（25-26九年级上·浙江·单元复习）下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 【答案】D 【分析】本题考查了命题，正多边形的定义和性质．正多边形必须各边相等且各角相等；中心对称性取决于边数；圆内接多边形各角相等不一定为正多边形；正多边形的半径即其外接圆半径，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形各边相等但角不等，故该选项不符合题意； B、正多边形不一定是中心对称图形，只有当边数为偶数时才是，如正三角形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如矩形各角相等但边不等，故该选项不符合题意； D、正多边形外接圆的半径就是正多边形的半径，故该选项符合题意； 故选：D 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列命题正确的是（   ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．正多边形外接圆的圆心角是它的中心角 D．正多边形外接圆的半径是它的半径 【答案】D 【分析】根据正多边形的概念和性质逐一判断即可． 【详解】解：、各边相等，各内角相等的多边形是正多边形，不符合题意； 、当正多边形的边数为偶数时，它一定是中心对称图形，不符合题意； 、正多边形的每条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，不符合题意； 、正多边形外接圆的半径是正多边形的半径，符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查多边形的性质，正确记忆正多边形的特点是解题关键． 2．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列关于正多边形的叙述，正确的是（     ） A．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．存在一个正多边形，它的外角和为 C．任何正多边形都有一个外接圆 D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，轴对称和中心对称图形，根据正多边形和圆的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，原说法错误，不符合题意； B、任意一个正多边形，它的外角和为，原说法错误，不符合题意； C、任何正多边形都有一个外接圆，正确，符合题意； D、正三角形的每个外角都是对应每个内角的两倍，原说法错误，不符合题意； 故选C． 3．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）下列关于正多边形的叙述，正确的是（　　） A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．存在一个正多边形，它的外角和为720° C．任何正多边形都有一个外接圆 D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形 【答案】C 【分析】根据正多边形、轴对称、中心对称的性质分析，即可判断选项A；根据多边形外角和的性质，即可判断选项B；根据正多边形与圆的性质分析，即可判断选项C；根据正多边形和外角的性质分析，即可判断选项D，从而得到答案． 【详解】正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不正确； 任何多边形的外角和都为360°，故选项B不正确； 任何正多边形都有一个外接圆，故选项C正确； 等边三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故选项D不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形、轴对称、中心对称、正多边形与圆、外角的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、轴对称、中心对称、正多边形与圆、外角的性质，从而完成求解． 4．（2021·四川遂宁·一模）下列命题正确的是（　　） A．正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2﹕1 B．正六边形的边长等于其外接圆的半径 C．圆的外切正多边形的边长等于其边心距的2倍 D．各边相等的圆的外切四边形是正方形 【答案】B 【分析】根据正多边形与圆的关系逐项分析即可． 【详解】A、正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为1﹕2，故原命题错误，不符合题意； B、正六边形的边长等于其外接圆的半径，命题正确，符合题意； C、圆的外切正方形的边长等于其边心距的2倍，故原命题错误，不符合题意； D、各边相等的圆的外切四边形是正方形也还可能是菱形，故原命题错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆的相关概念辨析，掌握正多边形与圆的有关性质以及计算问题是解题关键． 题型02 已知边数求中心角/内角 充分理解正多边形与圆的关系，结合正多边形知识和圆的性质解决问题 典｜例｜精｜析 例2．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）正三角形的中心角等于_____度，正方形的中心角等于_____度，正六边形的中心角等于____ 度． 【答案】 120 90 60 【分析】根据正边形中心角的公式，代入对应正多边形的边数即可求解． 【详解】解：正三角形边数，中心角为． 正方形边数，中心角为． 正六边形边数，中心角为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）边长为的正六边形中心角度数是________，内角度数是________，边心距是________． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的计算，正六边形的中心角由除以边数得到；内角使用多边形内角和公式计算；边心距通过构造直角三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理求解．掌握正多边形的相关概念是解题的关键． 【详解】解：如图，为边长为的正六边形的外接圆，连接、，过点作于点， ∴中心角度数为：，内角度数为：，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴边心距是， 故答案为：；；． 2．（2026·江苏南京·一模）已知是正五边形的外接圆，点在上，则的度数为_______． 【答案】36 【分析】先求出正五边形边长所对弧的度数，再根据圆周角定理计算即可求解． 【详解】解：是正五边形的外接圆， 弧的度数为， 是弧所对的圆周角， 根据圆周角定理可得． 3．（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）若一个圆内接正n边形的中心角是，则n的值为_______． 【答案】12 【分析】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握圆内接正n边形的中心角公式是解题的关键． 根据圆内接正n边形的中心角度数为，建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：12． 题型03 已知中心角求边长 典｜例｜精｜析 例3．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 【答案】9/九 【分析】连接，圆周角定理求出，再根据正多边形的中心角的计算公式，进行求解即可. 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心， ∴这个正多边形是边数为. 变｜式｜巩｜固 1．（2025·陕西西安·三模）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为___________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正n边形的每个中心角都等于是解题的关键．连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正n边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：连接， 正六边形与正方形有重合的中心O， ， ， 是正n边形的一个中心角， ． 故答案为：12． 2．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的对称轴共有_____条． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的中心角，以及正多边形的对称轴．先求得正多边形的边数，进而根据对称性求得对称轴数量，即可求解． 【详解】解：一个正多边形的中心角等于， 这个正多边形的边数为， 这个正多边形的对称轴共有条． 故答案为：． 题型04 已知边长，求边心距、外接圆半径 典｜例｜精｜析 例4．（23-24九年级上·云南昭通·期末）圆内接正四边形的边长为，则它的边心距等于___________． 【答案】4 【分析】本题考查了正多边形和圆，根据正四边形的边心距等于边长的一半即可得结论． 【详解】解：连接，，过点O作于点， ∵是正方形， ∴， 又∵，， ∴点E是的中点， ∴， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的边心距之比为_______． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，计算同一个圆的内接正六边形和正三角形的边心距，再求比值．边心距是多边形的中心到一边的垂直距离，利用外接圆半径和三角函数关系求解即可． 【详解】解：如图，为正三角形的边长，为正六边形的边长，为圆内接正三角形的边心距，为圆内接正六边形的边心距，设圆的半径为， 则：，，， ∴，， ∴，； ∴， 即同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的边心距之比为； 故答案为：． 3．（2026·北京平谷·二模）如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________． 【答案】2 【分析】因为已知正方形面积，所以可先通过正方形面积公式求出正方形的边长．因为正方形内接于圆，所以正方形的对角线是圆的直径，结合勾股定理可求出正方形的对角线长度．因为圆的半径是直径的一半，所以用求得的对角线长度除以2即可得到圆的半径． 【详解】解：连接，设正方形边长为， ∵正方形面积为， ∴． ∵正方形内接于， ∴正方形的对角线为的直径． 设半径为r， ． 根据勾股定理，： ∴， 代入， 得， 化简得． ∵半径为正数， ∴． 3．（2026·安徽宿州·三模）有一正六边形的内切圆半径为，则与这个正六边形的外接圆半径之比为___________． 【答案】/ 【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为，连接， 则正六边形的内切圆半径为， 外接圆半径为， ， ． 与这个正六边形的外接圆半径之比为． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知正六边形的边心距为，则它的外接圆半径为______． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形的计算问题，设正六边形的中心是，一边是，过作与，在直角中，根据三角函数即可求得． 【详解】解：如图，过作与， ，， ， 在中，，， ， 故答案为：． 题型05 已知外接圆半径 / 边心距，求正多边形边长 典｜例｜精｜析 例5．（2026·河南周口·二模）我国古代《九章算术》记载“割圆术”思想，若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用正六边形中心角的特点，结合等边三角形的判定，即可得到边长与外接圆半径的关系． 【详解】解：如图所示， ∴ 正六边形的中心角为 ，， ∴是等边三角形， ∴ 正六边形的边长等于外接圆半径， ∵ 外接圆半径为， ∴ 正六边形的边长为． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·广东江门·三模）如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．连接，，设的半径为，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的面积是，可得即可得出结果． 【详解】解：如图所示：连接，，设的半径为， ∵正六边形内接于， 是等边三角形， ∴ ∵的面积是， ∴ 故选：D． 2．（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则边长a为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由正多边形的外接圆半径、边长、边心距组成的直角三角形是解题的关键． 如图，连接、，过O作于H．证明出是等边三角形，解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，连接、，过O作于H． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．（20-21九年级上·湖南长沙·期末）在半径为的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为______． 【答案】 【分析】先根据题意画出图形，再连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，由垂径定理及正方形的性质得出OE=BE=，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a， ∵OE⊥BC， ∴OE=BE=， 又OB=8 ∴在Rt⊿OBE中，由勾股定理得： , ∴ 解得： , 故答案为： 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，解答此类问题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解． 题型06 正多边形周长计算 典｜例｜精｜析 例6．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已知圆内接正六边形的边心距等于，则的周长等于___________． 【答案】 【分析】连接、，根据正六边形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，利用三角函数解直角三角形得到求出半径，再根圆的周长计算即可解题． 【详解】解：如图，连接、， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数、圆的周长计算等知识，熟练掌握正六边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为____． 【答案】18 【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．由正六边形内接于，由的直径得出的半径，再根据正六边形的半径等于边长即可得出结果． 【详解】解：连接，， 正六边形内接于，的周长为， 的半径为3， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长为18， 故答案为：18． 2．（2025·青海西宁·三模）如图，若的半径为2，若用的内接正六边形的周长来估计的周长，则的周长与其内接正六边形的周长的差为______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形和圆，正确求出正六边形的中心角是解题的关键． 连接，根据等边三角形的性质求出，再根据的周长公式、正六边形的周长公式计算． 【详解】解：如图，连接， 则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴内接正六边形的周长为：， ∴的周长与其内接正六边形的周长的差为：， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，六边形是的内接正六边形，记的周长为，正六边形的周长为，则的值为 ____________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，设正六边形的边长为a，利用含角的直角三角形的性质求出，从而得出的长，进而解决问题． 【详解】解：设正六边形的边长为a， 连接，交于H，如下图： ∵六边形是的内接正六边形， ∴，，， ∴ ∴， ∴ ∴， 由正六边形的性质知，是等边三角形， ∴， 故答案为：． 4．（2023·吉林松原·二模）如图，已知圆内接正六边形的周长为，则图中阴影部分图形的周长是______（结果保留）．    【答案】 【分析】连接，，根据正六边形是的内接六边形得出，求出圆心角的度数，再求出弧的长度，最后求出答案即可． 【详解】解：连接、，    六边形是正六边形，圆内接正六边形的周长为， ， 正六边形的边长为， ， ， ， 是等边三角形， ， 阴影部分的周长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，扇形的面积公式等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键． 题型07 正多边形面积计算 解决此类题时，一般作出圆内接正多边形的半径和圆心到正多边形一边的垂线段，构造直角三角形，利用勾股定理求出边心距、边长等，再利用正多边形的相关公式求出面积. 典｜例｜精｜析 例7．（20-21九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）有一个地基是边心距为的正六边形凉亭，则这个地基的面积为_____． 【答案】 【分析】如图，根据正多边形的性质求出正多边形的边长，进而求出面积，问题即可解决． 【详解】解：如图， ∵六边形是正六边形， 边心距为， ∴，而，， ， ∴是等边三角形； ∴，，， ∴， ∴该地基的面积． 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了圆内接正多边形的性质及其应用问题；锐角三角函数的应用，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，设的半径为，若用的外切正六边形的面积S来近似地估算的面积，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理及三角形面积公式．通过分析外切正六边形的构成，利用直角三角形的相关知识求出正六边形的边长，进而求出其面积． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴为等边三角形， ∵的半径为， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2026·陕西汉中·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，的半径为，则___________．（结果保留和根号） 【答案】/ 【分析】先连接，，过点作于点，再根据圆的面积公式求出圆的面积，再通过求出圆的内接正八边形的中心角，以及勾股定理，得出，进一步得，最后根据，即可解答． 【详解】解： 如图，连接，，过点作于点， ． 的半径为，即， ． 圆的内接正八边形的中心角为， ， ， ， ． 在中，， 即， ，（负值已舍去）， ， ， ． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期末）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以实现对的近似估算．如图，的半径为1，则圆的面积为，若将其内接正十二边形的面积作为面积的近似值．据此，可得的估计值为（   ） A． B．3.14 C．3.13 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质．根据正十二边形的性质求出中心角的度数，再根据直角三角形的边角关系求出，进而求出的面积，求出正十二边形的面积即是圆的面积即可． 【详解】解：如图，设是正十二边形的一边，过点A作，垂足为M， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴正十二边形的面积为， 即的面积为3， 此时． 故选：D． 4．（2026·山西太原·二模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，可以用圆内接正十二边形的面积来近似估计的面积，如图，若取及其内接正十二边形的四分之一图，测得半径为，则图中圆部分去掉圆内接正十二边形部分的剩余面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】所求面积为四分之一圆的面积减去四分之一正十二边形的面积，四分之一正十二边形由3个顶角为、腰长为半径的等腰三角形组成，利用含角的直角三角形性质求出三角形的高，进而求出面积； 【详解】解：设圆半径为，则， 四分之一圆的圆心角为， 四分之一圆的面积， 正十二边形的中心角为， 图中四分之一正十二边形包含个全等的等腰三角形， 设其中一个等腰三角形为，，， 过点作于点， 在中，，， ， ， 四分之一正十二边形的面积， 剩余面积 ． 题型08 作图问题 典｜例｜精｜析 例8．（25-26九年级上·吉林长春·期末）作图并填空： (1)在下图中，利用尺规作图，作出已知的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） (2)若已知的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用正六边形边长等于圆的半径的性质，通过等分圆周完成作图； （2）将正六边形分解成六个等边三角形计算总面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，正六边形即为所求： 作法：在圆上任取一点作为起点，以这点为圆心，圆的半径为半径画弧交圆于一点， 重复上述操作依次得到另外的四个点，顺次连接各点形成正六边形； （2）如图，连接，过点作于点， ，， 为边长为的等边三角形， ， ， ， 内接正六边形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查尺规作图及正六边形面积的计算，将复杂的正多边形面积计算转化为简单的等边三角形面积求和，体现了割补法在几何面积计算中的应用． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (2)在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (3)在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查圆周角定理，确定圆心，正多边形的性质，无刻度直尺作图； （1）根据圆周角所对弦是直径连接矩形对角线交点即为圆心； （2）连接和，分别与交于点，，连接和，此时根据对称性可得直线，是圆的对称轴，和的交点即为圆心； （3）延长正方形的边长、、对角线分别交圆于点、、，此时由正方形的性质可得是圆的对称轴，所对的弦是直径，连接与交点即为圆心． 【详解】（1）解：如图，连接矩形对角线交点即为圆心； （2）解：圆心的位置如图所示： （3）解：圆心的位置如图所示： 2．（24-25九年级上·全国·暑假作业）如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画出的内接正． (2)在上画出、两点，使得．（画一种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图，等边三角形的判定、圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系： （1）从A点开始，以为半径．依次画弧，这样把六等份，连接的三等份点得到的内接正三角形； （2）可作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 3．（2020九年级下·山东青岛·学业考试）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 【答案】 如图，四边形ABCD即为所求作． 【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 4．（2026·甘肃武威·模拟预测）用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【答案】如图所示，七边形即为所求． 题型9 正多边形与圆综合 典｜例｜精｜析 例9．（2026·江苏南京·二模）在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． (1)圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示） (2)圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（     ） A．    B．    C．   D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点． (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 【答案】(1)； (2)①A； ②证明：过点作，垂足为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴是的半径， ∴与相切，即与有且只有一个公共点． (3)如图所示，圆弧五边形即为所求作的图形： 【分析】（1）圆弧三角形的周长由，，三段弧长构成，由，，利用弧长公式计算即可；圆弧三角形的面积可通过计算三个扇形的面积，但是中间的等边三角形的面积被多算了两次，只需减两次等边三角形的面积即可求出； （2）①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，而无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的，即在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的，所以最高点形成的图形是一条直线；②过点作，垂足为，利用正方形的性质可得，得出是的半径，结论即可得证； （3）先画出使其对角线长为的正五边形，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形，再通过圆弧五边形画出正方形． 【详解】（1）解：由题意可得：圆弧三角形是由三段圆弧围成的， ∴圆弧三角形的周长为， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴圆弧三角形的周长为， 过点作，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴圆弧三角形的面积为． （2）解：①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，如图所示： ∵， ∴无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的， ∴在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的， ∴最高点形成的图形是一条直线； ②略 （3）解：如图，画正五边形，使其对角线，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形， 连接，分别过点、点作的垂线，过点作的平行线，与过点、点作的的垂线分别交于点，过点作的垂线交于点，过点作的平行线，与过点、点作的垂线分别交于点， ∴，，， ∴四边形是边长为的正方形， ∴圆弧五边形可以在正方形中转动，并且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点，所作图形符合题意． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江西宜春·二模）如图，已知是正八边形的一条对角线，请仅用无刻度的直尺完成以下作图． (1)如图1，在正八边形内部以为斜边作等腰直角三角形． (2)如图2，在正八边形内部以为边作正方形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【详解】（1）如图所示： 连接、，与相交于点，即为等腰直角三角形； 根据正八边形可知，每一个内角的大小为，且四边形为等腰梯形，内角和为，， ， ， ， 同理可得，， 为等腰直角三角形； （2）解：如图所示： 连接、，与相交于点，连接、，交于点，交于点，连接，四边形即为正方形； ，，可求， ， 则满足，且， 四边形即为正方形． 2．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，在中，，锐角所对的直角边与相邻的直角边的比值称为的坡度，记为“”，即，同样地，．对于锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应． 请回答以下问题： (1)______的函数（填“是”或“不是”） (2)在中，，，则______； (3)在中，，，则______； (4)在中，，，则______； (5)如图2，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则______； (6)如图3，两个边长相等的正六边形的公共边为，点，，在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，则______； 【答案】(1)是 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据函数的定义，进行判断即可； （2）根据题意得到是等腰直角三角形，，结合坡度的计算方法即可求解； （3）根据题意得到，结合坡度的计算方法即可求解； （4）根据题意得到是等腰三角形，过点作于点，在上取点，连接，使得，设，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，则，根据坡度的计算方法即可求解； （5）根据题意，得到，由垂直平分线得到，根据，由此即可求解； （6）根据题意，正六边形的每个内角为，每条边对应的圆心角的度数为，如图所示，连接，过点作于点，设正六边形的边长为，由此得到，结合坡度的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵对于锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应， ∴是的函数； （2）解：如图所示，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示，，， ∴，， ∴； （4）解：如图所示，，， ∴，是等腰三角形， 过点作于点，在上取点，连接，使得， ∴， ∴， 设，则， 由（2）的计算得到， ∴， ∴； （5）解：在中，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴； （6）解：正六边形的每个内角为，每条边对应的圆心角的度数为， 如图所示，连接，过点作于点，设正六边形的边长为， ， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键． （1）根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据正六边形的概念，确定的度数，进而确定的度数和的长，再通过作差法计算阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：∵六边形是正六边形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接，，， ∵是正六边形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）综合与实践： 广西灵山是“中国荔枝之乡”，灵山荔枝以果大核小、清甜多汁闻名遐迩，荣获国家地理标志保护．请你根据下面信息和素材，运用数学知识帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在农科院技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年荔枝年产量是5000千克，2025年达到了7200千克，年增长率基本相同． 素材二 荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 市场调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． 任务1：求荔枝年产量的平均增长率； 任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； 任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），寓意“六合甜美”．请直接写出此时纸盒的底面正六边形的边长是多少．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 【答案】（1）荔枝年产量的平均增长率为；（2）此时纸盒的高为；（3） 【分析】（1）设荔枝年产量的平均增长率为，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设裁掉正方形的边长为，根据题意，列出方程，即可求解； （3）设底面正六边形为，连接、、，和交于点，和交于点，所在直线交长方形纸板的边于点，设底面正六边形的边长为，纸盒的高为，根据正六边形的性质以及直角三角形的性质可得，，，从而得到，，再由四边形为矩形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）任务1：设荔枝年产量的平均增长率为， 由题意得：， ； ，（不符合题意舍去） 答：荔枝平均每株产量的年平均增长率为； （2）任务2：设裁掉正方形的边长为，由题意得： ， 即 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意舍去； 答：此时纸盒的高为； （3）任务3：如图，设底面正六边形为，连接、、，和交于点，和交于点，所在直线交长方形纸板的边于点，设底面正六边形的边长为，纸盒的高为， 正六边形的每条边相等，每个内角都为， 为等腰三角形，， ， 由正六边形的性质可得平分， ， ， 直角三角形中，，， 同理直角三角形中，， ，， ， 即， 左侧小三角形顶点的角度， 左侧小三角形为边长的等边三角形， 根据图形的上下对称可得与长方形纸板的左右两边垂直， 为等边三角形的高， ， 同理可得，， 四边形为矩形， ， ， ， 即， 解得 答：纸盒的底面边长为cm． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，30度角的直角三角形的边长关系，对称的性质；掌握正六边形的性质是解题关键． 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径，老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： (1)通过计算（结果保留根号与）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为______； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______． (2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形与圆、勾股定理，解题的关键是理解三个正方形摆放． （1）（Ⅰ）连接正方形的对角线，利用勾股定理求出的长即可； （Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可； （Ⅲ）找出过三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可； （2）连接，延长交于点P，则，P为中点，设，则，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：（Ⅰ）如下图，连接， ， （）， 图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为； （Ⅱ）如下图， 三个正方形的边长均为4， 三点在以O为圆心，以为半径的圆上， （）， 图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为； （Ⅲ）如下图所示， ， 是过三点的圆的直径， ， 为圆心， 的半径为， （）， 图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为； （2）如下图，为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接，延长交于点P，则，P为中点，       设，则， 则有：， 解得：， 则， 圆形硬纸板的直径是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $