第二章 有理数及其运算——程序流程图与有理数的计算、有理数运算为背景的新定义问题专项训练-2026-2027学年北师大版七年级数学上册

程序流程图与有理数的计算、有理数运算为背景的新定义问题专项训练 程序流程图与有理数的计算、有理数运算为背景的新定义问题专项训练 考点目录 程序流程图与有理数的计算 有理数运算为背景的新定义问题 考点一 程序流程图与有理数的计算 例1．（26-27七年级上·吉林四平·阶段检测）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“”表示一个有理数． (1)若表示2，输入的数为，求计算结果； (2)若计算结果为8，且输入的数字是4，则表示的数是_________． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查与流程图有关的有理数混合运算，依据流程图列出算式或方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）设表示的数是， ， 解得． 例2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）根据如图所示的程序回答问题： (1)当凡凡输入和这两个数时，则输出的结果是___________； (2)当林林输入和这两个数时，求输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意可得代数式，将值代入求解，得到正数直接得结果；得到负数取该数的绝对值． 【详解】（1）解：由题意得， ∵是正数， ∴输出的结果为． （2）解：由题意得， ∵为负数， ∴， ∴输出的结果为． 例3．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 变式1．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．根据如图所示的程序解决问题： (1)若输入x的值为5，求输出的值． (2)若输出的值为5，求输入x的值． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解一元一次方程，解题的关键是正确理解程序框图． （1）将代入，程序计算求解即可； （2）由题意得，再解方程即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：由题意得， 即， 解得． 变式2．（25-26七年级上·北京·期中）如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表决策．了解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时，_______；当时，______； (2)当输入的为不超过20的有理数，此时输出的值为0，则输入的为________． (3)若是自然数，请写出的所有可能值_______． 【答案】(1)3；1 (2)0或5或10或15或20 (3)0，1，2，3 【分析】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，数字类规律探索等知识点，弄懂题意并熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤正向推导即可得出答案； （2）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤反向推导即可得出答案； （3）将自然数逐个输入求得输出，通过观察、分析，即可总结出规律． 【详解】（1）解：根据这个数字传输器的工作原理，可知： 当时， 不大于， 取相反数，得， 不大于， 取绝对值，得， 当时，； 当时， 大于， 加，得， 大于， 加，得， 大于， 加，得， …… 大于， 加，得， 大于， 加，得， 不大于， 取相反数，得， 大于， 取倒数，得， 当时，； 故答案为：；； （2）解：根据这个数字传输器的工作原理，可知： 若输出的值为， 没有倒数， 是取绝对值而来， 取绝对值之前的值是， 又是取相反数而来， 取相反数之前的值是， 当时，则； 当时， 是输入的经过若干次加而来， （是正整数）， ， 输入的为0或5或10或15或20； 故答案为：0或5或10或15或20； （3）解：根据这个数字传输器的工作原理，通过验证、分析、总结，可以发现： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 若是自然数，则的所有可能值为，，，， 故答案为：，，，． 变式3．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图是一个运算程序： (1)若，，求的值； (2)若，输出结果的值为，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题主要考查了有理数的运算，绝对值，代数式的求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，得，然后代入即可求解； （）分当时，当时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由，，得， ∴ ； （2）解：当时， ∴， ∴，不符合题意； 当时， ∴， ∴，符合题意； 综上可得的值为． 考点二 有理数运算为背景的新定义问题 例1．（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料中的计算示例，总结同指数幂相乘的运算规律； （2）先将带分数转化为假分数，再运用（1）中的规律进行简便计算； （3） 先把小数化为分数，拆分指数使各幂的指数统一，再利用（1）的规律简化式子，最后完成有理数的乘法运算． 【详解】（1）解：由材料中的计算过程可得 （2）解： （3）解： 例2．（25-26七年级上·重庆綦江·期末）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算及绝对值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据新运算的定义，代入，计算，即可得答案； （2）根据新运算的定义，先计算，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ． （2）解： ． 例3．（25-26七年级上·福建福州·期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，，其中等号右边的运算律与运算法则和有理数的运算律与运算法则一致． 例如：． (1)求和的值； (2)请判断运算“”是否具有交换律（即是否成立），并说明理由． 【答案】(1)9，9 (2) 是，理由：， ， ∵ ∴，即 ∴运算“”具有交换律． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键， （1）根据新运算的法则，列式计算即可； （2）根据新运算的法则，列式计算即可； 【详解】（1）解：； ； （2）略 变式1．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）已知，均为有理数，现在我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解定义的新运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）先求出，再列出算式求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 变式2．（25-26七年级上·吉林松原·期中）我们定义一种新的运算：．例如： (1)直接写出下列各式的计算结果：________，________，________． (2)当时，求x的值． 【答案】(1)，21， (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算及解一元一次方程，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）根据定义的新运算列式计算即可； （2）根据定义的新运算列得方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，，． 故答案为：，21，； （2）解：由得 变式3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，记作． （1）直接写出计算结果：_____________，_____________． 【深入探究】 （2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例： 仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式（包括写出过程）： ①___________________________________________________， ②___________________________________________________． （3）将写成幂的形式是：_____________．（，的正整数，只写最后结果）． 【结论应用】 （4）计算： 【答案】（1）；3（2）； ；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义． （1）由新定义列出算式计算即可； （2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （3）根据（2）的计算结果得出规律即可； （4）先根据乘方的定义和（3）的计算结果计算，再算乘除和加减即可． 【详解】（1）， ； （2）①， ； （3） ； （4） ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $程序流程图与有理数的计算、有理数运算为背景的新定义问题专项训练 程序流程图与有理数的计算、有理数运算为背景的新定义问题专项训练 考点目录 程序流程图与有理数的计算 有理数运算为背景的新定义问题 考点一 程序流程图与有理数的计算 例1．（26-27七年级上·吉林四平·阶段检测）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“”表示一个有理数． (1)若表示2，输入的数为，求计算结果； (2)若计算结果为8，且输入的数字是4，则表示的数是_________． 例2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）根据如图所示的程序回答问题： (1)当凡凡输入和这两个数时，则输出的结果是___________； (2)当林林输入和这两个数时，求输出的结果． 例3．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 变式1．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．根据如图所示的程序解决问题： (1)若输入x的值为5，求输出的值． (2)若输出的值为5，求输入x的值． 变式2．（25-26七年级上·北京·期中）如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表决策．了解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时，_______；当时，______； (2)当输入的为不超过20的有理数，此时输出的值为0，则输入的为________． (3)若是自然数，请写出的所有可能值_______． 变式3．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图是一个运算程序： (1)若，，求的值； (2)若，输出结果的值为，求的值． 考点二 有理数运算为背景的新定义问题 例1．（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 例2．（25-26七年级上·重庆綦江·期末）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)求的值． 例3．（25-26七年级上·福建福州·期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，，其中等号右边的运算律与运算法则和有理数的运算律与运算法则一致． 例如：． (1)求和的值； (2)请判断运算“”是否具有交换律（即是否成立），并说明理由． 变式1．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）已知，均为有理数，现在我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 变式2．（25-26七年级上·吉林松原·期中）我们定义一种新的运算：．例如： (1)直接写出下列各式的计算结果：________，________，________． (2)当时，求x的值． 变式3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，记作． （1）直接写出计算结果：_____________，_____________． 【深入探究】 （2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例： 仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式（包括写出过程）： ①___________________________________________________， ②___________________________________________________． （3）将写成幂的形式是：_____________．（，的正整数，只写最后结果）． 【结论应用】 （4）计算： 2 学科网（北京）股份有限公司 $