专题05 有理数运算中的新定义型及规律探究问题（专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数运算的新定义与规律探究，通过5类典型题型系统覆盖程序流程、古代数学文化、实际应用等综合应用场景，构建从基础运算到抽象推理的递进式训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |程序问题|3题|结合流程图与加密规则考查运算顺序|以算法逻辑强化有理数混合运算步骤| |古代运算问题|3题|融入《九章算术》、进制转换等文化背景|通过历史情境深化数系扩充理解| |实际应用问题|3题|涉及行程、销售等生活场景|建立运算模型培养数据意识与应用能力| |新定义型问题|3题|自定义运算符号与规则|发展符号意识及抽象运算能力| |规律探究问题|3题|基于数式排列发现递推关系|提升推理意识与创新思维|

专题05 有理数运算中的新定义型及规律探究问题 常考题型·精准突破 题型1 有理数运算中的程序问题（重） 题型2 古代中的有理数运算问题 题型3 有理数运算的实际应用问题（高频） 题型4 有理数运算中的新定义型问题 题型5 有理数运算中的规律探究问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 有理数运算中的程序问题 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）加密方法：将一个字母对应的数字通过某种规定的运算程序化为对应的密文数字x． 运算程序为：例如：字母A对应数字1，通过运算程序后的密文是3，密文3对应字母A．如果密文，那么它是由字母_______加密得到的． 【答案】F 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，计算出的结果可求出密文所对应的字母所对应的数，据此可得答案． 【详解】解： ， ∴密文对应的字母所对应的数为6，即密文对应的字母为F， 故答案为：F． 2．（25-26七年级上·湖南永州·期中）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是________． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，程序流程图与有理数计算，解题关键是根据程序列出算式． 先根据程序列出算式，再计算，根据结果判断能否输出，否则进入下一轮计算． 【详解】解：当输入的x为时， ， 输入的x为， ， 最后输出的结果y是， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）按图中程序计算，并根据要求求出输出的结果． (1)当输入的数为3时，直接写出输出结果为______； (2)设输入的数记作，且，求出输出的结果． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）将3代入，根据题中的程序框计算即可； （2）分别将和分别代入计算，即可求解． 【详解】（1）解： ∴输出 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 当时， 继续计算： ∴输出 当时， ∴输出 综上所述，，输出结果为或． ◆题型2 古代中的有理数运算问题 4．（25-26七年级上·山西运城·期中）我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．在古代数学著作《九章算术》里，记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1解释了算式“”的运算过程与结果．按照这种方法，图2可以解释算式“______”的运算过程与结果． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是理解图1表示的计算． 由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图2即可列式． 【详解】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数，图2表示的过程应是． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·广东中山·期中）新数学教材注重把古代数学经典问题古为今用． (1)如图1是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等，请求出右下角代表的数． (2)第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．问：八进制2026换算成十进制是多少？（注：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）求出最左边的一列三个数字和，再结合纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等，计算即可得解； （2）根据八进制换成十进制数的计算方法列式计算即可得解． 【详解】（1）解：纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等， 最左边的一列三个数字和为， 右下角代表的数是； （2）解：八进制数3745换算成十进制数是， 八进制2026换算成十进制数是． 6．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）不同进位制的数之间可以转换．例如：八进制数换算成十进制数是． (1)直接写出二进制数换算成十进制数的结果； (2)计算； (3)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，是一位书生在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，记录了他准备科举考试的学习天数，直接写出该书生努力学习的天数； (4)直接写出十进制数换算成八进制数的结果． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了含有乘方的有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题干中不同进位制的数之间的转换的计算方法，根据题干中的方法进行计算． 根据题干中提供的方法进行计算； 先把二进制数转化为十进制数进行计算，再把计算的结果转化二进制数； 根据题干中提供的方法把六进制转换十进制即可； 用短除法把十进制转换为八进制即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ， ， ； ， 如下图所示， ， ； （3）解： ， 答：书生努力学习的天数为天； （4）解：如下图所示， ． ◆题型3 有理数运算的实际应用问题 7．（25-26七年级上·山东德州·期中）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下． （单位：） (1)在第几次记录时距A地最远． (2)求收工时在A地的什么方向？距A地多远？ (3)若每千米耗油0.3升，问共耗油多少升？ 【答案】(1)第五次 (2)收工时在地正东方向，距地 (3)共耗油升 【分析】（1）根据记录的数字，求出第一次第七次记录时，距地的距离，由此即可得； （2）将记录的数字相加求和即可； （3）将记录的数字的绝对值相加，再乘以每千米耗油量即可． 【详解】（1）解：第一次记录时：， 第二次记录时：， 第三次记录时：， 第四次记录时：， 第五次记录时：， 第六次记录时：， 第七次记录时：， 由此可知，在第五次记录时距地最远． （2）解： ， ∵规定向东行驶为正， ∴收工时在地正东方向，距地． （3）解： （升）， 答：共耗油升． 8．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）为切实做好校园周边的安保工作，一辆巡逻车从西安某菁英学校出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达A地，若规定以学校为原点，向东行驶为正，向西行驶为负，则巡逻车的行驶记录如下表：（单位：千米） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 行驶情况 (1)请你帮忙确定A地在学校的什么方向？距离学校多远？ (2)出发时李警官发现汽车油表显示余油27升，当第四次行驶结束时发现油表显示余油7.8升，请通过计算说明，巡逻车平均每千米耗油多少升？ 【答案】(1) A地在学校的东边，距离学校2千米 (2) 巡逻车平均每千米耗油升 【分析】（1）将各数相加，再根据有理数的加法法则计算即可； （2）先求出前四次巡逻车行驶的总路程，再求出总的耗油量，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 所以A地在学校的东边，距离学校2千米； （2）解：， 则， 所以巡逻车平均每千米耗油0.96升． 9．（25-26七年级上·广东梅州·期中）某中学饭堂出售一种成本价为每块3.5元的“桃李手撕面包”，售价为每块6元，新学期第一个月为了吸引学生，于是张贴出了宣传海报：“桃李手撕面包”大酬宾，每块4.5元．从第二个月开始每块恢复为6元，月末结算时，以每周销售200块为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这周的销售情况如表： 周次 一 二 三 四 销售量 (1)开学第一月中，最小销售量是第______周，销售量最高的那周销售额是______元． (2)开学第一月的总盈利是多少元?（盈利=销售额-成本） (3)为了拓展学生消费群体，该饭堂又决定在第二个月实行两种优惠方案： 方案一：凡来饭堂购买该面包，每块面包降价元； 方案二：凡一次性购买3块以上者，其中3块按照原价销售，超过3块的部分可直接打九折． 若有人一次性购买7块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出? 【答案】(1)四， (2)元 (3)饭堂更希望方案一卖出 【分析】（1）根据正负数的意义找出最小销售量对应的周次，再计算销售量最高周的销售额即可． （2）先计算每周实际销售量，再利用盈利公式（盈利（售价成本）总销售量）计算总盈利． （3）分别计算两种方案下饭堂的利润，通过比较利润大小确定饭堂更倾向的方案． 【详解】（1）解：由表格数据可知，最小销售量对应的是第四周， 销售量最高的是第一周，实际销售量为块 销售额为元； （2）解：计算每周实际销售量第一周：块 第二周：块 第三周：块 第四周：块 总销售量为块 每块面包的盈利为元 总盈利为元 答：开学第一月的总盈利是元 （3）解：方案一：每块面包售价为元 饭堂的利润为元 方案二：块面包的利润为元 超过块的数量为块 这块面包的售价为元 这块的利润为元 总利润为元 饭堂更希望方案一卖出 ◆题型4 有理数运算中的新定义型问题 10．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1)6 (2)480 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ． 11．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义新运算：，如，计算下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了新定义问题，有理数的乘方及加减运算，理解新定义运算是解题的关键； （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义先算，再算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以． 12．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【答案】(1) (2)1 (3)33 (4) 【分析】本题主要考查了有理数运算的新定义及乘方运算，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的计算法则，利用新定义计算． （1）根据题意，利用新定义计算即可． （2）根据题意，利用新定义计算即可． （3）根据题意，利用新定义计算即可． （4）根据题意，利用新定义计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：1． （3）解：； （4）解：原式， 故答案为：． ◆题型5 有理数运算中的规律探究问题 13．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）观察下列各式，回答问题 ，，… 按上述规律填空： (1)________________． (2)计算：________． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是从最简单的情形入手，找出规律，利用规律简化计算的方法． （1）首先可以看出等号的左边是1减去几的平方分之一，计算的结果是1减去几分之一乘1加上几分之一，由此规律直接得出答案即可； （2）根据（1）中的规律计算即可． 【详解】（1）解：由题中前几个式子的规律得：， 故答案为：，； （2）解：由题意， ， 故答案为：． 14．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 15．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)计算：______； (3)利用你发现的规律计算值． 【答案】(1) (2)3025 (3)2800 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）根据题干中给定的式子，写出第5个式子即可； （2）根据题目中的规律进行计算即可． （3）利用（2）中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：第五个式子为：． （2）解：由题意，得， 则 ． （3）解： ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26七年级上·福建南平·期末）定义一种新运算“”，规定，例如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，根据新运算的定义，直接代入数值计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选：C． 2．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 【答案】A 【详解】解：输入n的值为3，， 输入n的值为8，，输出y． 3．（25-26七年级上·河北邢台·期中）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方运算．熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键． 通过具体数值代入验证规律，判断式子是否正确． 【详解】解：当 时，取， 此时，， 即，故①错误． 当 时，取 ， 此时，， 即，故②正确． 因此，只有②正确． 故选B． 4．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制．这与他们独特的计数方式有关：用右手4根手指的12个指关节依次表示数字1～12，同时用左手的5根手指表示12的倍数，两者表示的数值相加即为所表示的数．例如，当左手伸出1根手指，右手掐住第8指关节时，表示的数是．若左手伸出3根手指，右手掐住第11指关节时，所表示的十进制数字是（　　） A．14 B．41 C．47 D．58 【答案】C 【分析】根据题意列出算式，即可得出答案． 【详解】解：左手伸出三根手指，表示， 右手大拇指掐住第 11指关节，表示11， 则表示的十进制数字是． 5．（25-26七年级上·重庆·期末）我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”，上珠以一当五，下珠以一当一．当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨．每档代表一个数位，从右往左数位依次增加．若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤等于十六两”的度量体系．图2表示的十六进制数为，通过（规定：时，），可知表示的十进制数为97．若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数制转换，算盘的算珠表示规则及数字表示的逻辑推理，根据题意理解十六进制转十进制的规则，再分析算盘的算珠表示规则，将十进制数88转化为十六进制数，逐一验证选项中算盘的算珠表示是否对应，选出正确选项即可． 【详解】解：A项：，不符合题意； B项：，不符合题意； C项：，符合题意； D项：，不符合题意， 故选：C． 二、填空题 6．（25-26七年级上·江苏常州·期中）定义新运算“”：对于两个有理数、，定义，例如，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算法则，理解新定义运算法则是解题关键． 根据新运算的定义，将代入公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算． 根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 则． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·广东广州·期中）年第十四届国际数学教育大会第一次在我国举办，大会标识（如下图）中蕴含着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数，而八进制数可由十进制数换算得来：，则十进制数换算成八进制数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意找到进制转化的方法是解题的关键． 用，得到商和余数（余数是八进制数的低位），再用新的商继续，重复记录商和余数直到商为，将所有余数从最后一个到第一个逆序排列，得到对应的八进制数． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·河南郑州·期末）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵_________． 【答案】7 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算，掌握知识点的应用是解题的关键．根据程序框图列式计算，直至结果为1即可． 【详解】解：输入自然数， 第一次运算， 第二次运算， 第三次运算， 第四次运算， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 则自然数 3 的熵， 故答案为：7． 10．（2026·广东广州·三模）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数转换为十进制数为____________，十六进制下_______________． 【答案】 【分析】根据题目给出的十六进制与十进制的对应规则，第一空直接按规则将十六进制转换为十进制计算即可，第二空先求出乘积对应的十进制结果，再将十进制结果转换为十六进制即可． 【详解】解：由表格可知，十六进制的对应十进制的， 根据转换规则得； 由表格可知，十六进制的对应十进制，对应十进制， 先计算十进制下的乘积得， 将十进制转换为十六进制得， 由表格可知，十进制对应十六进制的，因此结果为． 三、解答题 11．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定义一种运算符号“※”：m※例如：4※根据定义的运算法则，解决下列问题： (1)※______； (2)※※______． 【答案】(1)24 (2)18 【分析】（1）根据定义的运算列式计算即可； （2）根据定义的运算列式计算即可． 本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案为：24； （2）解：※ ， 原式※ 故答案为： 12．（24-25七年级上·山西朔州·期中）数学活动小组设计出如下的运算程序：任给一个正整数n，若n是偶数，则将n除以2；若n是奇数，则将n乘以3再加1．重复这样的运算，经过有限次后，得到结果为1并输出． 根据运算程序，解答下列问题： (1)小组同学输入7，求运算一次后的结果； (2)小组同学输入一个数，在没有输出前，每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，请直接写出同学们输入的数． 【答案】(1)22 (2)16 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式． （1）根据题干提供的信息列式计算即可； （2）根据每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，列出算式，得出运算结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，输入7，运算一次后的结果为： ； （2）解：∵每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1， ∴这个同学们输入的数为：． 13．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）海沙子面是日照独有的美食之一，其汤色金黄、口感鲜美，是日照人难以割舍的家乡味道，也承载着当地的饮食文化．某海沙子面店计划每天卖出200碗海沙子面，每天的实际销售量与计划相比有出入，如表是某星期的销售情况（超出计划销售量的部分记为正，不足计划销售量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际销售量与计划量的差值/碗 (1)求该面店前五天海沙子面的实际销售总量； (2)该面店本星期的实际销售总量是否达到了计划销售总量？请说明理由； (3)若每碗海沙子面的售价为14元，成本为4元，求该面店本星期的利润． 【答案】(1)该面店前五天海沙子面的实际销售总量为997碗 (2)该面店本星期的实际销售总量达到了计划销售总量，见解析 (3)该面店本星期的利润为14010元 【分析】（1）先求出前五天实际销售量和计划量的差值，再加上计划卖出的量即可； （2）先求出本星期实际销售量与计划量的差值，然后根据结果的正负进行判断即可； （3）先求出本星期销售面的数量，然后求出利润即可． 【详解】（1）解：（碗）． 答：该面店前五天海沙子面的实际销售总量为997碗； （2）解：该面店本星期的实际销售总量达到了计划销售总量．理由如下： （碗）． 因为， 所以该面店本星期的实际销售总量达到了计划销售总量； （3）解：（元）． 答：该面店本星期的利润为14010元． 14．（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 【答案】(1)49， (2)解：，理由见解析： ∵①， ②， ③， ④， …… ∴． (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行计算是解题的关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可； （3）将每个小括号进行通分为，再根据（2）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：49，． （2）略 （3）解：原式 ． 15．（24-25七年级上·河南信阳·阶段检测）【概念感知】第十四届国际数学教育大会（）会徽（如下图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份． (1)【尝试应用】请把八进制数2167换算成十进制数； (2)【拓展创新】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如下图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ 【答案】(1)1143 (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）根据题意计算出的结果即可得到答案； （2）根据题意计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∴把八进制数2167换算成十进制数为1143； （2）解： ， ∴她一共采集到的野果数量为个． 16．（25-26七年级上·四川泸州·阶段检测）观察下列各式的特征： ； ； ； ； 根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ① ； ② ． (2)当时， ；当时， ． (3)有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为 ． (4)用合理的方法计算：． 【答案】(1)①；② (2)； (3) (4) 【分析】本题考查了绝对值、数轴、有理数加减混合运算，正确化简绝对值是解题的关键． （1）利用绝对值的性质化简即可； （2）利用绝对值的性质化简即可； （3）由数轴可得，再利用绝对值的性质化简即可； （4）先去绝对值，再利用有理数加减的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：①； 故答案为：； ②； 故答案为：； （2）解：当时，； 当时，； 故答案为：；； （3）解：由数轴可得，， ∴， 故答案为：； （4）解： ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5有理数运算中的新定义型及规律探究问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1有理数运算中的程序问题（重） 题型2古代中的有理数运算问题 题型3有理数运算的实际应用问题（高频） 题型4有理数运算中的新定义型问题 题型5有理数运算中的规律探究问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1有理数运算中的程序问题 1.F 50 2.9 3. 【答案】)2 77 (②)4或2 【详解】( )解：[3-6+(2](-2)=>-1 ∴输出一2 1 故答案为：一2· (2)解：：=5， ∴.x=t5, 当x=5时，[-6+(-2](-2)=<1 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 继续计算： [6+(-2](2-子1 7 输出4 当x-5时，[5-6+(-2](2)>1 7 ∴.输出2 77 综上所述，=5，输出结果为4或2 ◆题型2古代中的有理数运算问题 4.5+(-2)=3 5. 【答案】(1)6 (2)1046 【详解】(1)解：纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等， ∴最左边的一列三个数字和为4+3+8=15， .右下角代表的数是15-2-7=6： (2)解：八进制数3745换算成十进制数是3×8+7×82+4×8+5×8°=2021， ∴.八进制2026换算成十进制数是2×8+0×82+2×8+6×8°=1046. 6. 【答案】(1)13： (2)(101001)2: (3)2494: (4)3751. 【详解】(1)解：1×2°+1×22+0×2+1×2°=8+4+0+1=13， :.(（1101)2=13: (2)解：(110110) =1×25+1×24+0×23+1×22+1×2+0×2° =32+16+0+1×4+1×2+0 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =32+16+4+2 =54, (（1101)2 =1×23+1×22+0×2+1×2° =8+4+1 =13, :.（110110)2-(1101)2: =54-13 =41, 如下图所示， 241--1 220-0 210--0 25--1 22--0 1 .(41)=(1010012, .(110110）2-(1101）2=(101001)2: (3)解：1×64+5×63+3×62+1×6+4×6 =1296+1080+108+6+4 =2494 答：书生努力学习的天数为2494天： (4)解：如下图所示， 82025--1 8253--5 831--7 3 .(2025)。=(37518 ◆题型3有理数运算的实际应用问题 7. 【答案】(1)第五次 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)收工时在A地正东方向，距A地lkm (3)共耗油12.3升 【详解】(1)解：第一次记录时：4=4(km), 第二次记录时：4+7=3=3(km), 第三次记录时：3-9=6=6(km), 第四次记录时：6+8=2=2(km), 第五次记录时：2+6=8=8(km), 第六次记录时：8-5=3=3(km), 第七次记录时：3-2=川=1(km), 由此可知，在第五次记录时距A地最远： (2)解：（4)+(+7)+(-9)+(+8)+(+6)+(-5)+(-2) =-4+7-9+8+6-5-2 =1(km), 规定向东行驶为正， ∴.收工时在A地正东方向，距A地lkm (3)解：(（-4+7+-9++8++6++-2)x0.3 =(4+7+9+8+6+5+2)×0.3 =41×0.3 =12.3(升)， 答：共耗油12.3升. 8. 【答案】(1) A地在学校的东边，距离学校2千米 (2) 巡逻车平均每千米耗油0.96升 【详解】(1)解：+7+(-6)+(-5)+(-2)+(+8)=15-13=2， 所以A地在学校的东边，距离学校2千米： (2)解：+7++5+-2=7+6+5+2=20」 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则(27-7.8)÷20=0.96」 所以巡逻车平均每千米耗油0.96升. 9. 【答案】(1)四，1026 (2)826元 (3)饭堂更希望方案一卖出 【详解】(1)解：由表格数据可知，最小销售量对应的是第四周， 销售量最高的是第一周，实际销售量为200+28=228（块） 销售额为228×4.5=1026（元） (2)解：计算每周实际销售量第一周：200+28=228（块） 第二周：200+16=216（块） 第三周：200-6=194（块） 第四周：200-12=188（块） 总销售量为228+216+194+188=826（块） 每块面包的盈利为4.5-3.5=1（元） 总盈利为826×1=826（元） 答：开学第一月的总盈利是826（元） (3)解：方案一：每块面包售价为6-0.3=5.7（元） 饭堂的利润为7×(5.7-3.5)=7×2.2=15.4（元） 方案二：3块面包的利润为3×(6-3.5)=3×2.5=7.5（元） 超过3块的数量为7-3=4（块） 这4块面包的售价为6×0.9=5.4（元） 这4块的利润为4×(5.4-3.5)=4×1.9=7.6（元） 总利润为7.5+7.6=15.1（元） 15.4>15.1 ∴饭堂更希望方案一卖出 ◆题型4有理数运算中的新定义型问题 5/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10. 【答案】(1)6 (2)480 【详解】(1)解：由题意得：（-2)※3 =(-2)2×3+(-2)×3 =12+(-6) =6: (2)解：由题意得：(-5)※[(-4)※2] =(-5)※[(-4}×2+(4)x2] =(-5)※(32-8) =(-5)※24 =(-5)2×24+(-5)×24 =600-120 =480 11. 【答案】(1)-1 (2)6 【详解】(1)解：（-2)85=(-2)2-5=4-5=-1： (2)解：因为0⑧(-3)=0-(-3)=3」 所以(-3)8[0⑧(-3)]=(-3)83=(-32-3=9-3=6. 12. 【答案】()(-2) (2)1 (3)33 【详解】(1)解：（-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)=(-2)， 故答案为：(-2). 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：2023②=2023÷2023-1， 故答案为：1. (3)解：+(-2+(-°=-16-（1=3， =a÷a÷a÷..÷a= (4)解：原式。aa8 n-2个 故答案为： ◆题型5有理数运算中的规律探究问题 13. 99101 【答案】（①）100,100 、1012 (②2023 199101 【详解】(1)解：由题中前几个式子的规律得：1-100100×100： 99101 故答案为： 100’100 (2)解：由题意 --1-02)-n2 1324 2021202320222024 2233 20222022×2023×2023 1.2024 =一X 22023 =1012 2023' 1012 故答案为： 2023 14. 【给wo0副 50 2101 7/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【胖解1)解：白超意得第5个等式：0行》： 1,1,11 1 (2)解：2-十-十68-1 …十 1002-1 G6店》-go】 片司】 什o】 50 101 15. 【答案】(1)1+2+3+4+5)}=1+2+3+4+5 (2)3025 (3)2800 【详解】(1)解：由题意，得：第五个式子为：(1+2+3+4+5}=1P+2+3+4+53 (2)解：由题意，得1+2+3+4+5+.+m)2=13+2+33+43+53+.+n2. 则13+23+33+43+…+10 =(1+2+3+.…+10)2 - =552=3025 3)解：6+73+8+9+10=(0+2+3+43+5++103）-(+2+32+4+5) =3025-(1+2+3+4+5)月 =3025-225 =2800 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 二、填空题 6.-8 7.-10 8.(1015)8 9.7 10.422 6E 三、解答题 11 【答案】(1)24 (2)18 【详解】(1)解：原式=(-4)2-(4)x2 =16+8 =24； 故答案为：24； (2)解：（-3)※(-2) =(-3)2-(-3)×(-2) =9-6 =3, 原式=3※(3) =32-3×(-3) =9+9 =18. 故答案为：18。 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12. 【答案】(1)22 (2)16 【详解】(1)解：根据题意，输入7，运算一次后的结果为： 3×7+1=22: (2)解：每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1， 4 1-2 1 ∴这个同学们输入的数为： 1÷ =1÷ =1×16=16」 16 13. 【答案】(1)该面店前五天海沙子面的实际销售总量为997碗 (2)该面店本星期的实际销售总量达到了计划销售总量，见解析 (3)该面店本星期的利润为14010元 【详解】(1)解：(6-4-3+5-7)+200×5=-3+1000=997（碗）. 答：该面店前五天海沙子面的实际销售总量为997碗： (2)解：该面店本星期的实际销售总量达到了计划销售总量，理由如下： 6-4-3+5-7+12-8=1(碗). 因为1>0， 所以该面店本星期的实际销售总量达到了计划销售总量： (3)解：(200×7+1)×(14-4)=1401x10=14010(元). 答：该面店本星期的利润为14010元. 14. 【答案】(1)49,72 (2)解：n(n+2)+1=(n+少，理由见解析： :01×3+1=4=22=(1+1)2, ②2×4+1=9=32=(1+2}2， ③3×5+1=16=42=(1+3)， ④4×6+1=25=52=(1+4)2， n(n+2)+1=(n+1). 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4048 (3)2025 【详解】(1)解：6×8+1=49=72， 故答案为：49,72. (2)略 1×3+12×4+13×5+1 2023×2025+1 (3)解：原式= X X…X 1×32×4 3×5 2023×2025 22 32 42 2024 XX Γ1×32×43×5 2023×2025 2×2×3×3×4×4×.…×2024×2024 1×3×2×4×3×5×…×2023×2025 2×2024 1×2025 4048 2025· 15. 【答案】(1)1143 (2)1838 【详解】(1)解：2×8+1×82+6×8+7×8 =2×512+1×64+6×8+7×1 =1143, .把八进制数2167换算成十进制数为1143： (2)解：1×6+2×63+3×62+0×6+2×6 =1296+432+108+0+2 =1838. ∴.她一共采集到的野果数量为1838个. 16. 99 【答案】(1)013-8：②1719 (2)a-b:b-a (3)2-a 2023 (④4050 【详解】(1)解：①8-13=13-8： 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：13-8： |9999 ②7191719 99 故答案为：1719 (2)解：当a>b时，la-b=a-b: 当a<b时，la-=b-a: 故答案为：a-b:b-a: (3)解：由数轴可得，a<2, la-2=2-a, 故答案为：2-a; 片+-+片++p (4)解：324354 20252024 11,11,11 11 Γ233445 ++ 20242025 11 22025 2023 4050· 12/12 专题05 有理数运算中的新定义型及规律探究问题 常考题型·精准突破 题型1 有理数运算中的程序问题（重） 题型2 古代中的有理数运算问题 题型3 有理数运算的实际应用问题（高频） 题型4 有理数运算中的新定义型问题 题型5 有理数运算中的规律探究问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 有理数运算中的程序问题 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）加密方法：将一个字母对应的数字通过某种规定的运算程序化为对应的密文数字x． 运算程序为：例如：字母A对应数字1，通过运算程序后的密文是3，密文3对应字母A．如果密文，那么它是由字母_______加密得到的． 2．（25-26七年级上·湖南永州·期中）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是________． 3．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）按图中程序计算，并根据要求求出输出的结果． (1)当输入的数为3时，直接写出输出结果为______； (2)设输入的数记作，且，求出输出的结果． ◆题型2 古代中的有理数运算问题 4．（25-26七年级上·山西运城·期中）我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．在古代数学著作《九章算术》里，记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1解释了算式“”的运算过程与结果．按照这种方法，图2可以解释算式“______”的运算过程与结果． 5．（25-26七年级上·广东中山·期中）新数学教材注重把古代数学经典问题古为今用． (1)如图1是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等，请求出右下角代表的数． (2)第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．问：八进制2026换算成十进制是多少？（注：） 6．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）不同进位制的数之间可以转换．例如：八进制数换算成十进制数是． (1)直接写出二进制数换算成十进制数的结果； (2)计算； (3)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，是一位书生在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，记录了他准备科举考试的学习天数，直接写出该书生努力学习的天数； (4)直接写出十进制数换算成八进制数的结果． ◆题型3 有理数运算的实际应用问题 7．（25-26七年级上·山东德州·期中）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下． （单位：） (1)在第几次记录时距A地最远． (2)求收工时在A地的什么方向？距A地多远？ (3)若每千米耗油0.3升，问共耗油多少升？ 8．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）为切实做好校园周边的安保工作，一辆巡逻车从西安某菁英学校出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达A地，若规定以学校为原点，向东行驶为正，向西行驶为负，则巡逻车的行驶记录如下表：（单位：千米） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 行驶情况 (1)请你帮忙确定A地在学校的什么方向？距离学校多远？ (2)出发时李警官发现汽车油表显示余油27升，当第四次行驶结束时发现油表显示余油7.8升，请通过计算说明，巡逻车平均每千米耗油多少升？ 9．（25-26七年级上·广东梅州·期中）某中学饭堂出售一种成本价为每块3.5元的“桃李手撕面包”，售价为每块6元，新学期第一个月为了吸引学生，于是张贴出了宣传海报：“桃李手撕面包”大酬宾，每块4.5元．从第二个月开始每块恢复为6元，月末结算时，以每周销售200块为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这周的销售情况如表： 周次 一 二 三 四 销售量 (1)开学第一月中，最小销售量是第______周，销售量最高的那周销售额是______元． (2)开学第一月的总盈利是多少元?（盈利=销售额-成本） (3)为了拓展学生消费群体，该饭堂又决定在第二个月实行两种优惠方案： 方案一：凡来饭堂购买该面包，每块面包降价元； 方案二：凡一次性购买3块以上者，其中3块按照原价销售，超过3块的部分可直接打九折． 若有人一次性购买7块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出? ◆题型4 有理数运算中的新定义型问题 10．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足． (1)求的值； (2)求． 11．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义新运算：，如，计算下列各式． (1)； (2)． 12．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． ◆题型5 有理数运算中的规律探究问题 13．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）观察下列各式，回答问题 ，，… 按上述规律填空： (1)________________． (2)计算：________． 14．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 15．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)计算：______； (3)利用你发现的规律计算值． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26七年级上·福建南平·期末）定义一种新运算“”，规定，例如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 3．（25-26七年级上·河北邢台·期中）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①②都正确 D．①②都不正确 4．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制．这与他们独特的计数方式有关：用右手4根手指的12个指关节依次表示数字1～12，同时用左手的5根手指表示12的倍数，两者表示的数值相加即为所表示的数．例如，当左手伸出1根手指，右手掐住第8指关节时，表示的数是．若左手伸出3根手指，右手掐住第11指关节时，所表示的十进制数字是（　　） A．14 B．41 C．47 D．58 5．（25-26七年级上·重庆·期末）我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”，上珠以一当五，下珠以一当一．当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨．每档代表一个数位，从右往左数位依次增加．若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤等于十六两”的度量体系．图2表示的十六进制数为，通过（规定：时，），可知表示的十进制数为97．若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·江苏常州·期中）定义新运算“”：对于两个有理数、，定义，例如，那么______． 7．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 8．（25-26七年级上·广东广州·期中）年第十四届国际数学教育大会第一次在我国举办，大会标识（如下图）中蕴含着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数，而八进制数可由十进制数换算得来：，则十进制数换算成八进制数是_______． 9．（25-26七年级上·河南郑州·期末）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵_________． 10．（2026·广东广州·三模）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数转换为十进制数为____________，十六进制下_______________． 三、解答题 11．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定义一种运算符号“※”：m※例如：4※根据定义的运算法则，解决下列问题： (1)※______； (2)※※______． 12．（24-25七年级上·山西朔州·期中）数学活动小组设计出如下的运算程序：任给一个正整数n，若n是偶数，则将n除以2；若n是奇数，则将n乘以3再加1．重复这样的运算，经过有限次后，得到结果为1并输出． 根据运算程序，解答下列问题： (1)小组同学输入7，求运算一次后的结果； (2)小组同学输入一个数，在没有输出前，每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，请直接写出同学们输入的数． 13．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）海沙子面是日照独有的美食之一，其汤色金黄、口感鲜美，是日照人难以割舍的家乡味道，也承载着当地的饮食文化．某海沙子面店计划每天卖出200碗海沙子面，每天的实际销售量与计划相比有出入，如表是某星期的销售情况（超出计划销售量的部分记为正，不足计划销售量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际销售量与计划量的差值/碗 (1)求该面店前五天海沙子面的实际销售总量； (2)该面店本星期的实际销售总量是否达到了计划销售总量？请说明理由； (3)若每碗海沙子面的售价为14元，成本为4元，求该面店本星期的利润． 14．（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 15．（24-25七年级上·河南信阳·阶段检测）【概念感知】第十四届国际数学教育大会（）会徽（如下图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份． (1)【尝试应用】请把八进制数2167换算成十进制数； (2)【拓展创新】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如下图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ 16．（25-26七年级上·四川泸州·阶段检测）观察下列各式的特征： ； ； ； ； 根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ① ； ② ． (2)当时， ；当时， ． (3)有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为 ． (4)用合理的方法计算：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $