第4章 相似三角形 学情自测试卷 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 相似三角形单元学情自测试卷，通过选择、填空、解答题全面覆盖比例线段、相似判定与性质、位似变换等核心知识，注重基础巩固与实际应用结合，适配单元复习学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|平行线分线段成比例、相似图形判定、位似中心|结合生活情境（悬挂三角形薄板、标杆测高），考查几何直观与空间观念| |填空题|6/18|比例性质、相似三角形性质、位似面积比|设计作图与计算结合题（如作比例线段），培养抽象能力| |解答题|8/72|相似证明、实际测量、位似作图|综合题融合菱形相似证明、铁路道口栏杆应用，发展推理能力与应用意识|

册第4章相似三角形学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下面说法正确的是（    ） A．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例 B．对于反比例函数，y随x的增大而减小 C．关于x的方程是一元二次方程 D．顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和中点四边形．分别根据平行线分线段成比例的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和中点四边形的定义即可解答． 【详解】解：A、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，所以本选项不符合题意； B、对于反比例函数，随的增大而减小，所以本选项符合题意； C、关于的方程，当时是一元二次方程，所以本选项不符合题意； D、顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形，所以本选项不符合题意． 故选：B． 2．已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式变形为比例式，根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系即可． 【详解】解：∵， ∴， A．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； B．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   C．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   D．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项正确． 3．如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，熟记平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，数形结合写出线段比例关系是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例及相似三角形判定与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：， 由平行线分线段成比例定理可知， A选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ， B选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ，即， D选项是正确的，不符合题意， C选项是错误的，符合题意； 故选：C． 4．如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【答案】A 【详解】解：由三角形薄板保持水平可知悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心． 5．如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应边比等于相似比的性质，逐一判断选项． 【详解】解：已知，， 选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确； 选项：，错误； 选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 故选：． 6．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 7．下列说法正确的是（   ） A．任意两个菱形都相似 B．对角线相等的四边形是矩形 C．在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的判定，矩形的性质，菱形的性质，平行投影．逐项判断：A菱形角不一定相等，故不都相似；B对角线相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是矩形；C菱形面积应为对角线乘积的一半，计算得而非；D太阳光下相似三角形原理成立，身高与影长比相等． 【详解】解：A：∵菱形的对应角不一定相等，∴任意两个菱形不一定相似，故A错误． B：∵等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，∴B错误． C：∵菱形的面积公式为，∴，故C错误． D：∵太阳光线平行，形成相似三角形，∴身高与影长之比相等，故D正确． 故选：D． 8．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵， ∴． 9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（　　） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4） 【答案】B 【分析】如图，连接BF交y轴于P，根据位似图形的定义可得点P为位似中心，根据点B、F坐标可得点C、G坐标，可得CG的长，根据相似三角形的性质可求出GP的长，即可求出点P的坐标． 【详解】如图，连接BF交y轴于P， ∵矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，点B、F为对应点， ∴点P为位似中心， ∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）， ∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），BC=4，GF=2，OG=1， ∴CG＝3， ∵BC∥GF， ∴△BCP∽△FGP， ∴＝＝，PC=CG-PG， 解得：GP＝1， ∴OP=OG+GP=2， ∴点P的坐标为（0，2）， 故选：B． 【点睛】本题考查位似图形的定义、相似三角形的判定与性质，理解位似图形的定义、熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 10．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了比例性质，根据合比性质求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 12．如图，设是已知线段，经过点作，使；连接，在上截取；在上截取，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与比例线段的计算，解题的关键是通过勾股定理求出线段长度，再推导比例关系． 设，利用垂直关系得，由勾股定理求；结合求出，进而得，最后计算． 【详解】解：，， ． 由勾股定理得： ； ， ； ； ； 故答案为∶ 13．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．由平行四边形的性质可得，，设，则，，代入比例式中求解即可得解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， ，， ， 设，则，， ，， ，解得， 即． 故答案为：． 14．如图，中，，，点D是边上的中点，图中与相似三角形是______． 【答案】 【分析】此题 考查相似三角形的判定、直角三角形的性质、等边对等角等知识，，点D是边上的中点，则，，得到再证明，则，即可证明． 【详解】解：∵，点D是边上的中点， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴， 故答案为： 15．如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 【答案】 【分析】先判断栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形，再列方程求解即可． 【详解】解：设长臂端点升高x米， 由题意可知，栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形， 则， 解得， 即长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是． 16．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是100，则四边形的面积为______． 【答案】 16 【分析】根据题意得出四边形与四边形相似，，确定，得出四边形的面积：四边形的面积， 即可求解． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心， 四边形与四边形相似，， ， ， 四边形的面积：四边形的面积， 四边形的面积． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图，在中，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）在这两个三角形中有一对已知角和一对公共角即可证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴． 18．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到即可求解； （2）由（1）得，再根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． 【详解】（1）解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以． 19．如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 【答案】(1)证明：∵在中，是斜边上的高． ∴ ∴； (2)解：是成比例线段，理由如下： ∵ ∴ ∴是成比例线段． 【分析】（1）利用等面积法求解即可； （2）将乘积式化为比例式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图，在中，为的中点，为上一点，的延长线交于．已知，，． (1)求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)10； (2)． 【分析】（1）利用勾股定理可求，则即可求； （2）连接，设，则利用等高三角形的面积比等于底之比可表示，又可知，利用等比性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， 为中点 ； （2）解：连接， 设， ， ， ， 且与同高， ， 为中点，与同高， ， ， 与同高，与同高， ， 由等比性质： ， 21．如图，在中，D为边上一点，，，．求证：． 【答案】 证明：∵在中，D为边上一点，，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】略 22．已知，点是上任意一点，菱形菱形． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：在菱形中， ∴， ∴， ∵菱形菱形， ∴， 在与中， ， ∴； (2)6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据菱形的性质可得，再由菱形菱形，可得，由此可证； （2）根据菱形的性质可得边长与角度的关系，即可得，根据直角三角形可得，再根据相似三角形边长成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在菱形中， ∴，， 在菱形中，， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知，， ∴， 即，解得． 23．如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图1， 在和中， ，，， ， ， （内错角相等，两直线平行）．　 (2)的长度为． 【分析】（1）利用已知条件，，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，即可得出结论． （2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，墙面地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， 的长度为． 24．在边长为1的小正方形网格坐标系中，顶点均为格点，点，对应位似点． (1)描出AC中点D，写出点D坐标； (2)以原点O为位似中心，将放大得到，画出图形． 【答案】(1)如图，AC中点； (2) 【详解】解：（1）略 （2）由对应，得位似比为2，将各顶点坐标放大2倍，再取相反数，顺次连接即可得到．图略. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $册第4章相似三角形学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.下面说法正确的是() A.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例 对于反比例函数y=x>0),y随x的增大而减 C.关于x的方程a2+b=0是一元二次方程 D.顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形 2.已知线段a,hc,求作线段x,使x= b,下列作图中均作出一组平行线，其中正确的 是(). 0 1∥12∥ 3.如图， 马，直线“，0相交于点G,与这三条平行线分别相交于点1.B,C 和点D,E、F、下列比例式中错误的是() 0 b A D 2 E G C AB DE AG DG BE GB AD AG A.BGEG B.GC-GF C.AD BA D.BEBG 4.如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保 持水平，则三角形上的悬挂点应是() 试卷第1页，共3页 A.三角形三条中线的交点 B.三角形三条内角平分线的交点 C.三角形三条高线的交点 D.分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 5.如图，△0MB△0CD,0M:0C=3:2,0MB与40CD的面积分别是S与S周长 分别是9与9，则下列说法正确的是() B G-3 CD 3 S-3 OA3 A.C22 B.AB 2 C.S.2 D.OD 2 6.如图，小红利用标杆DE测量学校旗杆BC的高度，标杆DE高3m,测得AE=6m, BE=18m BC 则旗杆 的高度是() D h3m A6mE 18m B A.9m B.12m C.18m D.24m 7.下列说法正确的是() A.任意两个菱形都相似 试卷第2页，共3页 B.对角线相等的四边形是矩形 ABCD AC=2 BD=8 C.在菱形 中，若对角线 ,则菱形 的面积是82 ABCD D.甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 8.如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，且A、B、C、D分别与E、F、G、H 对应，则∠D的度数为() E 809 H B人70 G A.100° B.110° C.120° D.130° 9.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位 似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为(-4,4)、(2,1)，则位似中心的坐标为 () D B G F A.(0,1) B.(0,2) C.(0,3) D.(0,4) 10.如图，以点C-1,0)为位似中心，作△ABC的位似图形△4BC,若点B的横坐标是 -3 B ABC,△AB'C ,点B的对应点的横坐标是3，则 与 的周长之比为() 试卷第3页，共3页 A.1:2 B.1:4 C.2:3 D.2:1 二、填空题（每题3分，共18分） 1兴则 12.知图，设A是已知线段，经过点B作DL份：使D-号4B:连按0A:在0M上 2 BC 截取DE=DB:在AB上截取AC=AE,则AB的值是 E dB 13.如图，在口ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E,CF的延长线交BA的延长 线于点G,EF=1,EC=4,则GF的长为 G D 14.如图，△ABC中，AD⊥AB,∠EAC=90°，点D是EC边上的中点，图中与△ABC相 似三角形是 D 15.如图，铁路道口的栏杆短臂长1.2m,长臂长3.8m.当短臂端点下降0.6m时，长臂端 试卷第4页，共3页 点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是 3.8m 0.6m 777777777777777777777777777 OE 2 16.如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心.若EA3,四 边形ABCD的面积是100，则四边形EFGH的面积为. E 三、解答题（每题9分，共72分） 17.如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B (I)求证：△ACD∽△ABC: (2)若AD=3,AB=8,求AC的长. I8.如图，在△ABC中，延长CB至点D,使BD=BC,在AC上取一点F,连接DF交AB 于点E,过F点作FH∥AB交CD于点H,已知AC=DE=3,EF=2. E D B (1)DB:DH= (2)求AF的长. 试卷第5页，共3页 19.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高. D B (I)求证：ACBC=CD·AB: (2)AC、CD、AB、BC是成比例线段吗？为什么？ 20.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD上一点，BE的延长线交AC于F.己 知AD=4,AB=3,∠BAD=90° ()求BC的长： (2)若AE=L,求AF:FC的值. 2L.如图，在aBC中，D为AC边上一点，AD= ,CD=2,BC=3,求证： ACDBACBA. D 22.己知，点E是AC上任意一点，菱形ABCD∽菱形BFCE D E B (I)求证：△ACDACBE: (2)若∠DAB=60°，BF=2,求AC的长. 23.如图所示，是墙面1与一个显示屏AB的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架 试卷第6页，共3页 PO MN PM=ON 和连接墙面与显示屏，测得 (L)证明：PM/ON: (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架PQ=l0cm,AB=57cm,P1l,锦凌同学的眼睛 B OD=200 cm 与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离 ，锦凌同学的视野被显示屏遮挡， 出现了一个盲区CD.求CD的长度， 24,在边长为1的小正方形网格坐标系中，△1BC顶点均为格点，点1(-2，)， 对应位似 点4(48) (I)描出AC中点D,写出点D坐标； (2)以原点O为位似中心，将△ABC放大得到△ABCG,画出图形. 试卷第7页，共3页