第06讲 解一元二次方程（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的解法，系统梳理直接开平方法、配方法（及应用）、公式法（含判别式）、因式分解法等核心知识点，构建从基础到综合的学习支架，帮助学生掌握不同情境下的解题策略。 资料亮点在于题型丰富（9类题型覆盖各类解法），探究式学习（如赵爽弦图拼图理解配方法）培养几何直观与创新意识，结合实际问题（如行程问题）发展模型意识。课中辅助教师系统教学，课后通过检测与复盘帮助学生查漏补缺，强化数学思维。

简一数理 初中专题讲义 第06讲 一元二次方程的解法 （新教材北师大版） 知识点一、一元二次方程的解法 2 知识点二、配方法的应用 3 知识点三、公式法解一元二次方程 3 知识点四、因式分解法解一元二次方程 4 【题型1 解一元二次方程---直接开平方法】 4 【题型2 解一元二次方程---配方法】 5 【题型3 配方法的应用】 6 【题型4 公式法求一元二次方程的】 6 【题型5 根根据判别式判断根的情况】 7 【题型6 根据根的情况求参数】 7 【题型7 因式分解法解一元二次方程】 8 【题型8 换元法解一元二次方程】 8 【题型9 解分式方程（化为一元二次方程）】 8 【探究式学习】 9 【课后检测】 14 【复盘笔记】 18 知识点一、一元二次方程的解法 1．直接开方法解一元二次方程： 　　(1)直接开方法解一元二次方程： 　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 　　(2)直接开平方法的理论依据： 　　　 平方根的定义. 　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根； 　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 　　　 　若，则方程无实数根． 　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 　　　　 . 要点： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 2．配方法解一元二次方程： 　　(1)配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. 　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 知识点三、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　一元二次方程，当时，. 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． 　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根； 　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根； 　　　 ③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 　　　 ①把一元二次方程化为一般形式； 　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）； 　　　 ③求出的值； 　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解； 　　　 　若，则原方程无实根. 要点： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 知识点四、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　　（1）将方程右边化为0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【题型1 解一元二次方程---直接开平方法】 【例1】若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 【变式1-3】关于的方程的两个根满足，则的值为（    ） A．5 B． C． D．1 【题型2 解一元二次方程---配方法】 【例2】用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2-2】一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型3 配方法的应用】 【例3】设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【变式3-1】已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】已知实数满足，那么实数的乘积为（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-3】用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【题型4 公式法求一元二次方程的】 【例4】在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】我们规定一种新运算“”，其意义为，如，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式4-3】对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； 其中正确的（    ） A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【题型5 根根据判别式判断根的情况】 【例5】在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 【变式5-1】关于x的一元二次方程（其中，且为常数）的根的情况，描述正确的是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．可能只有一个实数根 【变式5-2】一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【变式5-3】已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【题型6 根据根的情况求参数】 【例6】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【变式6-1】已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 【变式6-2】嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【变式6-3】等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 【题型7 因式分解法解一元二次方程】 【例7】计算机按程序设置构建了平面直角坐标系，并标示了屏幕上、、三个光点的坐标，如图，光点在直线上运动，当光点与光点之间的距离为时，光点的坐标为（     ） A． B．或 C． D．或 【变式7-1】关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式7-3】已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 【题型8 换元法解一元二次方程】 【例8】已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B．4 C．7或 D．或3 【变式8-1】已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 【变式8-2】已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式8-3】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【题型9 解分式方程（化为一元二次方程）】 【例9】甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，已知两地的距离为千米，两地的距离为千米，甲骑自行车每小时比乙快千米，结果两人同时到达地，则乙骑自行车人速度为（   ） A．千米/小时 B．千米/小时 C．千米/小时 D．千米/小时 【变式9-1】下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】下列方程中，有实数根的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【探究式学习】 1．操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 (2)配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 2．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 3．项目式学习 【项目主题】 一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为． 设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数． 【规律探究】 分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： 勾股数 序号 2 1 1 3 1 2 2 3 4 1 4 2 5 3 6 … … … … 【规律应用】 根据上表规律，请完成下列问题： (1)，对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____； (2)勾股数对应的_____，_____； (3)序号为15的勾股数是（_____，_____，_____）． 【项目拓展】 (4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明． 4．【阅读理解】 同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法． 例如，求的解． 思路：在二次函数中，若取x的值为，，，使得相应的函数值，则抛物线与x轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间． (1)【尝试探究】 小明按照上述方法求方程的一个解，过程如下表： x的值 0 1 2 3 a b c 请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间． (2)【迁移应用】 若关于x的方程有两个不同的解，恰有一个解落在与之间，求m的取值范围． 【课后检测】 1．已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 2．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 3．关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 4．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 7．当时，关于x的一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 8．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 9．下列方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 10．定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 11．已知一元二次方程有两个相等的实数根． （1）当，时，则的值为______； （2）若，，，则的值为______． 12．关于的一元二次方程（，，为常数，）有两个相等的实数根． （1）若，，则代数式的值为________． （2）若，为不相等的非零实数，当，，时，代数式的值为________． 13．已知是关于的一元二次方程的一个根，则正数的值为________． 14．关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 15．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，那么______，______，______． 16．用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) (3) (4) 17．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1) (2)． 18．已知关于的方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若2是该方程的一个根，求代数式的值． 19．数学思想方法是数学的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁．我国著名的数学家华罗庚曾讲过：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有铭记在头脑中的数学思想、研究方法等，能随时随地发挥作用，使人们受益终身．”   请同学们阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并完成（1）、（2）问． 例题：解方程． 解：①当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ②当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ∴原方程的解是，． (1)我们在解方程时用到的数学思想方法是（  ）． A．数形结合的思想         B．整体的思想      C．分类讨论的思想        D．特殊到一般的思想 (2)解方程：． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 42 页 第 1 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第06讲 一元二次方程的解法 （新教材北师大版） 知识点一、一元二次方程的解法 2 知识点二、配方法的应用 3 知识点三、公式法解一元二次方程 3 知识点四、因式分解法解一元二次方程 4 【题型1 解一元二次方程---直接开平方法】 4 【题型2 解一元二次方程---配方法】 6 【题型3 配方法的应用】 8 【题型4 公式法求一元二次方程的】 10 【题型5 根根据判别式判断根的情况】 12 【题型6 根据根的情况求参数】 14 【题型7 因式分解法解一元二次方程】 16 【题型8 换元法解一元二次方程】 18 【题型9 解分式方程（化为一元二次方程）】 20 【探究式学习】 23 【课后检测】 30 【复盘笔记】 42 知识点一、一元二次方程的解法 1．直接开方法解一元二次方程： 　　(1)直接开方法解一元二次方程： 　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 　　(2)直接开平方法的理论依据： 　　　 平方根的定义. 　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根； 　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 　　　 　若，则方程无实数根． 　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 　　　　 . 要点： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 2．配方法解一元二次方程： 　　(1)配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. 　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 知识点三、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　一元二次方程，当时，. 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． 　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根； 　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根； 　　　 ③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 　　　 ①把一元二次方程化为一般形式； 　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）； 　　　 ③求出的值； 　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解； 　　　 　若，则原方程无实根. 要点： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 知识点四、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　　（1）将方程右边化为0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【题型1 解一元二次方程---直接开平方法】 【例1】若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 【变式1-1】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 【变式1-2】关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程变形为，对照已知方程及其根得出或，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的根是， ∴关于的方程，即满足或， 解得：． 【变式1-3】关于的方程的两个根满足，则的值为（    ） A．5 B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，，结合求解出两个根，再代入求解． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 代入得，， 解得． 【题型2 解一元二次方程---配方法】 【例2】用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式2-1】某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果． 【详解】解：对于乙的步骤：方程两边同时除以2，得； 故出现错误的是乙同学. 【变式2-2】一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 方程配方后得到． 【变式2-3】用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用完全平方公式配方即可得到结果． 【详解】解：∵， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方，两边同时加1得， 即， 对比可得，． 故选：D． 【题型3 配方法的应用】 【例3】设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知求出，再代入，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴s的值最大为3． 【变式3-2】已知实数满足，那么实数的乘积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法的应用，将式子变形为，则可得当时，等式成立，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴当且仅当，，时，即时，等式成立， ∴， 故选：C． 【变式3-3】用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：， ， ， 所以． 故选C． 【题型4 公式法求一元二次方程的】 【例4】在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 【变式4-1】是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，得． 两边平方得． 展开整理得． 化简得． 【变式4-2】我们规定一种新运算“”，其意义为，如，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据新定义运算法则列出一元二次方程求解即可. 【详解】解：∵， ∴ 即： 解得： 故选：C ． 【变式4-3】对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； 其中正确的（    ） A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】由，可判断必有一个根为，从而判断①；由方程有两个不相等的实根，则，从而判断②；由，需考虑是否为，从而判断③；用求根公式表示出即可判断④． 【详解】解：①若，则必有一个根为，则，故①正确； ②若方程有两个不相等的实根，则， 则的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； ③若c是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； ④若是一元二次方程的根，则或， ∴或， ∴；故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 【题型5 根根据判别式判断根的情况】 【例5】在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 【答案】B 【分析】先由一次函数图象不经过第二象限得出a的取值范围，结合一元二次方程二次项系数不为0的条件确定，再通过根的判别式判断实根个数． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ． ∵方程是一元二次方程， ． ． ． ∴该方程有2个不相等的实数根． 【变式5-1】关于x的一元二次方程（其中，且为常数）的根的情况，描述正确的是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，计算判别式的值，判断其符号即可得出结论，用到性质：对于一元二次方程，时方程有两个不等的实数根． 【详解】方程是关于的一元二次方程，，，，， ∴ ， ， ， 该方程有两个不相等的实数根． 【变式5-2】一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】运用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可求解． 【详解】解：∵，则，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 【变式5-3】已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 【题型6 根据根的情况求参数】 【例6】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式与根的情况的关系，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 【变式6-1】已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的判别式建立关于的不等式，求解后验证选项即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 【变式6-2】嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 【变式6-3】等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：已知边长2为等腰三角形的腰长，或已知边长2为等腰三角形的底边长，分别计算k的值，再用三角形三边关系验证，得到符合条件的结果． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． 【题型7 因式分解法解一元二次方程】 【例7】计算机按程序设置构建了平面直角坐标系，并标示了屏幕上、、三个光点的坐标，如图，光点在直线上运动，当光点与光点之间的距离为时，光点的坐标为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，在坐标系中描出已知点、、，光点在直线上运动，所以的横坐标为，设点的纵坐标为，过点作于，在直角三角形中利用勾股定理得到关于方程，解出的值即可得到光点的坐标． 【详解】 解 ：， 轴， 的横坐标为， 设点的纵坐标为， 根据题意建立如图所示的坐标系， 过点作于， 则，， 由勾股定理得， ， 或， 光点的坐标为或． 【变式7-1】关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原一元二次方程变形因式分解，得到方程的两个根，再结合题目给出的根的大小关系和倍数关系列方程，求解得到的值． 【详解】解：∵ 原方程可变形为， 由平方差公式因式分解得 ， ∴ 方程的两个根为和， ∵ ，， ∴ ，，代入关系式得 ， 展开整理得 ， 因此的值为． 【变式7-2】若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】由题意可知、是一元二次方程的两个不相等实根，先求解方程得到两个根，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵实数m、n分别满足方程，，且， ∴、是一元二次方程的两个不相等实根， 解得，， ∴． 【变式7-3】已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的边长，最后计算周长得到答案． 【详解】解：， 解得，， ∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ， 即第三边 ， ∴不符合要求，舍去， 则第三边长为6， ∴此三角形的周长为． 【题型8 换元法解一元二次方程】 【例8】已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B．4 C．7或 D．或3 【答案】A 【分析】本题把看作整体，将原方程转化为一元二次方程，用因式分解法求解，再根据平方的非负性舍去不合理的解，最后代入计算即可. 【详解】解：∵， 令，由平方数的非负性得， 原方程可化为， 因式分解得， ∴或， 解得或， ∵， ∴不符合题意舍去，得， ∴． 【变式8-1】已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 【答案】B 【分析】本题利用换元法将看作整体求解，再根据平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】设， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴， 原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去， 即． 【变式8-2】已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查换元法和完全平方公式的应用，通过设，将原式转化为关于的方程，利用完全平方公式展开求解即可． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 故选：D． 【变式8-3】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到必有一根为，进而求出的值即可． 【详解】解：，整理，得：， ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴方程必有一根为，即：， 故选B． 【题型9 解分式方程（化为一元二次方程）】 【例9】甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，已知两地的距离为千米，两地的距离为千米，甲骑自行车每小时比乙快千米，结果两人同时到达地，则乙骑自行车人速度为（   ） A．千米/小时 B．千米/小时 C．千米/小时 D．千米/小时 【答案】B 【分析】本题为行程类分式方程应用题，利用路程、速度、时间的关系，根据两人同时到达地即所用时间相等，列方程求解即可． 【详解】解：设乙骑自行车每小时行驶千米，则甲每小时行驶千米， ∵甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，两人同时到达地，即行驶时间相等， ∴可得方程， 方程两边同乘得：， 整理得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙骑自行车每小时行驶千米． 【变式9-1】下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式方程求解方法，平方的非负性，算术平方根的非负性和分式的性质，逐个判断即可得到结果． 【详解】解：A．， 去分母得，， 整理得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程有实数解； B．变形得， ∵任意实数的平方满足，不可能等于， ∴该方程无实数解； C．方程， ∵分子，分母，分式的值不可能为， ∴该方程无实数解； D．方程变形得， ∵任意实数的算术平方根满足，不可能等于， ∴该方程无实数解． 【变式9-2】下列方程中，有实数根的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解无理方程，解分式方程，二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质可得，据此可判断A；根据二次根式有意义的条件可得，则，据此可判断B；解分式方程可判断C、D． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵， ∴原方程无实数根，不符合题意； B、∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴原方程无实数根，不符合题意； C、∵， ∴去分母得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无实数根，不符合题意； D、∵， ∴去分母得：， ∴， 解得， 经检验，当是原方程的解， ∴原方程有实数根，符合题意， 故选：D． 【变式9-3】对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 【探究式学习】 1．操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 (2)配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 【答案】(1)，，，，， (2)由题意，先变形为， 如图， 每个小长方形的长为，宽为， ∴利用图形的面积关系得配方后的方程为， 即． 解得，； (3)， 【分析】（1）仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （3）先变形为，设，，再仿照例题，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解为，； （2）略 （3）解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，． 2．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； (4)当时，的最小值为 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 略 （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 3．项目式学习 【项目主题】 一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为． 设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数． 【规律探究】 分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： 勾股数 序号 2 1 1 3 1 2 2 3 4 1 4 2 5 3 6 … … … … 【规律应用】 根据上表规律，请完成下列问题： (1)，对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____； (2)勾股数对应的_____，_____； (3)序号为15的勾股数是（_____，_____，_____）． 【项目拓展】 (4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明． 【答案】(1)24，10，26，7 (2)6，1 (3)11，60，61 (4)不正确， 理由：当，时，，序号为； 当，时，，序号为； ∵，， ∴序号从10增加到11时，的值减小， ∴他的猜想不正确． 【分析】（1）根据表格中的规律求解即可； （2）根据题干中勾股数的定义可得，，，把、两式相加并结合已知条件则求出m的值，然后把m的值代入求解即可； （3）根据表格中的规律发现：每一个m对应的勾股数组数为组，从得出m值从2取到k时，勾股数的总组数为组，然后根据题意得出，求出k的值，即可求解； （4）举反例说明即可． 【详解】（1）解∶当，时，，，， ∴，对应的勾股数是，序号为7； （2）解：根据题意，得，，， ∴，即， 又， ∴， 把代入，得， 解得， ∴勾股数对应的，； （3）解：由表格知，当时，符合题意的勾股数有组； 当时，符合题意的勾股数有组； 当时，符合题意的勾股数有组； …… 当（的整数）时，符合题意的勾股数有组； 此时一共有组勾股数， 当时，解得或（舍去）， ∴序号为15时，，， ∴，，， 序号为15的勾股数是； （4）略 4．【阅读理解】 同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法． 例如，求的解． 思路：在二次函数中，若取x的值为，，，使得相应的函数值，则抛物线与x轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间． (1)【尝试探究】 小明按照上述方法求方程的一个解，过程如下表： x的值 0 1 2 3 a b c 请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间． (2)【迁移应用】 若关于x的方程有两个不同的解，恰有一个解落在与之间，求m的取值范围． 【答案】(1)方程的解落在1和2之间 (2) 【分析】（1）将点的横坐标代入解析式得到纵坐标，根据两点纵坐标之积小于零，判断解的范围； （2）将和分别代入得到、，根据，结合判别式大于0求出m的取值范围． 【详解】（1）解：将代入得，；当时，， 所以，所以方程的解落在1和2之间． （2）解：方程有两个不同的解， ， ， 将，分别代入得，， ∵恰有一个解落在与之间， ∴，所以． 【课后检测】 1．已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】方程有两个实数根，说明方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时根据一元二次方程根的判别式非负列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， ∴的取值范围是且． 2．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于或等于0，求解两个条件后取交集即可得到结果． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即， 解得； ∵原方程有实数根 ∴， 展开化简得， 解得， 综上，的取值范围是且． 3．关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】分为和两类讨论，结合根的判别式求出的取值范围． 【详解】解：①当时，该方程为关于的一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴且； ②当时，该方程为关于的一元一次方程， 原方程为，有实数根，符合题意； 综上所述，的取值范围为． 4．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出、方程根的判别式，再得出，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴，其根的判别式， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即，则选项B正确； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项A错误； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项C错误； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项D错误． 5．若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】利用一元二次方程有解的条件，即判别式，结合平方数的非负性求出的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：一元二次方程有解， 判别式， 其中，，代入得， ， 对任意实数，都有， ，结合，得， 解得， 将代入原方程，得， 整理为， 解得， 所以该方程的解是和． 6．若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用一次函数性质得出，再判断出，即可求解． 【详解】解：根据题意可知一次函数（为常数）的图象经过第二、三、四象限， ∴， ∴，， 对于一元二次方程，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 7．当时，关于x的一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题利用已知条件将用表示，再计算一元二次方程的根的判别式，通过配方判断判别式与的大小关系，即可得出方程根的情况． 【详解】解：∵，∴， 一元二次方程的根的判别式为： 把代入得： 配方得 ∵任意实数的平方为非负数，即， ∴， ∴原一元二次方程有两个不相等的实数根．故选：A． 8．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 9．下列方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根． 【详解】解：A．方程，，，，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B．方程，，，，，方程没有实数根，不符合题意； C．方程，，，，，方程有两个相等的实数根，符合题意； D．方程，，，，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 10．定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】转化为一元二次方程，根据，求解即可； 【详解】解：∵，∴化为一般式为． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 11．已知一元二次方程有两个相等的实数根． （1）当，时，则的值为______； （2）若，，，则的值为______． 【答案】 3 【分析】一元二次方程有两个相等实数根，则判别式，代入已知条件变形计算即可． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ． （1）当，时，得， 代入，得， 整理得， 解得， ； （2）当，，时， 代入，得， 展开整理得， 因式分解得， ， 移项得， 由题意， ． 12．关于的一元二次方程（，，为常数，）有两个相等的实数根． （1）若，，则代数式的值为________． （2）若，为不相等的非零实数，当，，时，代数式的值为________． 【答案】 / 【分析】（1）利用一元二次方程有两个相等实数根的判别式条件，代入a与b、c的关系，变形得到所求代数式的值． （2）先由系数和为0得是方程的根，结合重根条件与根与系数的关系，推导m与n的数量关系，代入代数式计算． 【详解】解：（1）一元二次方程有两个相等的实数根， ， ，， ， ， ； （2）， 是方程的一个根， 方程有两个相等的实数根， 方程的两个根均为1， 根据根与系数的关系，两根之和为， ， 将，代入得， 整理得， ，为非零实数， ． 13．已知是关于的一元二次方程的一个根，则正数的值为________． 【答案】 【分析】将根代入原方程，得到关于的一元二次方程，求解后筛选出正数即可得到结果． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， 将代入方程得， 解得或， 是正数， ． 14．关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程无实数根的条件，可得根的判别式小于0，据此列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程无实数根， ∴ 根的判别式， ∴ ， 解得． 15．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，那么______，______，______． 【答案】 1 3 【分析】题目给出的根符合一元二次方程求根公式的形式，对比对应位置系数即可求解． 【详解】解：一元二次方程的求根公式为， 题目给出的两根可写为， 将两式对应位置对比，可得 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，代入得， ∴． 16．用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ， ， ， ，；                                         （2）解：原方程可变形为， 因式分解，得， 或， ，．       （3）解：， ， ， ， ， 解得，；     （4）解：， ， ， 或， 解得，． 17．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)，，， (2)，， 【分析】（1）仿照材料的方法，设，则原方程可化为，进而解方程即可求解； （2）仿照材料的方法，设，则原方程可化为，进而解方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 18．已知关于的方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若2是该方程的一个根，求代数式的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根． (2)30 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，据此可计算判别式进行求证； （2）将代入原方程，整理得到关于m的等式，计算化简后，整体代入求代数式的值． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程中， 得，即； ∴． 19．数学思想方法是数学的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁．我国著名的数学家华罗庚曾讲过：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有铭记在头脑中的数学思想、研究方法等，能随时随地发挥作用，使人们受益终身．”   请同学们阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并完成（1）、（2）问． 例题：解方程． 解：①当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ②当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ∴原方程的解是，． (1)我们在解方程时用到的数学思想方法是（  ）． A．数形结合的思想         B．整体的思想      C．分类讨论的思想        D．特殊到一般的思想 (2)解方程：． 【答案】(1)C (2)， 【详解】（1）解：观察题目例题的解答过程，发现分或两种情况， ∴在解方程时用到的数学思想方法是：分类讨论的思想． （2）解：①当，即时，原方程可化为： ，解得：（舍去），． ②当，即时，原方程可化为： ，解得：，（舍去）， ∴原方程的解是，． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1)证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴ ， ∵不论为何值，，即， ∴不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)，方程的另一个根为． 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，代入原方程，求解另一个根即可． 【详解】（1）略 （2）解：把代入，得： ， 解得：． 则方程为， 方程变为：， 或， 解得：，， ∴方程的另外一个根为2． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 42 页 第 1 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $