高中数学经典题型全解析：第12讲 三角函数的性质讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦三角函数性质高考核心考点，涵盖单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值及三角代换，按“知识点-典例-变式-总结”架构系统梳理，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以数学思维和数学语言为导向，创新设计分层变式训练与方法评注，如复合函数单调性“同增异减”法则解析、辅助角公式求最值步骤总结，培养学生逻辑推理与符号表达能力，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供有力支撑。

第十二课 三角函数的性质 1. 三角函数的单调性 1.1 三角函数的单调区间 1. 【解析】的减区间即是的单调增区间． 2. 【解析】，函数y=－2sinx的单调递增区间， 就是y=sinx的减区间，y=sinx的减区间是， 所以函数的单调递增区间是． 3.【解析】，它的减区间是的增区间． 由，，得，． 故得函数减区间为． 4.[kπ＋，kπ＋](k∈Z)【解析】y＝cos(－2x)＝cos(2x－)，由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)， 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以函数的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)． 5.(kπ,kπ+)（k∈Z）【解析】因为y=cos(x+)=－cos2x，由， 有，故原函数的增区间是． 6.D【解析】由图知，故周期T＝2＝，解得ω＝π， 根据余弦函数的图象知x＝是第一个平衡点， 故ω+φ＝，解得φ＝， 所以f(x)＝cos(πx+), 再令2kπ＜πx+＜2kπ+π，k∈Z，解得2k－＜x＜2k+, k∈Z， 所以f(x)的减区间为(2k－,2k+),k∈Z．故选D. 1.2 利用三角函数图象判断函数单调性 1．C【解析】作出函数的图象．观察可知，函数在上递增． 2. A【解析】作出函数的图象如图所示： 观察可知，函数在区间上是增函数，故选A. 1.3 利用单调性比较三角函数值的大小 1.C 【解析】由于 又，在上单调递增，故．故选C． 2.【解析】由a= sin59°＜sin60°=b;c=cos61°=sin29°＜sin59°= a,可得． 3.A【解析】因为，， 又，在上单调递增， 所以，即． 4.a<c<b【解析】a＝sin59°，c＝sin60°，b＝sin61°，所以a<c<b. 或a2＝1＋sin28°<1＋ = ，b2＝1＋sin32°>1＋ = ，c2＝，所以a<c<b. 1.4 根据周期的大小确定的范围 1. 【解析】由题意可知函数在取得最大值，就是，， 所以，只有时，满足. 2. 2【解析】设函数的周期为，则的最大值为，，．故． 3.【解析】（法1）由于函数在上的最小值是，最大值不是2， 所以且，所以． （法2）大于或等于的个周期区间，比的个周期区间小， 所以且所以． 1.5利用单调性确定的范围 1.【解析】函数在上是增函数[] . 2.B 【解析】由题意得：，，，两式相减可得，， 又在上单调，所以，解得． 当时，因为，所以在不单调． 当时，在上单调，符合题意，所以最大值为9． 2 利用复合函数单调性判断三角函数单调性 2.1 内增外增函数单调增 1. 【解析】由，解得． 设，为增函数，所以为增函数，所以， 故通过求交集，即得函数的单调递增区间为. 2.【解析】由得． 设，为增函数，所以为增函数， 所以，解得. 故通过求交集，即得函数的单调递增区间为． 3.【解析】设， 因为外层函数递增，故应该递增，故的单调递增区间为. 2.2内减外减函数单调增 1.【解析】设， 因为外层函数递减，故递减，所以在上单调递增. 2. 【解析】设 外层函数递减，故递减，所以在上单调递增. 3. 【解析】设，外层函数递减， 故递减，所以在上单调递增. 2.3 内外增减相异函数单调递减 1.【解析】设 ，外层函数递减， 故递增，所以在上单调递减. 2. 【解析】设，， 因为函数在单调递增， 在上单调递减. 故在上单调递减． 2.4外层函数单调区间可作为内层函数取值范围 【典例1】 1.【解析】设，， 函数在上单调递增，在上单调递减； 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增． 故单调递增区间为，，． 【典例2】 1.【解析】设， 函数在上递减，在上递增； 当时，函数在 上单调递减； 当时，函数在 上单调递减， 故单调递减区间为. 2.【解析】，令，由，得， 设与，因为在上单调递增， 必有在上为减函数. 所以，即，所以实数的取值范围是. 3.三角函数的奇偶性 3.1 三角函数的奇偶性的判断 1.A【解析】为奇函数，，故选A． 2.B【解析】．故是周期为的奇函数． 3.C【解析】 当时,,而是偶函数． 3.2三角函数定义域对奇偶性的影响 1.C 【解析】因为，定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数． 2. 非奇非偶函数 【解析】因为，故其定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数． 3.【解析】是定义域的一个组成部分，可见定义域不是关于原点对称．此函数是非奇非偶函数． 3.3 根据函数奇偶性定义求参数 1.【解析】因为是偶函数，所以，，即，． 又，所以． 2. D【解析】由已知得，即，所以故排除A、C； 又在上是减函数，只有D选项满足． 3.4 根据奇偶函数图象特征求参数的取值 1.B 【解析】由已知得，因为函数是偶函数， 所以，所以，所以，只有选项B满足． 2.【解析】由是奇函数，将代入，得， 所以，得，故. 3.A【解析】将函数的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数为 ． 又图象关于轴对称，故所得函数为偶函数，所以，即， 所以的最小值为，故选A． 3.5 奇函数最大值与最小值的对称性 1.2【解析】由题意，，且， 所以，即． 因为函数是奇函数, 其最大值和最小值恰好互为相反数， ，. 2.0 【解析】因为是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列有27项，, 若，则必有0. 3.2【解析】， 令，则为奇函数，其最大值与最小值之和为0，， 而，，所以． 4.【解析】由f(x)＝1+，知为奇函数，则 4．三角函数的周期性 4.1 利用周期的定义判断周期性 1.D 【解析】y=|sinx|、y=|cosx|、y=|tanx|的周期为π；y=|sinx|+|cosx|的周期为. 2.D【解析】y=sin2x·cos2x=sin4x，因此周期为. 4.2公式法求函数的周期性 【典例1】 1.【解析】y＝sin2x+cosx=sin2x+=+sin2x+= sin(2x+)+, 因此该函数的最小正周期为． 2.C 【解析】y＝5[sin(3x＋)＋cos(3x＋)]＝5sin(3x＋＋)(其中tan＝), 所以函数y＝sin(3x＋)＋3cos(3x＋)的最小正周期是T＝ 3.【解析】因为，所以函数的周期为． 4.【解析】 ，所以函数的最小正周期为． 【典例2】 1.【解析】的最小正周期为，的最小正周期为， 故函数的最小正周期为. 2. 【解析】，最小正周期为. 4.3图解法求函数周期 1.4π【解析】作出f(x)的图象，如图，由图知，f(x)的周期为4π. 2.【解析】函数的最小正周期是最小正周期的一半，所以 3.【解析】，因为的最小正周期为， 所以的最小正周期为 4.4定义域对周期的影响 1.【解析】因为每隔扣掉一个点，所以对任意,，存在常数，使得，所以的周期为. 2. 【解析】因为（）， 所以的最小正周期为（如图所示）. 3.【解析】因为函数的定义域为且， 在上，结合图象可得函数的最小正周期为． 4.5周期性在三角函数图象的性质中的应用 1.A【解析】函数为偶函数（），则， 又，所以；由的最小值为可知，函数图象两个最高点最近距离是， 从而T=，. 2.【解析】，又，所以， 由，得，由此即得增区间. 3.【解析】函数的图象与直线的交点间的最小距离是一个周期， 所以函数最小正周期为，由，，得 4.【解析】易得，所以，即， 又,所以，所以，故. 5.π 【解析】至少需用49个周期，所以49·T＝·T≤1，所以ω≥π，即得最小值． 6.【解析】只需保证区间[x1，x1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可， 且f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin(ωx＋)，则2010≥⇒ω≥. 5.三角函数的对称性 5.1 三角函数图象的对称轴方程 1. B【解析】，令，令得一条对称轴为，故选B. 2.C 【解析】，令，令得一条对称轴为，故选C. 3. A 【解析】对选项逐一验证即可. 4.【解析】因为， 所以由直线是图象的一条对称轴得， 所以，即，又，所以． 5.2 已知函数图象的对称轴求字母值的多角度思考 1. C 【解析】，． 的图象左移π个单位后所得函数， 又的图象关于直线对称，所以，，即，， 所以． 2.C 【解析】，所以其对称轴方程为，而是一条对称轴，所以， 故有，令，则.故选C. 3.【解析】由题设得对一切恒成立． 将代入上式，得，所以，解得. 4.【解析】由y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，即3×＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 得φ＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|＜，取k＝0，得φ＝． 5. 【解析】，，所以. 由直线的斜率，所以直线的倾斜角为. 5.3 三角函数图象的对称中心坐标 【典例1】 1.【解析】令，得， 所以对称中心的坐标为． 2.C【解析】　由题意可知，其对称中心为， 故，所以，又，取，得，故选C. 3.C【解析】由已知得f(x)＝sin，又函数的最小正周期为1， 故＝1，即a＝2π，故f(x)＝sin．将x＝－代入得函数值为0．故选C. 4.D【解析】，其对称中心是， 又图象关于原点对称，所以，所以，. 若，，则，其图象关于原点对称． 【典例2】 1.B【解析】，则， 所以，根据选项可知，当时，为奇函数. 2. 【解析】的图象向右平移个单位长度得到， 因为为其对称中心，所以，，则的最小值是． 3. ② ④【解析】因为，所以．又，即， 又，所以，故．故由图象的对称性的特点可知② ④正确． 5.4 函数在对称轴处有最值 1．C 【解析】（法1）　因为过原点， 所以当，即时，是增函数； 当，即时，是减函数． 由在上单调递增，在上单调递减知，， 所以.故选C. （法2）易知函数在时取得最大值1， 所以,选C 2. C【解析】依题意得函数的图象关于直线对称， 于是当时，函数取得最值，因此有±2＋＝－3，所以＝－5或＝－1. 3. B【解析】由于函数对任意x都有， 则函数的图象关于直线对称，则是函数的最大值或最小值，则＝－3或3. 4. f(x)=sin(2x+) 【解析】由题意对一切恒成立，说明函数关于对称且为最高点， 所以2×－φ=2kπ+,k∈Z,即φ=－2kπ－, k∈Z,故f(x)=sin(2x+). 5.－kπ－【解析】函数图象关于对称，所以2×－φ=kπ+,k∈Z,即φ=－kπ－, k∈Z 6.三角函数的最值（值域） 6.1 化为形式求最值 1.【解析】依题意，所以函数的值域是． 2. 【解析】． 因为，所以.故函数值域 3.【解析】，所以最小值为． 4.;【解析】因为, 所以的最大值是，最小值是． 5.【解析】化简得，，则，所以， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 6.【解析】． 因为，所以.故函数值域为． 6.2辅助角公式在求最值中的应用 1.【解析】，．所以. 2.1【解析】因为，又由 所以，所以．故函数的最大值与最小值的和为1. 3.【解析】因为(其中)， 所以当函数取得最大值时，所以，即， 故所求. 4.【解析】，其中，， 当，即时，取得最大值5， 所以，则． 6.3代数换元法化为二次函数最值 1.1【解析】因为，当时，． 2.【解析】，值域为． 3.【解析】令，则，展开同时除以化简得， == 4.【解析】.设,又，所以,则 .又当时,函数单调递增，所以,. 6.4 作为整体换元求最值 1.【解析】设t=sinx－cosx,则t∈[－，]，sinxcosx＝，故y=－t－4×=2(t－)－≤+2. 2.【解析】设，则, 故y==≥2． 3. 【解析】设，其中，则，于是y=16－12t+9×=(t－)+≥,当且仅当t＝时取等号． 4.【解析】设，其中，则 ，于是y=2t+t－1=(t+1)－2∈． 5. 【解析】设t=sinx－cosx,则t∈[－，]，sinxcosx＝， y=+t=－(t－1)+1∈[－－,1]． 6.【解析】设，则． 所以f(x)=∈[－,－1)∪(－1,]. 6.5 用三角函数有界性求最值 1.【解析】由已知得：，可化为：（其中）， 即，又，所以，即， 解得，故函数的值域为. 2.0 【解析】，所以最大值与最小值的和为0． 3.【解析】ysinx－cosx=－2ysin(x－φ)=－2y||≤1． 4. ，－1【解析】（法1）， 当时，得，当时，得． （法2），解得．， 5. 【解析】由已知得，即， 故（其中）， 所以，所以 故． 6.【解析】由已知得，即， （其中）， 所以，所以 解得. 6.6 有界性对函数的取值的限制 1.，0 【解析】因为sin2β = sinα－sin2α≥0，所以0≤sinα≤， 故S= sin2α +sinα－sin2α=－(sinα－1)+∈[0,]. 2.【解析】由已知得cosx=－cosy∈[－1,1]，所以－≤cosy≤1,故 =－cosy－1+ cosy=(cosy－)－∈[－,]. 故最大值与最小值分别为，－． 6.7*基本不等式在求最值中的应用 1.【解析】 令,则函数 因为函数在上也是单调减函数，所以 2.【解析】，当且仅当时等号成立．故． 3.【解析】　因为，所以 当且仅当时等号成立,即函数的最小值是4. 7. 三角代换思想的应用 7.1 三角换元求含根号的函数值域 【典例1】 1.【解析】， 设，，所以， 所以， 因为，故函数的值域为. 2.【解析】因即，故可令 所以 又因为，所以， 因此，所以, 故函数的值域为. 【典例2】 1.【解析】函数的定义域为，由,可设， 故． 2.【解析】 函数的定义域为,由, 可设，,故． 3.【解析】函数定义域为,由，可设，．又，其中，，所以, 故． 4.【解析】, 由，可设，, 故． 7.2 *运用用圆与椭圆的参数方程求最值 1.【解析】设，令，代入方程， ，， 即最大值为，最小值为，和为． 2.4+2【解析】设点，则，， 所以·=2cosθ+4cosθ+2sinθ+4sinθ=4+2sin(θ+)，故的最大值为4+2． 3. [－2，10]【解析】设，则. 4.【解析】3x+y=6可化成＋＝1，令x=cosα,y=sinα, 则2x+y=2cosα+sinα＝sin(α+φ)≤,其中锐角φ满足tanφ=. 7.3*三角代换在数列中的应用 1.【解析】（法1）由，可设（其中）， 则， 又，故的取值范围是. （法2）设，则，．令， 直线和圆弧（）相切与点时，截距最大， ； 直线和圆弧交于点，可得到， 因此的取值范围是． 2.【解析】由于数列{}是等差数列，则， 设，则 ． ( 14 ) 学科网（北京）股份有限公司 $第十课 三角函数的性质 ( 17 ) 学科网（北京）股份有限公司 1. 三角函数的单调性 1.1 三角函数的单调区间 1.2 利用三角函数图象判断函数单调性 1.3 利用单调性比较三角函数值的大小 1.4 根据周期的大小确定的范围 1.5利用单调性确定的范围 2 利用复合函数单调性判断三角函数单调性 2.1内增外增函数单调增 2.2内减外减函数单调增 2.3 内外增减相异函数单调递减 2.4外层函数单调区间可作为内层函数取值范围 3.三角函数的奇偶性 3.1三角函数的奇偶性的判断 3.2三角函数定义域对奇偶性的影响 3.3根据函数奇偶性定义求参数 3.4根据奇偶函数图象特征求参数的取值 3.5奇函数最大值与最小值的对称性 4．三角函数的周期性 4.1 利用周期的定义判断周期性 4.2公式法求函数的周期性 4.3图解法求函数周期 4.4定义域对周期的影响 4.5周期性在三角函数图象的性质中的应用 5.三角函数的对称性 5.1 三角函数图象的对称轴方程 5.2 已知图象的对称轴求字母值的多角度思考 5.3 三角函数图象的对称中心坐标 5.4 函数在对称轴处有最值 6.三角函数的最值（值域） 6.1化为形式求最值 6.2辅助角公式在求最值中的应用 6.3 代数换元法化为二次函数最值 6.4 作为整体换元求最值 6.5 用三角函数的有界性求最值 6.6 有界性对函数的取值的限制 6.7*基本不等式在求最值中的应用 7. 三角代换思想的应用 7.1 三角换元求含根号的函数值域 7.2* 运用圆与椭圆的参数方程求最值 7.3*三角代换在数列中的应用 1. 三角函数的单调性 1.1 三角函数的单调区间 【典例】已知函数，则在区间的单调增区间为________． 【解析】令，得， 故的单调增区间为， 故当，，，可得在区间上的单调增区间为，，. 【评注】求单调区间的方法，当时，由是增函数，故单调性与单调性相同，通过解不等式求出的取值范围，即该函数的递增区间；解不等式可得函数递减区间．当时，因是减函数，与前面解法得出相反的结果．也可先用诱导公式将的系数化为正，然后再利用求复合函数单调性的方法求解． 【变式1】已知函数，则的单调增区间为________． 【变式2】已知函数，则的单调递增区间是________． 【变式3】已知函数f(x)＝sin，则的单调减区间为__． 【变式4】已知函数，则的单调减区间为________． 【变式5】已知函数，则的单调增区间是________． 【变式6】函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为( ) (A) (B) (C)　　　　(D) 1.2 利用三角函数图象判断函数单调性 【典例】函数R的单调减区间是________． 【解析】（法1）画图象.如图，由图知函数的单调减区间Z． （法2）由已知得， 因为，所以， 又的周期为， 所以的周期为，在一个周期内，的递减区间， 故原函数的单调减区间Z． 【评注】用图象法求函数的单调性，准确画出函数的图象是关键．如本题，先判断出函数的周期，然后作函数区间的图象，再根据周期画函数的图象，便可直观地写出单调区间． 【变式1】函数的一个单调增区间是(　　) A. B． C. D． 【变式2】设函数，则（ ） A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 1.3 利用单调性比较三角函数值的大小 【典例】已知函数的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A） （B） （C）（D） 【解析】因为f(x)的最小正周期为，所以．又时，函数取得最小值， 因此函数关于对称，所以． 又2，,，且函数在上单减，且 所以，即．故选A 【评注】利用单调性比较三角函数值的大小，首先需要化为同名三角函数，然后通过诱导公式把自变量转化到同一单调区间内，即可比较函数值大小. 【变式1】设则（ ） A． B． C． D． 【变式2】设，，，则大小关系是_______． 【变式3】若，sin＋cos＝，sin＋cos＝，则（ ） A． a＜b B．a＞b C． ab＜1 D． ab＞2 【变式4】设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则的大小关系是_______． 1.4 根据周期的大小确定的范围 【典例】已知，，且在区间有最小值，无最大值，则＝_______． 【解析】由，且在区间有最小值，无最大值， 可知的图象关于对称， 故，所以，． 又由条件知，所以．故取，得． 【评注】在区间有最小值，无最大值，即在区间上先减后增（不单调），即的区间长度小于等于函数的半个周期 【变式1】若函数在上递增，在上递减，则=_______． 【变式2】已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值是_______． 【变式3】已知在上的最小值是，最大值不是2，则的范围_______． 1.5利用单调性确定的范围 【典例】已知，函数在上单调递减．则的取值范围是_______． 【解析】易知函数在每个闭区间上单调递减.依题意知，则需满足，即，对每个成立，故必有，得． 【评注】先求出的单调区间，即单调增，单调减，进而反解的范围，再根据是单调区间的子区间求解，这是通性通法． 【变式1】是正实数，函数在上是增函数，则的取值范围是_______． 【变式2】已知函数为的零点,为图象的对称轴,且在单调,则的最大值为（ ） A.11        B.9     C.7        D.5 2 利用复合函数单调性判断三角函数单调性 2.1 内增外增函数单调增 【典例】函数在上的单调性是_______. 【解析】设，外层函数在区间上单调增，内层函数在单调递增，所以在上的单调递增. 【评注】对于函数，外层函数单调增，内层函数单调递增，也就是内外层函数单调性相同，则原函数单调增．这就是复合函数单调性遵循的“同增为增”． 【变式1】函数的单调递增区间为_______． 【变式2】函数的单调递增区间为_______． 【变式3】函数的单调递增区间是_______. 2.2内减外减函数单调增 【典例】函数在上的单调性是_______. 【解析】设，外层函数在区间上单调减，内层函数在单调递减，所以在上单调递增. 【评注】对于函数，外层函数单调减，内层函数单调递减，也就是内外层函数单调性相同，则原函数单调增. 这就是复合函数单调性遵循的“同减为增”． 【变式1】函数的单调递增区间是_______. 【变式2】函数的单调递增区间是_______. 【变式3】函数的单调递增区间是_______. 2.3 内外增减相异函数单调递减 【典例】函数的单调递减区间为_______ 【解析】设，， 因为函数在单调递增，函数在上单调递减， 故的单调递减区间是． 【评注】对于函数，外层函数单调减，内层函数单调递增，则原函数单调减. 外层函数单调增，内层函数单调递减，则原函数单调减. 这就是复合函数的单调性遵循的“异减”． 【变式1】函数的单调递减区间是_______. 【变式2】函数的单调递减区间是_______． 2.4外层函数单调区间可作为内层函数取值范围 【典例1】函数在上单调性为_______． 【解析】设，函数在上单调递增，且，又函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，单调递增，又时，单调递减，所以在单调递减; 当时， 单调递增，又时，单调递增，所以在单调递增． 【评注】外层增内层增，外层的单调增区间作为内层值域，可得到函数的单调增区间；外层减内层减，外层的单调减区间作为内层值域，可得到函数的单调增区间． 【变式1】函数的单调递增区间为_______． 【典例2】函数的单调递增区间是_______. 【解析】设，函数在上递减，在上递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增． 故单调递增区间为，，． 【评注】对于函数，外层函数在和上分别是单调的，那么根据同增异减，内层函数满足或可得到相应的单调区间． 【变式1】函数的单调递减区间是 _______ 【变式2】若函数在区间上是减函数，则的取值范围是________． 3.三角函数的奇偶性 3.1 三角函数的奇偶性的判断 【典例】已知函数，，则是（ ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 【解析】因为=， 所以．又且，所以为偶函数，故选D． 【评注】函数是奇函数，余弦函数是偶函数. 【变式1】函数是（ ） A．最小正周期为的奇函数 B． 最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D． 最小正周期为的偶函数 【变式2】函数是 （ ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 【变式3】函数是上的偶函数,则的值是( ) A0 B C D 3.2三角函数定义域对奇偶性的影响 【典例】函数是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数 【解析】由得定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数．故选D． 【评注】判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，就是非奇非偶函数．若定义域关于原点对称，且对定义域内任意，如果,则为偶函数；如果,则为奇函数.如果定义域不关于原点对称，那么，必存在使，函数为非奇非偶函数． 【变式1】函数是（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【变式2】函数的奇偶性为________． 【变式3】判断函数的奇偶性． 3.3 根据函数奇偶性定义求参数 【典例】已知函数的最小正周期为． 则当为偶函数时的值为________． 【解析】由的最小正周期为，则，所以，故． 因为为偶函数，所以，即，展开整理得， 又上式对任意都成立，所以，又，所以． 【评注】奇函数满足，偶函数满足，均为恒等式，利用恒等可得关系式 再解三角方程即可. 是奇函数； 是偶函数，． 【变式1】若，是偶函数，则的值为________． 【变式2】使为奇函数，且在上是减函数的的一个值是（ ） A. B. C. D. 3.4 根据奇偶函数图象特征求参数的取值 【典例】若函数是偶函数，则＝________． 【解析】因为为偶函数，所以其图象关于轴对称， 故．令得， 又，取，． 【评注】偶函数图象关于轴对称，奇函数关于原点对称；对于三角函数来讲，若是奇函数则，若 是偶函数，则． 【变式1】已知为偶函数，则可以取的一个值为(　　) A． B． C．－ D．－ 【变式2】函数是奇函数，则等于________． 【变式3】若将函数 的图象向右平移个单位，得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 3.5 奇函数最大值与最小值的对称性 【典例】已知函数的最大值为，最小值为，则______. 【解析】,因为，则, 又为奇函数,所以,故. 【评注】奇函数的图象是关于原点对称，那么它们的最大值和最小值点肯定也是关于原点对称，也就是最大值和最小值互为相反数．因此该题型解题方向是设法将函数解析式进行分解，尽量分离出一个奇函数和常数或者具有单调性的部分． 【变式1】已知函数（x∈[-8π，8π]）的最大值为M，最小值为m，则= ___． 【变式2】函数，项数为27项的等差数列，，公差，若，则______． 【变式3】设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m=____ 【变式4】函数f(x)＝的最大值为M和最小值为m,试探求m和M的关系. 4．三角函数的周期性 4.1 利用周期的定义判断周期性 【典例】函数，,的最小正周期为_______. 【解析】因为每隔扣掉一个点， 所以对任意,，存在常数，使得， 所以的周期为. 【评注】对定义域内任意，存在非零常数，使，则为一个周期. 【变式1】下列函数中，以为周期的函数是（ ） A．y=|sinx| B．y=|cosx| C．y=|tanx| D．y=|sinx|+|cosx| 【变式2】下列函数中，以为周期的函数是（ ） A.y=sin2x+cos4x B.y=sin2x·cos4x C.y=sin2x+cos2x D.y=sin2x·cos2x 4.2公式法求函数的周期性 【典例1】函数的最小正周期是（） A． B． C． D． 【解析】，故最小正周期,故选B. 【评注】函数、的最小正周期是，函数的最小正周期是. 【变式1】函数的最小正周期为　　． 【变式2】函数y＝4sin(3x＋)＋3cos(3x＋)的最小正周期是( ) A. B. C. D. 【变式3】函数的最小正周期是_______. 【变式4】函数的最小正周期为_______. 【典例2】设函数，则的最小正周期（） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【解析】，当时，的最小正周期为；当时，的最小正周期为，的最小正周期为，所以的最小正期为，是图象的纵坐标增加了，横坐标不变，故周期与无关．故选B． 【评注】若函数和周期分别为，则对于函数（，为非零常数）的周期是函数和周期的最小公倍数. 【变式1】函数的最小正周期为_______. 【变式2】函数的最小正周期为_______. 4.3图解法求函数周期 【典例】下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(，π)上为减函数的是（） A.y=cos2x B.y＝2|sinx| C.y＝()cosx D.y=－cotx 【解析】A项：y=cos2x=，T=π，但在区间(，π)上为增函数，不合题意； B项：作其图象，由图象可得T=π且在区间(，π)上为减函数； C项：T=2π，不合题意； D项：y＝－cotx在区间(，π)上为增函数不合题意.故选B. 【评注】函数的图像是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数性质提供了直观性。画出函数图像函数的周期以及单调性一望而知。 【变式1】f(x)=cosx,x≠4kπ,k∈Z的最小正周期为． 【变式2】函数的最小正周期为_______. 【变式3】函数的最小正周期为_______. 4.4定义域对周期的影响 【典例】函数的最小正周期为_______. 【解析】，且，每个单位的区间上，函数图象要去掉一个点，函数图象是每两个单位，重复出现一次完全相同的图象，所以周期是． 【评注】与是不同的函数，因为定义域不同．周期函数在每个周期内的图象一定是一样的，包括杂点的去除． 【变式1】函数，,的最小正周期为_______. 【变式2】函数的最小正周期是_______. 【变式3】已知函数，则函数的最小正周期为_______. 4.5周期性在三角函数图象的性质中的应用 【典例】设函数，若对任意，都有成立，则的最小值为_______. 【解析】对任意，都有成立， 说明是函数的最小值，最低点横坐标是，是函数的最大值，最高点横坐标是， 求的最小值，即求最高点与最低点横坐标间最近距离， 也就是函数的半个最小正周期.故的最小值为2. 【评注】相邻两个最值的横坐标之差的绝对值为半个周期；相邻两个最大值或最小值的横坐标之差的绝对值为一个周期；相邻两个平衡点的横坐标之差的绝对值为半个周期. 【变式1】已知函数为偶函数（），其图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为，，的最小值为，则（　） 　A.,　　B., 　C.,　 D., 【变式2】已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是______. 【变式3】已知函数的图象与直线的交点间的最小距离是，则=______. 【变式4】函数()的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为,若,且，则的值是______. 【变式5】为了使函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是________． 【变式6】已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2010)成立，则ω的最小值为________． 5.三角函数的对称性 5.1 三角函数图象的对称轴方程 【典例】函数y＝cos图象的对称轴方程可能是(　　) A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 【解析】令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，令k＝0得一条对称轴为x＝－．故选A. 【评注】的对称轴；的对称轴；正切函数无对称轴. 【变式1】函数的图象的一条对称轴方程是（） A． B. C. D. 【变式2】函数的图象的一条对称轴方程是 （ ） A、 B、 C、 D、 【变式3】下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（ ） A． B． C． D． 【变式4】函数的图象关于直线对称，其中为常数，且，求的值． 5.2 已知函数图象的对称轴求字母值的多角度思考 【典例】若函数的图象关于直线对称，则_____． 【解析】（法1）（取特殊值）取点及其对称点代入原函数式可得. （法2）（借助导数）的一个零点为，解得. （法3），由题意， 所以，故 【评注】正弦函数在对称轴处取得最大值或最小值，因此函数在对称轴与图象的交点处的导数等于零. 【变式1】函数的图象左移π个单位后所得函数的图象关于直线对称，则 ( ) A.1 B. C. D. 【变式2】若是的图象的一条对称轴，则是（　　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3】如果函数的图象关于直线对称，那么实数的值为_______ 【变式4】函数的一条对称轴为，则＝________． 【变式5】设函数图象的一条对称轴方程为，则直线的倾斜角为________． 5.3 三角函数图象的对称中心坐标 【典例1】已知函数，其图象的对称中心是 【解析】由可得：， 而可看成是由向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到， 又为奇函数，所以其对称中心为, 故的对称中心． 【评注】的对称中心为；的对称中心为；正切函数的对称中心为.研究函数的中心对称，本质上是研究平移后对应函数的奇偶性． 【变式1】函数的对称中心的坐标为________________． 【变式2】已知曲线关于点成中心对称，若，则＝(　　) A. B. C. D. 【变式3】若函数f(x)＝sinax＋cosax(a>0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为(　　) A． B．(0,0) C． D． 【变式4】函数的图象关于原点对称的充要条件是( ) A．， B．， C．， D．， 【典例2】如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为． 【解析】因为函数的图象关于点中心对称， 所以，即，易得. 【评注】函数的图象关于点中心对称，则，则． 【变式1】知函数为奇函数，则的一个取值为（　） A．0　　　　　 B．　　　　C．　　　　　 D． 【变式2】若把函数的图象向右平移m(m＞0)个单位长度，使点为其对称中心，则m的最小值是． 【变式3】设函数，的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则下面四个结论：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数.其中所有正确结论的编号为__________． 5.4 函数在对称轴处有最值 【典例】已知，，直线和是函数图象的两条相邻的对称轴，则=（） A． B． C． D． 【解析】由题意可知函数的周期，故，所以，令，将代入可得，因为，所以.故选A. 【评注】在定义域R内,函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在对称轴处取得最大值或者最小值． 【变式1】若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则＝(　　) A．3　　　 B．2 C．　　　 D． 【变式2】若对任意实数都有，且，则实数的值等于(　　) A．－1 B．±5 C．－5或－1 D．5或1 【变式3】若函数对任意都有，则＝(　　) A．3或0 B．－3或3 C．0 D．－3或0 【变式4】设，若对一切恒成立，则f(x)= _______． 【变式5】设，若对一切恒成立，则φ = _______． 6.三角函数的最值（值域） 6.1 化为形式求最值 【典例】已知函数，求在区间上的最小值． 【解析】，因为，所以．，故 当，即时，取得最小值为． 【评注】求三角函数在给定区间上的值域或最值，一般需要先根据这个区间，将复角（如)的整体范围求出来，再利用最基本的三角函数（如）的图象确定其值域，也就是原函数的值域．对型函数,降幂后用辅助角公式可化为. 【变式1】已知，则函数在区间上的值域为_______ 【变式2】函数的值域为_______ 【变式3】函数的最小值是_________． 【变式4】函数的最大值和最小值分别为． 【变式5】已知函数，，求在区间上的最大值和最小值． 【变式6】求函数的值域 6.2辅助角公式在求最值中的应用 【典例】设当时，函数取得最大值，则＝_______ 【解析】由f(x)＝sin x－2cos x＝（sin x－cos x）＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝， 当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，即θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)， 所以cos θ＝－sin φ＝－. 【评注】型函数,用辅助角公式化为：， 其中. 特别的，;，等. 【变式1】函数的最大值为_______ 【变式2】当时，函数的最大值与最小值的和为_______ 【变式3】当函数取得最大值时，的值是_______ 【变式4】当时，函数取得最大值，则=_______ 6.3代数换元法化为二次函数最值 【典例】函数的最大值为． 【解析】设，，因为， 所以当时函数取得最大值，最大值为． 【评注】型函数,设换元转化为二次函数的最值问题来求解，但要注意新元的范围，即新函数的定义域． 【变式1】函数的最大值为． 【变式2】已知函数，则的值域为　　　　　． 【变式3】若，则函数的最大值为_______ 【变式4】求函数在上的最值. 6.4 作为整体换元求最值 【典例】已知，则函数的值域是_________． 【解析】设，其中，则， 于是，其中． 函数在单调减，在上单调增． 当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值． 所以函数的值域为． 【评注】由于只需要平方便可得到，那么就可以直接把当做整体，进行设元，便可以用新元来代替，从而转化为二次函数、分式函数等基本函数的最值问题．型函数, 设化为求在的最值． 【变式1】函数的最大值为_______ 【变式2】已知是锐角，则的取值范围为_______ 【变式3】已知是锐角，则函数的最小值为_______ 【变式4】函数的值域是_______ 【变式5】函数()的值域为_______ 【变式6】求函数的最大值和最小值． 6.5 用三角函数有界性求最值 【典例】求函数的最小值 【解析】原式可化为,引入辅助角得 所以,由,得或． 又,所以,且,故．所以,故． 【评注】通过反解sinx，然后再用正弦函数的有界性解不等式求值域，这种解法最适用的条件：分母恒不为零。但是对于上面定义域不是R的问题，也是可以求最值的，不过要注意对定义域的考虑. 【变式1】函数的值域是_______ 【变式2】已知函数，则的最大值与最小值的和为_______ 【变式3】已知函数，则的值域为_______ 【变式4】函数的最大值是_________，最小值是_________ 【变式5】已知函数，求的值域． 【变式6】求函数的值域． 6.6 有界性对函数的取值的限制 【典例】已知，设，则实数的取值范围是_______ 【解析】由，得．由，， 得．， 当时，；当时，=．故实数的取值范围是． 【评注】类似如的条件，我们在消掉而保留之后，往往直接利用的范围求最值，可能会忽略对取值的限制． 【变式1】已知3sin2α + 2sin2β = 2sinα，则S = sin2α + sin2β的最大值和最小值分别为_______ 【变式2】已知，，求的最大值与最小值分别为多少． 6.7*基本不等式在求最值中的应用 【典例】已知，，则的最小值为_______ 【解析】 ≥3(3+2)，当且仅当即cosx=siny时取等号. 【评注】利用基本不等式求最值，必须满足取等条件，例如型三角函数求最值，当，时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解． 【变式1*】已知函数,求函数的最小值 【变式2*】已知，求函数的最大值 【变式3*】当时,求函数的最小值 7. 三角代换思想的应用 7.1 三角换元求含根号的函数值域 【典例1】求函数的值域. 【解析】设，则. 所以，故所求函数值域为. 【评注】在求函数值域时，运用三角换元法可化繁为简．如本题，由函数定义域知知，故可设或，的范围的限定要以不影响的取值，运算方便为原则. 【变式1】已知函数，则该函数的的值域是_______ 【变式2】已知函数，则该函数的值域_______ 【典例2】已知，求函数的最大值 【解析】=, 因为,可设，． 所以，的最大值是4. 【评注】若能构造出的形式，则可设或，其中的范围满足题中要求，运算方便即可.然后利用辅助角公式求解． 【变式1*】已知函数，则该函数的值域为_______ 【变式2*】已知函数，则该函数的值域是_______ 【变式3*】已知函数，则该函数的的值域是_______ 【变式4*】已知函数，则该函数的的值域是_______ 7.2 *运用圆与椭圆的参数方程求最值 【典例】若为实数，且，则的最小值为_______ 【解析】设，利用三角换元令， 代入方程得， 由辅助角公式易得， 得，当且仅当时取“=”． 【评注】观察待求式子，将看成一个整体，若选择三角换元，则可将问题转化为关于和的等量关系，再结合正弦函数的有界性导出不等关系（起到了“减元”的效果），求得最小值． 【变式1】设，求的最大值与最小值的和为． 【变式2*】在平面直角坐标系xOy中，已知圆(x1)2+(y1)2＝4，C为圆心，点P为圆上任意一点，则的最大值为_______ 【变式3】已知是圆上的点，则的值域为_______ 【变式4】已知实数满足3x+y=6，则2x+y的最大值为_______ 7.3*三角代换在数列中的应用 【典例】已知等差数列{}满足，则的最大值是_______ 【解析】（法1）在等差数列里，则. 由，可设 那么（其中）， 所以的最大值是50. （法2）设，则，又， 可以看成，直线与圆相切时， 可得，而直线要与圆有公共点，故，所以的最大值是50． 【评注】可以看成圆的方程，也符合同角的平方关系，因此可以联想到三角换元；也可以联想到线性规划． 【变式1*】已知各项均为非负数的等差数列{}满足，则的取值范是_______ 【变式2*】已知等差数列{}满足，则的取值范围是_______ $