第19讲 正切函数的图像与性质（8个核心题型归纳）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦正切函数图像与性质高考核心考点，涵盖定义域、值域与最值、周期性等八大题型，按基础到综合逻辑架构知识，通过核心知识梳理、方法技巧总结、经典例题精讲、分层巩固练习等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破解题难点。 资料采用题型化分层教学策略，如定义域题型通过“列不等式-解范围-联立条件-写集合”四步法培养数学思维，周期性题型结合真题对比正弦余弦周期公式强化应用意识。设置课后过关检测分单选、多选、填空，配合即时反馈，保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第19讲 正切函数的图像与性质 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 正切函数的定义域 核心知识 定义域 复合函数 需满足 分式根式对数等附加条件需要一并考虑 方法技巧 1.列出不等式 2.解出的取值范围 3.遇到分母不为零被开方数非负真数大于零等条件联立取交集 4.最终结果写成集合或者区间形式 【经典例题1】（25-26高一下·江西鹰潭·期中）函数的定义域为______． 【答案】 【分析】由题可得，再根据正切函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意，得， 所以， 解得， 故所求函数的定义域为． 故答案为： 【经典例题2】（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为______________ 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法结合正切函数性质进行求解即可. 【详解】由，得，    则，即． 所以函数的定义域为． 故答案为：. 【巩固练习1】（24-25高一上·湖北·期末）已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别考虑和对取值的要求，取它们的交集得到函数的定义域. 【详解】已知函数的定义域为，对于，则有. 解得. 因为函数的定义域为，所以对于，有. 正切函数的周期是，在上单调递增，且，. 所以，. 解不等式，可得，即。； 解不等式，可得. 当时，；当时，. 综合前面两步，取与和的公共部分. 与的公共部分为；与的公共部分为. 所以函数的定义域为. 故选：B. 【巩固练习2】（25-26高一下·贵州遵义·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以的定义域为． 【巩固练习3】（25-26高一下·上海·期中）函数的定义域为____________. 【答案】 【详解】由可得. 【题型2】 正切函数的值域与最值 核心知识 在时值域为 给定区间时先求内层的取值范围 再结合正切图像判断输出范围 正切函数不存在最大值与最小值 方法技巧 1.换元令求出所在区间 2.判断区间端点是否等于即是否存在渐近线 3.借助正切函数在单调区间上递增的性质求值域 4.若区间跨过渐近线函数值域为全体实数 【经典例题1】（25-26高一下·上海·期中）已知函数,，则函数的最小值为___________________ 【答案】 【分析】利用正切函数的单调性可得结果. 【详解】因为函数在上为增函数，故该函数的最小值为. 【经典例题2】已知，求函数的最小值． 【答案】4 【分析】利用正余弦齐次式法变形函数，再换元并借助二次函数求出最小值. 【详解】当时，，设，则， 则，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为4. 【巩固练习1】函数，的值域为__________． 【答案】 【分析】首先确定的范围，结合二次函数值域的求法可求得结果. 【详解】当时，， ， 当时，；当时，； ，的值域为. 故答案为：. 【巩固练习2】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知函数在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的单调性分析的最值位置，结合区间端点值，列出方程求出参数，，即可求出. 【详解】解：由在上单调递增，则单调递减， 所以在同一单调区间上也单调递减， 由在区间上单调递减，则， 所以，， 解得，，又，所以，因此. 【巩固练习3】（25-26高一上·山东·阶段检测）若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题设知：，根据正切函数的性质求解最值，即可求得a的取值范围. 【详解】因为命题“，”为真命题，所以， 因为，所以，所以， 所以，即实数a的取值范围为. 故答案为：. 【题型3】 正切函数的周期性 核心知识 的最小正周期 最小正周期公式 注意正弦余弦周期是正切周期为不可混淆 方法技巧 1.直接套用周期公式 2.含绝对值最小正周期变为 3.多个正切函数相加时周期取各个周期的最小公倍数 4.区分最小正周期与全部周期 【经典例题1】（25-26高一下·上海·期中）若函数（其中常数）的最小正周期为3，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据正切型函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】由题意可知：，解得：. 【经典例题2】（辽宁五校联考2025-2026学年高一下学期期末数学试卷）已知函数的最小正周期为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正切函数性质得函数的最小正周期为，得到. 【巩固练习1】（25-26高一下·辽宁·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得的系数， 代入周期公式得： ，即该函数的最小正周期为. 【巩固练习2】（25-26高一下·北京·期末）下列函数中最小正周期为的有（   ）个 ①；②；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】对，其最小正周期为，故①满足条件； 因为 ，其最小正周期为，故②满足条件. 对③，因为，所以不是函数的周期，故③不满足条件. 综上，函数中最小正周期为的有①②，共2个. 【巩固练习3】（25-26高一下·广西钦州·期末）已知函数（）的最小正周期为，则__________. 【答案】 【分析】根据正切函数的周期性求得，再求的值. 【详解】因为函数（）的最小正周期为， 所以，解得， 即， 则. 【题型4】 正切函数的单调性 核心知识 的单调递增区间为 正切函数没有递减区间 复合函数 方法技巧 1.时先利用诱导公式把化为正数再求解单调区间 2.列出不等式 3.解出范围即为递增区间 4.求指定区间上的单调子区间取解集和给定区间的交集 5.区间必须写成开区间不能包含渐近线位置 【经典例题1】（2026·河北沧州·一模）已知函数图象的一个对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的范围可知函数的图象是由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到的，从而可得，根据正切函数的对称中心，求出的值即可得答案. 【详解】因为，所以， 所以函数的图象是由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到的， 又因为函数的对称中心为， 由题意可得， 令， 得， 将代入得，， 从而得， 所以. 【经典例题2】函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，解得， 函数的对称中心为 【巩固练习1】（25-26高一下·河北张家口·期末）（多选）已知函数的最小正周期为，则下列选项中是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先用正切周期公式求出，再利用正切函数对称中心通式解出的参数表达式，将各选项横坐标代入验证是否存在整数，存在即为对称中心． 【详解】由函数的最小正周期为， 得，解得， 所以， 由，得， 对于A，当时，，即是的一个对称中心，A正确； 对于B，当时，，即是的一个对称中心，B正确； 对于C，令，得，C错误； 对于D，当时，，即是的一个对称中心，D正确． 【巩固练习2】（25-26高一下·河南南阳·期末）已知点同时是函数与的对称中心，则的最小正整数值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据正切函数和余弦函数的对称中心列出等式． 【详解】由正切函数的对称中心为，则，即， 故的对称中心为； 由余弦函数的对称中心为，则，即， 故的对称中心为； 因为点同时是函数与的对称中心， 故，解得； 故，解得； 故的最小正整数为5． 【巩固练习3】（25-26高一下·河南新乡·期末）函数的图象的一个对称中心的坐标是________． 【答案】（答案不唯一，符合的点均对） 【详解】令，解得，故的对称中心为. 【题型5】 正切函数的对称性 核心知识 无对称轴 对称中心坐标 对称中心满足 方法技巧 1.记住正切不存在对称轴不要和正弦余弦混淆 2.令解出横坐标 3.对称中心纵坐标恒为0 4.已知图像过对称中心时可代入等式求参数 【经典例题1】（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由正切函数的单调递增区间为，求得函数的单调递增区间为；再根据函数在上单调，得，从而得到不等式组，确定的取值，结合的条件，确定的最大值. 【详解】由正切函数的单调递增区间为； 令，解得； 函数的单调递增区间为. 由()在上单调，得； ，解得； ， ，解得； ，； ，得； 的最大值为. 【经典例题2】（25-26高一下·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】分析正切函数的单调区间，并根据恒成立问题求解. 【详解】令，解得：，所以， 则，即：，由题意得：， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 【巩固练习1】（25-26高一下·河南南阳·期中）若对任意，都有函数在上单调，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据给定条件可得在上单调，再按的正负情况分类，利用正切函数单调区间列式求解. 【详解】由对任意，都有函数在上单调， 得函数在上单调， 当时，是常数函数，不单调，不符合题意； 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 所以的取值范围为. 【巩固练习2】（2026·河北邯郸·二模）已知函数图象的相邻两个对称中心的距离为，且函数在上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知性质得，再由区间单调性有，即可得. 【详解】由题设，则，即， 当，则， 由，则，且， 又函数在上单调递增， 所以，可得，故的最大值为. 【巩固练习3】（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）若函数（）图象的两个对称中心之间距离的最小值为，则的单调递增区间为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】利用正切函数的对称中心为，即每隔半个周期就有一个对称中心. 【详解】因为函数图象的两个对称中心之间距离的最小值为， 设的最小正周期为T，则，得. 由，， 得 ，， 所以的单调递增区间为,（）. 【题型6】 正切函数的奇偶性 核心知识 奇函数定义图像关于原点对称 偶函数定义图像关于轴对称 是奇函数 为奇函数的充要条件是 定义域必须关于原点对称 方法技巧 1.第一步先检查定义域是否关于原点对称不对称直接判定非奇非偶 2.代入奇偶函数定义验证或者利用相位条件判断 3.求出参数后带回原式检验 4.注意正切函数几乎不会出现偶函数 【经典例题1】（2026·湖北·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，根据函数图象关于原点对称的性质可列方程，得，再结合即可得解. 【详解】的图象向左平移个单位长度， 可得，若图象关于原点对称， 则满足，得， 因为，故当时，取得最小值， 故选：C. 【经典例题2】（25-26高一下·河北沧州·开学考试）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是 _____________ ． 【答案】1 【详解】将向左平移个单位， 得：， 又因为为奇函数，所以， 整理得： ， 又因为，所以. 【巩固练习1】（25-26高三上·江西·阶段检测）将函数图象向左平移个单位后得到函数的图象.若为奇函数，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平移变换得到，然后根据正切函数的性质得，结合的范围即可求解. 【详解】依题意，函数的最小正周期为 由为奇函数，可得,即， 因为，所以当时，. 故选：D. 【巩固练习2】（24-25高一下·辽宁大连·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是_____. 【答案】1 【分析】求出平移后的解析式，根据函数的奇偶性得到方程，求出，进而得到最小值. 【详解】的图象向左平移个单位， 得到函数， 因为为奇函数，所以，解得， 又，故当时，取得最小值，最小值为1. 故答案为：1 【巩固练习3】（2025·江苏盐城·模拟预测）若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出，从而表示出的解析式，再根据其奇偶性求出． 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以， 所以，则，又为奇函数且， 所以，所以， 所以的最小值为． 故选：B． 【题型7】 由图像求正切函数的解析式 核心知识 解析式通用形式 由周期求 为初相 方法技巧 1.从两条相邻渐近线之间距离读出周期 2.利用解出 3.带入图像上已知点坐标求解 4.利用渐近线方程辅助校验结果 【经典例题1】（2026·湖南常德·一模）（多选）若函数 的部分图象如右图所示，且，则（    ） A． B． 是 的一个对称中心 C． D． 【答案】ABD 【分析】由题得得即可判断A，再由定义域得，进而判断B，由结合诱导公式即可求得进而判断D，计算结合诱导公式即可判断C. 【详解】由题意得：，故A正确； 由，所以，又， 当时，， 所以，所以， 所以 是 的一个对称中心，故B正确； 又， 所以，故D正确； 所以， 所以， 又， 所以，故C错误. 【经典例题2】（2026·湖北黄冈·三模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的图象，求得，结合，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得，解得， 又由，即，可得， 因为，可得，所以， 又因为，即，可得. 【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数，的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，，所以，由 . 图象过点，所以， 所以，. 又因为，所以，. 图象过点，所以 . 所以. 所以. 【巩固练习2】（25-26高一下·四川南充·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，点在的图象上．下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．的一个对称中心是 C．在区间单调递增 D．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】ABD 【分析】根据图象上的点求出函数的解析式，结合正切型函数的周期公式可判断A选项，根据定义域包含无定义点可判断B选项，利用正切型函数的对称性可判断C选项，利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】选项A：由题意可得，因为，所以， 所以 ，又因为 ， 所以，解得， 由图象可知函数的最小正周期满足 即， 所以，又，结合可得， 所以函数的最小正周期，A正确； 选项B：由A选项的分析可知 ，令 ， 解得，取即得， 所以是的一个对称中心，B正确； 选项C：当 时， ，因为 ， 而无定义，所以在区间不单调，C错误； 选项D：将由的图象向左平移个单位长度得到 ， 所以的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，D正确. 【巩固练习3】（2026·浙江·二模）（多选）已知函数在一个周期内的图象如图所示，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．， D．的图象关于点对称 【答案】BCD 【详解】由题意得，即， 因为，所以，A错误； 因为，所以，即， 解得，因为，所以，B正确； 因为的最小正周期为，所以，又 即，解得，，C正确； 由上可得，令， 得，所以的对称中心为， 取即得的图象关于点对称，D正确. 【题型8】 正切函数的综合性质应用 核心知识 综合定义域值域周期单调性对称性零点等多重条件求解参数范围或者解不等式 零点条件 方法技巧 1.将每一条题干条件翻译成等式或者不等式 2.换元简化问题 3.画出正切简易图像辅助分析 4.多个条件时求出各个参数范围后取交集 5.时刻注意渐近线位置避开无定义点 【经典例题1】（2026·浙江嘉兴·二模）（多选）已知函数，关于x的不等式在区间内的整数解的个数为n，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则n的最小值为338 C．若存在实数a，使，则t的最小值为 D．若存在实数t，使，则a的最大值为 【答案】ACD 【分析】利用正切函数的周期为6及区间包含337个完整周期，结合图像分析不同参数下每个周期内整数解的分布规律，从而判断各选项的正确性. 【详解】画出函数的图象如图所示，    因为的周期，所以区间含区间和337个完整的周期， 对于A：若，则原式为， 即求不等式的整数解，只需找直线和之间横坐标为整数的点， 由图可知：3，9，15，…均满足，共有338个，故A正确： 对于B：的整数解个数， 即直线和之间横坐标为整数的点的个数． 取，此时当时，不等式无解，则，故B错误； 对于C：要使，则区间和337个周期内各2个． 要使t最小，只需内包含1和2，因此t的最小值为，故C正确； 对于D：要使，则区间和337个周期内各2个． 要使a最大，只需内包含2和3，因此a的最大值为，故D正确． 【经典例题2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知，若不等式在中的整数解有m个，则m的所有可能值构成的集合为________． 【答案】 【分析】令，代入不等式并求得，令函数，求得函数的周期及定义域，作出函数的部分图象，讨论的取值结合函数图象得到不等式的整数解的值，然后得到结果. 【详解】令，则不等式化简为，则， 由的周期，且，则， ∴函数的定义域为，函数大致图象如下， 在中的可能值讨论如下： 若，； 若，则内整数解为1，所以； 若，则内整数解为，所以； 若，则内整数解为3，所以； 若，则内整数解为，所以； 若，则内整数解为1，所以； 若，. 综上：m的所有可能值的集合为. 【巩固练习1】已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为8，则的值为____________ 【答案】/ 【分析】由题意，阴影部分的面积等于矩形的面积，利用面积即可求得参数值. 【详解】如图，结合函数图象的对称性，阴影部分的面积等于矩形的面积， 对于函数，定义域为， 令，则，即， 由图知，过点C垂直于x轴的直线为，又，则， 则，解得. 故答案为：. 【巩固练习2】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象可由向右平移个单位长度得到 【答案】AC 【分析】利用正切函数的图象与性质结合三角函数图象变换一一判定选项即可. 【详解】由图象可知的最小正周期为，所以，即， 所以A正确，B错误； 对于C项：结合图象可知时，， 即，结合已知限定条件知，即， 所以 ， 所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D项，易知， 其向右平移个单位长度得到，故D错误. 故选：AC 【巩固练习3】（2025·辽宁·模拟预测）（多选）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A． B．若直线是图象的一条渐近线，则 C．不存在，使为图象的一个对称中心 D．若在区间内单调，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】利用正切型函数的周期公式可判断A选项；利用正切函数的渐近线方程可判断B选项；利用正切型函数的对称性求出的表达式，结合赋值法可判断C选项；利用正切型函数的单调性可求出的取值范围，结合可得出的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数的最小正周期为，故，A对； 对于B选项，由A选项可得， 令，，解得，， 因为，所以，B对； 对于C选项，若点为图象的对称中心，则，， 即，，当时，，C错； 对于D选项，若在区间内单调， 由可得， 所以，， 则，，即，， 记，，则， 又所以的取值范围，D对. 故选：ABD. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）若将函数图象上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到的图象，则的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图像变换得，使用整体代入法结合正切函数图像性质即可求得的单调递增区间. 【详解】由已知得，， 令，，解得. 所以的单调递增区间为. 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切函数单调性、复合函数单调性可列不等式即可求解. 【详解】当时，，由在区间上单调递增， 得，解得. 故选：C. 3．（2024·广东广州·三模）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分0在定义域内和0不在定义域内两种情况进行讨论即可求得答案. 【详解】若0在定义域内，由时，得，； 若0不在定义域内，由时，无意义，得． 综上，． 故选：C． 4．（2026·云南·三模）若函数的相邻两对称中心的距离为，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】因为相邻两对称中心的距离为， 则函数的最小正周期满足， 又由，解得. 5．（2026·四川成都·三模）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合正切型函数的性质，求得，进而得到答案. 【详解】由点是函数图象的一个对称中心，可得， 解得，当时，取得最小正值为． 6．（2026·云南昆明·模拟预测）函数与的图象在区间内的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】联立方程直接求解即可. 【详解】令得，所以或， 解得或，即， 又，所以， 所以函数与的图象在区间上有3个交点：. 7．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）下列函数既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的单调性和奇偶性对各个选项进行判断即可求解. 【详解】对于A，由，可得，所以函数的定义域为. 因为，所以不是奇函数，A不满足要求. 对于B，函数的定义域为，且，则是奇函数， 当时，，所以函数在上单调递增，B满足要求； 对于C，函数的定义域为， 且，则函数不是奇函数，C不满足要求； 对于D，函数的定义域为，且，所以函数为奇函数， 当时，，所以函数在上不单调，D不满足要求. 8．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得函数周期，即可得，再利用可求出，结合函数对称性即可得解. 【详解】由题可得，，又，所以， 所以，则， 则，又，则，故， 令，解得， 结合选项可得当时，， 故是图象的一个对称中心，其余选项皆不符合. 9．（2026·河北·模拟预测）若直线是函数的图象的一条对称轴，则函数的图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正弦函数对称轴的性质求出参数φ的值，再根据正切函数对称中心的性质推导结果. 【详解】正弦函数的图象的对称轴满足， 已知是的一条对称轴，代入可得： ， 整理得， 又，取，得， 正切函数的图象的对称中心满足， 令， 解得 因此的图象的对称中心为. 10．（2026·四川泸州·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则（ ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】先根据正切函数图像上零点与相邻渐近线的水平距离，利用公式求出，再结合图像过点与零点，利用正切函数零点满足，结合确定值，最后将和函数值及代入解析式，求得即可. 【详解】由图知，得到， 又由图知， 由，得到， 又，所以即， 由，得，所以. 11．（2026·山东泰安·二模）已知函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图： 由正切函数性质可知：①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积， 由图可得，又面积为，所以． 设函数的最小正周期为T，则． 由题意得，解得， 即，又，解得． 二、多选题 12．（23-24高一上·广东肇庆·期末）关于函数，下列说法中正确的有（    ） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，由正切函数的性质，可得为非奇非偶函数，所以A错误； B中，令，可得， 即为函数的单调递增区间，令，可得，所以B正确； C中，令，可得， 令，可得，故为其图象的一个对称中心，所以C正确； D中，函数的最小正周期为，所以D正确. 故选：BCD. 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知直线与函数的图象中相邻两支曲线的交点的横坐标分别为，且，则（    ） A． B．函数的定义域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D．函数与函数的图象在上的交点个数为4 【答案】BCD 【分析】利用函数最小正周期求出判断选项A；利用解析式求正切型函数的定义域判断选项B；整体代入法求函数的对称中心判断选项C；作出函数图象得交点个数判断选项D． 【详解】由题意可知，函数最小正周期， 则有，故，A项错误； 因为，所以， 所以，B项正确； 令，解得， 则函数图象的对称中心为， 令，故是图象的一个对称中心，故C项正确； 画出函数与函数的图象， 易知两函数图象在上共有4个交点，故D项正确． 14．（2025·广东肇庆·一模）已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域为 C．在上单调递增 D．若，且，则a的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用正切函数的周期性求得判断A；利用正切函数的定义域求解判断B；利用正切函数的单调性求解判断C；利用正切函数的性质解不等式判断D. 【详解】∵，∴，∴，故A错误； ∵，∴， ∴的定义域为，故B正确； 由，解得， ∴的单调增区间为，， 时，单调增区间为，显然 ，故C正确； 由得 ，， ∴，， ∵，∴时，a取最大值为，故D正确. 故选：BCD 15．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．的单调递增区间为， D．图象的对称中心为， 【答案】BC 【分析】根据正切函数的周期公式得即可判断A；再直接代入计算即可判断B；利用正切函数的单调性和对称性即可判断CD. 【详解】对A，由题意得，则，则，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，令，解得， 则其单调递增区间为，，故C正确； 对D，由，得到， 所以的对称中心为，故选项D错误； 故选：BC. 16．（2026·广西崇左·二模）已知函数，下列命题正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于点对称 D．在，上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据正切函数的性质判断． 【详解】对AB，的定义域为，值域为，A正确，B错误. 对C，，所以的图象关于点对称，C正确. 对D，当时，，函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以在上单调递减.当时，，函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以在上单调递减，D正确. 17．（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．函数图象的对称中心的坐标是， D．函数的单调递增区间是， 【答案】ABD 【分析】根据正切函数的图象与性质求出解析式依次判断选项即可． 【详解】由图可知的最小正周期，由，又，所以， 因为，，所以，又，解得，A正确，B正确； 由上面的推导可知，令，解得， 所以图象的对称中心的坐标是，，C错误； 又函数 ， 所以函数的单调递增区间是，，D正确． 18．（25-26高一下·广东汕尾·期中）已知函数的其中一个单调递增区间为，则下列正确的是（    ） A． B．点是函数的一个对称中心 C．不等式的解集为 D．令，则方程在上有个解，且 【答案】ABD 【分析】根据单调递增区间求出最小正周期，再利用周期公式求出，判断选项A；利用正切函数对称中心的性质判断选项B；利用正切函数的单调性判断选项C；根据的性质和图像，结合已知条件，判断选项D． 【详解】选项A：函数其中一个单调递增区间为， 该函数的最小正周期，依题意，，则，故A正确； 选项B：由题知，则，所以， 因正切函数的对称中心满足，解得， 当时，，即是对称中心，故B正确； 选项C：，即，， 解得，故C错误； 选项D：因函数和的图象均关于对称， 如图，两函数图象共个交点且两两关于对称，   ． 三、填空题 19．（2023·四川达州·一模）函数，且，则的值为______. 【答案】0 【分析】构造，得到为奇函数，从而根据得到，由求出. 【详解】令， 定义域为或且，关于原点对称， 则， 故为奇函数， 又，故， 解得. 故答案为：0 20．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）函数的定义域是________． （2）函数的值域为________． 【答案】 【分析】（1）由被开方数非负建立不等式，再结合正切函数图象可解； （2）令，换元法转化为求二次函数值域即可. 【详解】（1）要使有意义， 则，解得， 解得. 故函数的定义域是； （2）设 ，则， 当时，. 所以的值域是． 故答案为：；. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第19讲 正切函数的图像与性质 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 正切函数的定义域 核心知识 定义域 复合函数 需满足 分式根式对数等附加条件需要一并考虑 方法技巧 1.列出不等式 2.解出的取值范围 3.遇到分母不为零被开方数非负真数大于零等条件联立取交集 4.最终结果写成集合或者区间形式 【经典例题1】（25-26高一下·江西鹰潭·期中）函数的定义域为______． 【经典例题2】（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为______________ 【巩固练习1】（24-25高一上·湖北·期末）已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一下·贵州遵义·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一下·上海·期中）函数的定义域为____________. 【题型2】 正切函数的值域与最值 核心知识 在时值域为 给定区间时先求内层的取值范围 再结合正切图像判断输出范围 正切函数不存在最大值与最小值 方法技巧 1.换元令求出所在区间 2.判断区间端点是否等于即是否存在渐近线 3.借助正切函数在单调区间上递增的性质求值域 4.若区间跨过渐近线函数值域为全体实数 【经典例题1】（25-26高一下·上海·期中）已知函数,，则函数的最小值为___________________ 【经典例题2】已知，求函数的最小值． 【巩固练习1】函数，的值域为__________． 【巩固练习2】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知函数在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·山东·阶段检测）若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为______. 【题型3】 正切函数的周期性 核心知识 的最小正周期 最小正周期公式 注意正弦余弦周期是正切周期为不可混淆 方法技巧 1.直接套用周期公式 2.含绝对值最小正周期变为 3.多个正切函数相加时周期取各个周期的最小公倍数 4.区分最小正周期与全部周期 【经典例题1】（25-26高一下·上海·期中）若函数（其中常数）的最小正周期为3，则的值为__________． 【经典例题2】（辽宁五校联考2025-2026学年高一下学期期末数学试卷）已知函数的最小正周期为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一下·辽宁·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一下·北京·期末）下列函数中最小正周期为的有（   ）个 ①；②；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【巩固练习3】（25-26高一下·广西钦州·期末）已知函数（）的最小正周期为，则__________. 【题型4】 正切函数的单调性 核心知识 的单调递增区间为 正切函数没有递减区间 复合函数 方法技巧 1.时先利用诱导公式把化为正数再求解单调区间 2.列出不等式 3.解出范围即为递增区间 4.求指定区间上的单调子区间取解集和给定区间的交集 5.区间必须写成开区间不能包含渐近线位置 【经典例题1】（2026·河北沧州·一模）已知函数图象的一个对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一下·河北张家口·期末）（多选）已知函数的最小正周期为，则下列选项中是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一下·河南南阳·期末）已知点同时是函数与的对称中心，则的最小正整数值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【巩固练习3】（25-26高一下·河南新乡·期末）函数的图象的一个对称中心的坐标是________． 【题型5】 正切函数的对称性 核心知识 无对称轴 对称中心坐标 对称中心满足 方法技巧 1.记住正切不存在对称轴不要和正弦余弦混淆 2.令解出横坐标 3.对称中心纵坐标恒为0 4.已知图像过对称中心时可代入等式求参数 【经典例题1】（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【经典例题2】（25-26高一下·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 【巩固练习1】（25-26高一下·河南南阳·期中）若对任意，都有函数在上单调，则的取值范围为______. 【巩固练习2】（2026·河北邯郸·二模）已知函数图象的相邻两个对称中心的距离为，且函数在上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）若函数（）图象的两个对称中心之间距离的最小值为，则的单调递增区间为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【题型6】 正切函数的奇偶性 核心知识 奇函数定义图像关于原点对称 偶函数定义图像关于轴对称 是奇函数 为奇函数的充要条件是 定义域必须关于原点对称 方法技巧 1.第一步先检查定义域是否关于原点对称不对称直接判定非奇非偶 2.代入奇偶函数定义验证或者利用相位条件判断 3.求出参数后带回原式检验 4.注意正切函数几乎不会出现偶函数 【经典例题1】（2026·湖北·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高一下·河北沧州·开学考试）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是 _____________ ． 【巩固练习1】（25-26高三上·江西·阶段检测）将函数图象向左平移个单位后得到函数的图象.若为奇函数，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一下·辽宁大连·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是_____. 【巩固练习3】（2025·江苏盐城·模拟预测）若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型7】 由图像求正切函数的解析式 核心知识 解析式通用形式 由周期求 为初相 方法技巧 1.从两条相邻渐近线之间距离读出周期 2.利用解出 3.带入图像上已知点坐标求解 4.利用渐近线方程辅助校验结果 【经典例题1】（2026·湖南常德·一模）（多选）若函数 的部分图象如右图所示，且，则（    ） A． B． 是 的一个对称中心 C． D． 【经典例题2】（2026·湖北黄冈·三模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．3 C． D． 【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数，的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一下·四川南充·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，点在的图象上．下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．的一个对称中心是 C．在区间单调递增 D．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 【巩固练习3】（2026·浙江·二模）（多选）已知函数在一个周期内的图象如图所示，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．， D．的图象关于点对称 【题型8】 正切函数的综合性质应用 核心知识 综合定义域值域周期单调性对称性零点等多重条件求解参数范围或者解不等式 零点条件 方法技巧 1.将每一条题干条件翻译成等式或者不等式 2.换元简化问题 3.画出正切简易图像辅助分析 4.多个条件时求出各个参数范围后取交集 5.时刻注意渐近线位置避开无定义点 【经典例题1】（2026·浙江嘉兴·二模）（多选）已知函数，关于x的不等式在区间内的整数解的个数为n，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则n的最小值为338 C．若存在实数a，使，则t的最小值为 D．若存在实数t，使，则a的最大值为 【经典例题2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知，若不等式在中的整数解有m个，则m的所有可能值构成的集合为________． 【巩固练习1】已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为8，则的值为____________ 【巩固练习2】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象可由向右平移个单位长度得到 【巩固练习3】（2025·辽宁·模拟预测）（多选）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A． B．若直线是图象的一条渐近线，则 C．不存在，使为图象的一个对称中心 D．若在区间内单调，则的取值范围是 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）若将函数图象上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到的图象，则的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·三模）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·云南·三模）若函数的相邻两对称中心的距离为，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 5．（2026·四川成都·三模）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·云南昆明·模拟预测）函数与的图象在区间内的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）下列函数既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河北·模拟预测）若直线是函数的图象的一条对称轴，则函数的图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·四川泸州·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则（ ） A．1 B． C．3 D． 11．（2026·山东泰安·二模）已知函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（　　） A． B． C． D． 二、多选题 12．（23-24高一上·广东肇庆·期末）关于函数，下列说法中正确的有（    ） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知直线与函数的图象中相邻两支曲线的交点的横坐标分别为，且，则（    ） A． B．函数的定义域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D．函数与函数的图象在上的交点个数为4 14．（2025·广东肇庆·一模）已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域为 C．在上单调递增 D．若，且，则a的最大值为 15．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．的单调递增区间为， D．图象的对称中心为， 16．（2026·广西崇左·二模）已知函数，下列命题正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于点对称 D．在，上单调递减 17．（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．函数图象的对称中心的坐标是， D．函数的单调递增区间是， 18．（25-26高一下·广东汕尾·期中）已知函数的其中一个单调递增区间为，则下列正确的是（    ） A． B．点是函数的一个对称中心 C．不等式的解集为 D．令，则方程在上有个解，且 三、填空题 19．（2023·四川达州·一模）函数，且，则的值为______. 20．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）函数的定义域是________． （2）函数的值域为________． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $