专题23 概率统计综合与决策 专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题23　概率统计综合与决策 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题23　概率统计综合与决策 一、核心知识 1．用频率估计概率：在大量重复试验中，事件发生的频率稳定在概率附近，因此可用样本频率作为概率的估计值。 2．由频率分布表（图）求概率：某一组的频率就是“任取一个数据落在该组”的概率，多组求和即得相应区间的概率。 3．分层抽样后再求概率：先按比例算出各层抽取的人数，再用古典概型（组合数）计算概率。 4．从多个群体中各取一个对象时，若各群体间的抽取互不影响，则用相互独立事件的乘法公式。 5．求复杂事件的概率可按“分类（互斥求和）”与“分步（独立相乘）”两条路径拆解，做到不重不漏。 6．对立事件的概率公式 ，在处理“至少有一个”类问题时能大幅简化计算。 7．分布列的期望就是长期平均意义上的“平均收益”，因此期望是决策问题中最常用的量化依据。 8．若两个方案期望相同，再比较方差：方差小的波动小、风险低，适合稳健型选择。 9．概率与函数交汇：先写出概率（或期望）关于参数 的表达式，再在 上求最值或解方程。 10．二项分布 中 、，已知其一即可反求另一个参数。 11．判断游戏规则是否公平，本质是比较各方获胜的概率是否相等（或各方期望收益是否相等）。 12．新情境题的处理流程：读懂规则 定义事件或随机变量 选对模型（古典、独立、二项、超几何） 计算并下结论。 二、题型精练 题型一　统计图表与概率的交汇 【方法与技巧】 频率分布表（图）中某一组的频率，就是“任取一个数据落在该组”的概率，可直接引用。 求落在若干个区间内的概率时，把相应的频率相加；这些区间互斥时才能直接相加。 从两个群体中各取一个对象时，用乘法公式 ，前提是两次抽取相互独立。 【例题精讲】 1．某班 50 名学生的一次数学成绩频率分布表中， 这一组的频率为 ，则从中任取一人，其成绩在 内的概率为（　　） A． B．15 C． D．50 2．某样本的频率分布表中，、、 三组的频率分别为 、、，从中任取一个数据，它不小于 20 的概率为（　　） A． B． C． D． 3．从甲、乙两个小组各随机抽取 1 人，甲组 10 人中有 3 人是团员，乙组 8 人中有 2 人是团员，则抽到的 2 人都是团员的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．某组的频率为 ，样本容量为 60，则该组的频数为（　　） A．24 B． C．15 D．40 2．某频率分布直方图共 5 组，前 3 组的频率之和为 ，则后 2 组的频率之和为（　　） A． B． C．1 D． 3．甲、乙两人各自从自己的 5 张卡片中任取 1 张，甲有 2 张红色、乙有 3 张红色，则两人都取到红色的概率为（　　） A． B． C． D． 4．某班有男生 30 人、女生 20 人，其中男生近视 12 人、女生近视 8 人，随机选 1 人，选到近视学生的概率为（　　） A． B． C． D． 5．某频率分布表中 的频率为 、 的频率为 ，则数据落在 内的概率为（　　） A． B． C． D． 6．从 A、B 两个口袋中各取 1 个球，A 袋 4 个球中有 1 红，B 袋 6 个球中有 2 红，则至少取到 1 个红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．某组的频率为 ，样本容量为 80，则该组的频数为（　　） A．20 B． C．25 D．40 2．从甲组任取一个数据大于 80 的概率为 ，从乙组任取一个大于 80 的概率为 ，分别从两组各取一个，两个都大于 80 的概率为（　　） A． B．1 C． D． 3．某校高一 500 人、高二 400 人、高三 300 人，用分层抽样抽取 60 人，则高二应抽取（　　） A．20 人 B．25 人 C．15 人 D．24 人 4．频率分布直方图中， 对应的小矩形面积为 ，则数据落在该组的概率为（　　） A． B． C． D．1 5．从甲盒（5 球中 2 白）与乙盒（4 球中 3 白）中各取 1 球，取到的 2 个都是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 6．样本容量为 100 的频率分布表中，某组的频数为 15，则从中任取一个数据落在该组的概率为（　　） A． B．15 C． D． 7．某车间甲、乙两条生产线产量之比为 3:2，次品率分别为 2% 与 3%，任取一件产品为次品的概率为（　　） A． B． C． D． 8．某班 40 人中喜欢数学的有 25 人，喜欢语文的有 20 人，两科都喜欢的有 10 人，则随机选 1 人至少喜欢其中一科的概率为　　　　。 题型二　抽样与概率的综合 【方法与技巧】 分层抽样先按比例算出各层应抽人数，再在此基础上计算概率，注意是“从样本中抽”还是“从总体中抽”。 抽取若干个对象属于组合问题，用组合数计算总方法数与有利方法数，不要与排列混淆。 涉及“至少”“至多”时优先考虑对立事件，或直接分类求和，分类要做到不重不漏。 【例题精讲】 1．某校有学生 1200 人，其中高一 500 人，用分层抽样抽取 120 人，则高一年级应抽取（　　） A．50 人 B．40 人 C．60 人 D．30 人 2．从甲、乙两人中选 1 人，再从丙、丁、戊三人中选 1 人，不同的选法共有（　　） A．6 种 B．5 种 C．2 种 D．3 种 3．某小组有 3 名男生、2 名女生，随机选 2 人参加活动，恰好选到 1 男 1 女的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．总体有 800 人，其中 A 层有 200 人，用分层抽样抽取 40 人，则 A 层应抽取（　　） A．10 人 B．20 人 C．5 人 D．8 人 2．从 5 名学生中选 2 人分别担任组长与副组长，不同的选法共有（　　） A．20 种 B．10 种 C．25 种 D．15 种 3．从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，这两个数之差为 1 的概率为（　　） A． B． C． D． 4．盒中有 3 个白球、2 个黑球，任取 2 个，颜色相同的概率为（　　） A． B． C． D． 5．从 4 名男生、3 名女生中选 3 人，至少有 1 名女生的概率为（　　） A． B． C． D． 6．甲、乙、丙三人参加某项活动，每人参加与否相互独立且概率均为 ，则恰有 2 人参加的概率为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．总体有 600 人，样本容量为 60，则抽样比为（　　） A．1:10 B．1:6 C．1:60 D．1:100 2．从 6 人中选 3 人，不同的选法共有（　　） A．20 种 B．18 种 C．120 种 D．15 种 3．从 1 到 9 中任取一个数，该数是 3 的倍数的概率为（　　） A． B． C． D． 4．袋中有 4 个白球、2 个黑球共 6 个球，任取 2 个，两个都是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 5．甲、乙两人参加某活动，甲参加的概率为 、乙参加的概率为 ，且两人相互独立，则两人都参加的概率为（　　） A． B． C． D． 6．从 5 件产品（3 件正品、2 件次品）中不放回地取 2 件，至少有 1 件正品的概率为（　　） A． B． C． D． 7．某单位青年、中年、老年人数之比为 5:3:2，用分层抽样抽取 30 人，则中年应抽取（　　） A．9 人 B．15 人 C．6 人 D．10 人 8．从 1，2，3，4，5，6 中任取两个不同的数，这两个数之和为 7 的概率为　　　　。 题型三　分布列与期望的实际应用 【方法与技巧】 先明确随机变量的实际含义，列出其所有取值，再逐项求概率，最后检验概率之和是否为 1。 收益类问题要先扣除成本：期望利润期望收入成本，不要漏掉未售出、未中奖等情形。 若 ，可直接用 、，不必重新列分布列。 【例题精讲】 1．某射手射击一次的命中概率为 ，用 X 表示命中的次数（取 0 或 1），则 （　　） A． B． C．1 D． 2．某次抽奖活动的中奖概率为 ，中奖可获 100 元、不中奖获 0 元，则每人的期望收益为（　　）元 A．20 B．100 C． D．80 3．甲、乙两台机器生产一件正品可获利 50 元、出一件次品亏损 20 元。甲的正品率为 ，乙的正品率为 ，从期望利润看应选用（　　） A．乙机器 B．甲机器 C．两台一样 D．无法判断 【变式训练】 1．已知 X 的分布列为 ，，则 （　　） A． B． C．1 D． 2．随机变量 X 取 1、2、3 的概率分别为 、、，则 （　　） A． B．2 C．3 D．1 3．掷一枚骰子，若点数为 6 得 6 分，否则得 1 分，则得分的期望为（　　） A． B．6 C．1 D． 4．某产品每件成本 10 元、售价 15 元，卖不出去则损失全部成本，售出的概率为 ，则每件的期望利润为（　　）元 A．2 B．5 C．12 D．4 5．甲方案的期望收益为 8 万元，乙方案为 6 万元，从期望角度应选（　　） A．甲方案 B．乙方案 C．两个一样 D．无法判断 6．若 ，则 （　　） A．1 B．4 C． D． 【巩固练习】 1．已知 ，，则 （　　） A．3 B．2 C．4 D．1 2．某彩票每张 5 元，中奖概率为 ，中奖可得 30 元，则买一张的期望收益为（　　）元 A． B．3 C．30 D．25 3．掷一枚骰子，出现奇数得 2 分、偶数得 1 分，则得分的期望为（　　） A． B．2 C．1 D．3 4．某射手独立射击 3 次，每次命中的概率为 ，则命中次数的期望为（　　） A． B． C．3 D． 5．若 ，则 （　　） A． B．2 C．8 D． 6．已知 ，则 （　　） A．10 B．12 C．4 D．6 7．某投资有 的概率获利 20 万元、 的概率亏损 5 万元，则其期望收益为（　　）万元 A． B．20 C．6 D． 8．已知 ，，则 　　　　。 题型四　统计与概率的决策问题 【方法与技巧】 决策的第一判据是期望（或平均数）：期望收益大的方案更优。 期望相近或相同时，用方差（或稳定性）作第二判据：方差小的风险更低。 结论必须建立在具体数字的比较之上，并说明比较依据，不能只凭感觉下结论。 【例题精讲】 1．甲、乙两个小麦品种的亩产量平均数分别为 500 kg 与 480 kg，方差分别为 100 与 90，若只追求高产应选用（　　） A．甲品种 B．乙品种 C．两个一样 D．无法判断 2．甲、乙两批产品的合格率分别为 与 ，其他条件相同，应选用（　　） A．乙批 B．甲批 C．两批一样 D．无法判断 3．两名选手的成绩平均数相同，甲的方差为 、乙的方差为 ，为求稳妥应选派（　　） A．甲 B．乙 C．两人一样 D．无法判断 【变式训练】 1．比较两个方案的优劣，最常用的量化指标是（　　） A．数学期望 B．中位数 C．众数 D．极差 2．甲、乙两条生产线的次品率分别为 3% 与 1%，应选用（　　） A．乙生产线 B．甲生产线 C．两条一样 D．无法判断 3．若两个方案的期望收益相同，则进一步应比较（　　） A．方差（风险） B．中位数 C．众数 D．样本容量 4．某公司两个销售组：A 组月销售额平均数为 20 万元、方差为 4；B 组平均数为 22 万元、方差为 4，应选择（　　） A．B 组 B．A 组 C．两组一样 D．无法判断 5．某射手射击 10 次的平均环数为 、方差为 ，另一名射手平均环数为 、方差为 ，应选派（　　） A．第一名射手 B．第二名射手 C．两人一样 D．无法判断 6．抽奖活动 A：中奖概率 、奖金 200 元；活动 B：中奖概率 、奖金 100 元，则（　　） A．两者期望收益相同，都是 20 元 B．A 的期望收益更高 C．B 的期望收益更高 D．无法比较 【巩固练习】 1．甲、乙两个方案的期望收益分别为 12 万元与 15 万元，应选择（　　） A．乙方案 B．甲方案 C．两个一样 D．无法判断 2．两台仪器测量误差的方差分别为 与 ，应选用（　　） A．第一台 B．第二台 C．两台一样 D．无法判断 3．甲、乙两名运动员 10 次成绩的平均数相同，甲的方差较小，说明甲（　　） A．发挥更稳定 B．水平更高 C．成绩更好 D．潜力更大 4．某工厂两条生产线的合格率分别为 与 ，为提高合格率应采用（　　） A．合格率为 的生产线 B．合格率为 的生产线 C．两条一样 D．无法判断 5．两个方案的期望收益都是 5 万元，方差分别为 2 与 6，稳健型投资者应选择（　　） A．方差为 2 的方案 B．方差为 6 的方案 C．两个一样 D．无法判断 6．从期望角度看，购买彩票的期望收益通常（　　） A．小于投入 B．大于投入 C．等于投入 D．无法判断 7．某产品需经过 A、B 两道工序，它们的合格率分别为 与 且相互独立，则最终合格率为（　　） A． B． C． D． 8．甲方案的期望收益为 10 万元、方差为 4，乙方案的期望收益为 10 万元、方差为 1，稳健者应选择　　　　方案。 题型五　概率与函数、方程的交汇 【方法与技巧】 先把概率（或期望）写成关于参数 的表达式，再解方程或求最值，注意 的取值范围。 二项分布中 、 是两个方程，已知其一可反求另一个参数。 由分布列求期望时若含参数，可先化简表达式再求最值，常用配方法或基本不等式。 【例题精讲】 1．甲、乙各投篮一次，命中的概率分别为 与 ，两人中至少一人命中的概率为 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．若 ，且 ，则 （　　） A． B． C．3 D． 3．若 ，且 ，则 （　　） A．8 B．4 C．2 D．16 【变式训练】 1．若 ，且 ，则 （　　） A． B．3 C． D．10 2．甲、乙独立射击同一目标，命中概率都是 ，则至少一人命中的概率为（　　） A． B． C． D．1 3．若 、，则 （　　） A．5 B．2 C．1 D．3 4．若 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D．4 5．若事件 A 与 B 相互独立，，，则 （　　） A． B． C． D． 6．若 X 的分布列为 ，，则 关于 的表达式为（　　） A． B． C．2p D． 【巩固练习】 1．若 ，且 ，则 （　　） A． B．2 C．5 D． 2．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．甲、乙独立地破译一个密码，成功的概率分别为 与 ，则密码被破译的概率为（　　） A． B． C． D． 4．若 ，，则 （　　） A．11 B．3 C．2 D．7 5．若 ，且 ，则 （　　） A．20 B．4 C． D．5 6．若 ，，且 A 与 B 互斥，则 （　　） A． B． C． D．1 7．若 ，且 ，则 （　　） A． B．3 C．6 D． 8．甲、乙两人独立地解同一道题，解出的概率分别为 与 ，则恰有一人解出的概率为　　　　。 题型六　新情境下的概率统计综合 【方法与技巧】 新情境题先弄清“一次试验”与“一个随机变量”具体指什么，把文字翻译成熟悉的数学模型。 判断游戏规则是否公平，就是比较各方获胜的概率是否相等（或各方期望收益是否相等）。 轮流、先到先得类问题常用无穷等比数列求和，也可列方程：首次成功概率双方都失败后仍由甲先手的概率。 【例题精讲】 1．甲、乙两人玩掷骰子游戏，规定掷出点数大于 4 时甲胜、否则乙胜，则该游戏（　　） A．不公平，乙占优 B．公平 C．不公平，甲占优 D．无法判断 2．一个游戏规定：抛一枚均匀硬币，正面朝上甲得 1 分、反面朝上乙得 1 分，先得分者获胜，则甲获胜的概率为（　　） A． B．1 C． D． 3．一批产品共 5 件，其中 1 件是次品，从中不放回地抽检 2 件，至少抽到 1 件次品的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．甲、乙两人玩抽牌游戏，从写有 1 到 10 的卡片中任取一张，若为质数则甲胜、否则乙胜，则甲胜的概率为（　　） A． B． C． D． 2．袋中有 3 个红球、1 个白球，甲先取 1 个、乙再取 1 个（不放回），则甲取到红球的概率为（　　） A． B． C． D． 3．一个游戏规定：同时抛两枚硬币，两枚都是正面则甲胜、否则乙胜，则甲胜的概率为（　　） A． B． C． D． 4．要使上题中的游戏公平，可规定甲胜时甲得 分、乙胜时乙得 1 分，则 （　　） A．3 B． C．4 D． 5．某游戏规则：从装有 2 个红球、3 个白球的袋中取 1 球，取出红球得 5 分、白球扣 2 分，则期望得分为（　　） A． B．5 C．2 D． 6．甲、乙两人轮流抛一枚均匀硬币，先抛出正面者获胜，甲先抛，则甲获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．袋中有 4 个红球、6 个白球，任取 1 球，取到红球甲胜、取到白球乙胜，则甲胜的概率为（　　） A． B． C． D．4 2．掷一枚骰子，出现 1 或 2 时甲胜、其余乙胜，则甲胜的概率为（　　） A． B． C． D． 3．甲、乙两人玩一次“石头剪刀布”定胜负（出现相同则重来），则甲胜的概率为（　　） A． B． C． D． 4．一个游戏：从 1 到 6 中任取一个数，取到 6 得 10 分、否则得 0 分，则期望得分为（　　） A． B．10 C． D．6 5．从 5 件产品（其中 2 件次品）中不放回地抽检 2 件，两件都是正品的概率为（　　） A． B． C． D． 6．某游戏规则对甲有利，说明甲获胜的概率（　　） A．大于 B．等于 C．小于 D．等于 1 7．甲、乙两人各掷一枚骰子，点数大者获胜（点数相同则重掷），则甲获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 8．袋中有 2 个红球、3 个白球，任取 1 球，取到红球得 3 分、白球得 1 分，则期望得分为　　　　。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．某班 50 人的成绩频率分布表中， 这一组的频率为 ，则该组的人数为（　　） A．15 人 B． C．30 人 D．50 人 2．甲、乙独立射击同一目标，命中的概率分别为 与 ，则至少一人命中的概率为（　　） A． B． C． D． 3．若 ，则 （　　） A．3 B．10 C． D． 4．总体有 900 人，其中 A 层有 300 人，用分层抽样抽取 90 人，则 A 层应抽取（　　） A．30 人 B．10 人 C．20 人 D．60 人 5．若 X 的分布列为 ，，则 （　　） A． B．1 C．2 D． 6．甲、乙两台设备的次品率分别为 与 ，应选用（　　） A．乙设备 B．甲设备 C．两台一样 D．无法判断 7．若 ，且 ，则 （　　） A． B．2 C．4 D． 8．从 5 件产品（其中 1 件次品）中不放回地抽检 2 件，至少抽到 1 件次品的概率为（　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．关于统计与概率的综合应用，下列说法正确的有（　　） A．频率可以作为概率的估计值 B．样本容量越大，估计越可靠 C．期望可以作为决策的依据 D．方差越小说明数据越稳定 10．关于方案优劣的比较，下列说法正确的有（　　） A．期望收益大的方案通常更优 B．期望相同时，方差小的方案风险更低 C．只比较平均数可能忽略稳定性差异 D．方差越大说明风险越大 11．关于二项分布与超几何分布，下列说法正确的有（　　） A．二项分布对应有放回抽样或独立重复试验 B．超几何分布对应不放回抽样 C．二项分布的期望为 D．超几何分布的期望为 【填空题】 12．甲、乙两人独立地解一道题，解出的概率分别为 与 ，则至少一人解出的概率为　　　　。 13．某班 40 人中有 12 人参加数学竞赛，随机选 1 人，选到参加竞赛者的概率为　　　　。 14．若 ，则 　　　　。 （答案与逐题详解见《解析版》） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题23　概率统计综合与决策 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题23　概率统计综合与决策 一、核心知识 1．用频率估计概率：在大量重复试验中，事件发生的频率稳定在概率附近，因此可用样本频率作为概率的估计值。 2．由频率分布表（图）求概率：某一组的频率就是“任取一个数据落在该组”的概率，多组求和即得相应区间的概率。 3．分层抽样后再求概率：先按比例算出各层抽取的人数，再用古典概型（组合数）计算概率。 4．从多个群体中各取一个对象时，若各群体间的抽取互不影响，则用相互独立事件的乘法公式。 5．求复杂事件的概率可按“分类（互斥求和）”与“分步（独立相乘）”两条路径拆解，做到不重不漏。 6．对立事件的概率公式 ，在处理“至少有一个”类问题时能大幅简化计算。 7．分布列的期望就是长期平均意义上的“平均收益”，因此期望是决策问题中最常用的量化依据。 8．若两个方案期望相同，再比较方差：方差小的波动小、风险低，适合稳健型选择。 9．概率与函数交汇：先写出概率（或期望）关于参数 的表达式，再在 上求最值或解方程。 10．二项分布 中 、，已知其一即可反求另一个参数。 11．判断游戏规则是否公平，本质是比较各方获胜的概率是否相等（或各方期望收益是否相等）。 12．新情境题的处理流程：读懂规则 定义事件或随机变量 选对模型（古典、独立、二项、超几何） 计算并下结论。 二、题型精练 题型一　统计图表与概率的交汇 【方法与技巧】 频率分布表（图）中某一组的频率，就是“任取一个数据落在该组”的概率，可直接引用。 求落在若干个区间内的概率时，把相应的频率相加；这些区间互斥时才能直接相加。 从两个群体中各取一个对象时，用乘法公式 ，前提是两次抽取相互独立。 【例题精讲】 1．某班 50 名学生的一次数学成绩频率分布表中， 这一组的频率为 ，则从中任取一人，其成绩在 内的概率为（　　） A． B．15 C． D．50 【答案】A 【详解】频率可作为概率的估计值，故所求概率为 （该组人数为 人）。选 A。 2．某样本的频率分布表中，、、 三组的频率分别为 、、，从中任取一个数据，它不小于 20 的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不小于 20 即落在后两组，概率为 。选 A。 3．从甲、乙两个小组各随机抽取 1 人，甲组 10 人中有 3 人是团员，乙组 8 人中有 2 人是团员，则抽到的 2 人都是团员的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两次抽取相互独立，。选 A。 【变式训练】 1．某组的频率为 ，样本容量为 60，则该组的频数为（　　） A．24 B． C．15 D．40 【答案】A 【详解】频数容量频率。选 A。 2．某频率分布直方图共 5 组，前 3 组的频率之和为 ，则后 2 组的频率之和为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】所有频率之和为 1，故后两组之和为 。选 A。 3．甲、乙两人各自从自己的 5 张卡片中任取 1 张，甲有 2 张红色、乙有 3 张红色，则两人都取到红色的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 4．某班有男生 30 人、女生 20 人，其中男生近视 12 人、女生近视 8 人，随机选 1 人，选到近视学生的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】近视学生共 人，总人数 50，。选 A。 5．某频率分布表中 的频率为 、 的频率为 ，则数据落在 内的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两个区间互斥，概率为 。选 A。 6．从 A、B 两个口袋中各取 1 个球，A 袋 4 个球中有 1 红，B 袋 6 个球中有 2 红，则至少取到 1 个红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 【巩固练习】 1．某组的频率为 ，样本容量为 80，则该组的频数为（　　） A．20 B． C．25 D．40 【答案】A 【详解】。选 A。 2．从甲组任取一个数据大于 80 的概率为 ，从乙组任取一个大于 80 的概率为 ，分别从两组各取一个，两个都大于 80 的概率为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 3．某校高一 500 人、高二 400 人、高三 300 人，用分层抽样抽取 60 人，则高二应抽取（　　） A．20 人 B．25 人 C．15 人 D．24 人 【答案】A 【详解】抽样比为 ，高二应抽 人。选 A。 4．频率分布直方图中， 对应的小矩形面积为 ，则数据落在该组的概率为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】小矩形的面积就是该组的频率，也就是落在该组的概率。选 A。 5．从甲盒（5 球中 2 白）与乙盒（4 球中 3 白）中各取 1 球，取到的 2 个都是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 6．样本容量为 100 的频率分布表中，某组的频数为 15，则从中任取一个数据落在该组的概率为（　　） A． B．15 C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 7．某车间甲、乙两条生产线产量之比为 3:2，次品率分别为 2% 与 3%，任取一件产品为次品的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 8．某班 40 人中喜欢数学的有 25 人，喜欢语文的有 20 人，两科都喜欢的有 10 人，则随机选 1 人至少喜欢其中一科的概率为　　　　。 【答案】 【详解】至少喜欢一科的有 人，。 题型二　抽样与概率的综合 【方法与技巧】 分层抽样先按比例算出各层应抽人数，再在此基础上计算概率，注意是“从样本中抽”还是“从总体中抽”。 抽取若干个对象属于组合问题，用组合数计算总方法数与有利方法数，不要与排列混淆。 涉及“至少”“至多”时优先考虑对立事件，或直接分类求和，分类要做到不重不漏。 【例题精讲】 1．某校有学生 1200 人，其中高一 500 人，用分层抽样抽取 120 人，则高一年级应抽取（　　） A．50 人 B．40 人 C．60 人 D．30 人 【答案】A 【详解】抽样比为 ，高一应抽 人。选 A。 2．从甲、乙两人中选 1 人，再从丙、丁、戊三人中选 1 人，不同的选法共有（　　） A．6 种 B．5 种 C．2 种 D．3 种 【答案】A 【详解】分步相乘： 种。选 A。 3．某小组有 3 名男生、2 名女生，随机选 2 人参加活动，恰好选到 1 男 1 女的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 【变式训练】 1．总体有 800 人，其中 A 层有 200 人，用分层抽样抽取 40 人，则 A 层应抽取（　　） A．10 人 B．20 人 C．5 人 D．8 人 【答案】A 【详解】抽样比为 ，A 层应抽 人。选 A。 2．从 5 名学生中选 2 人分别担任组长与副组长，不同的选法共有（　　） A．20 种 B．10 种 C．25 种 D．15 种 【答案】A 【详解】有顺序区别， 种。选 A。 3．从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，这两个数之差为 1 的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】共有 种取法，差为 1 的有 、、、 共 4 种，。选 A。 4．盒中有 3 个白球、2 个黑球，任取 2 个，颜色相同的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 5．从 4 名男生、3 名女生中选 3 人，至少有 1 名女生的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 6．甲、乙、丙三人参加某项活动，每人参加与否相互独立且概率均为 ，则恰有 2 人参加的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 【巩固练习】 1．总体有 600 人，样本容量为 60，则抽样比为（　　） A．1:10 B．1:6 C．1:60 D．1:100 【答案】A 【详解】60::10。选 A。 2．从 6 人中选 3 人，不同的选法共有（　　） A．20 种 B．18 种 C．120 种 D．15 种 【答案】A 【详解】 种。选 A。 3．从 1 到 9 中任取一个数，该数是 3 的倍数的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】3、6、9 共 3 个，。选 A。 4．袋中有 4 个白球、2 个黑球共 6 个球，任取 2 个，两个都是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 5．甲、乙两人参加某活动，甲参加的概率为 、乙参加的概率为 ，且两人相互独立，则两人都参加的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 6．从 5 件产品（3 件正品、2 件次品）中不放回地取 2 件，至少有 1 件正品的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 7．某单位青年、中年、老年人数之比为 5:3:2，用分层抽样抽取 30 人，则中年应抽取（　　） A．9 人 B．15 人 C．6 人 D．10 人 【答案】A 【详解】中年占 ，应抽 人。选 A。 8．从 1，2，3，4，5，6 中任取两个不同的数，这两个数之和为 7 的概率为　　　　。 【答案】 【详解】共有 种，和为 7 的有 、、 共 3 种，。 题型三　分布列与期望的实际应用 【方法与技巧】 先明确随机变量的实际含义，列出其所有取值，再逐项求概率，最后检验概率之和是否为 1。 收益类问题要先扣除成本：期望利润期望收入成本，不要漏掉未售出、未中奖等情形。 若 ，可直接用 、，不必重新列分布列。 【例题精讲】 1．某射手射击一次的命中概率为 ，用 X 表示命中的次数（取 0 或 1），则 （　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】X 服从两点分布，。选 A。 2．某次抽奖活动的中奖概率为 ，中奖可获 100 元、不中奖获 0 元，则每人的期望收益为（　　）元 A．20 B．100 C． D．80 【答案】A 【详解】 元。选 A。 3．甲、乙两台机器生产一件正品可获利 50 元、出一件次品亏损 20 元。甲的正品率为 ，乙的正品率为 ，从期望利润看应选用（　　） A．乙机器 B．甲机器 C．两台一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】甲的期望利润为 元，乙为 元，乙更高。选 A。 【变式训练】 1．已知 X 的分布列为 ，，则 （　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．随机变量 X 取 1、2、3 的概率分别为 、、，则 （　　） A． B．2 C．3 D．1 【答案】A 【详解】。选 A。 3．掷一枚骰子，若点数为 6 得 6 分，否则得 1 分，则得分的期望为（　　） A． B．6 C．1 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 4．某产品每件成本 10 元、售价 15 元，卖不出去则损失全部成本，售出的概率为 ，则每件的期望利润为（　　）元 A．2 B．5 C．12 D．4 【答案】A 【详解】售出时利润 5 元、未售出时亏损 10 元， 元。选 A。 5．甲方案的期望收益为 8 万元，乙方案为 6 万元，从期望角度应选（　　） A．甲方案 B．乙方案 C．两个一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】期望收益越大越优，故选择甲方案。选 A。 6．若 ，则 （　　） A．1 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，，则 （　　） A．3 B．2 C．4 D．1 【答案】A 【详解】。选 A。 2．某彩票每张 5 元，中奖概率为 ，中奖可得 30 元，则买一张的期望收益为（　　）元 A． B．3 C．30 D．25 【答案】A 【详解】 元。选 A。 3．掷一枚骰子，出现奇数得 2 分、偶数得 1 分，则得分的期望为（　　） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【详解】。选 A。 4．某射手独立射击 3 次，每次命中的概率为 ，则命中次数的期望为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】命中次数服从 ，。选 A。 5．若 ，则 （　　） A． B．2 C．8 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 6．已知 ，则 （　　） A．10 B．12 C．4 D．6 【答案】A 【详解】。选 A。 7．某投资有 的概率获利 20 万元、 的概率亏损 5 万元，则其期望收益为（　　）万元 A． B．20 C．6 D． 【答案】A 【详解】 万元。选 A。 8．已知 ，，则 　　　　。 【答案】 【详解】，，。 题型四　统计与概率的决策问题 【方法与技巧】 决策的第一判据是期望（或平均数）：期望收益大的方案更优。 期望相近或相同时，用方差（或稳定性）作第二判据：方差小的风险更低。 结论必须建立在具体数字的比较之上，并说明比较依据，不能只凭感觉下结论。 【例题精讲】 1．甲、乙两个小麦品种的亩产量平均数分别为 500 kg 与 480 kg，方差分别为 100 与 90，若只追求高产应选用（　　） A．甲品种 B．乙品种 C．两个一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】只追求产量则比较平均数，，故选甲。选 A。 2．甲、乙两批产品的合格率分别为 与 ，其他条件相同，应选用（　　） A．乙批 B．甲批 C．两批一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】合格率越高越好，，故选乙批。选 A。 3．两名选手的成绩平均数相同，甲的方差为 、乙的方差为 ，为求稳妥应选派（　　） A．甲 B．乙 C．两人一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】平均数相同时方差越小越稳定，甲的方差更小，故选甲。选 A。 【变式训练】 1．比较两个方案的优劣，最常用的量化指标是（　　） A．数学期望 B．中位数 C．众数 D．极差 【答案】A 【详解】期望反映长期平均水平，是决策中最常用的指标。选 A。 2．甲、乙两条生产线的次品率分别为 3% 与 1%，应选用（　　） A．乙生产线 B．甲生产线 C．两条一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】次品率越低越好，故选乙生产线。选 A。 3．若两个方案的期望收益相同，则进一步应比较（　　） A．方差（风险） B．中位数 C．众数 D．样本容量 【答案】A 【详解】期望相同时用方差衡量风险，方差小的更稳妥。选 A。 4．某公司两个销售组：A 组月销售额平均数为 20 万元、方差为 4；B 组平均数为 22 万元、方差为 4，应选择（　　） A．B 组 B．A 组 C．两组一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】方差相同则比较平均数，，故选 B 组。选 A。 5．某射手射击 10 次的平均环数为 、方差为 ，另一名射手平均环数为 、方差为 ，应选派（　　） A．第一名射手 B．第二名射手 C．两人一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】平均数相同，方差 ，第一名更稳定。选 A。 6．抽奖活动 A：中奖概率 、奖金 200 元；活动 B：中奖概率 、奖金 100 元，则（　　） A．两者期望收益相同，都是 20 元 B．A 的期望收益更高 C．B 的期望收益更高 D．无法比较 【答案】A 【详解】A 的期望为 元，B 的期望为 元，两者相同。选 A。 【巩固练习】 1．甲、乙两个方案的期望收益分别为 12 万元与 15 万元，应选择（　　） A．乙方案 B．甲方案 C．两个一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】期望收益大的更优，，故选乙。选 A。 2．两台仪器测量误差的方差分别为 与 ，应选用（　　） A．第一台 B．第二台 C．两台一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】方差越小测量越精确，，故选第一台。选 A。 3．甲、乙两名运动员 10 次成绩的平均数相同，甲的方差较小，说明甲（　　） A．发挥更稳定 B．水平更高 C．成绩更好 D．潜力更大 【答案】A 【详解】方差小说明波动小、发挥更稳定，并不代表水平更高。选 A。 4．某工厂两条生产线的合格率分别为 与 ，为提高合格率应采用（　　） A．合格率为 的生产线 B．合格率为 的生产线 C．两条一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】合格率越高越好，故选 的那条。选 A。 5．两个方案的期望收益都是 5 万元，方差分别为 2 与 6，稳健型投资者应选择（　　） A．方差为 2 的方案 B．方差为 6 的方案 C．两个一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】稳健型偏好风险低（方差小）的方案。选 A。 6．从期望角度看，购买彩票的期望收益通常（　　） A．小于投入 B．大于投入 C．等于投入 D．无法判断 【答案】A 【详解】彩票的返奖率低于 100%，期望收益小于投入。选 A。 7．某产品需经过 A、B 两道工序，它们的合格率分别为 与 且相互独立，则最终合格率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 8．甲方案的期望收益为 10 万元、方差为 4，乙方案的期望收益为 10 万元、方差为 1，稳健者应选择　　　　方案。 【答案】乙 【详解】期望相同，乙方差更小、风险更低，故选乙。 题型五　概率与函数、方程的交汇 【方法与技巧】 先把概率（或期望）写成关于参数 的表达式，再解方程或求最值，注意 的取值范围。 二项分布中 、 是两个方程，已知其一可反求另一个参数。 由分布列求期望时若含参数，可先化简表达式再求最值，常用配方法或基本不等式。 【例题精讲】 1．甲、乙各投篮一次，命中的概率分别为 与 ，两人中至少一人命中的概率为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即 ，解得 。选 A。 2．若 ，且 ，则 （　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】由 得 。选 A。 3．若 ，且 ，则 （　　） A．8 B．4 C．2 D．16 【答案】A 【详解】，得 。选 A。 【变式训练】 1．若 ，且 ，则 （　　） A． B．3 C． D．10 【答案】A 【详解】，。选 A。 2．甲、乙独立射击同一目标，命中概率都是 ，则至少一人命中的概率为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】。选 A。 3．若 、，则 （　　） A．5 B．2 C．1 D．3 【答案】A 【详解】由 得 。选 A。 4．若 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】，故 ，。选 A。 5．若事件 A 与 B 相互独立，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即 ，得 。选 A。 6．若 X 的分布列为 ，，则 关于 的表达式为（　　） A． B． C．2p D． 【答案】A 【详解】。选 A。 【巩固练习】 1．若 ，且 ，则 （　　） A． B．2 C．5 D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 2．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 3．甲、乙独立地破译一个密码，成功的概率分别为 与 ，则密码被破译的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 4．若 ，，则 （　　） A．11 B．3 C．2 D．7 【答案】A 【详解】。选 A。 5．若 ，且 ，则 （　　） A．20 B．4 C． D．5 【答案】A 【详解】，。选 A。 6．若 ，，且 A 与 B 互斥，则 （　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】互斥时直接相加：。选 A。 7．若 ，且 ，则 （　　） A． B．3 C．6 D． 【答案】A 【详解】由 得 ，。选 A。 8．甲、乙两人独立地解同一道题，解出的概率分别为 与 ，则恰有一人解出的概率为　　　　。 【答案】 【详解】。 题型六　新情境下的概率统计综合 【方法与技巧】 新情境题先弄清“一次试验”与“一个随机变量”具体指什么，把文字翻译成熟悉的数学模型。 判断游戏规则是否公平，就是比较各方获胜的概率是否相等（或各方期望收益是否相等）。 轮流、先到先得类问题常用无穷等比数列求和，也可列方程：首次成功概率双方都失败后仍由甲先手的概率。 【例题精讲】 1．甲、乙两人玩掷骰子游戏，规定掷出点数大于 4 时甲胜、否则乙胜，则该游戏（　　） A．不公平，乙占优 B．公平 C．不公平，甲占优 D．无法判断 【答案】A 【详解】甲胜，乙胜，两者不等，且乙占优。选 A。 2．一个游戏规定：抛一枚均匀硬币，正面朝上甲得 1 分、反面朝上乙得 1 分，先得分者获胜，则甲获胜的概率为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】一次抛掷定胜负且硬币均匀，甲、乙获胜概率各为 ，游戏公平。选 A。 3．一批产品共 5 件，其中 1 件是次品，从中不放回地抽检 2 件，至少抽到 1 件次品的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 【变式训练】 1．甲、乙两人玩抽牌游戏，从写有 1 到 10 的卡片中任取一张，若为质数则甲胜、否则乙胜，则甲胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】1 到 10 中的质数有 2、3、5、7 共 4 个，。选 A。 2．袋中有 3 个红球、1 个白球，甲先取 1 个、乙再取 1 个（不放回），则甲取到红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】甲先取时袋中仍有 4 个球，其中红球 3 个，。选 A。 3．一个游戏规定：同时抛两枚硬币，两枚都是正面则甲胜、否则乙胜，则甲胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】四个等可能结果中两枚都是正面的只有 1 种，。选 A。 4．要使上题中的游戏公平，可规定甲胜时甲得 分、乙胜时乙得 1 分，则 （　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】公平要求期望得分相等：，解得 。选 A。 5．某游戏规则：从装有 2 个红球、3 个白球的袋中取 1 球，取出红球得 5 分、白球扣 2 分，则期望得分为（　　） A． B．5 C．2 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 6．甲、乙两人轮流抛一枚均匀硬币，先抛出正面者获胜，甲先抛，则甲获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设甲胜的概率为 P，则 ，解得 。选 A。 【巩固练习】 1．袋中有 4 个红球、6 个白球，任取 1 球，取到红球甲胜、取到白球乙胜，则甲胜的概率为（　　） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】。选 A。 2．掷一枚骰子，出现 1 或 2 时甲胜、其余乙胜，则甲胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 3．甲、乙两人玩一次“石头剪刀布”定胜负（出现相同则重来），则甲胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两人出法共有 9 种等可能情形，甲胜的有 3 种，在定出胜负的条件下 。选 A。 4．一个游戏：从 1 到 6 中任取一个数，取到 6 得 10 分、否则得 0 分，则期望得分为（　　） A． B．10 C． D．6 【答案】A 【详解】。选 A。 5．从 5 件产品（其中 2 件次品）中不放回地抽检 2 件，两件都是正品的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 6．某游戏规则对甲有利，说明甲获胜的概率（　　） A．大于 B．等于 C．小于 D．等于 1 【答案】A 【详解】对甲有利即甲获胜的概率超过一半。选 A。 7．甲、乙两人各掷一枚骰子，点数大者获胜（点数相同则重掷），则甲获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两人地位完全对称，排除平局后甲、乙获胜概率相等，均为 。选 A。 8．袋中有 2 个红球、3 个白球，任取 1 球，取到红球得 3 分、白球得 1 分，则期望得分为　　　　。 【答案】 【详解】。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．某班 50 人的成绩频率分布表中， 这一组的频率为 ，则该组的人数为（　　） A．15 人 B． C．30 人 D．50 人 【答案】A 【详解】 人。选 A。 2．甲、乙独立射击同一目标，命中的概率分别为 与 ，则至少一人命中的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 3．若 ，则 （　　） A．3 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 4．总体有 900 人，其中 A 层有 300 人，用分层抽样抽取 90 人，则 A 层应抽取（　　） A．30 人 B．10 人 C．20 人 D．60 人 【答案】A 【详解】抽样比为 ，A 层应抽 人。选 A。 5．若 X 的分布列为 ，，则 （　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 6．甲、乙两台设备的次品率分别为 与 ，应选用（　　） A．乙设备 B．甲设备 C．两台一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】次品率越低越好，故选乙设备。选 A。 7．若 ，且 ，则 （　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 8．从 5 件产品（其中 1 件次品）中不放回地抽检 2 件，至少抽到 1 件次品的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 【多项选择题】 9．关于统计与概率的综合应用，下列说法正确的有（　　） A．频率可以作为概率的估计值 B．样本容量越大，估计越可靠 C．期望可以作为决策的依据 D．方差越小说明数据越稳定 【答案】ABCD 【详解】四项分别说明了频率与概率的关系、样本容量的作用、期望的用途与方差的意义，全部正确。故选 ABCD。 10．关于方案优劣的比较，下列说法正确的有（　　） A．期望收益大的方案通常更优 B．期望相同时，方差小的方案风险更低 C．只比较平均数可能忽略稳定性差异 D．方差越大说明风险越大 【答案】ABCD 【详解】四项都是决策问题中的基本认识，全部正确。故选 ABCD。 11．关于二项分布与超几何分布，下列说法正确的有（　　） A．二项分布对应有放回抽样或独立重复试验 B．超几何分布对应不放回抽样 C．二项分布的期望为 D．超几何分布的期望为 【答案】ABCD 【详解】A、B 是二者的本质区别，C、D 分别是它们的期望公式，全部正确。故选 ABCD。 【填空题】 12．甲、乙两人独立地解一道题，解出的概率分别为 与 ，则至少一人解出的概率为　　　　。 【答案】 【详解】。 13．某班 40 人中有 12 人参加数学竞赛，随机选 1 人，选到参加竞赛者的概率为　　　　。 【答案】 【详解】。 14．若 ，则 　　　　。 【答案】 【详解】。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $