2.12.3 变量的相关性、统计案例-【创新教程】2022-2026五年高考数学真题分类特训

最新真题分类特训·数学 第3节变量的相 [考点1]变量的相关性、回归分析 1.(2026·天津卷，3) 候鸟迁徙数量 为研究候鸟迁徙数 量与空气质量指数 的关系，在不同空 气质量指数(x)下 统计候鸟迁徙数量 空气质量指数： (y),所得数据如图所示，其中y与x的样本 相关系数r=一0.91，根据最小二乘法算得 y=一1.17x十1370.7，下列说法正确的是 ( A.y与x负相关 B.当x=10时，y一定为1359 C.当x=10时，y一定小于1359 D.两变量无线性关系 2.（2024·天津卷，3)下列图中，线性相关系数 最大的是 y个 y个 …. B ，。 0 0 3.(2024·上海卷，13)已知沿海地区气温和海 水表层温度相关，且样本相关系数为正数， 对此描述正确的是 () A.沿海地区气温高，海水表层温度就高 B.沿海地区气温高，海水表层温度就低 C.随着沿海地区气温由低到高，海水表层 温度呈上升趋势 D.随着沿海地区气温由低到高，海水表层 温度呈下降趋势 4.(2023·上海卷，14)某校50名学生的身高与 体重的散点图如下：根据身高和体重散点图， 下列说法正确的是 ( 关性、统计案例 体重八g 100 60 20 0 60165170175180185190195身高/cm A.身高越高，体重越重 B.身高越高，体重越轻 C.身高与体重成正相关 D.身高与体重成负相关 5.(2022·全国乙卷（文），4)分别统计了甲、乙 两位同学16周的各周课外体育运动时长 (单位：h)得如下茎叶图： 甲 乙 615. 8530 6. 3 7532 7. 46 6421 8. 12256666 42 9. 0238 10.1 则下列结论中错误的是 () A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位 数为7.4 B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均 数大于8 C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概 率的估计值大于0.4 D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概 率的估计值大于0.6 6.(2026·上海卷，17)(14分)本题共3个小 题，第1小题满分4分，第2小题满分4分， 第3小题满分6分 某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空 气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了 监测与记录，数据如下： 某颗粒 101.0287.0257.4621.8511.768.865.03 4.633.86 物密度 二氧化 119.4751.84 53.2 9.16 6.6 4.4 3.31 3.35 3.86 硫密度 (1)为进一步研究，从这9年间随机抽取 年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度 的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相 关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图 中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数 在(-1,0)，(0,1)，(1,2)哪个区间内？ (3)2023年之前9年的年份(x)的平均数为 2018,y(颗粒物密度)关于x(年份)的回归 方程拟采用y=106.544e0.461x-21w)或y= a(x一2014)+83.743.若知2023年实际颗 粒物浓度为3.88，则哪个回归方程对于 2023年的预测值与实际值的差的绝对值更 小（精确到0.01）？ 第二部分专题十二概率与统计 (2025·上海卷，17)2024年巴黎奥运会，中 国获得了男子4×100米混合泳接力金牌， 以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接 力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照 升序排列. 206.78207.46207.95209.34209.35 210.68213.73214.84216.93216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个 数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为 y=-0.311x+,年份x的平均数为2006，预 测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）. 最新真题分类特训·数学 [考点2]独立性检验 1.(2025·全国一卷，15)为研究某疾病与超声 波检查结果的关系，从做过超声波检查的人 群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患有该疾病 的概率为p,求p的估计值； (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验， 分析超声波检查结果是否与患该疾病有关， P(x≥k) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 n(ad-bc)2 附：x=a+b(c+D(a+c)(b+d 11丝 2.(2024·全国甲卷（理），17)(12分)某工厂 进行生产线智能化升级改造，升级改造后， 从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150件进行检验，数据如下： 优级品 合极品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品 的优级品率存在差异？能否有99%的把握 认为甲、乙两车间产品的优级品率存在 差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p =0.5.设p为升级改造后抽取的n件产品的 优级品率，如果>p十1.65 ①一卫，则认为 该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的 150件产品的数据，能否认为生产线智能化升 级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？ (/150≈12.247) n(ad-bc)2 附：K=(a+b)(c+a)(a+c)(b+d)' P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 3.8416.635 10.828 3.(2024·上海卷，19)(14分)本题共有3个 小题，第1小题满分4分，第2小题满分4 分，第3小题满分6分. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业 成绩的关系，从该地区29000名学生中随 机抽取580人，得到日均体育锻炼时长（单 位：小时)与学业成绩的数据如表所示： 时间范围 [0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5) 学业优秀 44 42 成绩不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中日均体育锻炼 时长不小于1小时的人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼时长 (精确到0.1小时). (3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀 与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于 2小时有关？ n(ad-bc)2 附：x=(a+b(c+d)(a+c)(b+d)' n=a+b+c+d.P(x2≥3.841)≈0.05. 11E 第二部分专题十二概率与统计 4.(2023·全国甲卷（理），19)(12分)为探究 某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小 鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和 实验组（加药物）. (1)设其中两只小鼠中分配到对照组小鼠数 目为X,求X的分布列和数学期望； (2)测得40只小鼠体重如下（单位：g):(已 按从小到大排好) 对照组：17.318.420.120.421.5 23.224.624.825.025.4 26.126.326.426.526.8 27.027.427.527.628.3 实验组：5.46.66.86.97.88.2 9.410.010.411.2 14.417.319.220.223.6 23.824.525.125.226.0 (1)求40只小鼠体重的中位数m,并完成 下面2×2列联表： <m ≥m 对照组 实验组 (ⅱ)根据2×2列联表，能否有95%的把握 认为药物对小鼠生长有抑制作用.参考 数据： ko 0.10 0.05 0.010 P(K2≥k) 2.706 3.841 6.635 n(ad-bc)2 附K2=(a+b)(c十d)(a+c)b+d) 最新真题分类特训·数学 5.(2023·全国甲卷（文），19)(12分)一项试 验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40 只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验 组，另外20只分配到对照组，试验组的小白 鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠 饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白 鼠体重的增加量（单位：g).试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排 序为 15.218.820.221.322.523.2 25.826.527.530.1 32.634.334.835.635.635.8 36.237.340.543.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排 序为 7.89.211.412.413.215.516. 518.018.819.2 19.820.221.622.823.623.9 25.128.232.336.5 (1)计算试验组的样本平均数；(2)（ⅰ）求 40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再 分别统计两样本中小于m与不小于m的数 据的个数，完成如下列联表： m ≥m 对照组 试验组 (ⅱ)根据（ⅰ）中的列联表，能否有95%的 把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在 正常环境中体重的增加量有差异？ 附：K2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 6.(2022·全国乙卷（理），19)(12分)某地经 过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水 青山.为估计一林区某种树木的总材积量， 随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的 根部横截面积（单位：m)和材积量（单位： m3).得到如下数据： 样本号i1 3 4 5 7 8 10总和 根部横 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6 截面积x 材积量y0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9 并计算得∑x=0.038,∑y=1.6158, 三1 =1 号xy.=0.2474: (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横 截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材 积量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横 截面积，并得到所有这种树木的根部横截面 积总和为186m2.已知树木的材积量与其 根部横截面积近似成正比.利用以上数据给 出该林区这种树木的总材积量的估计值， (x:-x)(y:-y) 附：相关系数r= 含-含o- √/1.896≈1.377.最新真题分类特训·数学 取右端点时，x:为94,107,120,135,150， x右= 40×94+60×107+60×120+28×135+12X150-114.8, 200 方差=200[40×(94-14.8y+60×(107-14.8) +60×(120-114.8)2+28×(135-114.8)2+12×(150 -114.8)2]=244.36. 第3步：下结论 对比可得方差大小关系：<吊<右 6.解：1)z=0[545+533+51+522+575+54+541+ 568+596+548]=552.3, y=六[536+527+543+530+560+533+522+50+ 576+536]=541.3, z=x-y=552.3-541.3=11, 2=x-y的值分别为：9,6,8，-8,15,11,19,18， 20,12, 故2=10(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8 11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20- 11)2+(12-11)2]=61. 2)(1)知：2=11,2/0=2V6.1=V24.4, 有2后， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺 处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 第3节变量的相关性、统计案例 考点1变量的相关性、回归分析 1.A对于A:回归方程y=-1.17x十1370.7，斜率为负， 且相关系数|r|=0.91表示相关程度较高，故判断为负 相关，A选项正确；对于B:当x=10时，y=-1.17×10 +1370.7=1359,回归方程所求y,得到的是预测值，实 际值不一定等于预测值，B项错误；对于C:由选项B分析 可知C选项错误；对于D:相关系数r|=0.91,接近于1，说 明两变量线性相关程度较高，故存在线性关系， 2.A观察4幅图可知，A图散，点分布比较集中，且大体接 近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明 显的正相关，r值相比于其他3图更接近1. 3.C因为沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相 关系数为正数，所以随着沿海地区气温由低到高，海水 表层温度呈上升趋势. 4.C由散点图可知身高与体重成正相关， 5.C对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中 位教为737.5=7,4，A选项结论正确，对于B选项， 2 乙同学课外体育运动时长的样本平均数为： 53+74+2.6+81+8.2+8.2+85+8.6+86+&6+8.6+9.0+3.2+9.3+9.8+101 =8.50625>8,B选项结论正确.对于C选项，甲同学周 课外体有运动时长大于8的概率的估计位=0,375< 0.4,C选项结论错误.对于D选项，乙同学周课体育运 动时长大于8的概率的估计值8=0.8125>0.6，D选 16 项结论正确.故选C. 6.解：(1)由题意，设该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密 度为事件A,显然满足题意共有7年，故P(A)-号，故 该年份颗粒物的容度大于二氧化硫密度的概率为子， (2)经分析应选择散，点图，因相关系数的取值范围是 [一1,1]，所以可以排除区间(1,2)， 通过所给数据可知随着颗粒物密度的减少，二氧化硫密 度也呈现减少的趋势，二者变化方向一致，属于正相关， 因此x>0,综上，相关系数r的取值区间为(0,1). (3)由题意，设样本中心(2018，y), y=号(101.02+87.02+57.46+21.85+1.76+8.86 +5.03+4.63+3.86)≈33.499， 故33.499=a(2018-2014)+83.74→a≈-12.561，y =-12.561(x-2014)+83.743, 故x=2023时，此时y=106.544ea4612023-2o1w)≈1.681，差 值绝对值为2.199， y=-12.561(2023-2014)+83.743≈29.306，差值绝 对值为33.186>2.199， 故y=106.544e0.61r-2010对于2023年的预测值与实 际值的差值绝对值更小. 7.解：(1)由题意，数据最大值为216.93，最小值为206.78， 故极差为216.93一206.78=10.15， 中位数为209.35,210.68=210.015. 2 (2)由题意，数据共有10个，211以上数据共有4个， 故设恰有2个211以上为事件A, PA)=C:C=3, 109 所以，恰有2个数据在21以上的概率为司 (3)由题意，比赛成绩y的平均数为品×(206.78十 207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+ 214.84+216.93+216.93)=211.399. 故y=-0.311x+3过(2006,211.399)，则6=835.265. 即y=-0.311x+835.265, 故要当x=2028时，y=204.557,故2028年冠军队的成 绩约为204.56. 考点2独立性检验 1.解：(1)在1000个样本中，超声波检查结果不正常的人 中患有该疾病的频车为8-0,9， 以样本频率估计总体概率，p的估计值为0.9. (2)H。:超声波检查结果与是否患病无关， n(ad-bc)2 x-(a+b(cFdD(aFe)(b+d)- 。20X20-780×180)12250>10.828 800×200×200×800 概率小概率值α=0.001的独立性检验，应拒绝零假设 H。,即超声波检查结果与是否患病有关. 2.解：(1)列联表如下： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 K2=150(26×30-24X70)2 96×54×100×50 =4.6875 .3.841<4.6875<6.635 ∴.有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品存在差 异，没有99%的把握认为甲乙两车间产品的优级品存在 差异. (2)由1知，p- =0.64,p=0.5, .p+1.65 1=p2=0.5+1.65 /0.5×0.5 150 =0.5+1.65×12.247 0.5 0.567. “D>p+1.65√/D0D n 能认为生产智能化升级改造后，该工厂产品的优级品 率提高了. 3.解：(1)580人中体育锻炼时长不小于1小时人数占比P= 42+3+137十40+2红-隐读地区290名有中学生 580 中体育缎炼时长不小于1小时的人数约为29000×25 58 12500人 (2)该地区初中学生锻炼平均时长约为： [,5×(5+134)+0.5,+1×(44+147) 5802 2 +1+.5×(42+137)+1.5,+2×(3+40) 2 2 2+2.5×(1+27)-2 2 7≈0.9h (3)列联表 时长[1,2) 其他时长 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出零假设H。:成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1 小时且小于2小时无关」 X-580×45X308-177X50)2 95×485×222×358 ≈3.976>3.841. 有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长 不小于1小时且小于2小时有关. 4.解：(1)X的所有可能取值为0,1,2， P(X=0)=c9×(1-)×(1-)=, PX=1)=cx号×(1-)= 详解详析 所以X的分布列为 0 1 1 E(X)=0+1×+2x=1 (2)(1)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两 组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据 的平均数， 由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一 排数据与实验组第二排数据即可， 可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3,17.3,18.4， 19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…, 故第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以m= 23.2+23.6=23.4, 2 故列联表为： <m ≥m合计 对照组 6 14 20 实验组 14 20 合计 20 20 40 (1)由(1)可得，K=40×(6×6-14X14)2 20×20×20×20 =6.400>3.841, 所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用。 5.解：1)试验组样本平均数为0(7.8十9.2+1,4+12.4 +13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2 +21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)= 396=19.8. 20 (2)(1)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两 组数据合在一起，从小到大排列后，第20位与第21位数 据的平均数， 由原数据可得第11位数据为18.8，后续依次为19.2， 19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,…, 故第20位为23.2，第21位数据为23.6， 所以m=23.223.6=23.4, 故列联表为： <m ≥m合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计 20 20 40 (I)由(1)可得，K2=40×(6X6-14X14)2 20×20×20×20 =6.400>3.841, 所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中 与在正常环境中体重的增加量有差异， 最新真题分类特训·数学 6.解：(1)设这种树木平均一棵的根部横截面积为x,平均 一展的材积量为y,剥云-90=0.06=8-0.39， 10 含，一n网 (2)r= √(2x-2)(2-w) -1 0.2474-10×0.06×0.39 √0.038-10×0.062√1.6158-10×0.39 0.0134 0.0134 _0.0134 √0.002×0.09480.01×√/.8960.01377 ≈0.97 (③)设从报事面积感和为X,总材积量为Y,则登- y Y-802×1s6=1209m). 第4节离散型随机变量的分布列、 期望与方差 考点1离散型随机变量的分布列、期望与方差 1.解析：由题意， 1a+0.3+b=1 →b=0.6. -a+b=0.5 答案：0.6 2解折：P(X-3)-5XX3-号：P(X-2)-X9 53 53 25:P(x=1)=5=1 =53=251 故E(X)=1+2×12+3X12=61 25 5 注：每个球至少被取出一次的概率为1一 61 所以EX0=8EX)=5X品-男 答案男 3.解析：本题考查了离散型随机变量的数学期望. E[X]=5×0.2+6×0.3+7×0.5=6.3. 答案：6.3 4.解：(1)P(X=1)== 3P(X=2)=p1-g)= 9 PX=3)=1-pP= PX=0=1-P=品， 所以X的分布列为： 1 2 3 4 2 4 8 3 27 27 (2)记q=1一p. (1)当≤N一1时，事件P(X>)表示前k次都未投 中，所以P(X>)=q=(1-) (i)设A:X>k十m,B:X>k 因此P(X>克+mX>k)=P(AIB)=PAB) P(B) P(X>k十m)_(1-p)+m P(x>。(1-p)∠=1一)"， 又由(i)知P(X>m)=(1-p)m, 所以P(X>k十mX>k)=P(X>m). 1 5.解：(1)用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题目 的挺车为0-青 (2)设A为“从甲校抽取1人做对”， 则P(A)=0.8,则P(A)=0.2, 设B为“从乙校抽取1人做对”， 则P(B)=0.75,则P(B)=0.25, 设C为“恰有1人做对”，故P(C)=P(AB)十P(AB) =P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.35, X可取0,1,2， P(X=0)=P(AB)=0.05,P(X=1)=0.35, P(X=2)=0.8×0.75=0.6, 故X的分布列为： X 0 1 2 P0.050.35 0.6 故E(X)=1×0.35+2×0.6=1.55. (3)设D为“甲校掌握该知识点的学生”， 因为甲校掌握这个知识，点的学生有100%的概率做对该 题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择 一个， 故P(D)+1-P(D)=0.8即A+}×(1-)= 4 11 0.8,故p=15' 同里有0.85p:十子×(1-p:)=0.75,放A=名， 故p1<p2: 6.解：(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶 段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， .比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.63)(1-0.53) =0.686. (2)(「)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比 赛成绩为15分的概率为P,=[1一(1一p)3]g 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率为P,=[1一(1一g)3门·p, .P-P:=q-(q-pq)-+(p-pq) =(g-p)(g2+pg十p2)+(p-q)·[(p-pg)2+(g pq)2+(p-pq)(q-pq)] =(p-q)(3p2g2-3p2g-3pg2) =3pq(p-q)(pq-p-q) =3p9q(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0 ∴P甲>P,应该由甲参加第一阶段比赛. (川)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X的所有可能 取值为0,5,10,15， P(X=0)=(1-)3+[1-(1-)3]·(1-g)3, P(X=5)=[1-(1-)3]C3q·(1-q)2, P(X=10)=[1-(1-p)3]·Cg2(1-q), P(X=15)=[1-(1-p)3]·g3, ∴.E(X)=15[1-(1-)3]q=15(p3-3p2+3p)·9, 记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩y的所有可能取值 为0,5,10,15，