专题25 随机变量及其分布专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题25　随机变量及其分布 群哥高中数学辅导资料 专题25　随机变量及其分布 一、核心知识 分布列 两点分布 二项分布 超几何分布 正态分布 数学期望 方差 标准差 组合数 独立重复试验 3σ 原则 二、题型精练 题型一　离散型随机变量及其分布列 【方法与技巧】 写分布列分三步：先定随机变量的所有可能取值，再逐个算概率，最后列表并检验概率之和为 。 检验算得对不对，就看一件事：所有概率之和是否等于 ，这是白送的验算口。 求某个范围内的概率用互斥事件相加，如 。 计数类分布列用组合数算概率：『任取 个』用 ，注意是不放回还是有放回。 【例题精讲】 1．随机变量 的分布列为 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由概率之和为 得 。故选：D。 2．袋中有 个红球、 个白球，从中任取 个球，记 为取到红球的个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】总数 ，恰 个红球有 种，概率为 。故选：D。 3．掷一枚质地均匀的骰子，记 为出现的点数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】每个点数概率都是 ，故 。故选：C。 【变式训练】 1．随机变量 的分布列为 ，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由概率之和为 得 。故选：C。 2．袋中有 个红球、 个白球，从中任取 个球，记 为取到白球的个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】总数 ，两个白球有 种，概率为 。故选：D。 3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，记 为正面向上的枚数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】基本事件共 个，恰一枚正面有 个，概率为 。故选：C。 4．随机变量 的分布列为 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 5．袋中有 个红球、 个白球，从中任取 个球，记 为取到红球的个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】总数 ，恰 个红球有 种，概率为 。故选：B。 6．关于离散型随机变量的分布列，下列说法正确的是（　　） A．分布列中每个概率都可以大于 B．分布列中的概率可以为负数 C．离散型随机变量只能取整数 D．分布列中所有概率之和等于 【答案】D 【详解】分布列的两条性质： 且 。故选：D。 【巩固练习】 1．随机变量 的分布列为 ，，，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 2．袋中有 个红球、 个白球，从中任取 个球，记 为取到红球的个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】总数 ，两个红球有 种，概率为 。故选：B。 3．掷一枚质地均匀的骰子，记 为出现的点数，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】 共 个，概率为 。故答案为：。 4．抛掷 枚质地均匀的硬币，记 为正面向上的枚数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】基本事件共 个，恰 枚正面有 个，概率为 。故选：D。 5．随机变量 只取 与 两个值，且 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 6．袋中有 个白球、 个黑球，从中任取 个球，记 为取到黑球的个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】没有黑球即两个都是白球，。故选：A。 7．随机变量 的分布列为 ，，，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 8．袋中有 个球，其中 个红球、 个黄球，从中任取 个，记 表示取到红球、 表示取到黄球，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 题型二　二项分布 【方法与技巧】 判定二项分布看三条：每次试验只有两个结果、各次相互独立、每次成功的概率相同。 时 ，，这两个结论要当成常识直接用。 求『至少 次』用对立事件：，比逐项相加快得多。 二项分布对应有放回抽样或独立重复试验，与超几何分布的不放回模型不要混用。 【例题精讲】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】二项分布的期望 。故选：B。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 3．已知 ，且 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 与 得 ，故 ，即 。故选：C。 【变式训练】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 4．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用对立事件：。故选：D。 5．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 6．下列试验中，随机变量服从二项分布的是（　　） A．从 件含 件次品的产品中不放回取 件，次品数 B．掷一枚骰子出现的点数 C．某路口一天内经过的车辆数 D．某射手独立重复射击 次，命中次数 【答案】D 【详解】只有独立重复试验且每次『命中／不命中』概率不变才服从二项分布；不放回是超几何分布。故选：D。 【巩固练习】 1．已知 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 3．已知 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 4．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 5．某射手每次射击命中率为 ，独立射击 次，则恰好命中 次的概率为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 6．已知 且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故 。故选：D。 7．已知 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 8．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 题型三　超几何分布 【方法与技巧】 超几何分布对应不放回抽样：，其中 为总数、 为某类个数。 超几何分布的期望有个简便结论：，与二项分布的 形式一致。 当总数 很大而抽取数 很小时，超几何分布可近似看成二项分布。 写超几何分布的概率时，先确认组合数的上标之和等于抽取个数 ，下标之和等于总数 。 【例题精讲】 1． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】总数 ，。故选：C。 2． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】超几何分布的期望 。故选：B。 3． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 【变式训练】 1． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 2． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 3． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 4． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 5．关于超几何分布与二项分布，下列说法正确的是（　　） A．两者完全等价 B．超几何分布对应不放回抽样，二项分布对应有放回抽样或独立重复试验 C．超几何分布的期望为 D．二项分布只能用在不放回抽样中 【答案】B 【详解】超几何分布是不放回模型，二项分布是有放回或独立重复试验模型。故选：B。 6． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 【巩固练习】 1． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 2． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 3． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 4． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 5． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 6． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 7． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 8．下列随机变量服从超几何分布的是（　　） A．独立重复射击 次的命中次数 B．掷一枚骰子 次出现 点的次数 C．从 件含 件次品的产品中不放回任取 件，其中的次品件数 D．有放回取球 次取到红球的次数 【答案】C 【详解】只有不放回抽样对应的模型是超几何分布；其余三项都是二项分布。故选：C。 题型四　正态分布 【方法与技巧】 正态曲线关于 对称，且在 处达到最高点，所以 。 决定胖瘦： 越小曲线越瘦高，数据越集中在 附近。 记住三个常用数据：，，。 求正态分布的概率就把区间端点标准化成与 、 的关系，再利用对称性与 原则。 【例题精讲】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】正态曲线关于 对称，故 。故选：C。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D．与 有关 【答案】A 【详解】正态曲线关于 对称，故 。故选：A。 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 中第二个参数是方差，故 。故选：B。 【变式训练】 1．已知 且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由对称性 。故选：A。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正态曲线关于 对称，故 。故选：D。 3．已知 且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由对称性 。故选：A。 4．已知 ，则 约为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 原则，。故选：A。 5．关于正态密度曲线，下列说法正确的是（　　） A．曲线关于 对称 B．曲线与 轴有交点 C．曲线关于 对称，且在 处达到最高 D． 越大曲线越瘦高 【答案】C 【详解】正态曲线关于 对称，在 处最高； 越小才越瘦高。故选：C。 6．已知 ，若 变小，则正态密度曲线（　　） A．变得更矮更胖 B．形状不变 C．向右平移 D．变得更瘦更高 【答案】D 【详解】 越小，数据越集中在 附近，曲线越瘦越高。故选：D。 【巩固练习】 1．已知 ，则 ， 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】，故 。故答案为：。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连续型随机变量取单点概率为 ，故两者之和为 。故选：A。 3．已知 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】由对称性得 。故答案为：。 4．已知 且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 5．正态密度曲线与 轴围成的总面积为______．　　　　 【答案】 【详解】由概率的归一性，总面积为 。故答案为：。 6．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线关于 对称，故 。故选：B。 7．已知 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】由对称性得 。故答案为：。 8．关于正态分布，下列说法正确的是（　　） A．正态分布只由均值确定 B．正态变量只能取正值 C．正态分布一定是离散型 D．正态分布由均值 与方差 唯一确定 【答案】D 【详解】正态分布由 与 两个参数确定；它是连续型分布。故选：D。 题型五　离散型随机变量的均值与方差 【方法与技巧】 均值按定义算：，先列分布列再加权求和。 方差常用 ，比用定义逐项相减更不容易算错。 线性变换结论：，，平移不影响方差。 比较两个方案时先看期望（看平均水平），期望相同时再看方差（看稳定性）。 【例题精讲】 1．随机变量 的分布列为 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 2．已知 ，令 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 【变式训练】 1．随机变量 的分布列为 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 2．随机变量 的分布列为 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 。故选：A。 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 4．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。故选：A。 5．甲、乙两台机床生产同一种零件，其长度（单位：mm）的期望都是 ，方差分别为 、，则（　　） A．乙机床生产的零件长度更稳定 B．两台机床稳定性相同 C．甲机床生产的零件长度更稳定 D．无法比较 【答案】C 【详解】方差越小越稳定，，故甲机床更稳定。故选：C。 6．关于均值与方差，下列说法正确的是（　　） A．均值越大方差越大 B．方差刻画随机变量取值偏离均值的平均程度 C．方差可以为负数 D．均值与方差总是相等 【答案】B 【详解】方差反映离散程度，恒非负；与均值的大小没有必然联系。故选：B。 【巩固练习】 1．已知 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 3．已知 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 4．随机变量 的分布列为 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 5．已知 ，，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 6．若随机变量 满足 ，则（　　） A． 几乎必然取某个常数 B． 一定等于 C． D． 无分布列 【答案】A 【详解】方差为 说明取值没有波动，即 几乎必然等于其期望这个常数。故选：A。 7．已知 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 8．某种投资收益 的期望为 万元、方差为 ，另一种投资 的期望为 万元、方差为 ，若只想少冒风险，应选择（　　） A．投资 B．投资 C．两者相同 D．无法判断 【答案】A 【详解】期望相同看方差，方差小的风险小，选 。故选：A。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．随机变量 的分布列为 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 4． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为次品件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 5．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对称性 。故选：C。 6．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 7．掷两枚均匀骰子，记 为点数之和，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】每枚骰子点数的期望为 ，故 。故选：B。 8．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 【多项选择题】 9．关于离散型随机变量的分布列，下列说法正确的是（　　） A．每个概率都非负 B．所有概率之和为 C．可以由分布列求出均值与方差 D．分布列中的取值必须连续 【答案】ABC 【详解】A、B、C 正确；离散型变量的取值是可一一列出的，不必连续，D 错误。故选：ABC。 10．关于二项分布与超几何分布，下列说法正确的是（　　） A．二项分布的期望为 B．超几何分布的期望为 C．有放回抽样对应二项分布 D．不放回抽样对应二项分布 【答案】ABC 【详解】A、B、C 正确；不放回抽样对应超几何分布，D 错误。故选：ABC。 11．关于正态分布，下列说法正确的是（　　） A．正态曲线关于 对称 B． C． 越小曲线越瘦高 D．正态变量只能取非负实数 【答案】ABC 【详解】A、B、C 正确；正态变量的取值范围是全体实数，D 错误。故选：ABC。 【填空题】 12．已知 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 13． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为次品件数，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 14．已知 ，，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题25　随机变量及其分布 群哥高中数学辅导资料 专题25　随机变量及其分布 一、核心知识 分布列 两点分布 二项分布 超几何分布 正态分布 数学期望 方差 标准差 组合数 独立重复试验 3σ 原则 二、题型精练 题型一　离散型随机变量及其分布列 【方法与技巧】 写分布列分三步：先定随机变量的所有可能取值，再逐个算概率，最后列表并检验概率之和为 。 检验算得对不对，就看一件事：所有概率之和是否等于 ，这是白送的验算口。 求某个范围内的概率用互斥事件相加，如 。 计数类分布列用组合数算概率：『任取 个』用 ，注意是不放回还是有放回。 【例题精讲】 1．随机变量 的分布列为 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．袋中有 个红球、 个白球，从中任取 个球，记 为取到红球的个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．掷一枚质地均匀的骰子，记 为出现的点数，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．随机变量 的分布列为 ，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．袋中有 个红球、 个白球，从中任取 个球，记 为取到白球的个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，记 为正面向上的枚数，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．随机变量 的分布列为 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．袋中有 个红球、 个白球，从中任取 个球，记 为取到红球的个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．关于离散型随机变量的分布列，下列说法正确的是（　　） A．分布列中每个概率都可以大于 B．分布列中的概率可以为负数 C．离散型随机变量只能取整数 D．分布列中所有概率之和等于 【巩固练习】 1．随机变量 的分布列为 ，，，则 的值为______．　　　　 2．袋中有 个红球、 个白球，从中任取 个球，记 为取到红球的个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．掷一枚质地均匀的骰子，记 为出现的点数，则 的值为______．　　　　 4．抛掷 枚质地均匀的硬币，记 为正面向上的枚数，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．随机变量 只取 与 两个值，且 ，则 的值为______．　　　　 6．袋中有 个白球、 个黑球，从中任取 个球，记 为取到黑球的个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 7．随机变量 的分布列为 ，，，则 的值为______．　　　　 8．袋中有 个球，其中 个红球、 个黄球，从中任取 个，记 表示取到红球、 表示取到黄球，则 等于（　　） A． B． C． D． 题型二　二项分布 【方法与技巧】 判定二项分布看三条：每次试验只有两个结果、各次相互独立、每次成功的概率相同。 时 ，，这两个结论要当成常识直接用。 求『至少 次』用对立事件：，比逐项相加快得多。 二项分布对应有放回抽样或独立重复试验，与超几何分布的不放回模型不要混用。 【例题精讲】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．已知 ，且 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．下列试验中，随机变量服从二项分布的是（　　） A．从 件含 件次品的产品中不放回取 件，次品数 B．掷一枚骰子出现的点数 C．某路口一天内经过的车辆数 D．某射手独立重复射击 次，命中次数 【巩固练习】 1．已知 ，则 的值为______．　　　　 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 的值为______．　　　　 4．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．某射手每次射击命中率为 ，独立射击 次，则恰好命中 次的概率为______．　　　　 6．已知 且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，则 的值为______．　　　　 8．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 题型三　超几何分布 【方法与技巧】 超几何分布对应不放回抽样：，其中 为总数、 为某类个数。 超几何分布的期望有个简便结论：，与二项分布的 形式一致。 当总数 很大而抽取数 很小时，超几何分布可近似看成二项分布。 写超几何分布的概率时，先确认组合数的上标之和等于抽取个数 ，下标之和等于总数 。 【例题精讲】 1． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 2． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 3． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 4． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．关于超几何分布与二项分布，下列说法正确的是（　　） A．两者完全等价 B．超几何分布对应不放回抽样，二项分布对应有放回抽样或独立重复试验 C．超几何分布的期望为 D．二项分布只能用在不放回抽样中 6． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 的值为______．　　　　 2． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 3． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 的值为______．　　　　 4． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 5． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 的值为______．　　　　 6． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 7． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为取到次品的件数，则 的值为______．　　　　 8．下列随机变量服从超几何分布的是（　　） A．独立重复射击 次的命中次数 B．掷一枚骰子 次出现 点的次数 C．从 件含 件次品的产品中不放回任取 件，其中的次品件数 D．有放回取球 次取到红球的次数 题型四　正态分布 【方法与技巧】 正态曲线关于 对称，且在 处达到最高点，所以 。 决定胖瘦： 越小曲线越瘦高，数据越集中在 附近。 记住三个常用数据：，，。 求正态分布的概率就把区间端点标准化成与 、 的关系，再利用对称性与 原则。 【例题精讲】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D．无法确定 　 　 　 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D．与 有关 　 　 　 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．已知 且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．已知 且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，则 约为（　　） A． B． C． D． 5．关于正态密度曲线，下列说法正确的是（　　） A．曲线关于 对称 B．曲线与 轴有交点 C．曲线关于 对称，且在 处达到最高 D． 越大曲线越瘦高 6．已知 ，若 变小，则正态密度曲线（　　） A．变得更矮更胖 B．形状不变 C．向右平移 D．变得更瘦更高 【巩固练习】 1．已知 ，则 ， 的值为______．　　　　 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 的值为______．　　　　 4．已知 且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．正态密度曲线与 轴围成的总面积为______．　　　　 6．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，则 的值为______．　　　　 8．关于正态分布，下列说法正确的是（　　） A．正态分布只由均值确定 B．正态变量只能取正值 C．正态分布一定是离散型 D．正态分布由均值 与方差 唯一确定 题型五　离散型随机变量的均值与方差 【方法与技巧】 均值按定义算：，先列分布列再加权求和。 方差常用 ，比用定义逐项相减更不容易算错。 线性变换结论：，，平移不影响方差。 比较两个方案时先看期望（看平均水平），期望相同时再看方差（看稳定性）。 【例题精讲】 1．随机变量 的分布列为 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．已知 ，令 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．随机变量 的分布列为 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．随机变量 的分布列为 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．甲、乙两台机床生产同一种零件，其长度（单位：mm）的期望都是 ，方差分别为 、，则（　　） A．乙机床生产的零件长度更稳定 B．两台机床稳定性相同 C．甲机床生产的零件长度更稳定 D．无法比较 6．关于均值与方差，下列说法正确的是（　　） A．均值越大方差越大 B．方差刻画随机变量取值偏离均值的平均程度 C．方差可以为负数 D．均值与方差总是相等 【巩固练习】 1．已知 ，则 的值为______．　　　　 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 的值为______．　　　　 4．随机变量 的分布列为 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，则 的值为______．　　　　 6．若随机变量 满足 ，则（　　） A． 几乎必然取某个常数 B． 一定等于 C． D． 无分布列 7．已知 ，则 的值为______．　　　　 8．某种投资收益 的期望为 万元、方差为 ，另一种投资 的期望为 万元、方差为 ，若只想少冒风险，应选择（　　） A．投资 B．投资 C．两者相同 D．无法判断 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．随机变量 的分布列为 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 4． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为次品件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 7．掷两枚均匀骰子，记 为点数之和，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．关于离散型随机变量的分布列，下列说法正确的是（　　） A．每个概率都非负 B．所有概率之和为 C．可以由分布列求出均值与方差 D．分布列中的取值必须连续 10．关于二项分布与超几何分布，下列说法正确的是（　　） A．二项分布的期望为 B．超几何分布的期望为 C．有放回抽样对应二项分布 D．不放回抽样对应二项分布 11．关于正态分布，下列说法正确的是（　　） A．正态曲线关于 对称 B． C． 越小曲线越瘦高 D．正态变量只能取非负实数 【填空题】 12．已知 ，则 的值为______．　　　　 13． 件产品中含有 件次品，从中任取 件，记 为次品件数，则 的值为______．　　　　 14．已知 ，，则 的值为______．　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $