专题12.3 二项式定理 专项训练-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦二项式定理高考核心考点，涵盖展开式特定项与系数、最大二项式系数与系数、系数和、三项及乘积展开式四大模块，按问题类型分层梳理知识点，通过考点解析、方法归纳（如通项公式应用、待定系数法）、真题示例与分层练习，构建系统复习路径，助力学生突破难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如通过建立不等式组求最大系数，训练逻辑推理能力，用赋值法求系数和，强化符号表达与模型意识。设置基础到综合的阶梯式练习，配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

专题11.3 二项式定理 11.3.1 求二项展开式的第（r+1）项 1.二项式定理：一般地，对于任意正整数 ，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，展开式的通项公式为第项：，其中的系数()叫做二项式系数. 通项公式的特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同； （3）与 的次数之和为 . 2.二项式的展开式的特点： （1）项数：共有项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：二项式系数依次是；第项的二项式系数为， 最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数.字母降幂排列，次数由到；字 母升幂排列，次数从到，每一项中， 次数和均为； （4）项的系数：项的系数是与的系数（包括二项式系数）. 例1.二项式的展开式中常数项为.（用数字作答） 解：，令 得，所以展开式中的常数项为 ．故答案为：210. 例2.在二项式的展开式中，的系数为 _________. 解：结合二项式定理的通项公式有：， 令可得：，则的系数为：．故答案为：． 例3.若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为 ________. 解：因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即，所以，所以展开式的通项为．令，解得，所以，所以的系数为 .故答案为：56. 例4.展开式中系数为有理数的项共有（ ） A. 2 项      B. 3 项      C. 4 项      D. 5 项 解：展开式的通项公式为： 所以展开式中的第1项、第3项、第5项、第7项、第9项的系数均为有理数，共5项. 故选：D. 例5.已知（其中 ）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有（ ） A. 6 项      B. 5 项      C. 4 项      D. 3 项 解：展开式的第7项为： 由题意，得，，()，所以，， 则展开式的通项为，， 令，则，所以展开式中的有理项共有3项. 故选：D. 1.的第3项为 . 解：第3项，代入公式可得：， 指数；。故答案为：。 2.的第3项为 . 解：第3项，代入公式可得：，，指数合并为3，。故答案为：。 3.的常数项为 . 解：，，常数项：。 故答案为：。 4.的常数项为 . 解：，， 常数项：。故答案为：。 5.已知的常数项为，则实数为 . 解：，令， 代入：， 化简：。故答案为1. 6.中项的系数为 . 解：，， 系数：。故答案为：。 7.常数，展开式中的系数为，则 . 解：展开式的通项为, 令可得, 所以展开式中的系数为, 可得: 或 (舍), 所以, 故答案为:. 8.展开式中的常数项为（ ） A. 1 B. 46 C. 4245 D. 4246 解：常数项为．故选：D. 9.设常数 ，若 的二项展开式中 项的系数为 ，则 . 解：的展开式的通项为, 令, 得, 的系数是, 项的系数为, , 得.故答案为：-2. 10.在二项式 的展开式中，常数项是 ；系数为有理数的项的个数是 . 解：的通项为，可得常数项为， 因系数为有理数，，有共5个项.故答案为：， . 11.若的展开式中有理项的系数和为2，则展开式中的系数为. 解： ()， 时为有理项， ，由，∴系数：，故答案为：． 12.的展开式中，有理项是第项. 解：的展开式的通项，其中，当为有理项时，为整数，结合，所以，即有理项是展开式中的第项，故答案为：. 13.若的展开式常数项为84，则 . 解：的展开式通项为, 由题意可得，解得：. 故答案为: 9. 14.在的展开式中，项的系数为_________. 解：展开式的通项公式：令可得， 则项的系数为.故答案为：60. 11.3.2 求最大二项式系数和最大的系数 1.二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对中的进行讨论： （1）如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； （2）如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． 2.展开式中系数最大的项的求法：设展开式中各项的系数分别为，且第项最大，应用，解出，即得出系数最大的项． 例1.的展开式中二项式系数最大的项为（ ） A. 第二项 B. 第三项 C. 第四项 D. 第五项 解：由的展开式中，项的二项式系数为，根据二项式系数的性质得，当时，，即第四项的二项式系数最大.故选：C. 例2.若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（ ） A. 第二项 B. 第三项 C. 第四项 D. 第五项 解：因为的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，所以，解得， 则的展开式通项为， 当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数，所以展开式中系数最大时，为偶数，由展开式通项可知，，， ，，所以展开式中系数最大的是第三项，故选：B. 例3.在的展开式中，系数最大的项为 . 解：因为的通项为，的通项为， 展开式系数最大的项为，展开式系数最大的项为， 在的展开式中，系数最大的项为.故答案为：. 例4.在二项式的展开式中只有第4项二项式系数最大, 则展开式中的常数项为 . 解：因为二项式的展开式中只有第项二项式系数最大，故二项式的展开式有项，则，故的通项公式为，， 令，故展开式中的常数项为，故答案为：. 1.在()的二项展开式中,若只有的系数最大,则=（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 解：由题意知，在的展开式中，只有的系数最大，则为偶数，且二项式的系数最大为，所以，得.故选：C. 2.已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大, 则展开式中的常数项为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 解：已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则只能，从而 的展开式为，令，解得，所以展开式中的常数项为.故选：A. 3.已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ） A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项 解：由已知，故，故通项为， 故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数， ，，故最大，因此第七项的系数最大.故选：C. 4.的展开式中系数最大的项为（ ） A. B. C. 或 D. 解：的展开式的通项公式为，，由二项式系数中，最大，此时该二项展开式中第5项的系数 最大，的展开式中系数最大的项为，故选：D. 5.的系数最大项为 . 解：，不等式解得，整数。 。故答案为：第4项。 6.已知二项式系数最大项仅有第6项；则系数绝对值最大项为 .解：步二项式系数仅1项最大偶数，， 的通项，系数绝对值。 则：解得，整数。 故答案为：；系数绝对值最大项为第8项。 7.的系数绝对值最大项为 . 解：系数绝对值，不等式解得，整数。 。故答案为：第4项。 8.的展开式最大正系数项为 . 解：，系数，偶数时系数为正：。 ， 对应第3项系数最大：。故答案为：第3项。 9.已知，则展开式中系数绝对值最大项为 ；展开式最大正系数项为 。 解：通项，系数， 设系数绝对值，联立比值不等式：解得； 计算全部验证：， ①系数绝对值最大值在，对应第3项：。 ②为偶数，系数为正，因此该项也是最大正系数项。 故答案为：①系数绝对值最大项：第3项；②最大正系数项：第3项。 10.已知的展开式中, 仅有第4项的二项式系数最大, 则展开式中第5项是 . 解：由题可得，，解得，所以.故答案为：. 11.设为正整数, 展开式的二项式系数的最大值为, 展开式的二项式系数的最大值为,若,则 . 解：由展开式的二项式系数的最大值为，则有，由展开式的二项式系数的最大值为，则有，由，故有，即， 即，即，解得.故答案为：. 12.已知的二项展开式中系数最大的项为. 解：设系数最大的项为，则，解得， 因为且为整数，所以，此时最大的项为.故答案为：. 11.3.3 二项式系数和与二项式展开式各项系数的和 1.二项式系数和：令，则二项式系数的和为，变形形式． 2.二项式系数的性质 （1） ． （2）对称性：． 3.设。 （1）令，可得：； （2）令，可得：，即： （假设为偶数），再结合①可得：. 4.若，则： （1）常数项：令，得. （2）各项系数和：令，得. 例1.已知展开式中常数项为1120，实数是常数，则展开式中各项系数的和是（ ） A. B. C. 1 或 D. 1 或 解：展开式通项为，令，则，，，所以展开式中各项系数和为或.故选：C. 例2.若的展开式中的各项系数和为243，则（ ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 解：因为， 令可得，解得 ，令可得， 令可得，所以.故选：B. 例3.在二项式的展开式中，第三项为常数项，展开式中二项式系数和为，所有项的系数和为，则 . 解：二项式的展开式通项 令，则可得，所以，所以二项式的展开式中二项式系数和， 令，可得所有项的系数和，则 故答案为： 例4.已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解：二项式的各项系数的和为，二项式的各项二项式系数的和为，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，所以，.故选：C. 1.下列式子运算结果等于的是( ) A. B. C. D. 解：奇偶下标二项式系数和均为，B选项为偶数下标二项式系数和。故选：B. 2.全部项系数之和为( ) A.27 B.64 C.125 D.216 解：令，原式。故选：C. 3.，展开式偶数次项系数之和为( ) A.365 B.364 C.363 D.362 解：联立方程组：，两式相加得，故。 故选：A. 4.各项系数和为64，则正实数( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解：令，，结合为正数，得，即。故选：A. 5.下列结论错误的是( ) A.二项式系数和恒为 B.奇偶下标二项式系数和均为 C.各项系数和为 D.偶次项系数和为16 解：计算得，D错误；其余选项均符合赋值法公式。 故选：D. 6.若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A. B. C. 162 D. 540 解：根据题意，由于展开式各项系数之和为，解得，则展开式的常数项为，故答案为：A. 7.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. B. C. D. 解：因为的展开式中第项与第项的二项式系数相等，所以，解得.所以二项式中奇数项的二项式系数和为. 8.若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 120 解：.，令， 常数项：，故选：B. 9.设，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 解：令，代入 可得：，则. 故选: . 10.（多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 解：对A：对有，则，故A正确； 对B：令，有，令，则有， 故，故B错误； 对C：令 ，则有， 故，故C错误； 对D：令，则， 则，故D正确.故选：AD. 11.若 ()，则 .（用数字作答） 解：由，令，得； 令，得，所以； 所以． 故答案为：2004. 12.若展开式的各项系数之和为32，则 ，其展开式中的常数项为 .（用数字作答） 解：显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和， 也即； ，常数项 ．故答案为：5,10. 13.若，则 .（用数字作答） 解：令可得，令：，所以. 故答案为：31. 11.3.4 三项展开式的系数问题 两个二项式乘积展开式的系数问题 1.两个二项式乘积展开式的系数问题：根据多项式与多项式的乘法法则得到 的展开式中一般项为：，再依据题目中对指数的特殊要求，确定k与r所满足的条件，进而求出k，r的取值情况． 2.三项展开式的系数问题： （1）因式分解法：将三项式利用因式分解化为两个二项式的乘积，然后再用二项式定理求解问题. （2）逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题. （3）组合法：把(a+b+c)”看成n个(a+b+c)的积，利用组合知识分析项的构成. 例1.在的展开式中，项的系数为（ ） A. 6480 B. 2160 C. 60 D. 解：相当于6个因式相乘，其中一个因式取，有种取法，余下5个因式中有2个取，有种取法，最后3个因式中全部取，有种取法，故展开式中的系数为 .故选：A. 例2.的展开式中的系数为 . 解：因为是由5个相乘得到，使用要想产生，则出1个，出2个，出2个，故所求系数为. 故答案为：. 例3.在的展开式中，的系数为（ ） A.    B. 4    C.    D. 8 解：在的展开式中，通项公式为，故，的系数分别为，， 所以在的展开式中，的系数为.故选：D. 例4.的展开式中的系数是（ ） A.    B.    C. 2    D. 4 解：， 二项式的通项公式为：， 故的展开式中含的项为，所以的系数为.故选：C. 例5.的展开式中的系数是（ ） A. 56    B. 84    C. 112    D. 168 解：因为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，所以的系数为.故选：D. 1.展开式项的系数为 。 解：设取：；取：， 约束，整数解：， ：， ：， ：， 累加：，故答案为：。 2.展开式中的常数项为 。 解：先写通项：，原式拆分：， ，令指数：， 对应值：。 ，令指数：， 对应值：。 常数项总和：。故答案为：。 3.展开式中项系数为 。 解：因式变形：，原式， 拆分，：次数最低3，对应，无贡献 取：，系数。 故答案为：。 4.展开式中常数项为 。 解：分组，通项， ，最低次数；要常数项需，即， 。故答案为：。 5.展开式中常数项为 。 解：分组，通项， ：，常数项， ：，次数，无常数项， ：，无常数项， ：，常数贡献1，总和：。故答案为：4. 6.展开式中项系数为 。 解：分解，设取，取，， ，， 逐项计算累加： ：， ：， ：， ：， 总和：。故答案为：60. 7.展开式中的常数项为 . 解：因为展开式的通项为, 所以展开式中的常数项共有两种来源： ①,解得,此时常数为; ②,解得,此时常数为; 所以展开式中的常数项为. 8.的展开式中的常数项为 （用数字作答）. 解：方法一：不妨设，则可化为， 其展开式的通项为，令，得， 故所求常数项为． 方法二：原式，所以求的展开式中的常数项， 可转化为求的展开式中含项的系数，即． 故所求的常数项为 ． 方法三：的展开式的第项为，的展开式的第项为 ()． 令，则，可得或或． 当时，； 当时， ； 当时，. 综上，的展开式中的常数项为.故答案为：. 9.的展开式中常数项为 .（用数字作答） 解：因为 , 其中展开式的通项为, 令得的常数项为 , 令 ,即得展开式中的系数为 . 所以的常数项为 .故答案为：182. 10.的展开式中，的系数为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 解：在的5个因式中，2个取因式中，剩余的3个因式中1个取，其余因式取，故的系数为，故选：C. 11.的展开式中，项的系数为（ ） A. 10 B. C. 60 D. 解：由多项式展开式的通项为， 令，可得，又由展开式的通项为， 当时，可得，所以展开式中项系数为，故选：C. 12.在的展开式中，的系数为（ ） A. 9    B. 15    C.    D. 解：， 易知，的展开式中，没有项； 因为的展开式的通项为：，令，即， 所以 展开式中，的系数为； 又因为 的展开式的通项为：， 令，即，所以 展开式中，的系数为； 综上，在的展开式中，的系数为，故选：A. 13.的展开式中的系数为（ ） A. B. 20 C. D. 30 解：因为的展开式通项为：, 当时，出现 ，即，此时中含的项为,所以的系数为 .故选：D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.3 二项式定理 11.3.1 求二项展开式的第（r+1）项 1.二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 （1）二项式定理：一般地，对于任意正整数 ，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，展开式的通项公式为第项：，其中的系数()叫做二项式系数. （2）二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数.字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次数从到，每一项中， 次数和均为； ④项的系数：二项式系数依次是；项的系数是与的系数（包括二项式系数）. 2.二项展开式的通项： 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同； （3）与 的次数之和为 . 3.求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点，一般需要建立方程求，再将 的值代回通项求解，注意的取值范围(). （1）第项：此时，直接代入通项. （2）常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程. （3）有理项：令通项公式中“变元”的幂指数为整数建立方程. 例1.二项式的展开式中常数项为.（用数字作答） 例2.在二项式的展开式中，的系数为 _________. 例3.若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为 ________. 例4.展开式中系数为有理数的项共有（ ） A. 2 项      B. 3 项      C. 4 项      D. 5 项 例5.已知（其中 ）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有（ ） A. 6 项      B. 5 项      C. 4 项      D. 3 项 1.的第3项为 . 2.的第3项为 . 3.的常数项为 . 4.的常数项为 . 5.已知的常数项为，则实数为 . 6.中项的系数为 . 7.常数，展开式中的系数为，则 . 8.展开式中的常数项为（ ） A. 1 B. 46 C. 4245 D. 4246 9.设常数 ，若 的二项展开式中 项的系数为 ，则 . 10.在二项式 的展开式中，常数项是 ；系数为有理数的项的个数是 . 11.若的展开式中有理项的系数和为2，则展开式中的系数为. 12.的展开式中，有理项是第项. 13.若的展开式常数项为84，则 . 14.在的展开式中，项的系数为_________. 11.3.2 求最大二项式系数和最大的系数 1.二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对中的进行讨论： ①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； ②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． 2.展开式中系数最大的项的求法 求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求()的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项的系数分别为，且第项最大，应用，解出，即得出系数最大的项． 例1.的展开式中二项式系数最大的项为（ ） A. 第二项 B. 第三项 C. 第四项 D. 第五项 例2.若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（ ） A. 第二项 B. 第三项 C. 第四项 D. 第五项 例3.在的展开式中，系数最大的项为 . 例4.在二项式的展开式中只有第4项二项式系数最大, 则展开式中的常数项为 . 1.在()的二项展开式中,若只有的系数最大,则=（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 2.已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大, 则展开式中的常数项为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 3.已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ） A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项 4.的展开式中系数最大的项为（ ） A. B. C. 或 D. 5.的系数最大项为 . 6.已知二项式系数最大项仅有第6项；则系数绝对值最大项为 . 7.的系数绝对值最大项为 . 8.的展开式最大正系数项为 . 9.已知，则展开式中系数绝对值最大项为 ；展开式最大正系数项为 。 10.已知的展开式中, 仅有第4项的二项式系数最大, 则展开式中第5项是 . 11.设为正整数, 展开式的二项式系数的最大值为, 展开式的二项式系数的最大值为,若,则 . 12.已知的二项展开式中系数最大的项为. 11.3.3 二项式系数和与二项式展开式各项系数的和 1.（1）二项式系数和： 令，则二项式系数的和为，变形形式 ． （2）二项式系数的性质 ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 ． ②对称性：每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． ③奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，在二项式定理中，令，则，从而得到： ． 2.（1）设,二项式定理是一个恒等式，即对的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取的值. ①令，可得：； ②令，可得：，即： （假设为偶数），再结合①可得：. （2）若，则： ①常数项：令，得. ②各项系数和：令，得. 例1.已知展开式中常数项为1120，实数是常数，则展开式中各项系数的和是（ ） A. B. C. 1 或 D. 1 或 例2.若的展开式中的各项系数和为243，则（ ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 例3.在二项式的展开式中，第三项为常数项，展开式中二项式系数和为，所有项的系数和为，则 . 例4.已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 1.下列式子运算结果等于的是( ) A. B. C. D. 2.全部项系数之和为( ) A.27 B.64 C.125 D.216 3.，展开式偶数次项系数之和为( ) A.365 B.364 C.363 D.362 4.各项系数和为64，则正实数( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.下列结论错误的是( ) A.二项式系数和恒为 B.奇偶下标二项式系数和均为 C.各项系数和为 D.偶次项系数和为16 6.若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A. B. C. 162 D. 540 7.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. B. C. D. 8.若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 120 9.设，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 10.（多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11.若 ()，则 .（用数字作答） 12.若展开式的各项系数之和为32，则 ，其展开式中的常数项为 .（用数字作答） 13.若，则 .（用数字作答） 11.3.4 三项展开式的系数问题 两个二项式乘积展开式的系数问题 1.三项展开式的系数问题： （1）因式分解法：将三项式利用因式分解化为两个二项式的乘积，然后再用二项式定理求解问题. （2）逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题. （3）组合法：把(a+b+c)”看成n个(a+b+c)的积，利用组合知识分析项的构成. 2.两个二项式乘积展开式的系数问题：根据多项式与多项式的乘法法则得到 的展开式中一般项为：，再依据题目中对指数的特殊要求，确定k与r所满足的条件，进而求出k，r的取值情况． 例1.在的展开式中，项的系数为（ ） A. 6480 B. 2160 C. 60 D. 例2.的展开式中的系数为 . 例3.在的展开式中，的系数为（ ） A.    B. 4    C.    D. 8 例4.的展开式中的系数是（ ） A.    B.    C. 2    D. 4 例5.的展开式中的系数是（ ） A. 56    B. 84    C. 112    D. 168 1.展开式项的系数为 。 2.展开式中的常数项为 。 3.展开式中项系数为 。 4.展开式中常数项为 。 5.展开式中常数项为 。 6.展开式中项系数为 。 7.展开式中的常数项为 . 8.的展开式中的常数项为 （用数字作答）. 9.的展开式中常数项为 .（用数字作答） 10.的展开式中，的系数为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 11.的展开式中，项的系数为（ ） A. 10 B. C. 60 D. 12.在的展开式中，的系数为（ ） A. 9    B. 15    C.    D. 13.的展开式中的系数为（ ） A. B. 20 C. D. 30 1 学科网（北京）股份有限公司 $