专题4.1 指数（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦指数核心知识点，系统梳理根式的定义与性质、分数指数幂的概念，从整数指数幂拓展到有理数再到实数指数幂，构建完整的指数运算体系，为后续指数函数学习提供基础支架。 资料特色在于题型分类系统，涵盖互化、化简、运算、证明等7类题型，例题与变式结合。通过具体问题培养学生的抽象能力（数学眼光）、运算能力（数学思维）和推理意识（数学语言），课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固练习，查漏补缺。

专题4.1 指数（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 分数指数幂与根式的互化】 2 【题型2 根式的化简求值】 4 【题型3 指数幂的运算】 6 【题型4 指数幂的化简、求值】 8 【题型5 指数式的给条件求值问题】 10 【题型6 指数幂等式及幂的方程问题】 12 【题型7 指数幂等式的证明】 13 考点1 根式 知识点1 根式与分数指数幂 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【题型1 分数指数幂与根式的互化】 【例1】（25-26高一上·山东青岛·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用指数幂的运算性质，准确计算化简，即可求解. 【解答过程】根据指数幂的运算性质，可得. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·广东佛山·期中）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用分数指数幂的运算法则求解. 【解答过程】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 【变式1-2】（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【解题思路】根据根式与分数指数幂的关系，化简各小题，即可得答案. 【解答过程】（1）； （2）； （3）由于，故； （4）； （5）. 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）（2）（3）（4）将根式化为分数指数幂，结合指数幂运算求解即可. 【解答过程】（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式. 【题型2 根式的化简求值】 【例2】（25-26高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【解答过程】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 【变式2-1】（25-26高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先分析的取值范围，再进行根式化简. 【解答过程】由题意得，，即， 所以. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高一上·福建福州·自主招生）化简：_____________． 【答案】 【解题思路】利用二次根式的运算性质化简即得. 【解答过程】， ， ， 故答案为：. 【变式2-3】（25-26高一上·上海浦东新·期中）当时，化简_____________. 【答案】4 【解题思路】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【解答过程】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 考点2 指数幂的拓展 知识点2 指数幂的拓展 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，ab>0； ②当a≠0时，a0=1，而当a=0时，a0无意义； ③若ar=as(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【题型3 指数幂的运算】 【例3】（25-26高一上·全国·随堂练习）下列运算结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据指数的运算性质即可逐一判断. 【解答过程】对于A, ，故A正确， 对于B，，故B错误， 对于C，当时，才有，故C错误， 对于D，，故D错误， 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一上·广西北海·期中）若，，则（   ） A．24 B．12 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用分数指数幂运算法则得到答案. 【解答过程】. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高一上·安徽六安·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据指数幂的运算法则化简. 【解答过程】. 故选：C. 【变式3-3】（25-26高一上·江苏连云港·期中）设，，已知，，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】根据指数的运算性质化简运算得解. 【解答过程】，， 又，则， 所以，，解得. 故选：C. 【题型4 指数幂的化简、求值】 【例4】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）（1）化简：； （2）求值：. 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）由根式与指数幂的互化进行化简； （2）根据分数指数幂的运算性质求得结果. 【解答过程】（1）原式； （2）原式 . 【变式4-1】（25-26高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)若，，求的值. 【答案】(1)19 (2)6 【解题思路】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果； （2）利用根式的性质和分数指数幂的运算性质化简式子，再代值计算即可. 【解答过程】（1）原式 . （2）原式 ， 因为，， 所以原式. 【变式4-2】（25-26高一上·广东中山·期中）化简或求值： (1)化简：； (2)化简求值：； (3)化简求值：. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用根式与指数幂的互化、指数幂的运算性质可化简所求代数式； （2）利用指数幂的运算性质化简可得所求代数式的值； （3）利用根式、指数幂的运算性质化简可得所求代数式的值 【解答过程】（1）原式. （2）原式. （3）原式. 【变式4-3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）化简求值： (1)； (2). (3)； (4)已知，计算：. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）把根式转化为分数指数幂化简即可. （2）（3）分数指数幂的运算法则，结合分母有理化计算即可. （4）多次进行完全平方运算，结合指数幂的运算法则即可求解. 【解答过程】（1）. （2） . （3） . （4），即， ，，即， ， . 【题型5 指数式的给条件求值问题】 【例5】（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 【答案】B 【解题思路】由题知，再根据指数幂运算求解即可. 【解答过程】由得， 因为，所以. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·福建·阶段检测）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对已知条件进行变形，利用完全平方公式化简可得，再根据平方差公式化简即可求解. 【解答过程】解：由，得， 则，因此， 所以． 故选：C. 【变式5-2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【解答过程】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 【变式5-3】（25-26高一上·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求：． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）将目标式化为，结合化简求值即可； （2）根据已知先求出、，再代入目标式求值. 【解答过程】（1）由，则， 而，则； （2）由， ， 所以. 【题型6 指数幂等式及幂的方程问题】 【例6】（25-26高一上·全国·课后作业）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先将方程化为同底数幂的形式后，再求解即可. 【解答过程】由，得， 所以，， 解得. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高一下·江西·阶段检测）方程的解为（　　） A．2 B．2 C．1 D．1 【答案】C 【解题思路】由，再利用指数函数的单调性求解    . 【解答过程】解：∵， ∴x1＝2， ∴x＝1． 故选：C． 【变式6-2】（2026高一·全国·专题练习）解下列方程：. 【答案】或； 【解题思路】利用指数幂的运算法则和因式分解，求解方程. 【解答过程】由，可得， 所以， 所以或， 由，可得，故， 由，可得，即，所以，即， 所以或. 【变式6-3】（25-26高一·全国·课后作业）设，为方程的两个根，求的值． 【答案】 【解题思路】利用韦达定理及指数幂的性质化简求值即得. 【解答过程】因为． 而，为方程的两个根，所以，． 所以，，且由， 可得，所以， 所以原式． 【题型7 指数幂等式的证明】 【例7】（25-26高一上·上海·随堂练习）已知且，，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据题意，由，得到，即可得到证明. 【解答过程】证明：∵且，， ∴，∴， ∴， ∴． 【变式7-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，求证:. 【答案】证明见解析 【解题思路】将题设中的等式化为，根据这两个等式可证． 【解答过程】证明：因为， 故， 所以， 所以， 故， ， 故． 【变式7-2】（25-26高一·全国·单元测试）已知，．求证：为定值． 【答案】证明见解析 【解题思路】化简两个式子，相除，即可得到的值，即可证明为定值. 【解答过程】解：由题意证明如下： ，， ∴，， ∴， ∴， ∴为定值. 【变式7-3】（25-26高一·全国·课后作业）若a，b为不等于1的正数，并且实数x，y，z满足关系式．求证： (1)若，则； (2)若，则． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）依题意可得，代入，根据指数幂的运算法则计算可得； （2）依题意可得，由可得，，再代入根据指数幂的运算法则计算可得． 【解答过程】（1）证明：由得 将①代入②，得，∴，∴， ∴，∴． （2）证明：由，得， ∵，∴，． 由，得，即， ∴．两边同乘以，得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 指数（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 分数指数幂与根式的互化】 2 【题型2 根式的化简求值】 3 【题型3 指数幂的运算】 4 【题型4 指数幂的化简、求值】 5 【题型5 指数式的给条件求值问题】 6 【题型6 指数幂等式及幂的方程问题】 7 【题型7 指数幂等式的证明】 7 考点1 根式 知识点1 根式与分数指数幂 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【题型1 分数指数幂与根式的互化】 【例1】（25-26高一上·山东青岛·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·广东佛山·期中）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 【题型2 根式的化简求值】 【例2】（25-26高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·福建福州·自主招生）化简：_____________． 【变式2-3】（25-26高一上·上海浦东新·期中）当时，化简_____________. 考点2 指数幂的拓展 知识点2 指数幂的拓展 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，ab>0； ②当a≠0时，a0=1，而当a=0时，a0无意义； ③若ar=as(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【题型3 指数幂的运算】 【例3】（25-26高一上·全国·随堂练习）下列运算结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·广西北海·期中）若，，则（   ） A．24 B．12 C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·安徽六安·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·江苏连云港·期中）设，，已知，，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【题型4 指数幂的化简、求值】 【例4】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）（1）化简：； （2）求值：. 【变式4-1】（25-26高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)若，，求的值. 【变式4-2】（25-26高一上·广东中山·期中）化简或求值： (1)化简：； (2)化简求值：； (3)化简求值：. 【变式4-3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）化简求值： (1)； (2). (3)； (4)已知，计算：. 【题型5 指数式的给条件求值问题】 【例5】（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·福建·阶段检测）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2). 【变式5-3】（25-26高一上·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求：． 【题型6 指数幂等式及幂的方程问题】 【例6】（25-26高一上·全国·课后作业）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一下·江西·阶段检测）方程的解为（　　） A．2 B．2 C．1 D．1 【变式6-2】（2026高一·全国·专题练习）解下列方程：. 【变式6-3】（25-26高一·全国·课后作业）设，为方程的两个根，求的值． 【题型7 指数幂等式的证明】 【例7】（25-26高一上·上海·随堂练习）已知且，，求证：． 【变式7-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，求证:. 【变式7-2】（25-26高一·全国·单元测试）已知，．求证：为定值． 【变式7-3】（25-26高一·全国·课后作业）若a，b为不等于1的正数，并且实数x，y，z满足关系式．求证： (1)若，则； (2)若，则． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $