专题3.1 不等式的基本性质（2大知识点+8大题型+强化训练）-2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义（苏教版必修第一册）

2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题3.1 不等式的基本性质 知识点一、比较大小的常用方法 (1)作差法：①；②；③． 一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①；②；③． 一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． （3）中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， （5）可加法则： （6）可乘法则： 【重要结论】 1.不等式性质： 乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 2．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 3.两个重要不等式 若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(b－m>0)． (2)>；<(b－m>0)． 考点一、不等式基本性质 题型一、不等式基本性质辨析 【方法点拨】①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 【例1】证明下面的结论： （1）如果，，且，那么； （2）如果，，那么； （3）如果，，那么； （4）如果，，，那么. 【答案】见解析. 【解析】（1） ， ，则有； （2） ， ，则有； （3） ， ， ； ，，； 那么； （4）由（3）可得，且，那么. 【跟踪训练】 1. 若，则下列说法正确的是（       ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则< 【答案】C 【解析】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，若，则，所以B错误， 对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确， 对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误， 故选：C 2.下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，若，由可得：，A错误； 对于B，若，则，此时未必成立，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，当时，由不等式性质知：，D正确.故选：D. 3.对于任意实数，给定下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A：当时，若则，故A错误； 对于B：若，，，，满足，则，，不成立，故B错误； 对于C：若，则，所以，故C正确； 对于D：若，满足，但是，故D错误； 故选：C 4. 若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】选项A，若，则结论错误，故选项A错误； 选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误； 选项C，当时，，故选项C错误； 选项D，可知，，故选项D正确. 故选：D 题型二、利用不等式的性质判断命题真假 【方法点拨】判断不等式的常用方法： (1) 利用不等式的性质逐个验证； (2) 利用特殊值法排除错误选项； (3) 作差(商)法； 【例2】若，则下列不等式正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，A错，B错；即，C错； ，D正确．故选：D． 【例3】若，则下面有六个结论：①，②，③，④，⑤，⑥中，正确结论的序号是 ． 【答案】①④⑥ 【解析】因为，则，所以，即，故①正确； 由，不等式两边同时乘时，，对于，两边同乘，可得，故，即，则②错误； 因为，所以，则，所以，即，则③错误； 由，不等式边同时乘，得，故④正确； 由，因为，所以，又因为，所以，即，故⑤错误； 由可得，，故⑥正确； 因此，正确结论的序号是①④⑥. 故答案为：①④⑥. 【跟踪训练】 1. 若、、为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【分析】对于A，当时即可判断，对于B，利用作差法即可判断，对于C，取即可判断，对于D，利用作差法即可判断. 【详解】 对于A，当时，，故A错误； 对于B：因为 ，则，所以，，所以，故B正确， 对于C，取，满足，显然不成立，故C错误； 对于D： ，因为，得，又，所以，所以，故D错误. 故选：B 2. 若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，， 此时，故A错误； 对B：若，，则有，， 此时，故B错误； 对C：， 由，故，，，故， 即，故C正确； 对D：若，，则，， 此时，故D错误. 故选：C. 3．（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】作差比较大小可以判断AD；作商比较大小可以判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 4.（多选）已知，，满足，且，则下列选项一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】，且，可得 对于A，，故，A正确 对于B，，故，B正确 对于C，的符号不确定，无法比较，故C错误 对于D，，故，D正确 故选：ABD 考点二、比较大小 题型三、作差法比较两数（式）的大小 【方法点拨】（1）作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论． （2）变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 作差法比较大小的步骤 【例4】已知，，则与的大小关系为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法判断大小即可. 【详解】， 因为，， 所以，， 所以， 所以. 故答案为： 【例5】已知0＜a，且M，N，则M，N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 【分析】直接利用代数式的运算的应用和数的大小比较的应用求出结果． 【解答】解：由于0＜a，所以0＜ab＜1．即1﹣ab＞0． 所以M﹣N0． 所以M＞N， 故选：A． 【跟踪训练】 1.如果，那么与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】直接由作差法即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 2.已知，，，则的大小关系为（       ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】，因为，所以， 又，所以，即.故选：B 3. 若且，试比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合作差法，即可求解． 【详解】由题意， 且， ， 则． 故答案为：． 4.若a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，按由小到大的顺序排列为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用作差比较法，分别计算它们的差，与0 比较，即可得到结论． 【解答】解：， ∵a＞b＞0，m＞0，n＞0， ∴0， ∴， ∵， ∵a＞b＞0，m＞0，n＞0， ∴0， ∴0， ∴， ， ∵a＞b＞0，n＞0， ∴0， ∴， 综上可知，， 故选：A． 5.某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则（　　） A．甲先到达终点 B．乙先到达终点 C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点 【分析】根据题意，设全程的距离为2s，用s、a、b表示甲、乙的时间，用作差法分析可得答案． 【解答】解：根据题意，设全程的距离为2s， 对于甲，前半程s的时间为，后半程的时间为，则甲的时间t1， 对于乙，前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑，则有ab2s， 变形可得t2， 则有t1﹣t2[（a+b）2﹣4ab]（a﹣b）2， 又由a≠b，则t1﹣t2＞0， 故乙先到达终点， 故选：B． 6.已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 题型四、作商法比较大小 【例6】已知，则与的大小关系为 . 【答案】 【分析】运用做商比较法，由题意可得，与1比较大小. 【详解】∵，又，∴>1，，∴， 即 >1.又，∴ . 故答案为：. 【跟踪训练】 1.设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 2.设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 考点三、证明不等式 题型五、利用不等式的性质证明不等式 【方法点拨】①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 【例7】已知，证明：． 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质证明不等式、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】应用不等式的性质得，利用同正相乘符号不变，即可证. 【详解】因为，所以， 所以，即， 因为，所以． 【例8】证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 【跟踪训练】 1.（1）a＜b＜0，求证：； （2）已知a＞b，，求证：ab＞0． 【分析】（1）由a＜b＜0，可得b2＜a2，又ab＞0，即可证明结论． （2）由a＞b，，假设ab＜0，可得a＜0＜b，与a＞b矛盾，即可证明结论． 【解答】证明：（1）∵a＜b＜0，∴b2＜a2，又ab＞0，∴． （2）∵a＞b，， 若ab＜0，则a＜0＜b，与a＞b矛盾，舍去． ∴ab＞0． 2.（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【详解】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 题型六、综合法证明不等式 【例9】如果，比较与的大小并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】，理由如下： ， 当时等号成立，所以. 【例10】已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用作差法可证得结论成立. 【详解】因为，则，，， 所以，故. 【跟踪训练】 1．若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作商法证明不等式. 【详解】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 知识点四、综合提升 题型七、利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【方法点拨】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性． 【例11】设2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，求a+b，a﹣b，，ab，的取值范围． 【分析】根据不等式的性质进行运算即可得到结论． 【解答】解：∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3， ∴3＜﹣b＜4，， ∴﹣2＜a+b＜0， 5＜a﹣b＜7， ∵， ∴1， 即﹣1， ∵6＜﹣ab＜12， ∴﹣12＜ab＜﹣6， ∵9＜b2＜16，， ∴38， 综上：﹣2＜a+b＜0，5＜a﹣b＜7，﹣1，﹣12＜ab＜﹣6，38． 【例12】已知，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，解得， ， ，，， 由不等式的性质可得，即， 因此，的取值范围是，故选D. 【跟踪训练】 1.如果，则 （1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，的范围，结合不等式的性质求出即可． 【详解】由①，②， 得：，, 由②得：③， 由①③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故答案为：，，， 2. 设为实数，满足，则的最大值是 ． 【答案】32 【分析】由，结合不等式的性质求范围，即可得最大值. 【详解】由题设，则， 所以的最大值是32. 故答案为：32 3.已知，，求的取值范围. 【答案】. 【解析】设，得即 而， 4.（1）已知，，求，取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据不等式的性质，求出和的范围，即可根据性质求得； （2）令，求出的值，根据不等式的性质即可得到结果. 【详解】（1）因为，由不等式的性质可得，则， 又，故. 又，，故. 综上， （2）令，即， 则，解得. 则，，所以，即. 综上 题型九、不等式的实际应用 【例13】已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即. 【详解】这一事实表示为一个不等式为． 证明：， 又，， ，即， 即. 故选： 【跟踪训练】 1.甲、乙两人沿同一公路由A地到达B地，甲走一半路程后跑步前进，乙走一半时间后也跑步前进，设甲、乙两人走的速度相同，跑的速度也相同，请比较甲、乙两人从A到B的时间、的大小关系． 【答案】 【分析】先表示出，，通过作差法比较它们的大小，进一步可得、的大小关系. 【详解】依题意，设总路程为，乙所花时间为，两人跑的速度和走的速度分别为，， 所以， 所以， 因为， 所以， 由得，乙花费的时间短， 所以. 2.小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低 C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D．丙次购买葡萄的平均价格无法比较 【答案】A 【分析】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小即可. 【详解】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且， 则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为元/千克， 小港两次均购买50元葡萄，平均价格为元． 因为， 所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低． 故选：A. 3.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（    ） A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生 C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生 【答案】C 【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解. 【详解】根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人， 文科女生有人，文科男生有人； 根据题意可知，， 根据异向不等式可减的性质有， 即有，所以理科女生多于文科男生，C正确.其他选项没有足够证据论证. 故选：C. 一、选择题 1.若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断BC选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，不妨取，，，，则，B错； 对于C选项，取，则，C错； 对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对. 故选：D. 2.已知，，则下列不等式一定成立的是 ①；②；③；④ 【答案】④ 【分析】利用特殊值法可判断①②③错误，由不等式的性质可证明④正确. 【详解】对于①②③，假设，，，，满足，， ，，此时不成立， ，，此时不成立， ，，此时不成立，故①②③错误； 对于④，由，，得，即，故④正确； 故答案为：④. 3.已知a，b是实数，则“”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用充分不必要条件的定义，结合不等式的性质逐项判断. 【解答过程】对于A，由，得，而不能推出，A是； 对于BC，取，满足，，而，BC不是； 对于D，，D不是. 故选：A. 4.已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，作差比较大小. 【解答过程】由a，b均为正实数，， 得 ，当且仅当时取等号， 所以. 故选：D. 5.已知实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由作差法结合不等式的性质即可判断. 【详解】不等式，等价于， 因为，所以，显然，得出； ，得或，未必. 故选：A. 6.若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】已知的范围求的最小值，用待定系数法或换元法求解. 【详解】法一：设 故且，所以，故， 由于，则， 所以， 整理得，故最小值为， 此时由，可得； 法二：设，则，所以， 由于，所以，故， 即，故最小值为，同法可得． 故选：B 7.已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】令，得到，求得，得到，即可求解. 【详解】令，联立方程组，解得 ， 则， 因为，可得， 所以，所以，即. 故选：B. 8.两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（    ） A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 【解题思路】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，分别计算比较两种方案物品平均价格可得答案. 【解答过程】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，其中. 则甲方案购买物品平均价格为： ；乙方案购买物品平均价格为：. 注意到，则乙方案更优惠. 故选：B. 2、 多项选择题 9.下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】对于AD，举例判断，对于BC，利用不等式的性质分析判断. 【详解】对于A，当时，满足，此时，所以A错误， 对于B，因为，，所以，所以B正确， 对于C，因为，所以，即， 因为，所以，所以C正确， 对于D，当，时，满足，，此时，， 则，所以D错误. 故选：BC 10．下列命题中，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 【解题思路】根据不等式性质判断A、B、C；应用作差法判断D. 【解答过程】A：由，则，故，错； B：由，则，又，故，对； C：由题设，又，则，错； D：， 由，，则，又， 所以，即，对. 故选：AC. 11.设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，，即，故A正确； 对于B，，则，即，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，由题知，则，故D错误；故选：AC 12已知-1≤a≤3,1≤b≤2,则以下不等关系正确的是(　　) A.-1≤ab≤6 B.0≤a+b≤5 C.-2≤a-b≤1 D.(a+1)(b-1)≤4 【答案】BD 解析:对于A,∵a∈[-1,3],b∈[1,2],∴ab∈[-2,6],故A错误;对于B,∵a∈[-1,3],b∈[1,2],∴a+b∈[0,5],故B正确;对于C,∵a∈[-1,3],-b∈[-2,-1],∴a-b∈[-3,2],故C错误;对于D,∵a+1∈[0,4],b-1∈[0,1],∴(a+1)(b-1)∈[0,4],故D正确. 故选BD. 3、 填空题 13.已知，，则下列不等式一定成立的是 ④ ． ①；②；③；④ 【解题思路】利用特殊值法可判断①②③错误，由不等式的性质可证明④正确. 【解答过程】对于①②③，假设，，，，满足，， ，，此时不成立， ，，此时不成立， ，，此时不成立，故①②③错误； 对于④，由，，得，即，故④正确； 故答案为：④. 14. 设，，则，的大小关系为 . 【答案】 【解析】由结合不等式的性质得出答案. ，则 ，即 故答案为： 15. 已知，则 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【解析】，因为，所以，，所以，， 又因为，， 所以. 故答案为：. 16.已知实数x,y满足-2≤x+2y≤3,-2≤2x-y≤0,则3x-4y的取值范围为______ 【答案】[-7,2]. 解析:设3x-4y=m(x+2y)+n(2x-y),则所以3x-4y=-(x+2y)+2(2x-y).因为-2≤x+2y≤3,-2≤2x-y≤0,所以-3≤-(x+2y)≤2,-4≤2(2x-y)≤0,所以-7≤3x-4y≤2. 四、解答题 17.求证： (1)若，且，则； (2)若，且，同号，，则； (3)若，且，则． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】(1)证明：因为，所以， 又，故，即； (2)证明：因为，，所以 ， 因为，同号，所以 ，， 故，即 ，所以； (3) 证明：因为，所以 ， 又，所以 ， 故. 18.比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用作差法，化简后和0比较，即可判断大小关系. 【详解】（1）， . （2）， ， ， 则， . 19.为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 【解题思路】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果； （2）利用作差法计算比较出大小，可得结论. 【解答过程】（1）因为，所以， 解得， 所以这所住宅的窗洞口面积的范围为. （2）由题意得，， 原来的窗地面积比为，现在的窗地面积比为 则 . 因为，，所以.， 所以，即. 所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了. 20.对于四个正数、、、，如果，那么称是的“下位序对”， (1)对于、、、，试求的“下位序对”； (2)设、、、均为正数，且是的“下位序对”，试判断，，之间的大小关系． 【解析】（1）由，可得的下位序对为； （2）因为是的“下位序对”， 所以， 因为、、、均为正数， 故， 所以， 同理，即， 综上所述：． 21.根据要求完成下列问题： (1)若、、. ①求证：； ②求证：； ③在②中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. (2)设，求证：成立的充要条件是. 【解析】（1）①∵，且、， ∴，∴； ②∵，∴， 又，∴， ∴， ∴， ∵、， ∴，由（1）知， ∴， ∴； ③∵，， ∴或（只要写出其中一个即可）； （2）①充分性：如果，则有和两种情况， 当时，当时，则、，等式成立， 当时，则、，等式成立， 当时，等式成立， 当时，即、或、， 当、时，、，等式成立， 当、时，、，等式成立， ∴当时，等式成立， ∴当时，成立， ②必要性：若且，则， 即，则，故， 综上所述，是等式成立的充要条件. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题3.1 不等式的基本性质 知识点一、比较大小的常用方法 (1)作差法：①；②；③． 一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①；②；③． 一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． （3）中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， （5）可加法则： （6）可乘法则： 【重要结论】 1.不等式性质： 乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 2．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 3.两个重要不等式 若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(b－m>0)． (2)>；<(b－m>0)． 考点一、不等式基本性质 题型一、不等式基本性质辨析 【方法点拨】①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 【例1】证明下面的结论： （1）如果，，且，那么； （2）如果，，那么； （3）如果，，那么； （4）如果，，，那么. 【跟踪训练】 1. 若，则下列说法正确的是（       ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则< 2.下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.对于任意实数，给定下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4. 若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二、利用不等式的性质判断命题真假 【方法点拨】判断不等式的常用方法： (1) 利用不等式的性质逐个验证； (2) 利用特殊值法排除错误选项； (3) 作差(商)法； 【例2】若，则下列不等式正确的是（       ） A． B． C． D． 【例3】若，则下面有六个结论：①，②，③，④，⑤，⑥中，正确结论的序号是 ． 【跟踪训练】 1. 若、、为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 2. 若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4.（多选）已知，，满足，且，则下列选项一定成立的是（       ） A． B． C． D． 考点二、比较大小 题型三、作差法比较两数（式）的大小 【方法点拨】（1）作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论． （2）变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 作差法比较大小的步骤 【例4】已知，，则与的大小关系为 . 【例5】已知0＜a，且M，N，则M，N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 【跟踪训练】 1.如果，那么与的大小关系是 ． 2.已知，，，则的大小关系为（       ） A． B． C． D．无法确定 3. 若且，试比较大小： （填“”或“”）． 4.若a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，按由小到大的顺序排列为（　　） A． B． C． D． 5.某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则（　　） A．甲先到达终点 B．乙先到达终点 C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点 6.已知，试比较与的大小. 题型四、作商法比较大小 【例6】已知，则与的大小关系为 . 【跟踪训练】 1.设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 2.设，比较与的大小 考点三、证明不等式 题型五、利用不等式的性质证明不等式 【方法点拨】①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 【例7】已知，证明：． 【例8】证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【跟踪训练】 1.（1）a＜b＜0，求证：； （2）已知a＞b，，求证：ab＞0． 2.（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 题型六、综合法证明不等式 【例9】如果，比较与的大小并证明． 【例10】已知，求证：． 【跟踪训练】 1．若，求证：． 知识点四、综合提升 题型七、利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【方法点拨】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性． 【例11】设2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，求a+b，a﹣b，，ab，的取值范围． 【例12】已知，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如果，则 （1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 . 2. 设为实数，满足，则的最大值是 ． 3.已知，，求的取值范围. 4.（1）已知，，求，取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 题型八、不等式的实际应用 【例13】已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.甲、乙两人沿同一公路由A地到达B地，甲走一半路程后跑步前进，乙走一半时间后也跑步前进，设甲、乙两人走的速度相同，跑的速度也相同，请比较甲、乙两人从A到B的时间、的大小关系． 2.小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低 C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D．丙次购买葡萄的平均价格无法比较 3.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（    ） A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生 C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生 一、选择题 1.若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2.已知，，则下列不等式一定成立的是 ①；②；③；④ 3.已知a，b是实数，则“”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 4.已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 5.已知实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7.已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8.两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（    ） A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 2、 多项选择题 9.下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 10．下列命题中，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 11.设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 12已知-1≤a≤3,1≤b≤2,则以下不等关系正确的是(　　) A.-1≤ab≤6 B.0≤a+b≤5 C.-2≤a-b≤1 D.(a+1)(b-1)≤4 3、 填空题 13.已知，，则下列不等式一定成立的是 ． ①；②；③；④ 14. 设，，则，的大小关系为 . 15. 已知，则 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 16.已知实数x,y满足-2≤x+2y≤3,-2≤2x-y≤0,则3x-4y的取值范围为______ 四、解答题 17.求证： (1)若，且，则； (2)若，且，同号，，则； (3)若，且，则． 18.比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 19.为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 20.对于四个正数、、、，如果，那么称是的“下位序对”， (1)对于、、、，试求的“下位序对”； (2)设、、、均为正数，且是的“下位序对”，试判断，，之间的大小关系． 21.根据要求完成下列问题： (1)若、、. ①求证：； ②求证：； ③在②中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. (2)设，求证：成立的充要条件是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $