椭圆的标准方程与性质（基础版+提高版）-2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

课 题 椭圆的标准方程和性质 教学目标 1．理解椭圆的定义，会推导椭圆的标准方程 2．掌握两种类型的椭圆的标准方程（焦点位于x轴或y轴） 3．掌握椭圆标准方程中之间的关系：c2=a2-b2 4．掌握椭圆的几何性质和应用 重 点 1．椭圆的定义以及标准方程中字母间的关系； 2．椭圆的几何性质和应用 3、直线与椭圆 难 点 直线与椭圆综合 授课内容概要 【重难点回顾】 1、求曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为(x,y)； （3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）检验方程，除去不合适的点，下结论。 上述五个步骤可简记为：建系、设点、列方程、化简、检验。 2、求曲线方程的方法: （1）直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程 （2）几何法：运用几何分析，得出动点的轨迹方程。 （3）代入法：在变化过程中有两个动点，已知其中一个动点在定曲线上运动，求另一动点的轨迹方程，这里通过建立两个动点坐标之间的关系，代人到已知曲线之中，得出所要求的轨迹方程； （4）参数法：求轨迹方程时，若x,y之间的参数很难找出来，可以借助于中间参数，分别确定x,y与参数的关系，最后再消去参数，得出x与y的关系，就可以得出其轨迹方程。 （5）待定系数法(定义法)：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量 【课堂导入】 问题探究：取一条定长（）的细绳，将绳子的两端固定在画板的两个定点 ①当时，用铅笔把绳子拉紧，使铅笔尖在画板上慢慢移动，所作出的图形为何？ ②当时，图形为何？ ③当时，图形又为何？ 例题1、若曲线为到点和距离之和为4的动点的轨迹，则曲线的方程为_____________． 【答案】． 【解析】设点C(x,y), 依题意有∴两边平方有 化简得再次平方化简得 【教法指导】例题1联系问题探究①可以将探究的问题改写成到两个定点的距离等于定长，从而引出椭圆的定义；此处可以拓展：在中，三角形周长定为，则C点轨迹为何？ 【知识梳理】 1．基本概念 椭圆定义：平面内到两个定点，（）的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点，叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距． 注意：若设动点为，则 （1）当时，动点的轨迹是椭圆． （2）当时，动点的轨迹是线段． （3）当时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程及性质 椭圆的标准方程及性质列于下表中． 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 轴、轴和原点对称 顶点坐标 ，，， ，，， 两轴 长轴长，短轴长 3．椭圆的参数方程 【例题精讲】 考点一：椭圆的标准方程 例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴长、焦点坐标以及顶点坐标. 【难度】★ 【答案】长轴长2a=10,短轴长2b=8，焦点F1(-3,0), F2(3,0), 左右顶点(-5,0) (5,0),上下顶点(-3,0) (3,0). 【解析】先将方程化为椭圆的标准方程： 例2、求由下列条件所确定的椭圆的标准方程： （1）椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为，，则椭圆的标准方程是______________． （2）过焦点的弦与另一焦点所构成的周长为20，椭圆的标准方程是_________________； （3）短轴长是，且椭圆经过点,椭圆的标准方程是_________________； （4）焦点，在轴上，为椭圆上一点，且,椭圆的标准方程是_________________； （5）焦点在轴上，椭圆上一点到两个焦点的距离分别为，,椭圆的标准方程是_________________； （6）经过点，,椭圆的标准方程是_________________。 【难度】★ 【答案】（1） （2）； （3）或； （4）；（5）； （6）． 【解析】 例3、已知方程表示椭圆，则的取值范围为__________________. 【难度】★ 【答案】答案为：． 【解析】解：方程表示椭圆，则，解得。 例4、若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】选：． 【解析】解：方程，即表示焦点在轴上的椭圆，故 例5、已知椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是，等差中项，则椭圆的方程是　　 A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】选：． 【解析】解：、，， 是与的等差中项，，即， 点在以，为焦点的椭圆上，，，椭圆的方程是。 【课堂练习】 1.椭圆的短轴端点坐标是　　 A．，，， B．， C．， D． 【答案】选：． 【解析】解：由椭圆，得．，得． 则椭圆短轴端点得坐标为，． 2. 椭圆的焦点是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】选：． 【解析】解：椭圆的标准方程为：， 所以，，则，所以椭圆的焦点坐标为和． 3.（1）周长为20，，，则点的轨迹方程为 ； （2）长轴长为短轴长的2倍，且过点的椭圆标准方程为 。 （3）已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，椭圆方程为____________． 【难度】★ 【答案】（1）； （2）或； （3） 【解析】 4.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是　　 A．或 B． C． D．或 【答案】选：． 【解析】解：椭圆的焦点在轴上，，即，解得或 又，，的取值范围：或 5. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆方程是__________________． 【答案】答案为：． 【解析】解：椭圆，， 椭圆的焦点与椭圆有相同焦点，椭圆的半焦距，即 短轴长为，，，椭圆的标准方程为 6. 已知动点到直线的距离是它到点的距离的2倍，求动点的轨迹。 【答案】 【解析】 考点二：椭圆的性质 1．椭圆的标准方程及性质 椭圆的标准方程及性质列于下表中． 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 轴、轴和原点对称 顶点坐标 ，，， ，，， 两轴 长轴长，短轴长 【例题精讲】 例6、椭圆的左、右焦点分别为、, 点在椭圆上,且点的横坐标为3, 则是的　　 A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 【难度】★★ 【答案】选：． 【解析】解：由椭圆的焦点在轴上，，，当时，， 则，由，，是的7倍 例7、若椭圆两焦点为，点在椭圆上，且△的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是__________________． 【难度】★★ 【答案】答案为 【解析】解：设点坐标为，则， 显然当取最大时，三角形面积最大．因为点在椭圆上，所以当在轴上，此时最大，所以点的坐标 为，所以．，所以，椭圆方程为。 【教法指导】椭圆上任意一点(长轴端点除外)与两个焦点连接而成的三角形也称作“焦三角形”， 其面积公式为(其中b为椭圆短半轴长，θ为∠F1PF2的大小)。 由此也可以得出，当P越接近短轴顶点，θ越大(θ不会超过180°)，越大，其面积越大。 此面积公式计算公式的证明，可以自行查阅资料。 例8、过椭圆的左焦点做轴的垂线交椭圆于点，为其右焦点，若，若2c为椭圆焦距，则为　　 A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】选：A． 【解析】解：显然△是直角三角形，根据正弦定理， 所以 例9、已知点为椭圆在第一象限内一点，，为椭圆两焦点，且，则△的面积为 。 【难度】★★ 【答案】1 【解析】解：椭圆，，，；①， ②；①的平方②得，，即； △面积为：． 例10、若椭圆的焦点为、，点在椭圆上，且，则等于　　 A． B． C． D． 【难度】★★ 【解答】选：． 【解析】解：椭圆中，，， ，，，可得，、，， 根据椭圆的定义，得，结合，得． △中，根据余弦定理得：， ，解之得 结合为三角形的内角，可得． 【课堂练习】 1. 已知点在椭圆上，则　　 A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断点、、是否在椭圆上 【答案】选：． 【解析】解：因为点在椭圆上，由椭圆的对称性可得点，，，均在椭圆 2．如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的短轴长与长轴长之比为____________. 【解答】 【解析】解：设右焦点，将代入椭圆方程可得，可得，，，，由，可得，即有， 化简为，由，即有，可得，可得即 3．椭圆的左右焦点分别为,,一条直线经过与椭圆交于,两点,则的周长为　　 A． B．6 C． D．12 【答案】选：． 【解析】解：由题意可知：椭圆的焦点在轴上，，， 由椭圆的定义可知：，， 的周长， 的周长 4. 设是椭圆的长轴,点在上,且,若,,则的两个焦点之间的距离为_________． 【答案】答案为：． 【解析】解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，，． ，，点的坐标为，因点在椭圆上， ，，，， 则的两个焦点之间的距离为． 5. 如图，已知椭圆的中心为原点，，为的左焦点，为上一点，满足，且，则椭圆的方程为　　 A． B． C． D． 【答案】故选：． 【解析】解：由题意可得，设右焦点为，由知， ，， 所以， 由知， ，即． 在中，由勾股定理，得， 由椭圆定义，得，从而，得， 于是，所以椭圆的方程为． 6. 已知椭圆上一点满足(,为椭圆的两个焦点),求的面积. 【答案】 【解析】利用焦三角形的余弦定理。 7. 设、分别为椭圆，且的两个焦点． （1）若椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于4，求椭圆的方程． （2）如果点是（1）中所得椭圆上的任意一点，且，求△的面积． 【答案】（1）（2）3 【解析】解：（1）当时，由椭圆定义得，，又点在椭圆上 所以 ，同理，当时，椭圆方程 （2）当时，由椭圆定义得，，解得 所以△的面积为3，同理，当时，△的面积也为3. 考点三：“点差法”所解决的常见问题 (求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹) 【例题精讲】 例11、是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，是的中点，是椭圆的中心，求证：为定值。 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【教法指导】本题作为方法讲授，解决本题问题的同时也可以推导弦中点的轨迹。 例12、直线l交椭圆于两点，， （1）若直线l经过点且是线段的中点，求l的方程； （2）求斜率为l的平行弦的中点轨迹； （3）若直线l经过点，求的中点的轨迹方程。 【难度】★★★ 【答案】（1）； （2）； （3）。 【解析】 【课堂练习】 1. 已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2． （1）求椭圆的方程； （2）设，为椭圆上的两动点，为线段的中点，直线，为坐标原点）的斜率都存在且分别记为，，试问的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）由题意可得，则，解得，，即， ，，，椭圆的方程． （2）设，的坐标分别为，，，，点的坐标为，， 则，，，，由已知，， 相减可得，即， 则，于是，为定值，此定值为． 2.已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆且焦距为2，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是，求椭圆的方程。 【答案】 【解析】 3. 在椭圆＋＝1内，直线Ｌ通过M(1,1)且与椭圆交于A、B两点，求AB中点P的轨迹方程____。 【答案】 【解析】 考点四：与椭圆有关的距离问题 【知识梳理】 1．椭圆的几何性质 ① 椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ② 椭圆上到焦点距离最大、最小的点是长轴的两个端点，最大距离是，最小距离是． ③ 设椭圆的两个焦点为，，是椭圆上的点，当点在短轴的端点时最大． ④ 椭圆的焦点的光学性质：从任一焦点发出的光线通过椭圆面反射后，反射光线经过另一焦点． 【例题精讲】 例13、在椭圆上求一点，使它到直线的距离最大（小），并求最大（小）值. 【难度】★★ 【答案】当时，；当，。 【解析】 【教法指导】讲解时要注意一题多解①点到直线距离公式的应用（参数方程的应用）②联系直线与椭圆的位置关系求切线 例14、已知为椭圆上任意一点，，求的最小值。 【难度】★★ 【答案】，。 【解析】 例15、已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的最大值。 【难度】★★ 【答案】6 【解析】解：设椭圆上一点，又， 又，当时，有最大值5，的最大值为6。 【教法指导】注意引导学生将多变量的转换。①上述方法将两个变量消元。②先固定Q点，那么PQ的最大值为PC+CQ,因为PC为定值，接下来讨论CQ的最大值即可。 例16、已知椭圆的方程为，、分别为椭圆的左、右焦点，点的坐标为，为椭圆上一点，则的最大值与最小值分别是 。 【难度】★★ 【答案】和 【解析】 【课堂练习】 1. 如图所示，已知椭圆x2+8y2=8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：xy+4=0的距离最小，并求出最小值． 【答案】当P点坐标为(, )时，到直线l的距离最小为 【解析】 2．在椭圆上动点与定点（）的距离的最小值为1，求． 【答案】2 【解析】 3. 设是椭圆上一点，、分别是圆：和圆：上的点，则的取值范围是___________________。 【答案】 【解析】的最小值，则，都应该最小，的最小值为；同理，最大值为。 4. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，点P为椭圆上的任意一点，求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值． 【答案】最大值，最小值 【解析】 5. 中，顶点在椭圆的一个焦点上，边是过原点的弦，则面积的最大值___________． 【答案】答案为：． 【解析】解：顶点在椭圆的一个焦点上，边是过原点的弦， 面积为，面积的最大值为． 6. 已知点为椭圆上的一个动点。 （1）求的取值范围； （2）求的取值范围； （3）求点到直线的距离的最大值。 【答案】解：（1）椭圆的参数方程为，则 （2） （3） 【解析】不用代数方程也可以转化为方程或到直线距离的问题。 考点五：直线与椭圆的问题 【知识梳理】 1．点与椭圆的位置关系 已知点与椭圆（，为椭圆的焦点），则 （1）点在椭圆上； （2）点在椭圆外； （3）点在椭圆内． 2．直线与椭圆的位置关系 联立方程，看． ，直线与椭圆有两个交点，弦长为（其中为二次项系数,可由弦长公式推得）； ，直线与椭圆相切，也即直线与椭圆只有一个公共点； ，直线与椭圆无交点． 【例题精讲】 例17、已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围是　　 A．， B． C．， D．， 【难度】★★ 【答案】选：． 【解析】解：由题意直线恒过定点 要使直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点， 则只需要点在椭圆上或椭圆内，则且，． 【教法指导】本题主要考查了直线与椭圆位置关系的判断，常见的判断方法是联立直线方程与曲线方程，但此类方法一般计算量比较大，而本题的这种解决灵活的应用了直线恒过定点的性质，但解题时容易漏洞焦点在轴上的条件的考虑，误认为只有． 例18、设过原点的直线交椭圆于点、，定点的坐标为，试求面积的最大值，并求此时直线的斜率； 【难度】★★★ 【答案】 【解析】当AB斜率不存在时，,当斜率存在时，设为k，则 ,点M到直线AB的距离： 显然当k<0时，S的值比较大,此时； 【教法指导】多种面积公式的应用，推荐行列式方法的应用。带着学生熟悉韦达定理在计算中的技巧。 例19、在平面直角坐标系中，点P到两点(0,－)、(0,)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C. (1) 写出C的方程； (2) 设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时?此时||的值是多少? 【难度】★★ 【答案】（1）（2）当时，此时 【解析】 【课堂练习】 1. 直线与椭圆的位置关系是　　 A．相离 B．相切 C．相交 D．随着的取值变化而变化 【答案】选：． 【解析】解：由线，得，联立，解得． 直线过定点，代入，有． 点在椭圆的内部，则直线与椭圆的位置关系是相交． 2. 斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为　　 A． B． C．2 D． 【答案】选：． 【解析】解：设直线的方程为，代入椭圆，消去得， 设，两点的横坐标分别为，；则，， 由题意得△，即． 故弦长．当且仅当时取得最大值． 3．过点作直线与椭圆交于、两点，为坐标原点， （1）当面积为时，求直线的方程； （2）当面积取得最大值时，求直线的方程． 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 4. 已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程； （3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）由， ，得， 所以椭圆方程是： （2）设EF：（）代入，得 设，，由，得 由， 得，， 直线的方程为：即 （3）将代入，得（*） 记，，PQ为直径的圆过，则，即，又，，得 解得，此时（*）方程，存在，满足题设条件 【课堂总结】 （1）根据条件确定椭圆的标准方程．在解这类问题时，常常先明确椭圆的焦点是在哪一条坐标轴上，选择相应的标准方程，根据题意，利用待定系数法确定相关系数；或者利用定义法求得方程． （2）灵活运用定义解决有关问题，当某点在已知椭圆上时，不仅意味着点的坐标满足椭圆的方程，而且该点到两个焦点的距离和等于椭圆的长轴长，所以在处理与焦点相关的长度问题时多想想定义． （3）在处理与椭圆相关的最值问题时通常化归成求函数最值． （4）在处理弦长问题时注意应用弦长公式． （5）点差法解决与中点相关的问题． （6）注意“设而不求”在解析几何中的应用：不需解方程只需通过韦达定理中根与系数的关系解决问题，在此，要注意韦达定理之前首先要保证有解，要考虑判别式大于零． （7）在处理与椭圆性质相关的综合问题时，不仅常常应用数形结合法、方程思想，而且还常用到消元思想、类比思想． 【课后作业】 1. 以和为焦点，长轴长为8的椭圆方程为_______________. 【答案】 【解析】解：以和为焦点，长轴长为8的椭圆，可知，，则， 椭圆的标准方程为：． 2. 已知、是椭圆的两个焦点，点为椭圆上的点，，若为线段的中点，则线段的长为____________． 【答案】答案为：2． 【解析】解：、是椭圆的两个焦点，可得，．． 点为椭圆上的点，，则，， 为线段的中点，则线段的长为：． 3. 设、分别为椭圆的左右两个焦点，若椭圆上的点到，两点的距离之和为4，则椭圆的方程是___________________． 【答案】答案为：． 【解析】解：由得，将代入方程得， 椭圆方程为：． 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是________________． 【答案】答案为：． 【解析】解：根据题意，若方程表示焦点在轴上的椭圆， 则有，解可得； 5．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第二象限．若△为等腰三角形，则点的横坐标为___________. 【解答】 【解析】 6. 已知椭圆：，一直线与椭圆相交于、两点，是线段的中点，若为坐标原点，且直线、斜率存在，则、的斜率之积 。 【答案】 【解析】 2、 选择题 7．椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为　　 A． B． C．或 D．或 【答案】选：． 【解析】解：椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4， ，解得，， 当椭圆焦点在轴时，椭圆方程为 当椭圆焦点在轴时，椭圆方程为． 8．椭圆的焦距为，则的值为　　 A．2 B．2或 C． D．1或 【答案】选：． 【解析】解：椭圆转换为标准形式， 当焦点在轴上时，，即，解得， 当焦点在轴上时，，即，解得． 9．椭圆，过左焦点的直线交椭圆与，两点，则的周长为　　 A．32 B．20 C．16 D．12 【答案】选：． 【解析】解：椭圆方程为，． 的周长为． 10．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的二倍，则实数的值为　　 A． B．2 C． D．4 【答案】选： 【解析】解：由，得，椭圆的焦点在轴上， ，，由，可得，解得． 三、解答题 11. 已知方程表示椭圆，求实数的取值范围。 【答案】 【解析】 12. 已知，为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 【解答】（1）（2） 【解析】解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，将点代入椭圆方程得，即椭圆的标准方程； （2）结合题意，设直线方程为，点，，，，且，，联立直线和椭圆方程，消去，得． 则，，则， 原点到直线距离为， 则的面积， 令，则（当时取等号）， 则，即的面积的最大值为． ( 第 7 页 共 15 页 )椭圆的标准方程和性质基础版 学科网（北京）股份有限公司 $ 课 题 椭圆的标准方程和性质 教学目标 1．理解椭圆的定义，会推导椭圆的标准方程 2．掌握两种类型的椭圆的标准方程（焦点位于x轴或y轴） 3．掌握椭圆标准方程中之间的关系：c2=a2-b2 4．掌握椭圆的几何性质和应用 重 点 1．椭圆的定义以及标准方程中字母间的关系； 2．椭圆的几何性质和应用 3、直线与椭圆 难 点 直线与椭圆综合 授课内容概要 【重难点回顾】 1、求曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为(x,y)； （3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）检验方程，除去不合适的点，下结论。 上述五个步骤可简记为：建系、设点、列方程、化简、检验。 2、求曲线方程的方法: （1）直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程 （2）几何法：运用几何分析，得出动点的轨迹方程。 （3）代入法：在变化过程中有两个动点，已知其中一个动点在定曲线上运动，求另一动点的轨迹方程，这里通过建立两个动点坐标之间的关系，代人到已知曲线之中，得出所要求的轨迹方程； （4）参数法：求轨迹方程时，若x,y之间的参数很难找出来，可以借助于中间参数，分别确定x,y与参数的关系，最后再消去参数，得出x与y的关系，就可以得出其轨迹方程。 （5）待定系数法(定义法)：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量 【课堂导入】 问题探究：取一条定长（）的细绳，将绳子的两端固定在画板的两个定点 ①当时，用铅笔把绳子拉紧，使铅笔尖在画板上慢慢移动，所作出的图形为何？ ②当时，图形为何？ ③当时，图形又为何？ 例题1、若曲线为到点和距离之和为4的动点的轨迹，则曲线的方程为_____________． 【知识梳理】 1．基本概念 椭圆定义：平面内到两个定点，（）的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点，叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距． 注意：若设动点为，则 （1）当时，动点的轨迹是椭圆． （2）当时，动点的轨迹是线段． （3）当时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程及性质 椭圆的标准方程及性质列于下表中． 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 轴、轴和原点对称 顶点坐标 ，，， ，，， 两轴 长轴长，短轴长 3．椭圆的参数方程 【例题精讲】 考点一：椭圆的标准方程 例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴长、焦点坐标以及顶点坐标. 例2、求由下列条件所确定的椭圆的标准方程： （1）椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为，，则椭圆的标准方程是______________． （2）过焦点的弦与另一焦点所构成的周长为20，椭圆的标准方程是_________________； （3）短轴长是，且椭圆经过点,椭圆的标准方程是_________________； （4）焦点，在轴上，为椭圆上一点，且,椭圆的标准方程是_________________； （5）焦点在轴上，椭圆上一点到两个焦点的距离分别为，,椭圆的标准方程是_________________； （6）经过点，,椭圆的标准方程是_________________。 例3、已知方程表示椭圆，则的取值范围为__________________. 例4、若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 例5、已知椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是，等差中项，则椭圆的方程是　　 A． B． C． D． 【课堂练习】 1.椭圆的短轴端点坐标是　　 A．，，， B．， C．， D． 2. 椭圆的焦点是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 3.（1）周长为20，，，则点的轨迹方程为 ； （2）长轴长为短轴长的2倍，且过点的椭圆标准方程为 。 （3）已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，椭圆方程为____________． 4.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是　　 A．或 B． C． D．或 5. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆方程是__________________． 6. 已知动点到直线的距离是它到点的距离的2倍，求动点的轨迹。 考点二：椭圆的性质 1．椭圆的标准方程及性质 椭圆的标准方程及性质列于下表中． 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 轴、轴和原点对称 顶点坐标 ，，， ，，， 两轴 长轴长，短轴长 【例题精讲】 例6、椭圆的左、右焦点分别为、, 点在椭圆上,且点的横坐标为3, 则是的　　 A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 例7、若椭圆两焦点为，点在椭圆上，且△的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是__________________． 例8、过椭圆的左焦点做轴的垂线交椭圆于点，为其右焦点，若，若2c为椭圆焦距，则为　　 A． B． C． D． 例9、已知点为椭圆在第一象限内一点，，为椭圆两焦点，且，则△的面积为 。 例10、若椭圆的焦点为、，点在椭圆上，且，则等于　　 A． B． C． D． 【课堂练习】 1. 已知点在椭圆上，则　　 A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断点、、是否在椭圆上 2．如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的短轴长与长轴长之比为____________. 3．椭圆的左右焦点分别为,,一条直线经过与椭圆交于,两点,则的周长为　　 A． B．6 C． D．12 4. 设是椭圆的长轴,点在上,且,若,,则的两个焦点之间的距离为_________． 5. 如图，已知椭圆的中心为原点，，为的左焦点，为上一点，满足，且，则椭圆的方程为　　 A． B． C． D． 6. 已知椭圆上一点满足(,为椭圆的两个焦点),求的面积. 7. 设、分别为椭圆，且的两个焦点． （1）若椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于4，求椭圆的方程． （2）如果点是（1）中所得椭圆上的任意一点，且，求△的面积． 考点三：“点差法”所解决的常见问题 (求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹) 【例题精讲】 例11、是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，是的中点，是椭圆的中心，求证：为定值。 例12、直线l交椭圆于两点，， （1）若直线l经过点且是线段的中点，求l的方程； （2）求斜率为l的平行弦的中点轨迹； （3）若直线l经过点，求的中点的轨迹方程。 【课堂练习】 1. 已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2． （1）求椭圆的方程； （2）设，为椭圆上的两动点，为线段的中点，直线，为坐标原点）的斜率都存在且分别记为，，试问的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 2.已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆且焦距为2，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是，求椭圆的方程。 3. 在椭圆＋＝1内，直线Ｌ通过M(1,1)且与椭圆交于A、B两点，求AB中点P的轨迹方程____。 考点四：与椭圆有关的距离问题 【知识梳理】 1．椭圆的几何性质 ① 椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ② 椭圆上到焦点距离最大、最小的点是长轴的两个端点，最大距离是，最小距离是． ③ 设椭圆的两个焦点为，，是椭圆上的点，当点在短轴的端点时最大． ④ 椭圆的焦点的光学性质：从任一焦点发出的光线通过椭圆面反射后，反射光线经过另一焦点． 【例题精讲】 例13、在椭圆上求一点，使它到直线的距离最大（小），并求最大（小）值. 例14、已知为椭圆上任意一点，，求的最小值。 例15、已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的最大值。 例16、已知椭圆的方程为，、分别为椭圆的左、右焦点，点的坐标为，为椭圆上一点，则的最大值与最小值分别是 。 【课堂练习】 1. 如图所示，已知椭圆x2+8y2=8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：xy+4=0的距离最小，并求出最小值． 2．在椭圆上动点与定点（）的距离的最小值为1，求． 3. 设是椭圆上一点，、分别是圆：和圆：上的点，则的取值范围是___________________。 4. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，点P为椭圆上的任意一点，求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值． 5. 中，顶点在椭圆的一个焦点上，边是过原点的弦，则面积的最大值___________． 6. 已知点为椭圆上的一个动点。 （1）求的取值范围； （2）求的取值范围； （3）求点到直线的距离的最大值。 考点五：直线与椭圆的问题 【知识梳理】 1．点与椭圆的位置关系 已知点与椭圆（，为椭圆的焦点），则 （1）点在椭圆上； （2）点在椭圆外； （3）点在椭圆内． 2．直线与椭圆的位置关系 联立方程，看． ，直线与椭圆有两个交点，弦长为（其中为二次项系数,可由弦长公式推得）； ，直线与椭圆相切，也即直线与椭圆只有一个公共点； ，直线与椭圆无交点． 【例题精讲】 例17、已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围是　　 A．， B． C．， D．， 例18、设过原点的直线交椭圆于点、，定点的坐标为，试求面积的最大值，并求此时直线的斜率； 例19、在平面直角坐标系中，点P到两点(0,－)、(0,)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C. (1) 写出C的方程； (2) 设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时?此时||的值是多少? 【课堂练习】 1. 直线与椭圆的位置关系是　　 A．相离 B．相切 C．相交 D．随着的取值变化而变化 2. 斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为　　 A． B． C．2 D． 3．过点作直线与椭圆交于、两点，为坐标原点， （1）当面积为时，求直线的方程； （2）当面积取得最大值时，求直线的方程． 4. 已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程； （3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【课堂总结】 （1）根据条件确定椭圆的标准方程．在解这类问题时，常常先明确椭圆的焦点是在哪一条坐标轴上，选择相应的标准方程，根据题意，利用待定系数法确定相关系数；或者利用定义法求得方程． （2）灵活运用定义解决有关问题，当某点在已知椭圆上时，不仅意味着点的坐标满足椭圆的方程，而且该点到两个焦点的距离和等于椭圆的长轴长，所以在处理与焦点相关的长度问题时多想想定义． （3）在处理与椭圆相关的最值问题时通常化归成求函数最值． （4）在处理弦长问题时注意应用弦长公式． （5）点差法解决与中点相关的问题． （6）注意“设而不求”在解析几何中的应用：不需解方程只需通过韦达定理中根与系数的关系解决问题，在此，要注意韦达定理之前首先要保证有解，要考虑判别式大于零． （7）在处理与椭圆性质相关的综合问题时，不仅常常应用数形结合法、方程思想，而且还常用到消元思想、类比思想． 【课后作业】 1. 以和为焦点，长轴长为8的椭圆方程为_______________. 2. 已知、是椭圆的两个焦点，点为椭圆上的点，，若为线段的中点，则线段的长为____________． 3. 设、分别为椭圆的左右两个焦点，若椭圆上的点到，两点的距离之和为4，则椭圆的方程是___________________． 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是________________． 5．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第二象限．若△为等腰三角形，则点的横坐标为___________. 6. 已知椭圆：，一直线与椭圆相交于、两点，是线段的中点，若为坐标原点，且直线、斜率存在，则、的斜率之积 。 2、 选择题 7．椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为　　 A． B． C．或 D．或 8．椭圆的焦距为，则的值为　　 A．2 B．2或 C． D．1或 9．椭圆，过左焦点的直线交椭圆与，两点，则的周长为　　 A．32 B．20 C．16 D．12 10．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的二倍，则实数的值为　　 A． B．2 C． D．4 三、解答题 11. 已知方程表示椭圆，求实数的取值范围。 12. 已知，为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． ( 第 7 页 共 15 页 )椭圆的标准方程和性质基础版 学科网（北京）股份有限公司 $ 课 题 椭圆的标准方程和性质 教学目标 1．理解椭圆的定义，会推导椭圆的标准方程 2．掌握两种类型的椭圆的标准方程（焦点位于x轴或y轴） 3．掌握椭圆标准方程中之间的关系：c2=a2-b2 4．掌握椭圆的几何性质和应用 重 点 1．椭圆的定义以及标准方程中字母间的关系； 2．椭圆的几何性质和应用 3．直线与椭圆 难 点 直线与椭圆综合 授课内容概要 【重难点回顾】 1、求曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为(x,y)； （3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）检验方程，除去不合适的点，下结论。 上述五个步骤可简记为：建系、设点、列方程、化简、检验。 2、求曲线方程的方法: （1）直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程 （2）几何法：运用几何分析，得出动点的轨迹方程。 （3）代入法：在变化过程中有两个动点，已知其中一个动点在定曲线上运动，求另一动点的轨迹方程，这里通过建立两个动点坐标之间的关系，代人到已知曲线之中，得出所要求的轨迹方程； （4）参数法：求轨迹方程时，若x,y之间的参数很难找出来，可以借助于中间参数，分别确定x,y与参数的关系，最后再消去参数，得出x与y的关系，就可以得出其轨迹方程。 （5）待定系数法(定义法)：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量 【课堂导入】 问题探究：取一条定长（）的细绳，将绳子的两端固定在画板的两个定点 ①当时，用铅笔把绳子拉紧，使铅笔尖在画板上慢慢移动，所作出的图形为何？ ②当时，图形为何？ ③当时，图形又为何？ 例题1、若曲线为到点和距离之和为4的动点的轨迹，则曲线的方程为_____________． 【答案】． 【解析】设点C(x,y), 依题意有∴两边平方有 化简得再次平方化简得 【教法指导】例题1联系问题探究①可以将探究的问题改写成到两个定点的距离等于定长，从而引出椭圆的定义；此处可以拓展：在中，三角形周长定为，则C点轨迹为何？ 【知识梳理】 1．基本概念 椭圆定义：平面内到两个定点，（）的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点，叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距． 注意：若设动点为，则 （1）当时，动点的轨迹是椭圆． （2）当时，动点的轨迹是线段． （3）当时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程及性质 椭圆的标准方程及性质列于下表中． 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 轴、轴和原点对称 顶点坐标 ，，， ，，， 两轴 长轴长，短轴长 3．椭圆的参数方程 【例题精讲】 考点一：椭圆的标准方程与基本性质 例1、过椭圆的左焦点做轴的垂线交椭圆于点，为其右焦点，若，若2c为椭圆焦距，则为　　 A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】选：A． 【解析】解：显然△是直角三角形，根据正弦定理， 所以 例2、已知点为椭圆在第一象限内一点，，为椭圆两焦点，且，则△的面积为 。 【难度】★★ 【答案】1 【解析】解：椭圆，，，；①， ②；①的平方②得，，即； △面积为：． 【教法指导】讲解本题过后可以对本题进行变式，让A点动起来，从而让学生理解熟悉焦点三角形问题的方法与解题步骤，还可以更近一步总结交点三角形的面积公式。 例3、若椭圆的焦点为、，点在椭圆上，且，则等于　　 A． B． C． D． 【难度】★★ 【解答】选：． 【解析】解：椭圆中，，， ，，，可得，、，， 根据椭圆的定义，得，结合，得． △中，根据余弦定理得：， ，解之得 结合为三角形的内角，可得． 【课堂练习】 1．如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的短轴长与长轴长之比为____________. 【解答】 【解析】解：设右焦点，将代入椭圆方程可得， 可得，，，，由，可得，即有， 化简为，由，即有，可得，可得即 2．椭圆的左右焦点分别为,,一条直线经过与椭圆交于,两点,则的周长为　　 A． B．6 C． D．12 【答案】选：． 【解析】解：由题意可知：椭圆的焦点在轴上，，， 由椭圆的定义可知：，， 的周长， 的周长 3. 设是椭圆的长轴,点在上,且,若,,则的两个焦点之间的距离为_________． 【答案】答案为： 【解析】解：如图，设椭圆的标准方程为， 由题意知，，． ，，点的坐标为， 因点在椭圆上，，，，， 则的两个焦点之间的距离为。 4. 如图，已知椭圆的中心为原点，，为的左焦点，为上一点，满足，且，则椭圆的方程为　　 A． B． C． D． 【答案】选：． 【解析】解：由题意可得，设右焦点为，由知， ，， 所以， 由知， ，即． 在中，由勾股定理，得， 由椭圆定义，得，从而，得， 于是，所以椭圆的方程为． 5. 已知椭圆的焦点为、，为椭圆上任意一点，△的内心为，过作平行于轴的直线交、于、，则　　 A． B． C． D． 【答案】选：． 【解析】解：如图，椭圆的长半轴长，半焦距． 为△的内心，， ，由△，．． 考点二：“点差法”所解决的常见问题 (求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹) 【知识梳理】 例：是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，是的中点，是椭圆的中心，求证： 【教法指导】以本题为例讲解点差法，解决本题问题的同时再进行推导弦中点的轨迹。 【例题精讲】 例4、直线l交椭圆于两点，， （1）若直线l经过点且是线段的中点，求l的方程； （2）求斜率为l的平行弦的中点轨迹； （3）若直线l经过点，求的中点的轨迹方程。 【难度】★★★ 【答案】（1）； （2）； （3）。 【解析】 【课堂练习】 1. 已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2． （1）求椭圆的方程； （2）设，为椭圆上的两动点，为线段的中点，直线，为坐标原点）的斜率都存在且分别记为，，试问的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）由题意可得，则，解得，，即， ，，，椭圆的方程． （2）设，的坐标分别为，，，，点的坐标为，， 则，，，，由已知，， 相减可得，即， 则，于是，为定值，此定值为． 2. 在椭圆＋＝1内，直线Ｌ通过M(1,1)且与椭圆交于A、B两点，求AB中点P的轨迹方程____。 【答案】 【解析】 考点三：与椭圆有关的距离问题 【知识梳理】 1．椭圆的几何性质 ① 椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ② 椭圆上到焦点距离最大、最小的点是长轴的两个端点，最大距离是，最小距离是． ③ 设椭圆的两个焦点为，，是椭圆上的点，当点在短轴的端点时最大． ④ 椭圆的焦点的光学性质：从任一焦点发出的光线通过椭圆面反射后，反射光线经过另一焦点． 【例题精讲】 例5、在椭圆上求一点，使它到直线的距离最大（小），并求最大（小）值. 【难度】★★ 【答案】当时，；当，。 【解析】 【教法指导】讲解时要注意一题多解①点到直线距离公式的应用（参数方程的应用）②联系直线与椭圆的位置关系求切线 例6、已知为椭圆上任意一点，，求的最小值。 【难度】★★ 【答案】，。 【解析】 例7、已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的最大值。 【难度】★★ 【答案】6 【解析】解：设椭圆上一点，又， 又，当时，有最大值5，的最大值为6。 例8、已知椭圆的方程为，、分别为椭圆的左、右焦点，点的坐标为，为椭圆上一点，则的最大值与最小值分别是 。 【难度】★★ 【答案】和 【解析】 例9、已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【难度】★★★ 【答案】（1）（2）不存在，见解析 【解析】解：（1）依题意，可设椭圆的方程为，且可知左焦点为 ，从而有，解得，， 又，所以，故椭圆的方程为． （2）假设存在符合题意的直线，其方程为， 由得， 因为直线与椭圆有公共点，所以有△，解得， 另一方面，由直线与的距离，从而， 由于，，所以符合题意的直线不存在． 【课堂练习】 1. 如图所示，已知椭圆x2+8y2=8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：xy+4=0的距离最小，并求出最小值． 【答案】当P点坐标为(, )时，到直线l的距离最小为 【解析】 2．在椭圆上动点与定点（）的距离的最小值为1，求． 【答案】2 【解析】 3. 设是椭圆上一点，、分别是圆：和圆：上的点，则的取值范围是___________________。 【答案】 【解析】的最小值，则，都应该最小，的最小值为；同理，最大值为。 4. 已知点为椭圆上的一个动点。 （1）求的取值范围； （2）求的取值范围； （3）求点到直线的距离的最大值。 【答案】解：（1）椭圆的参数方程为，则 （2） （3） 【解析】也可以转化为方程或到直线距离的问题。 考点四：直线与椭圆的问题 【知识梳理】 1．点与椭圆的位置关系 已知点与椭圆（，为椭圆的焦点），则 （1）点在椭圆上； （2）点在椭圆外； （3）点在椭圆内． 2．直线与椭圆的位置关系 联立方程，看． ，直线与椭圆有两个交点，弦长为（其中为二次项系数,可由弦长公式推得）； ，直线与椭圆相切，也即直线与椭圆只有一个公共点； ，直线与椭圆无交点． 【例题精讲】 例10、已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围是　　 A．， B． C．， D．， 【难度】★★ 【答案】选：． 【解析】解：由题意直线恒过定点 要使直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点， 则只需要点在椭圆上或椭圆内，则且，． 【教法指导】本题主要考查了直线与椭圆位置关系的判断，常见的判断方法是联立直线方程与曲线方程，但此类方法一般计算量比较大，而本题的这种解决灵活的应用了直线恒过定点的性质，但解题时容易漏洞焦点在轴上的条件的考虑，误认为只有． 例11、设过原点的直线交椭圆于点、，定点的坐标为，试求面积的最大值，并求此时直线的斜率； 【难度】★★★ 【答案】 【解析】当AB斜率不存在时，, 当斜率存在时，设为k，则 ,点M到直线AB的距离： 显然当k<0时，S的值比较大,此时； 例12、已知椭圆方程，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于这条直线对称． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 例13、在平面直角坐标系中，点P到两点(0,－)、(0,)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C. (1) 写出C的方程； (2) 设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时?此时||的值是多少? 【难度】★★★ 【答案】（1） （2）当时，此时 【解析】 【课堂练习】 1. 直线与椭圆的位置关系是　　 A．相离 B．相切 C．相交 D．随着的取值变化而变化 【答案】选：． 【解析】解：由线，得，联立，解得． 直线过定点，代入，有． 点在椭圆的内部，则直线与椭圆的位置关系是相交． 2. 斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为　　 A． B． C．2 D． 【答案】选：． 【解析】解：设直线的方程为，代入椭圆，消去得， 设，两点的横坐标分别为，；则，， 由题意得△，即． 故弦长．当且仅当时取得最大值． 3. 已知点，椭圆：（）的长轴长为， 是椭圆的右焦点，直线的一个方向向量为，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）设过点的动直线与椭圆相交于、两点，当△的面积最大时，求的方程． 【难度】★★★ 【答案】（1）（2） 【解析】（1）设，直线的点方向式方程为， 令，得，即， 由已知，，所以． 所以椭圆的方程为． （2）由题意，设直线的方程为， 将代入，得， 当△，即时，直线与椭圆相交， 设，，则，， 所以 ， 又点到直线的距离，所以△的面积． 设，则，， 因为，所以，当且仅当，即时，取最大值． 所以，当△的面积最大时，直线的方程为． 4. 已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程； （3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由， ，得， 所以椭圆方程是： （2）设EF：（）代入，得 设，，由，得 由， 得，， 直线的方程为：即 （3）将代入，得（*） 记，，PQ为直径的圆过，则，即，又，，得 解得，此时（*）方程，存在，满足题设条件 考点五：定点、定值、最值与取值范围问题 例14、若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足．证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标； 【难度】★★★ 【答案】 【解析】证明：证法一：由题意可知：，设，, 当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：过定点 当的斜率存在时，设直线：，联立方程组： ，把②代入①有： ③，④， 因为，所以有， ，把③④代入整理： ，（有公因式m-1）继续化简得： ，或（舍）， 综合斜率不存在的情况，直线恒过定点． 证法二：（先猜后证）由题意可知：，设，, 如果直线恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在轴上，设为； 取特殊直线，则直线的方程为， 解方程组得点，同理得点， 此时直线恒经过轴上的点 下边证明点满足条件 当的斜率不存在时，直线方程为：， 点 的坐标为，满足条件； 当的斜率存在时，设直线：，联立方程组： ，把②代入①得： ③，④， 所以 【教法指导】思路一：直线过定点问题要让学生指导什么样的直线有定点（例：没有定点，有定点，多数情况下直线方程中含有一个参数时直线会有定点，少数情况下多参数也会存在定点）所以能得到求解直线过定点问题的基本思路设出直线方程然后消参。 思路二：让学生通过分析特殊情况（例如先让直线垂直于x轴，再垂直与y轴）找到直线过的定点再去证明其定点。 例15、已知，是椭圆的焦点，点是椭圆上一点． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点，求△面积取得最大值时，直线的方程． 【难度】★★ 【答案】（1）（2）直线方程为或． 【解析】解：（1）由题意可得，即，解得，， 椭圆的方程为； （2）法一：若存在，设直线的方程为，代入，得， 设，，，，则．到直线距离， ，， 当且仅当，即时有最大值，此时直线方程为或． 若不存在,即轴,此时(舍), 综上:直线方程为或． 法二：设直线的方程为，代入，得， 设，，，，则，． ，当且仅当即时等号成立， 当△面积取得最大值时，直线方程为或． 【课堂练习】 1.设经过右焦点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围. 【难度】★★★ 【答案】. 【解析】当轴时，显然. 当与轴不垂直时，可设直线的方程为. 由 消去整理得 . 设，线段的中点为， 则 . 所以 ，. 线段的垂直平分线方程为. 在上述方程中令，得. 当时，；当时，. 所以，或. 综上，的取值范围是. 2. 如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：，，三点共线． 【答案】（1）（2）见解析 【解析】（1）解：点到椭圆的两焦点的距离之和为，，解得， 又椭圆经过点，，解得．椭圆的标准方程为； （2）证明：线段的中垂线的斜率为，直线的斜率为，可设直线的方程为． 联立，得．设点，，，，，， ， 则．，，点在直线上， 又点也在直线上，，，三点共线 3. 已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且． （1）求椭圆的方程； （2）若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由． 【答案】（1）（2）圆必过定点和． 【解析】（1） （2）设的坐标分别为，则又， 可得，即,又圆的圆心为半径为。 故圆的方程为,即 也就是,令，可得或2, 故圆必过定点和． 4. 过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足．求证：为定值． 【答案】见解析 【解析】由，知在线段的垂直平分线上， 由椭圆的对称性知、关于原点对称． ①若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时 ． 同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时 ． ②若点、、不是椭圆的顶点，设直线的方程为（）， 则直线的方程为．设，， 由，解得，， 所以，同理可得， 所以． 综上，为定值． 【课堂总结】 （1）根据条件确定椭圆的标准方程．在解这类问题时，常常先明确椭圆的焦点是在哪一条坐标轴上，选择相应的标准方程，根据题意，利用待定系数法确定相关系数；或者利用定义法求得方程． （2）灵活运用定义解决有关问题，当某点在已知椭圆上时，不仅意味着点的坐标满足椭圆的方程，而且该点到两个焦点的距离和等于椭圆的长轴长，所以在处理与焦点相关的长度问题时多想想定义． （3）在处理与椭圆相关的最值问题时通常化归成求函数最值． （4）在处理弦长问题时注意应用弦长公式． （5）点差法解决与中点相关的问题． （6）注意“设而不求”在解析几何中的应用：不需解方程只需通过韦达定理中根与系数的关系解决问题，在此，要注意韦达定理之前首先要保证有解，要考虑判别式大于零． （7）在处理与椭圆性质相关的综合问题时，不仅常常应用数形结合法、方程思想，而且还常用到消元思想、类比思想． 【课后作业】 一、填空题 1. 已知直线与椭圆交于，两点，若，则的取值范围是_________________． 【答案】答案为：，． 【解析】解：直线与椭圆交于，两点， 由于直线过原点，可设，, 且， 由，则，， ， 由，可得， 2. 椭圆的长轴长等于，短轴长等于，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为__________. 【答案】答案为：． 【解析】解：根据题意，椭圆的长轴长等于，短轴长等于， 即，，则有，，则椭圆的方程为， 设，，则椭圆的内接矩形的面积， 又由，则，当时等号成立； 即此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 3. 已知、分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆上的任意一点，则的取值范围是_________________． 【答案】答案为：， 【解析】解：根据题意，椭圆中，，，则， 、分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆上的任意一点， 则， 则， 则，又由， 则，即的取值范围是，； 4. 已知椭圆，与两直线，有不同的交点，这四个点与的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则______________． 【答案】 【解析】解：四个点与的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， ，的夹角为 不妨令，则，再令在第一象限的交点为， 由，解得，，，， 解得或（舍去），故 5. 如果为椭圆上的动点，为椭圆上的动点，那么的最大值为_____________． 【答案】答案为：15． 【解析】解：设，， 当或时，最大为15． 6. 在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________________． 【答案】答案为：， 【解析】解：设，则点， 椭圆的焦点坐标为，，，， ，，结合,可得：， 故与的夹角满足： ，，故，。 2、 选择题 7. 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是　　 A． B． C． D．2 【答案】选：． 【解析】解：设线段的中点为，连接． 设椭圆的右焦点为，连接．则． 又，． 设，在中，， ． 8. 已知为椭圆的左焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则四边形的面积最小值为　　 A．4 B． C． D． 【答案】选：． 【解析】解：椭圆的左焦点为． （1）当直线斜率为0时，直线的方程为， 把代入椭圆方程得, 四边形的面积为． （2）当直线有斜率且斜率不为0时，设直线的方程为， 直线的方程为． 联立方程组，消元得：， 设，，，，则，， ， 用替换可得， 四边形的面积为， 令，则， 当即时，取得最小值．综上，四边形的面积的最小值为 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且异于长轴端点．点，在△所围区域之外，且始终满足，，则的最大值为　　 A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】选：． 【解析】解，设，的中点分别为，， ，，则，在分别以，为圆心的圆上， 直线与两圆的交点△所围区域之外）分别为，时，的最大． 的最大值为． 10. 已知，是椭圆上关于坐标原点对称的两个点，，，是椭圆异于，的点，且，，则的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】选：． 【解析】解法一：特殊值法，取，为短轴的端点，即，， 点为左顶点，则直线，的方程分别为，， 所以，，所以．故选． 解法二：若，与坐标轴平行或垂直时， 可得点，为椭圆长轴和短轴的一个端点，所以； 若，与坐标轴不平行或不垂直时，则， 设直线，的方程分别为，， 则．联立，解得， 同理可得， 所以 三、解答题 11. 已知，为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，将点代入椭圆方程得，即椭圆的标准方程； （2）结合题意，设直线方程为，点，，，，且，，联立直线和椭圆方程，消去，得． 则，，则， 原点到直线距离为， 则的面积， 令，则（当时取等号）， 则，即的面积的最大值为． 12. 若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足．证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标； 【答案】 【解析】证明：证法一：由题意可知：，设，, 当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：过定点 当的斜率存在时，设直线：，联立方程组： ，把②代入①有： ③，④， 因为，所以有， ，把③④代入整理： ，（有公因式m-1）继续化简得： ，或（舍）， 综合斜率不存在的情况，直线恒过定点． 证法二：（先猜后证）由题意可知：，设，, 如果直线恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在轴上，设为； 取特殊直线，则直线的方程为， 解方程组，得点，同理得点， 此时直线恒经过轴上的点 下边证明点满足条件 当的斜率不存在时，直线方程为：， 点 的坐标为，满足条件； 当的斜率存在时，设直线：，联立方程组： ，把②代入①得： ③，④， 所以 ( 注：此表用作每次课的教学设计方案 ) ( 第 3 页 共 17 页 )椭圆的标准方程和性质 学科网（北京）股份有限公司 $ 课 题 椭圆的标准方程和性质 教学目标 1．理解椭圆的定义，会推导椭圆的标准方程 2．掌握两种类型的椭圆的标准方程（焦点位于x轴或y轴） 3．掌握椭圆标准方程中之间的关系：c2=a2-b2 4．掌握椭圆的几何性质和应用 重 点 1．椭圆的定义以及标准方程中字母间的关系； 2．椭圆的几何性质和应用 3．直线与椭圆 难 点 直线与椭圆综合 授课内容概要 【重难点回顾】 1、求曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为(x,y)； （3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）检验方程，除去不合适的点，下结论。 上述五个步骤可简记为：建系、设点、列方程、化简、检验。 2、求曲线方程的方法: （1）直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程 （2）几何法：运用几何分析，得出动点的轨迹方程。 （3）代入法：在变化过程中有两个动点，已知其中一个动点在定曲线上运动，求另一动点的轨迹方程，这里通过建立两个动点坐标之间的关系，代人到已知曲线之中，得出所要求的轨迹方程； （4）参数法：求轨迹方程时，若x,y之间的参数很难找出来，可以借助于中间参数，分别确定x,y与参数的关系，最后再消去参数，得出x与y的关系，就可以得出其轨迹方程。 （5）待定系数法(定义法)：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量 【课堂导入】 问题探究：取一条定长（）的细绳，将绳子的两端固定在画板的两个定点 ①当时，用铅笔把绳子拉紧，使铅笔尖在画板上慢慢移动，所作出的图形为何？ ②当时，图形为何？ ③当时，图形又为何？ 例题1、若曲线为到点和距离之和为4的动点的轨迹，则曲线的方程为_____________． 【知识梳理】 1．基本概念 椭圆定义：平面内到两个定点，（）的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点，叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距． 注意：若设动点为，则 （1）当时，动点的轨迹是椭圆． （2）当时，动点的轨迹是线段． （3）当时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程及性质 椭圆的标准方程及性质列于下表中． 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 轴、轴和原点对称 顶点坐标 ，，， ，，， 两轴 长轴长，短轴长 3．椭圆的参数方程 【例题精讲】 考点一：椭圆的标准方程与基本性质 例1、过椭圆的左焦点做轴的垂线交椭圆于点，为其右焦点，若，若2c为椭圆焦距，则为　　 A． B． C． D． 例2、已知点为椭圆在第一象限内一点，，为椭圆两焦点，且，则△的面积为 。 例3、若椭圆的焦点为、，点在椭圆上，且，则等于　　 A． B． C． D． 【课堂练习】 1．如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的短轴长与长轴长之比为____________. 2．椭圆的左右焦点分别为,,一条直线经过与椭圆交于,两点,则的周长为　　 A． B．6 C． D．12 3. 设是椭圆的长轴,点在上,且,若,,则的两个焦点之间的距离为_________． 4. 如图，已知椭圆的中心为原点，，为的左焦点，为上一点，满足，且，则椭圆的方程为　　 A． B． C． D． 5. 已知椭圆的焦点为、，为椭圆上任意一点，△的内心为，过作平行于轴的直线交、于、，则　　 A． B． C． D． 考点二：“点差法”所解决的常见问题 (求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹) 【知识梳理】 例：是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，是的中点，是椭圆的中心，求证： 【例题精讲】 例4、直线l交椭圆于两点，， （1）若直线l经过点且是线段的中点，求l的方程； （2）求斜率为l的平行弦的中点轨迹； （3）若直线l经过点，求的中点的轨迹方程。 【课堂练习】 1. 已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2． （1）求椭圆的方程； （2）设，为椭圆上的两动点，为线段的中点，直线，为坐标原点）的斜率都存在且分别记为，，试问的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 2. 在椭圆＋＝1内，直线Ｌ通过M(1,1)且与椭圆交于A、B两点，求AB中点P的轨迹方程____。 考点三：与椭圆有关的距离问题 【知识梳理】 1．椭圆的几何性质 ① 椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ② 椭圆上到焦点距离最大、最小的点是长轴的两个端点，最大距离是，最小距离是． ③ 设椭圆的两个焦点为，，是椭圆上的点，当点在短轴的端点时最大． ④ 椭圆的焦点的光学性质：从任一焦点发出的光线通过椭圆面反射后，反射光线经过另一焦点． 【例题精讲】 例5、在椭圆上求一点，使它到直线的距离最大（小），并求最大（小）值. 例6、已知为椭圆上任意一点，，求的最小值。 例7、已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的最大值。 例8、已知椭圆的方程为，、分别为椭圆的左、右焦点，点的坐标为，为椭圆上一点，则的最大值与最小值分别是 。 例9、已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【课堂练习】 1. 如图所示，已知椭圆x2+8y2=8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：xy+4=0的距离最小，并求出最小值． 2．在椭圆上动点与定点（）的距离的最小值为1，求． 3. 设是椭圆上一点，、分别是圆：和圆：上的点，则的取值范围是___________________。 4. 已知点为椭圆上的一个动点。 （1）求的取值范围； （2）求的取值范围； （3）求点到直线的距离的最大值。 考点四：直线与椭圆的问题 【知识梳理】 1．点与椭圆的位置关系 已知点与椭圆（，为椭圆的焦点），则 （1）点在椭圆上； （2）点在椭圆外； （3）点在椭圆内． 2．直线与椭圆的位置关系 联立方程，看． ，直线与椭圆有两个交点，弦长为（其中为二次项系数,可由弦长公式推得）； ，直线与椭圆相切，也即直线与椭圆只有一个公共点； ，直线与椭圆无交点． 【例题精讲】 例10、已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围是　　 A．， B． C．， D．， 例11、设过原点的直线交椭圆于点、，定点的坐标为，试求面积的最大值，并求此时直线的斜率； 例12、已知椭圆方程，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于这条直线对称． 例13、在平面直角坐标系中，点P到两点(0,－)、(0,)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C. (1) 写出C的方程； (2) 设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时?此时||的值是多少? 【课堂练习】 1. 直线与椭圆的位置关系是　　 A．相离 B．相切 C．相交 D．随着的取值变化而变化 2. 斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为　　 A． B． C．2 D． 3. 已知点，椭圆：（）的长轴长为， 是椭圆的右焦点，直线的一个方向向量为，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）设过点的动直线与椭圆相交于、两点，当△的面积最大时，求的方程． 4. 已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程； （3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 考点五：定点、定值、最值与取值范围问题 例14、若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足．证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标； 例15、已知，是椭圆的焦点，点是椭圆上一点． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点，求△面积取得最大值时，直线的方程． 【课堂练习】 1.设经过右焦点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围. 2. 如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：，，三点共线． 3. 已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且． （1）求椭圆的方程； （2）若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由． 4. 过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足．求证：为定值． 【课堂总结】 （1）根据条件确定椭圆的标准方程．在解这类问题时，常常先明确椭圆的焦点是在哪一条坐标轴上，选择相应的标准方程，根据题意，利用待定系数法确定相关系数；或者利用定义法求得方程． （2）灵活运用定义解决有关问题，当某点在已知椭圆上时，不仅意味着点的坐标满足椭圆的方程，而且该点到两个焦点的距离和等于椭圆的长轴长，所以在处理与焦点相关的长度问题时多想想定义． （3）在处理与椭圆相关的最值问题时通常化归成求函数最值． （4）在处理弦长问题时注意应用弦长公式． （5）点差法解决与中点相关的问题． （6）注意“设而不求”在解析几何中的应用：不需解方程只需通过韦达定理中根与系数的关系解决问题，在此，要注意韦达定理之前首先要保证有解，要考虑判别式大于零． （7）在处理与椭圆性质相关的综合问题时，不仅常常应用数形结合法、方程思想，而且还常用到消元思想、类比思想． 【课后作业】 一、填空题 1. 已知直线与椭圆交于，两点，若，则的取值范围是_________________． 2. 椭圆的长轴长等于，短轴长等于，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为__________. 3. 已知、分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆上的任意一点，则的取值范围是_________________． 4. 已知椭圆，与两直线，有不同的交点，这四个点与的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则______________． 5. 如果为椭圆上的动点，为椭圆上的动点，那么的最大值为_____________． 6. 在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________________． 2、 选择题 7. 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是　　 A． B． C． D．2 8. 已知为椭圆的左焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则四边形的面积最小值为　　 A．4 B． C． D． 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且异于长轴端点．点，在△所围区域之外，且始终满足，，则的最大值为　　 A．6 B．8 C．12 D．14 10. 已知，是椭圆上关于坐标原点对称的两个点，，，是椭圆异于，的点，且，，则的面积为　　 A． B． C． D． 三、解答题 11. 已知，为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 12. 若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足．证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标； ( 注：此表用作每次课的教学设计方案 ) ( 第 3 页 共 17 页 )椭圆的标准方程和性质 学科网（北京）股份有限公司 $