第06讲 椭圆（知识清单+6题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（沪教版选择性必修一）数学高二重难点讲义与测试

第06讲 椭圆 知识清单 知识点01：椭圆的定义 知识点02：椭圆的标准方程 知识点03：椭圆的性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：椭圆定义及辨析 题型2：椭圆中焦点三角形的周长、面积问题 题型3：轨迹问题——椭圆 题型4：求椭圆的焦点、焦距 题型5：椭圆的离心率 题型6：椭圆的位置关系 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01．椭圆的定义 1．椭圆的第一定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距． 2．椭圆的第二定义 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率． 3．注意要点 椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}． （1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆； （2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2； （3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹． 【命题方向】 利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆． 知识点02．椭圆的标准方程 椭圆标准方程的两种形式： （1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 离心率 e＝（0＜e＜1） e＝（0＜e＜1） 准线 x＝± y＝± 知识点03．椭圆的性质 1．椭圆的范围 2．椭圆的对称性 3．椭圆的顶点 顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点． 顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b） 其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 4．椭圆的离心率 ①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1． ②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样： e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2． 5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2． 题型1：椭圆定义及辨析 【例1-1】为椭圆上一点，到左焦点的距离为，则到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用表示，然后根据椭圆的定义判断出三角形是直角三角形，从而求得. 【详解】椭圆即， 所以，所以左焦点为. 到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为， ，所以三角形是直角三角形， 且，所以到原点的距离. 故选：B 【例1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于 . 【答案】36 【分析】分焦点在和两种情况，根据椭圆定义得到方程，求出答案. 【详解】若焦点在轴上，由椭圆定义得，解得，满足要求， 若焦点在轴上，，不合题意， 综上，. 故答案为：36 【例1-3】（24-25高二上·上海·随堂练习）已知P是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点．若，则 ． 【答案】14 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】因为所以又则 故答案为：14. 【变式1-1】足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置P处起脚射门进球的可能性最佳（即点P对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点P，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，请你判断：每条虚线上的最一佳起脚射门点应在怎样的曲线上（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】根据椭圆定义即可判断. 【详解】设，,在中， , 因为随着增大而减小， 所以∠APB最大时，则cos∠APB最小， 由基本不等式可知，当且仅当为定值时，cos∠APB有最小值， 即为定值且， 所以射门点应该在椭圆上. 故选：. 【变式1-2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于两点，其左焦点为，则的周长为 . 【答案】 【分析】由椭圆定义得到，，从而得到三角形周长. 【详解】 由椭圆方程为，得， 因为点在椭圆上，所以，， 所以的周长为， 故答案为：. 【变式1-3】设椭圆上一点M到左焦点的距离为3，记N为的中点，O为坐标原点，则 . 【答案】 【分析】由题意可推出，，进而利用椭圆的定义求出即可. 【详解】由已知可得，，. 因为N为的中点，是的中点，所以是的中位线， 所以，， 根据椭圆的定义，可得， 故答案为：. 题型2：椭圆中焦点三角形的周长、面积问题 【例2-1】（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】由椭圆定义得到，结合，相加得到周长. 【详解】由题意得，故，， 由椭圆定义得， 故的周长为. 故选：B 【例2-2】（24-25高二上·上海·期末）椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆的定义求解即可. 【详解】由，得，则， 因为过的直线交椭圆于，两点， 所以的周长为 . 故答案为： 【例2-3】已知椭圆的方程为分别是的左、右焦点，是的上顶点． (1)设直线与椭圆的另一个交点为，求的周长； (2)给定点，直线分别与椭圆交于另一点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义分析求解即可； （2）由题意可得，进而可求直线的方程，再求的坐标，即可得解； 【详解】（1）由题意可知：， 所以的周长为. （2）由题意可知：，且在椭圆上， 因为，可知， 又直线的方程为， 联立方程，解得或，即， 所以到直线的距离为，又， 所以的面积为. 【变式2-1】已知点是椭圆上一点，点、是椭圆上、下焦点，有一个内角为，则的面积为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分、、三种情况讨论，利用余弦定理、椭圆的定义以及三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】在椭圆中，，，则， 设，，则， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立，即当点为椭圆短轴的端点时，取最大值， 且的最大值大于，所以，可以取， 当时，，可得，此时； 当时，由余弦定理可得， 因为，解得，此时； 当时，同理可得. 综上所述，或. 故选：D. 【变式2-2】已知，是椭圆C：的两个焦点，椭圆C上的两个动点P、Q与满足三点共线，则的周长是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆定义直接求解作答. 【详解】由椭圆C：，得， ∵椭圆C上的两个动点P、Q与满足三点共线， ∴由椭圆的定义得，的周长为 . 故答案为：. 【变式2-3】已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． (1)若，求； (2)若的面积为9，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的定义、三角形面积公式、余弦定理进行求解即可； （2）根据（1）中三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）设，设， 由，则， 所以有， 由余弦定理可知：， 所以有， 即 （2）由（1）可知：， 因为，所以，因此，即. 题型3：轨迹问题——椭圆 【例3-1】（24-25高二上·上海·期末）已知圆，，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据圆满足与外切且与内切，得，的轨迹为椭圆，求出椭圆的方程，分析要的最小，只要最小，设点根据的范围即可求出. 【详解】因为圆，圆，动圆满足与外切且与内切，设圆的半径为，由题意得， 所以的轨迹是以为焦点，长轴长为16的椭圆，所以其方程为 因为，即为圆的切线，要的最小，只要最小， 设，则因为，所以， 故选：A. 【例3-2】（24-25高二上·上海·期中）若点到点与到点的距离之和为10，则点P的轨迹方程为 【答案】 【分析】由椭圆的定义可知本题点的轨迹为椭圆，由定义即可得到的值，由此写出椭圆方程. 【详解】设，则，满足椭圆定义， ∴，∴，∴， ∵在轴上，所以点P的轨迹方程为. 故答案为：. 【例3-3】点到定点的距离是它到定直线的距离的一半，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 【答案】点的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的椭圆. 【分析】设，根据化简可得点的轨迹方程，根据方程可得轨迹为焦点在轴上的椭圆 【详解】设， 依题意得， 化简得. 故点的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的椭圆. 【变式3-1】（24-25高二上·上海·月考）如图，A为平面内一定点，是平面的定长斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使面积为定值，则动点P的轨迹是（   ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】C 【分析】由题意得到直线的距离为定值，分析可得点在以为轴线的圆柱面与平面的交线上，根据截面的性质，即可得答案. 【详解】因为三角形面积为定值，以定长斜线段为底，则得到直线的距离为定值， 分析可得，点在以为轴线的圆柱面与平面的交线上，且与圆柱的轴线斜交， 由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得的轨迹为椭圆. 故选：C. 【变式3-2】已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】先设点，再由应用相关点法求轨迹方程即可. 【详解】设点，由得点，而点为椭圆上的任意一点， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程是. 故答案为： 【变式3-3】已知点M到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，设点M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程，并说明轨迹是什么图形． 【答案】，椭圆. 【分析】设出点的坐标，根据题意列出满足的等量关系，整理化简即可求得轨迹方程，再根据方程即可判断轨迹对应的图形. 【详解】设点的坐标为，根据题意， 即，整理得：， 即曲线的方程为：，其表示一个椭圆. 题型4：求椭圆的焦点、焦距 【例4-1】（25-26高二上·上海·期中）椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定焦点在轴上，，从而得到答案. 【详解】椭圆的焦点在轴上，， 故焦点坐标为. 故选：B 【例4-2】（24-25高二下·上海·月考）椭圆的焦距是 . 【答案】 【分析】已知椭圆方程，根据计算即可. 【详解】由题可知，在椭圆中， 因此 故答案为：. 【例4-3】已知椭圆的左右焦点分别为、，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程； (2)写出椭圆的长轴长；短轴长；焦距；离心率 (3)求直线被椭圆截得的弦长. 【答案】(1) (2)长轴长，短轴长4，焦距4，离心率 (3) 【分析】（1）根据题意分析可得，结合可求，即可得结果； （2）根据（1）中的，结合椭圆的相关概念运算求解； （3）联立方程，根据弦长公式运算求解. 【详解】（1）因为点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形， 所以，所以， 故椭圆的方程为. （2）由（1）可得：， 故长轴长，短轴长4，焦距4，离心率. （3）设交点， 联立方程，消去y得， 则， 所以． 【点睛】方法定睛：涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 【变式4-1】已知椭圆分别过点和点，则该椭圆的焦距为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆过点和点，得到，联立求解. 【详解】因为椭圆过点和点，所以，且， 可得：，所以，所以焦距. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二下·上海崇明·期末）椭圆的两个焦点之间的距离为 ． 【答案】2 【分析】确定椭圆焦点坐标，即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：， 所以， 则焦点坐标为， 所以两个焦点之间的距离为2， 故答案为：2 【变式4-3】设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，D是直线与轴的交点，点在直线上，且满足（且），当点在单位圆上运动时，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标． 【答案】（1）（且）；（2）当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点分别为，；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，． 【分析】（1）首先设出点和点的坐标，利用，确定点和点坐标之间的关系，再利用点在单位圆上运动，即可求得曲线的方程； （2）根据（1）中曲线的方程，分别分析和两种情况下曲线为何种圆锥曲线，再根据曲线的方程求出焦点坐标. 【详解】（1）设， 因为点和点满足（且）， 所以①，又因为点在单位圆上， 所以②， 将①代入②可得曲线的方程为（且）； （2）因为且， 所以当时，曲线是焦点在轴上的椭圆， 两焦点分别为，； 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为，． 【点睛】关于动点轨迹方程的求解，一般比较常用的方法是定义法、代入法以及相关点法，关于定义法需要掌握几种曲线的定义表示并判断题干条件符合哪个曲线的定义；代入法则直接代入计算，但需要注意定义域；相关点法的应用则需要寻找不同动点之间的关系列式，然后写出轨迹方程. 题型5：椭圆的离心率 【例5-1】（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆 ，过点且倾斜角为 的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记，反射点为，由直线的方程联立求得点坐标，而在直线上得出的关系，从而求得离心率． 【详解】， 由题意直线方程为，直线的方程为， 由解得， 点在直线上，则， ，由得， 解得（负值舍去）， 故选：A． 【例5-2】（25-26高二上·上海松江·期中）体现中华传统文化的油纸伞至今已有多年的历史；如图，是一把撑开后摆放在地面上的油纸伞，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则 .    【答案】/ 【分析】将问题转化为三角形中已知两角一边求另一边的问题，利用正弦定理即可求得椭圆的长半轴长，另外由平行投影的性质可知椭圆的短轴即为圆的直径，即可得解. 【详解】设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为、、， 则，如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆的左右顶点，    由题意可得，则，阳光照射方向与地面的夹角为，即， 则， ， 在中，，即，即， 解得，而， 故. 故答案为： 【例5-3】已知椭圆（）的长轴长为，离心率为.直线与椭圆有两个不同的交点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）先求出关于直线的对称点，再利用对称点在椭圆上，代入椭圆方程，即可求解. 【详解】（1）由题意得，所以，又因为，所以， 又，所以椭圆的标准方程为. （2）设关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 又点在椭圆上，所以， 化简得 ，解得或，当时，与点M重合，舍去， 所以. 【变式5-1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于M、N两点，若的周长为16，离心率，则面积的最大值为（    ） A．12 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据给定的离心率及三角形周长，求出椭圆方程，再设出直线MN的方程，与椭圆方程联立求解三角形面积即可. 【详解】依题意，周长，解得， 而椭圆的离心率，则其半焦距，因此， 椭圆C：，，显然直线不垂直于y轴，设其方程为， 由消去x得：，设， 则有， ， 令，函数在上单调递增，因此当时，取得最小值4， 即，的面积，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为12. 故选：A 【变式5-2】（25-26高三上·上海·期中）若点、为椭圆的长轴顶点，过椭圆上任一不同于、的点作的垂线，垂足为点，若，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】不妨假设椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，设点，其中，且有，利用已知条件得出的值，再利用可求得该椭圆离心率的值. 【详解】不妨假设椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，设， 设点，其中，则，，， 由题意可得，所以， 所以， 因此该椭圆的离心率为. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆C：的一个焦点坐标为，离心率， (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，椭圆C与直线相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M．若直线OM的斜率为，求线段AB的长． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率的值可求，进而可得，从而求得椭圆的方程. （2）将直线方程与椭圆方程联立，再由韦达定理可得的坐标，从而由直线OM斜率为解得，代入弦长公式计算可得线段的长. 【详解】（1）椭圆C的一个焦点坐标为，，又， 解得，则，所以椭圆C的方程是． （2）设， 由，消去y并整理得， 则，，， 则， 所以线段AB的中点， 直线OM斜率为，即，解得， ， 所以， 所以线段AB的长为． 题型6：椭圆的位置关系 【例6-1】直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】根据直线恒过，且在椭圆内可直接得到结论. 【详解】，在椭圆内， 恒过点，直线与椭圆相交. 故选：A. 【例6-2】直线与曲线的公共点的个数为 ； 【答案】个 【解析】将直线方程与曲线方程联立得， ，根据方程根的个数来判断. 【详解】将直线方程与曲线方程联立得， ， 解得 或， 所以或 或或， 故直线与曲线的公共点有4个. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 【例6-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动点在椭圆C：之外，作直线l：．证明：直线l与椭圆C有两个不同的公共点． 【答案】证明见解析 【分析】直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后由判别式可证，证明过程中注意有. 【详解】由消去得，，（*） ， 因为在椭圆之外，所以，即， 所以，方程（*）有两个不等的实根，即直线与椭圆有两个不同的公共点； 【变式6-1】已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】根据直线方程可得直线过定点，判断点与椭圆C的位置关系即可得结果. 【详解】对于直线，整理得， 令，解得， 故直线过定点. ∵，则点在椭圆C的内部， 所以直线l与椭圆C相交. 故选：A. 【变式6-2】椭圆的左焦点为，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】根据题意，先得，再得点的横坐标，代入椭圆方程，即可求出结果. 【详解】由椭圆方程，易得：， 因为线段的中点在轴上， 所以点的横坐标为， 代入椭圆方程，可得：，解得：. 即点的纵坐标是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求椭圆上点的坐标，熟记椭圆的简单性质即可，属于基础题型. 【变式6-3】（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆：（，且），点在椭圆上，点，原点为． (1)若点在曲线上，且长轴长为，求椭圆的短轴长； (2)若点在第二象限，且是以为直角的等腰直角三角形，求的最小值； (3)若椭圆的焦点在轴上，是否存在，使得点在线段的中垂线上？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)不存在，答案见解析 【分析】（1）已知，代入点的坐标，可求，为短轴长. （2）先利用复数的运算确定点坐标，代入椭圆方程，得到的关系，再结合基本（均值）不等式求和的最小值. （3）先求线段中垂线方程，与椭圆方程联立，利用根的判别式判断方程解是否存在. 【详解】（1）因为：，把代入可得：， 所以. 所以椭圆的短轴长为：. （2）因为在第二象限，且是以为斜边的等腰直角三角形， 由. 所以点坐标为. 又点在椭圆上，所以， 所以（当且仅当即时取“”）. （3）如图：    由. 即为线段的中垂线方程. 将代入到， 得：，整理得：. 由. 因为椭圆的焦点在轴上，且， 所以，，所以. 所以直线与椭圆无交点. 故这样的椭圆不存在. 一、填空题 1．（25-26高二上·上海·期中）椭圆的长轴长为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆方程求得，进而求得长轴长. 【详解】椭圆方程为， 所以，则长轴长. 故答案为： 2．（25-26高二上·上海·期中）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 . 【答案】 【分析】首先求出，再根据椭圆的定义计算可得. 【详解】椭圆，则， 根据椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为. 故答案为： 3．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交于，两点，若，，则的值为 . 【答案】 【分析】利用椭圆的定义，结合勾股定理来计算，即可求解. 【详解】 因为，所以， 设，则， 根据椭圆定义可知： 由可得：， 所以有，则， 即，而，则， 所以为椭圆的短轴端点，且是等腰直角三角形， 即，又因为，所以， 因为，所以的值为， 故答案为： 4．（25-26高二上·上海·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】因为表示椭圆， 所以，解得且， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率 . 【答案】/ 【分析】由题意得出，等式两边同时除以，可得出关于的方程，结合可求出的值. 【详解】因为椭圆的焦距为，且，即， 等式同时除以可得，即， 因为，解得. 故答案为： 6．直线与椭圆的公共点个数为 ． 【答案】2 【分析】求出直线恒过的定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的交点的个数． 【详解】直线恒过， 由于，所以是椭圆内部的一点， 所以直线与椭圆恒有2个交点． 故答案为：2． 7．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆上或椭圆内，由此可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】直线方程可化为，则该直线过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点，则点在椭圆上或椭圆内， 所以，解得且. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知椭圆为椭圆的两个焦点，若椭圆上只存在个点使得为直角三角形，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用椭圆的对称性，结合条件，将问题转化成以原点为圆心，半径为的圆与椭圆没有交点，即可求解. 【详解】若，由椭圆的对称性知，此时上有两个点符合条件， 若，由椭圆的对称性知，此时上有两个点符合条件， 又椭圆上只存在个点使得为直角三角形，则椭圆上不存在点，使， 则以原点为圆心，半径为的圆与椭圆没有交点，所以， 解得，又，所以， 故答案为：. 9．（25-26高二上·上海·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，且该椭圆经过点，则椭圆的标准方程为 【答案】 【分析】根据椭圆的定义求标准方程或者用待定系数法求标准方程. 【详解】解法一：因为椭圆的焦点在轴上， 所以设椭圆的标准方程为． 因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，且点在椭圆上， 所以由椭圆的定义知， 所以，又因为，所以. 因此所求椭圆的标准方程为． 解法二：因为椭圆的焦点在轴上， 所以设椭圆的标准方程为， 因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，所以， 从而——①， 又因为点在椭圆上，所以——②， 由①②解得或（舍去）， 因此，所求椭圆的标准方程为． 故答案为： 10．（25-26高二上·上海·期中）如图，地面上有一个篮球． 假设1：地面是水平面； 假设2：太阳光线是平行光线，光线与地面所成的角的大小为． 已知篮球在地面上的影子边界是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】设篮球半径为，结合图形特征得出椭圆长轴长，且，由二倍角公式化简即可求解. 【详解】 设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点； 已知太阳光线与地面的夹角为； 如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上， 篮球在地面上的影子边界是一个椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴， 设篮球半径为，显然平面平面，连接平面， 过作交于，则， 于是椭圆长轴长， 在四边形中，， 令椭圆半焦距为，而，则， 解得， 所以该椭圆的离心率为. 故答案为：. 11．（25-26高二上·上海·期中）已知，，点为椭圆：上的动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆方程分析可知，，代入结合二次函数求最值即可. 【详解】由椭圆：可知，，， 即，为椭圆的左，右焦点， 则，即， 且，即， 则， 可知当时，取到最大值4； 当或时，取到最小值3； 所以的取值范围是. 故答案为：. 12．（25-26高二上·上海浦东新·期中）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中.如图，点是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形，则 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义及标准方程结合题中条件得到关系式，进一步计算即可. 【详解】因为是边长为1的等边三角形， 则， 所以， 又， 所以， 则 故答案为： 二、单选题 13．已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据方程可得，结合椭圆的定义运算求解. 【详解】由题意可知：， 则， 所以的周长为. 故选：D. 14．（24-25高二下·上海·期中）某彗星绕太阳运动的轨道是椭圆Γ，太阳的中心是Γ的一个焦点．若该彗星在绕太阳运动的过程中，距太阳表面距离的最大值为ρ，最小值为μ，太阳半径为r，则椭圆Γ的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的焦距为，长轴长为，根据题意得到，计算可得离心率. 【详解】设椭圆的焦距为，长轴长为， 则由已知可得， 两式相加可得，两式相减可得， 则，， 所以离心率. 故选：A. 15．（25-26高二上·上海徐汇·月考）设点是曲线上的点，又点，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简给定的曲线方程并确定与椭圆的位置关系，再结合椭圆的定义求解判断. 【详解】曲线方程化为，它表示顶点分别为的菱形， 以为焦点，长轴长为26，短轴长为10的椭圆方程为， 在直角坐标系中，作出曲线和椭圆，如下图： 由图形以及椭圆的定义知：若在椭圆上，又在曲线上时， 即或时，； 若在椭圆内部，又在曲线上时，， 所以. 故选：C 16．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，根据椭圆的定义和余弦定理得，再根据基本不等式和离心率公式可得结果. 【详解】设，，则， 在中，， 所以，得， 所以， 因为，当且仅当时，取等号， 所以， 所以，所以， 所以，所以，又， 所以. 故选：C 三、解答题 17．（24-25高二下·上海浦东新·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点． (1)求的短轴长及的周长； (2)若直线过点，求弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的定义即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，求出的坐标，利用两点间的距离公式即可求得弦长. 【详解】（1）由题意，所以短轴长为，且， 所以的周长为， 即的周长为． （2），又直线过点，所以， 所以直线的方程为， 联立，整理可得，可得或，可得或， 所以． 18．已知椭圆. (1)若椭圆的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据椭圆方程求出，然后根据椭圆的定义可求得结果； （2）设直线的方程为，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，再由题意可得可求得直线的斜率的取值范围. 【详解】（1）由题意得， 所以， 所以的周长为； （2）显然不满足题意，设直线的方程为， 由，得， 由，得， 则， ， 因为为锐角，不共线，所以， 所以，所以， 所以 ， 解得， 因为 所以解得或， 所以实数的取值范围为 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将为锐角转化为，则，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题. 19．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． (1)求的方程； (2)若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求此时直线的方程； (3)在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由已知条件列出方程组解出即可求解； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立消元，设，，，由四边形为平行四边形得，由韦达定理得点的坐标，又点在椭圆上，代入椭圆方程即可求解； （3）由，得，即化简整理有，由韦达定理即可求解. 【详解】（1）由椭圆的离心率为得：，即有， 由以C的短轴为直径的圆与直线相切得：， 联立解得，，所以的方程是. （2）设直线的方程为，联立，消去得， ， 则恒成立， 设，，，由四边形为平行四边形， ， ， 点P在椭圆上，，解得，即， 当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的方程为. （3）由，则，即， 则，则， 由（2），， 所以， 化简得，又，故. 20．（24-25高二下·上海·月考）已知椭圆的左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)如图，设是椭圆上一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率存在，并记为，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)定值18； 【分析】（1）由即可求解； （2）设出直线方程，通过直线与圆相切，得到是方程的两根，即可求解； （3）设，由（2），再结合点在椭圆上即可求解. 【详解】（1）由题意可知：， 易得：，所以， 所以椭圆方程为：； （2） 证明：由题意设：与圆相切， 所以， 化简可得：， ：与圆相切，可得：， 可得：， 所以是方程的两根， ，， 所以， 又因为在椭圆上，所以，即， 所以，为定值； （3）是定值，定值为18，理由如下： 设， 因为， 所以， 因为设，在椭圆上， 所以，即， 所以， 整理得：， 所以， 所以，定值； 【点睛】关键点点睛：第二问：由直线与圆相切，得到是方程的两根； 21．（25-26高三上·上海青浦·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为为上两个不同的点，记的周长和面积分别为和. (1)若的离心率为，求的值； (2)若满足的点有且仅有两个，求的取值范围； (3)若，是否存在点使得和同时取到最大值？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据离心率的定义计算； （2）根据椭圆的对称性以及即可求出； （3）根据椭圆的定义得出，得出当三点共线时最大，进而设，与椭圆方程联立，再分别令，，结合基本不等式分别求面积的最大值，再作比较即可. 【详解】（1）由题意知，，则， 因，则离心率为，得； （2）对于椭圆上任意一点，有， 因满足的点有且仅有两个且椭圆为对称图形，则， 得， 故的取值范围为； （3）若，则，， 由椭圆的定义可知，， 则， 等号成立时三点共线， 故当三点共线时，取得最大值； 因直线的斜率不为，则可设直线，， 联立，得， 则，得， 由韦达定理可知，， 则， 则， 令，则， 若，则，则，等号成立时； 若，则， 则，等号成立时； 因，    则不存在点使得和同时取到最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 椭圆 知识清单 知识点01：椭圆的定义 知识点02：椭圆的标准方程 知识点03：椭圆的性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：椭圆定义及辨析 题型2：椭圆中焦点三角形的周长、面积问题 题型3：轨迹问题——椭圆 题型4：求椭圆的焦点、焦距 题型5：椭圆的离心率 题型6：椭圆的位置关系 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01．椭圆的定义 1．椭圆的第一定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距． 2．椭圆的第二定义 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率． 3．注意要点 椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}． （1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆； （2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2； （3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹． 【命题方向】 利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆． 知识点02．椭圆的标准方程 椭圆标准方程的两种形式： （1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 离心率 e＝（0＜e＜1） e＝（0＜e＜1） 准线 x＝± y＝± 知识点03．椭圆的性质 1．椭圆的范围 2．椭圆的对称性 3．椭圆的顶点 顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点． 顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b） 其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 4．椭圆的离心率 ①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1． ②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样： e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2． 5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2． 题型1：椭圆定义及辨析 【例1-1】为椭圆上一点，到左焦点的距离为，则到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于 . 【例1-3】（24-25高二上·上海·随堂练习）已知P是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点．若，则 ． 【变式1-1】足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置P处起脚射门进球的可能性最佳（即点P对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点P，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，请你判断：每条虚线上的最一佳起脚射门点应在怎样的曲线上（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式1-2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于两点，其左焦点为，则的周长为 . 【变式1-3】设椭圆上一点M到左焦点的距离为3，记N为的中点，O为坐标原点，则 . 题型2：椭圆中焦点三角形的周长、面积问题 【例2-1】（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【例2-2】（24-25高二上·上海·期末）椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ． 【例2-3】已知椭圆的方程为分别是的左、右焦点，是的上顶点． (1)设直线与椭圆的另一个交点为，求的周长； (2)给定点，直线分别与椭圆交于另一点，求的面积． 【变式2-1】已知点是椭圆上一点，点、是椭圆上、下焦点，有一个内角为，则的面积为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2-2】已知，是椭圆C：的两个焦点，椭圆C上的两个动点P、Q与满足三点共线，则的周长是 ． 【变式2-3】已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． (1)若，求； (2)若的面积为9，求的大小． 题型3：轨迹问题——椭圆 【例3-1】（24-25高二上·上海·期末）已知圆，，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【例3-2】（24-25高二上·上海·期中）若点到点与到点的距离之和为10，则点P的轨迹方程为 【例3-3】点到定点的距离是它到定直线的距离的一半，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 【变式3-1】（24-25高二上·上海·月考）如图，A为平面内一定点，是平面的定长斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使面积为定值，则动点P的轨迹是（   ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【变式3-2】已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为 ． 【变式3-3】已知点M到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，设点M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程，并说明轨迹是什么图形． 题型4：求椭圆的焦点、焦距 【例4-1】（25-26高二上·上海·期中）椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高二下·上海·月考）椭圆的焦距是 . 【例4-3】已知椭圆的左右焦点分别为、，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程； (2)写出椭圆的长轴长；短轴长；焦距；离心率 (3)求直线被椭圆截得的弦长. 【变式4-1】已知椭圆分别过点和点，则该椭圆的焦距为（    ） A． B．2 C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·上海崇明·期末）椭圆的两个焦点之间的距离为 ． 【变式4-3】设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，D是直线与轴的交点，点在直线上，且满足（且），当点在单位圆上运动时，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标． 题型5：椭圆的离心率 【例5-1】（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆 ，过点且倾斜角为 的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（25-26高二上·上海松江·期中）体现中华传统文化的油纸伞至今已有多年的历史；如图，是一把撑开后摆放在地面上的油纸伞，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则 .    【例5-3】已知椭圆（）的长轴长为，离心率为.直线与椭圆有两个不同的交点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值. 【变式5-1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于M、N两点，若的周长为16，离心率，则面积的最大值为（    ） A．12 B．2 C．4 D．8 【变式5-2】（25-26高三上·上海·期中）若点、为椭圆的长轴顶点，过椭圆上任一不同于、的点作的垂线，垂足为点，若，则该椭圆的离心率为 . 【变式5-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆C：的一个焦点坐标为，离心率， (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，椭圆C与直线相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M．若直线OM的斜率为，求线段AB的长． 题型6：椭圆的位置关系 【例6-1】直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【例6-2】直线与曲线的公共点的个数为 ； 【例6-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动点在椭圆C：之外，作直线l：．证明：直线l与椭圆C有两个不同的公共点． 【变式6-1】已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式6-2】椭圆的左焦点为，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么点的纵坐标是 ． 【变式6-3】（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆：（，且），点在椭圆上，点，原点为． (1)若点在曲线上，且长轴长为，求椭圆的短轴长； (2)若点在第二象限，且是以为直角的等腰直角三角形，求的最小值； (3)若椭圆的焦点在轴上，是否存在，使得点在线段的中垂线上？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 一、填空题 1．（25-26高二上·上海·期中）椭圆的长轴长为 ． 2．（25-26高二上·上海·期中）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 . 3．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交于，两点，若，，则的值为 . 4．（25-26高二上·上海·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是 . 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率 . 6．直线与椭圆的公共点个数为 ． 7．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 . 8．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知椭圆为椭圆的两个焦点，若椭圆上只存在个点使得为直角三角形，则实数的取值范围是 ． 9．（25-26高二上·上海·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，且该椭圆经过点，则椭圆的标准方程为 10．（25-26高二上·上海·期中）如图，地面上有一个篮球． 假设1：地面是水平面； 假设2：太阳光线是平行光线，光线与地面所成的角的大小为． 已知篮球在地面上的影子边界是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为 ． 11．（25-26高二上·上海·期中）已知，，点为椭圆：上的动点，则的取值范围是 ． 12．（25-26高二上·上海浦东新·期中）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中.如图，点是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形，则 . 二、单选题 13．已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 14．（24-25高二下·上海·期中）某彗星绕太阳运动的轨道是椭圆Γ，太阳的中心是Γ的一个焦点．若该彗星在绕太阳运动的过程中，距太阳表面距离的最大值为ρ，最小值为μ，太阳半径为r，则椭圆Γ的离心率为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·上海徐汇·月考）设点是曲线上的点，又点，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高二下·上海浦东新·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点． (1)求的短轴长及的周长； (2)若直线过点，求弦长． 18．已知椭圆. (1)若椭圆的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 19．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． (1)求的方程； (2)若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求此时直线的方程； (3)在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 20．（24-25高二下·上海·月考）已知椭圆的左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)如图，设是椭圆上一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率存在，并记为，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 21．（25-26高三上·上海青浦·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为为上两个不同的点，记的周长和面积分别为和. (1)若的离心率为，求的值； (2)若满足的点有且仅有两个，求的取值范围； (3)若，是否存在点使得和同时取到最大值？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $