2026-2027学年北师大版九年级数学上学期九月月质量检测模拟卷

2026-2027学年第一学期9月数学月考模拟卷 九年级数学试题 注意事项： 1．考试时间：120分钟；满分：120分 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考试范围：北师大版九年级上册第1——2单元； （考试时间：120分钟；满分120分） 一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在上，连接，将沿折叠，使的对应线段经过点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 4．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 7．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 9．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 10．已知关于的方程，，是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③；④若且，则，则正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 12．如图，在菱形中，点为边的中点，连接，．若，且，则菱形的边长为________． 13．如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 14．若方程的两个根是，，则的值为________． 15．在四边形中，，，，，，点在四边形内．如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，则______（填“存在”或“不存在”）点，使得；如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是____． 三．解答题(本大题有7小题，共70分) 16．（8分）解下列方程: (1) (2) (3) 17.（8分）在学习了平行四边形和特殊的平行四边形后，八年级学习小组受到了启发，认为利用菱形的性质和判定可以帮助我们完成一些尺规作图，对尺规作图作菱形展开了探究．已知四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作的角平分线交于点F，并在上作一点E，使； (2)连接，求证：四边形是菱形． 18.（8分）校园内有一块四边形的花坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画出如图的四边形，其中米，，． (1)猜想四边形的形状，并证明自己的猜想； (2)求花坪造型的面积． 19.（8分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（风筝大小忽略不计），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③小明牵线放风筝的手离地面的距离为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果风筝沿方向下降12米至点处，则小明应该往回收线多少米？ 20.（8分）解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： (1)该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ (2)若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 21．（9分）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 22．（9分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)判断方程是否为“伴根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”， ①求m的值； ②在①的条件下，若，解关于的方程． 23．（12分）如图①，在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，． (1)如图②，当直线经过点时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使是等边三角形，不需要说明理由． (2)如图③，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长． 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级上册9月月考模拟卷教师版 （考试时间：120分钟；满分100分） 一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】证明，得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，结合的周长为12，得出， 在中，勾股定理求出，即可解答； 【详解】解：是的角平分线，， ∴， 又， ∴， ， ， ， 点是的中点， ， 的周长为， ， ， ， ∵在中，， ． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在上，连接，将沿折叠，使的对应线段经过点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，则，根据翻折得出，最后根据即可求解. 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，，， ∴在中，， ∴， ∵翻折， ∴， ∴. 3．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质得到及，进而证得，通过构造直角三角形求出的长，最后计算周长即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的周长为． 4．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 5．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 6．2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 7．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 8．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 9．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式，整理等式即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 展开整理得， 即， ∴，得， ∵， 等式两边同除以得． 10．已知关于的方程，，是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③；④若且，则，则正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用一元二次方程的判别式判断根的情况，结合根与系数的关系逐个验证结论即可，用到完全平方公式变形等初中知识点． 【详解】解：①∵关于的方程，，是此方程的两个实数根， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，即，①正确； ②∵关于的方程，，是此方程的两个实数根， ∴ ∵， ∴，②正确； ③∵，且 ，， ∴ ∵， ∴，③错误； ④原方程变形为， 由，可得， ∴，， ∴，④正确； 综上，正确结论是①②④． 二、填空题 11．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 12．如图，在菱形中，点为边的中点，连接，．若，且，则菱形的边长为________． 【答案】 【分析】设菱形的边长为，根据中点定义和已知条件表示出和；过点作交的延长线于点，过点作于点，证明，设，利用勾股定理分别表示出和，建立关于和的方程组，求解即可． 【详解】解：设菱形的边长为， 四边形是菱形， ，， 点为边的中点， ， ， ， 过点作交的延长线于点，过点作于点，如图， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设， 在中，， 在中，∵， ， ， ， 在中，∵， ， ， ∴， ∴， 将代入①得， 即， 解得（负值舍去）． 13．如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 【答案】1或或 【分析】设，依题意，，得出或，根据满足条件的点有且仅有三个，确定的值，进而解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设，依题意， ∴或 ∵中，，方程有两个不等实数解， 依题意，满足条件的点有且仅有三个 ∴方程有且只有一个解， ∴ ∵ ∴ 所以方程， ∴ ∴ ∴ 解得： 解方程 ∴ 解得： 综上所述，点的横坐标为1或或 14．若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 15．在四边形中，，，，，，点在四边形内．如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，则______（填“存在”或“不存在”）点，使得；如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是____． 【答案】 存在 【分析】连接，过点作，分别交，于点，，求梯形的面积，可得三角形的面积，进而确定点的轨迹并算出点到的距离；通过分析临界情况利用梯形面积公式根据题意列方程，求解即可得出的取值范围． 【详解】解：如图，在图1中连接，过点作，分别交，于点，， ∵在四边形中，，， ∴四边形是直角梯形， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 当时， ， 在中， ， ∴点到的距离为， ∴存在点，使得， 此时点的轨迹为线段（不包括端点），且与间的距离为； 如图，在图2中考虑临界情况，当点在上的点处，点在上的点处时，设， 若，则， 解得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 三、解答题 16．解下列方程: (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：在中，， ∴ ， ∴， 解得； （2）解： 解得； （3）解： 解得． 17．在学习了平行四边形和特殊的平行四边形后，八年级学习小组受到了启发，认为利用菱形的性质和判定可以帮助我们完成一些尺规作图，对尺规作图作菱形展开了探究．已知四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作的角平分线交于点F，并在上作一点E，使； (2)连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)如图所示： (2)证明：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵， ∴，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图步骤作出角平分线，再截取即可； （2）先根据平行四边形的性质得到，，则，进而可证明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而根据等腰三角形的判定可得，然后根据菱形的判定可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 18．校园内有一块四边形的花坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画出如图的四边形，其中米，，． (1)猜想四边形的形状，并证明自己的猜想； (2)求花坪造型的面积． 【答案】(1)猜想：四边形是菱形             证明：， ， ，             四边形是平行四边形             ， 四边形是菱形． (2)8平方米 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据，即可证明四边形是菱形． （2）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，得出，进而根据菱形的性质求得面积，即可求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：过点作于点，             米，， 米，                 花坪造型的面积为：平方米． 19．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（风筝大小忽略不计），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③小明牵线放风筝的手离地面的距离为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果风筝沿方向下降12米至点处，则小明应该往回收线多少米？ 【答案】(1)21.4米； (2)8米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，证明四边形是矩形，求出的长，再求出的长即可得到答案； （2）求出的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，（米）； 由题意知， ∴四边形是矩形， 米， （米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，米， （米）． 在中，由勾股定理得，（米）， （米）， 答：小明应该往回收线8米． 20．解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： (1)该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ (2)若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 【答案】(1) (2)购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 【分析】（1）设平均每年增长的百分率为x，根据“该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨．”列出方程，即可求解； （2）设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只，根据“购买母蟹的数量不少于公蟹数量的”列不等式求出m的取值范围，设购买费用为w元，列出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设平均每年增长的百分率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：平均每年增长的百分率为； （2）解：设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只， 根据题意得：， 解得：， 设购买费用为w元，则 ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴m的最大值为9， 当时，w取得最小值，最小值为， 答：购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 21．某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 22．如图①，在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，． (1)如图②，当直线经过点时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使是等边三角形，不需要说明理由． (2)如图③，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长． 【答案】(1)添加条件：； (2)解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． (3)或 【分析】（1）由折叠可得，，当时，可得到，即可得出是等边三角形； （2）连接．由矩形的性质得到，由折叠得到，，，根据等角的余角相等得到，从而有，再证明，可得四边形是平行四边形，结合得出是菱形； （3）设，根据勾股定理构造方程，求得，设，在中根据勾股定理构造方程，求得，由即可解答． 【详解】（1）解：由折叠可得，， 当时，， ∴， ∴是等边三角形． （2）略 （3）解：①如图， 设，则， ∵由翻折有， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴在中，， 即， 解得， ∴， ∴． ②如图， 设，则， ∵由翻折有， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴在中，；在中，， ， 即， ， 解得， ∴， ∴． 23．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)判断方程是否为“伴根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”， ①求m的值； ②在①的条件下，若，解关于的方程． 【答案】(1)是“伴根方程” (2)①或；② 【分析】（1）首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义判断； （2）①首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义求解； ②首先由得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，， ∵， ∴方程是“伴根方程”； （2）解：①∵， ∴或， ∴，， ∵方程（m是常数）是“伴根方程”， ∴， ∴或； ②∵， ∴， ∴关于t的方程为， ∴， ∴． 第23页 学科网（北京）股份有限公司 $