第3章第9讲一元一次不等式组（3.5）专题讲义 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

八年级上册 · 数学（浙教版） 第9讲 一元一次不等式组(3.5) (一)解一元一次不等式组 例题精析 例1 解下列不等式组,并把解集表示在数轴上。 ▸思路点拨 先利用不等式的解法分别求出两个不等式的解,然后利用数轴求出公共部分。 ▸过程详解 解:解不等式①,得。解不等式②,得。把①②两个不等式的解表示在数轴上,如图所示,所以原不等式组的解集是。 ▸总结升华 解一元一次不等式组需分别求出每一个不等式的解集,再利用数轴找公共部分得到不等式组的解集。 变式训练 1. 解不等式组并写出它的所有非负整数解。 (二)一元一次不等式组解的情况 例题精析 例2 小明准备完成题目:解一元一次不等式组发现常数“”印刷不清楚。 (1)他把“”猜成5,请你解一元一次不等式组 (2)张老师说:我做一下变式,若的解集是,请求出常数“”的取值范围。 ▸思路点拨 (1)把5代入“”中,解不等式组即可;(2)设“”为,先分别解两个不等式,再根据解是,确定,求出的范围即可。 ▸过程详解 解:(1)解不等式①,得,解不等式②,得,所以不等式组的解集为。 (2)设“”为,则不等式的解集为,不等式的解集为,因为不等式组的解集为,所以,即,所以常数“”的取值范围为。 ▸总结升华 本题考查了不等式组的解法,可利用数轴分析不等式组解集的情况,先定范围,再定临界点是否可取。 变式训练 2. 不等式组的解集为,则满足的条件是____。 例3 如果不等式组的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数的有序数对共有____个。 ▸思路点拨 利用数轴图示法:结合数轴来表示不等式(组)的解集,把参数解集看成动点来确定字母参数的取值范围。 ▸过程详解 解:由原不等式组可得,在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间,如图:根据数轴可得,所以或2或3或4,所以或11或12。故适合这个不等式组的整数的有序数对共有12个。故答案为12。 ▸总结升华 本题考查了一元一次不等式组的整数解,注意各个不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集,关键是要根据所给的整数解确定解集的范围,从而确定出参数的范围。 变式训练 3. 关于的不等式组有且只有两个整数解,如果,那么的取值范围为____。 例4 若关于的不等式组无解,则的取值范围为____。 ▸思路点拨 由得,由得。若不等式组无解,则。 ▸过程详解 解:解不等式,得。解不等式,得。因为不等式组无解,所以,解得。故答案为。 ▸总结升华 利用数轴分析不等式组解集的情况,不等式组无解即在数轴上没有公共部分,故可先定范围,再定临界点是否可取。 变式训练 4. 若不等式组无解,则的取值范围是____。 (三)方程与一元一次不等式组的结合 例题精析 例5 已知关于的方程组的解满足不等式组求满足条件的的整数值。 ▸思路点拨 先解二元一次方程组,把用表示出来,再代入不等式组,转化为求关于的一元一次不等式组;也可以用整体思想,通过计算①+②和①-②,用表示出和,再求解关于的不等式组。 ▸过程详解 解:方法一:①得,③ ②-③得,把代入①得,把代入不等式组中,得解不等式组得,则满足条件的的整数值为。 方法二:①+②,得,②-①得。因为所以解不等式组得,则满足条件的的整数值为。 ▸总结升华 本题考查方程组与不等式组的结合,解决此类问题的关键是通过消元如何用表示,但有时从整体角度去看,运算会更快。 变式训练 5. 已知且,则的取值范围为____。 例6 若关于的分式方程的解集是非负数,则的取值范围为____。 ▸思路点拨 先解分式方程,再根据关于的分式方程的解是非负数,可得,且,即可求出的取值范围。 ▸过程详解 解:由,解得。因为,且,所以且。故答案为且。 ▸总结升华 分式方程变为整式方程后,用表示,根据,可以得到关于的不等式,同时注意分式方程的分母不等于0是隐含条件。 变式训练 6. 若关于的方程的解集为负数,则的取值范围是（　） A． B． C．且 D．且 例7 两个非负实数和满足,且。 (1)求的取值范围。 (2)请用含的代数式表示,并求的取值范围。 ▸思路点拨 用含的代数式表示,根据的非负性,建立关于的不等式组,再根据与的关系,得到的范围。 ▸过程详解 解:(1)因为,所以。因为是非负实数,所以,所以,所以,解得。 (2)因为,所以,所以。因为,所以,即。 ▸总结升华 求的范围就是要建立关于的不等式(组),故先用含的代数式表示,再根据题目中的条件,建立关于的不等式组。 变式训练 7. 已知实数满足,并且,现有,则的取值范围是____。 (四)一元一次不等式组的应用 例题精析 例8 运行程序如图所示,规定:从“输入一个值”到“结果是否大于95”为一次程序操作,如果程序操作进行了2次才停止,那么的取值范围是____。 ▸思路点拨 由程序操作恰好进行了2次后停止,即可得出关于的一元一次不等式组,解之即可得出的取值范围,即可求解。 ▸过程详解 解:由题意得解①得,解②得,所以的取值范围是。故答案为。 ▸总结升华 此题考查了一元一次不等式组的应用,根据各数量之间的关系,发现运行程序中的隐含不等式,正确列出一元一次不等式组是解题的关键。 变式训练 8. 运算程序如图所示,规定:从“输入一个值”到“结果是否大于18”为一次程序操作,如果程序操作恰好进行了2次才停止,那么满足条件的的最大整数值为____。 例9 “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具,即笔、墨、纸、砚。文房四宝之名,起源于南北朝时期。某中学为了落实“双减”政策,丰富学生的课后服务活动,开设了书法社团,计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”,经过调查得知:每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元,买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用1100元。 (1)每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少? (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套,总费用不超过8500元,并且根据学生需求,要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍,问有几种购买方案?最低费用是多少? ▸思路点拨 (1)设每套甲型号“文房四宝”的价格是元,则每套乙型号“文房四宝”的价格是元,根据买5套甲型号和10套乙型号共用1100元,列出一元一次方程,求解即可;(2)设需购进乙型号“文房四宝”套,则需购进甲型号“文房四宝”套,根据总费用不超过8500元,购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍,列出一元一次不等式组,求解得可以取88,89,分别求出每种方案的费用比较即可。 ▸过程详解 解:(1)设每套甲型号“文房四宝”的价格是元,则每套乙型号“文房四宝”的价格是元,由题意得,解得,所以。答:每套甲型号“文房四宝”的价格是100元,每套乙型号“文房四宝”的价格是60元。 (2)设需购进乙型号“文房四宝”套,则需购进甲型号“文房四宝”套,由题意得解得,又因为为正整数,所以可以取88,89;所以共有2种购买方案:①购进32套甲型号“文房四宝”,88套乙型号“文房四宝”;②购进31套甲型号“文房四宝”,89套乙型号“文房四宝”;因为每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元,所以购进甲型号“文房四宝”的套数越少,总费用就越低,所以最低费用是(元)。 ▸总结升华 本题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式组的实际应用,根据题意找出等量关系和不等关系是解题的关键,并根据实际意义确定整数解,从而制定方案。 变式训练 9. 吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的。“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物,身穿冬季运动服,戴着红围巾、蓝手套,脚穿冰刀在快乐地滑冰。滑单板的“妮妮”是代表雪上运动的吉祥物,身穿中国民间传统毛领节庆红袄。某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值,经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个元,售价每个16元,“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个元,售价每个18元。 (1)该超市在进货时发现:若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个共需要170元;若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元,求的值。 (2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个,且投入资金不少于1160元又不多于1168元,设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个,求有哪几种购买方案。 例10 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长,为了缓解新能源汽车充电难的问题,某小区计划新建地下和地上两类充电桩,每个充电桩的占地面积分别为1平方米和3平方米,物业经理经过市场调研发现如下信息: 根据以上信息,解答下列问题: (1)该小区新建一个地下充电桩和一个地上充电桩各需多少万元? (2)若小区计划用2万元资金在地下和地上都要新建充电桩,则共有几种建造方案?并列出所有方案。 (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响,在(2)的前提下,要求地下和地上充电桩的总占地面积不得超过平方米,且地下充电桩的数量大于2个,请求出满足条件的的取值范围。 ▸思路点拨 (1)设该小区新建一个地下充电桩需万元,新建一个地上充电桩需万元,根据表格中的数据列方程组求解即可;(2)设在地上新建个充电桩,在地下新建个充电桩,由题意得,,求出方程的正整数解即可得到答案;(3)由题意得,,则,再根据列出不等式求解即可。 ▸过程详解 解:(1)设该小区新建一个地下充电桩需万元,新建一个地上充电桩需万元,由题意得解得答:该小区新建一个地下充电桩需0.4万元,新建一个地上充电桩需0.2万元。 (2)设在地上新建个充电桩,在地下新建个充电桩,由题意得,所以。因为都是正整数,所以当时,;当时,;当时,;当时,;所以一共有4种建造方案:方案1:在地上新建8个充电桩,在地下新建1个充电桩;方案2:在地上新建6个充电桩,在地下新建2个充电桩;方案3:在地上新建4个充电桩,在地下新建3个充电桩;方案4:在地上新建2个充电桩,在地下新建4个充电桩。 (3)由题意得,,所以,所以。因为地下充电桩的数量大于2个且不大于4个,所以且,解得。 ▸总结升华 本题主要考查了二元一次方程组的实际应用,二元一次方程的实际应用和一元一次不等式(组)的实际应用,根据题意找出等量关系和不等关系是解题的关键。 变式训练 10. 某中学组织学生研学,原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆,则有30人没有座位;若租用可坐乘客60人的B种客车,则可少租6辆,且恰好坐满。 (1)原计划租用A种客车多少辆?这次研学去了多少人? (2)若该校计划租用A,B两种客车共25辆,要求B种客车不超过7辆,且每人都有座位,则有哪几种租车方案? (3)在(2)的条件下,若A种客车租金为每辆220元,B种客车租金为每辆300元,应该怎样租车才最合算? (五)新定义题型 例题精析 例11 对非负数“四舍五入”到个位的值记为,即当为非负整数时,若,则。反之,当为非负整数时,若,则。如。 (1)____。 (2)若,则实数的取值范围是____。 (3)若关于的不等式组的整数解恰有4个,求的取值范围。 (4)满足的所有非负数的值为____。 ▸思路点拨 (1)根据新定义即可得到答案;(2)根据新定义得到不等式组,求解即可得到答案;(3)先求出不等式的解集,根据不等式组的整数解恰有4个来确定的值,再根据新定义求解即可得到答案;(4)根据新定义直接计算即可得到答案。 ▸过程详解 解:(1)3 (2) (3)解不等式①得,解不等式②得,所以不等式组的解为,由不等式组的整数解恰有4个,得,所以,故。 (4)由题意得,,所以,所以,所以可为0,1,2,3,因此的值为。故答案为。 变式训练 11. 阅读材料:如果是一个有理数,我们把不超过的最大整数记作。 例如,,那么,其中。 例如,。 请你解决下列问题: (1)____,____。 (2)如果,那么的取值范围是____。 (3)如果,求的值。 (六)可转化为一元一次不等式组的探究 例题精析 例12 根据有理数乘法(除法)法则可知: ①若(或),则或 ②若(或),则或 根据上述知识,求不等式的解集。 解:原不等式可化为①或②由①得,由②得,所以原不等式的解集为或。 请你运用所学知识,结合上述材料解答下列问题: (1)不等式的解集为____。 (2)求不等式的解集。 ▸思路点拨 根据有理数乘法(除法)法则进行分类讨论,化成一元一次不等式组,即可求出解集。 ▸过程详解 解:(1) (2)原不等式可化为①或②由①得,由②得,所以原不等式的解集为或。 ▸总结升华 对于高次不等式:需要对式子的正负性进行分类讨论;对于分式不等式:分式的值为正数时,分分子和分母同正或同负两种情况讨论;分式的值为负数时,分分子为正、分母为负或分子为负、分母为正两种情况讨论。 变式训练 12. 先阅读理解下列例题,再完成(1)(2)两题。例题:解不等式。解:由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”有①或②解不等式组①得,解不等式组②得,所以不等式的解集是或。解不等式: (1)。 (2)。 链接好题 1. 若关于的不等式组的整数解共有6个,则的取值范围是（　） A． B． C． D． 参考答案 变式训练 1 解不等式组解①,得,解②,得,所以不等式组的解集为,所以不等式组非负整数解为0,1,2。 变式训练 2 变式训练 3 【解析】根据得到两个整数解为0,1,所以,因为,所以,所以,所以。 变式训练 4 变式训练 5 【解析】由②-①,得。因为,所以,解得。 变式训练 6 D 变式训练 7 【解析】方法一:因为,所以。因为,所以,解得。又因为,所以,所以,所以。因为,所以。方法二:由已知条件可得。又因为,所以解得所以的取值范围是。 变式训练 8 9 【解析】由题意得解得,所以满足条件的的最大整数值为9。 变式训练 9 (1)根据题意得解得答:的值为10,的值为14。 (2)根据题意得解得,又因为为正整数,所以可以为58,59,60,所以共有3种购买方案,方案1:购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个,“妮妮”造型钥匙扣挂件42个;方案2:购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个,“妮妮”造型钥匙扣挂件41个;方案3:购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个,“妮妮”造型钥匙扣挂件40个。 变式训练 10 (1)设原计划租用A种客车辆,根据题意得,解得,所以(人)。答:原计划租用A种客车26辆,这次研学去了1200人。 (2)设租用A种客车辆,则租用B种客车辆,根据题意得解得,因为为正整数,所以,所以共有3种租车方案,方案一:租用A种客车18辆,则租用B种客车7辆;方案二:租用A种客车19辆,则租用B种客车6辆;方案三:租用A种客车20辆,则租用B种客车5辆。 (3)因为A种客车租金为每辆220元,B种客车租金为每辆300元,所以租用B种客车越少,费用越低,所以租用A种客车20辆,B种客车5辆最合算。 变式训练 11 (1)4 (2) (3)因为,是整数,所以,解得,所以。 变式训练 12 (1)由题意,得①或②解不等式组①,得,解不等式组②,得,所以不等式的解集是或。 (2)由题意,得①或②解不等式组①,无解,解不等式组②,得,所以不等式的解集是。 链接好题 1 C 【解析】解不等式①,得,解不等式②,得。因为不等式组的整数解有6个,所以不等式组的整数解为,所以。故选C。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $