第4章第10讲图形与坐标（4.1～4.3）2026-2027学年浙教版八年级数学上册

八年级上册 · 数学（浙教版） 第10讲 图形与坐标(4.1~4.3) (一)平面直角坐标系 例题精析 例1 (1)已知点 在第一象限，则 的取值范围是______。(2)已知点 在第一、三象限的角平分线上，则 ______。 ▸思路点拨 根据点的位置明确坐标的特征，然后判断横坐标和纵坐标的正负，建立不等式可求解。 ▸过程详解 解：(1)因为点 在第一象限，所以 ，，解得 。故答案为 。(2)因为点 在第一、三象限的角平分线上，所以 ，所以 或 。故答案为 或 。 ▸总结升华 直角坐标系把平面分成四个象限，第一至第四象限内的点坐标特征分别为 ，，，；坐标轴上的点不属于任何一个象限； 轴上的点的纵坐标等于零， 轴上的点的横坐标等于零。第一、三象限的角平分线上点的特点是横纵坐标相等，第二、四象限的角平分线上点的特点是横纵坐标互为相反数。 变式训练 1. 在平面直角坐标系中，已知点 。(1)若点 在 轴上，求 的值。(2)若点 在第四象限，求 的取值范围。 例2 若点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 。(1)当 时，直接写出 ______。(2)若点 在第四象限，且 ( 为常数)，求出 的值。(3)若 ，求出点 的坐标。 ▸思路点拨 (1)根据点到 轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到 轴的距离等于其横坐标的绝对值，分别求出 和 的值，最后求和即可；(2)根据第四象限的坐标特点可得出 的取值范围，再分别用含 的代数式表示 和 ，然后分别代入原方程得出 ，结合 得出 ，即可解答；(3)根据(1)的结论和绝对值方程的特点，分 、、 三种情况讨论求出 的值，再求出点 的坐标即可。 ▸过程详解 解：(1)当 时，，，所以 ，故答案为 。(2)因为点 在第四象限，所以 ，，所以 ，所以 ，。因为 ，所以 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 。(3)由(1)得 ，因为 ，所以 ，当 时，得 ，所以 ，所以 ；当 时，得 (舍去)；当 时，得 ，所以 ，所以 。 ▸总结升华 本题考查点到 轴、 轴的距离，点的坐标特征与象限的关系，以及解含绝对值符号的一元一次方程，当未知数不确定时，注意分类讨论。 变式训练 2. 已知点 ，分别根据下列条件，求出点 的坐标。(1)点 的横坐标比纵坐标大 。(2)点 在过点 ，且与 轴平行的直线上。(3)点 到 轴的距离是到 轴距离的 倍。 例3 一个新奇的玩具——智能兔。它的新奇之处在于若第一次向正南跳一下，第二次就掉头向正北跳两下，第三次又掉头向正南跳三下……而且每一跳的距离为 cm。当智能兔位于原点处，第一次向正南(记 轴正半轴方向为正北)，那么跳完第 次后，智能兔所在位置的坐标为（　） ▸思路点拨 用“”表示正南方向，用“”表示正北方向。根据题意列式进行计算，即可得出点的坐标。 ▸过程详解 解：用“”表示正南方向，用“”表示正北方向。根据题意，得 (cm)，所以智能兔所在位置的坐标为 。故选 C。 ▸总结升华 本题考查了规律型中点的坐标变化，解题的关键是正确读懂题意，能够正确确定物体运动中点运动的方向、距离。 变式训练 3. 一只青蛙在第一象限及 轴、 轴上跳动，在第 s，它从原点跳动到 ，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即 →→→→…35$s 时青蛙所在位置的坐标是（　） A． B． C． D． (二)求平面直角坐标系中三角形的面积及周长 例题精析 例4 如图，在平面直角坐标系中，点 ，，，求 的面积。 ▸思路点拨 过 ，， 各顶点作 轴和 轴的平行线构造长方形，用长方形面积减去周围三个三角形的面积，即可求 的面积。 ▸过程详解 解：如图，先构造长方形 ，使其过点 ，，，且 轴， 轴。因为点 ，，，所以点 ，，，所以 ，，，，所以 。 ▸总结升华 本题考查了三边均不与坐标轴平行的三角形面积计算，可以用割补法求解，当图形各顶点的坐标确定时，可以过各顶点作平行于坐标轴的直线构造规则图形，然后用规则图形的面积减去周围多余的面积即可求解。 变式训练 4. 如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，求 的面积。 例5 如图， 三个顶点的坐标分别为 ，，。(1)作出 向左平移 个单位后得到的 。(2)作出 关于 轴对称的 。(3)若 是 轴上的一个动点，求 周长的最小值。 ▸思路点拨 (1)根据平移的性质作图即可；(2)根据轴对称的性质作图即可；(3)连结 ，交 轴于点 ，连结 ，此时 的周长最小值就是 的长。 ▸过程详解 解：(1)如图， 即为所求作。(2)如图， 即为所求作。(3)如图，连结 ，交 轴于点 ，连结 ，此时 且值最小，所以 的值最小，即 周长最小。因为 ，，所以 周长的最小值为 。 ▸总结升华 本题主要考查平移变换，轴对称变换以及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键。 变式训练 5. 如图，在平面直角坐标系中，，，。(1)已知 与 关于 轴对称，作出 。(2)在 轴上找一点 ，使得 的周长最小，请在图中标出点 位置，并求出 周长的最小值。 (三)平面上点的位置确定 例题精析 例6 如图，已知棋子“车”的坐标为 ，棋子“马”的坐标为 ，则棋子“炮”的坐标为（　） ▸思路点拨 方法一：根据已知两点的坐标确定符合条件的平面直角坐标系，然后确定其他点的坐标；方法二：根据图中点的位置，用点坐标平移，即可确定“炮”的坐标。 ▸过程详解 解：方法一：由棋子“车”的坐标为 、棋子“马”的坐标为 可知，平面直角坐标系的原点、 轴和 轴，如图所示，根据得出的坐标系，可得棋子“炮”的坐标为 。故选 A。方法二：用点坐标平移，把“马”的坐标为 先向右平移 格，再向下平移 格，即可得到“炮”的坐标为 。故选 A。 ▸总结升华 本题考查了在平面直角坐标系中由坐标找点，由点找坐标，解决此类问题需要先确定原点、 轴和 轴的位置，再求未知点的位置。 变式训练 6. 如图所示为做课间操时，小明、小刚和小红三人的相对位置，如果用 表示小明的位置， 表示小刚的位置，那么小红的位置可表示为（　） A． B． C． D． 例7 小明站在旗杆的北偏东 方向上，且距离旗杆 米处，则旗杆应在小明______的位置。 ▸思路点拨 根据方向问题是相对的，小明站在旗杆的北偏东 方向，即可得出旗杆相对于小明的位置。 ▸过程详解 解：因为小明站在旗杆的北偏东 方向，且距离旗杆 米处，所以旗杆应该在小明的南偏西 方向，且距离小明 米处。故答案为南偏西 方向，且距离小明 米处。 ▸总结升华 本题主要考查了方位问题，熟练掌握确定方位时找好参照物，正确用方向和距离来表示物体的位置是解题的关键。 变式训练 7. 点 的位置如图，则关于点 的位置下列说法中正确的是（　） A．距点 km 处 B．北偏东 方向上 km 处 C．在点 北偏东 方向上 km 处 D．在点 北偏东 方向上 km 处 (四)坐标平面内图形的轴对称和平移 例题精析 例8 在直角坐标系中，点 关于 轴的对称点在（　） ▸思路点拨 根据平方的性质可知 ，可知点 在第二象限，其关于 轴的对称点在第三象限。 ▸过程详解 解：因为 ，，所以点 在第二象限，所以点 关于 轴的对称点在第三象限。故选 C。 ▸总结升华 本题考查了平面直角坐标系中的轴对称及象限点的符号特征，由点的坐标判断点所在的象限是解题的关键。 变式训练 8. 如果点 与点 关于 轴对称，那么 ， 的值为（　） A．， B．， C．， D．， 例9 在直角坐标系中，已知点 ，， 是点 关于点 的对称点。(1)求点 的坐标。(2)如果点 在 轴上，过点 作直线 轴，点 关于直线 的对称点是点 ，那么当 的面积等于 时，求点 的坐标。 ▸思路点拨 (1)点 ， 都在 轴上，由 是点 关于点 的对称点得点 在 轴上，且 ，即可求得点 的坐标；(2)根据题意画出图形，点 在 轴上方还是下方不确定，因此要分类讨论。由 的面积为 和 的长度可以求出 的长，再由点 关于直线 的对称点是点 ，即可求出点 的坐标。 ▸过程详解 解：(1)因为 ，，所以 。因为 是点 关于点 的对称点，所以 ，则点 的坐标为 。(2)如图，由题意知 。因为 ，所以 ，则 ，所以点 的坐标为 或 。 ▸总结升华 本题考查点关于点的对称，可以类比点关于直线对称找点解决，数形结合，先画图分析，再计算。 变式训练 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知 ，，。(1)在平面直角坐标系中画出 ，则 的面积是______。(2)若点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标为______。(3)已知 为 轴上一点，若 的面积为 ，求点 的坐标。 例10 对于平面直角坐标系中的图形 和图形 上的任意点 ，给出如下定义：将点 平移到 称为将点 进行“ 型平移”，点 称为将点 进行“ 型平移”的对应点；将图形 上的所有点进行“ 型平移”称为将图形 进行“ 型平移”。例如，将点 平移到 称为将点 进行“ 型平移”，将点 平移到 称为将点 进行“ 型平移”。已知点 和点 。(1)将点 进行“ 型平移”后的对应点 的坐标为______。(2)①将线段 进行“ 型平移”后得到线段 ，点 ，， 中，在线段 上的点是______；②若线段 进行“ 型平移”后与坐标轴有公共点，则 的取值范围是______。 ▸思路点拨 (1)根据“ 型平移”的定义求解即可；(2)①画出线段 即可求解；②利用图象解决问题。 ▸过程详解 解：(1) (2)①如图，将线段 进行“ 型平移”后得到线段 ，点 ， 的纵坐标都为 ，点 ，， 中，在线段 上的点是 。故答案为 。② 或 ▸总结升华 本题考查平移变换，“ 型平移”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题。 变式训练 10. 已知线段 的两个端点 ， 的坐标分别为 ，。(1)在右面的直角坐标系中画出线段 。(2)把线段 向左平移 个单位长度，得到线段 ，请你写出线段 上任意一点的坐标。 (五)新定义题型 例题精析 例11 在平面直角坐标系中，点 ，，若 ，则称点 与点 互为“等差点”，例如：点 ，点 ，因为 ，所以点 与点 互为“等差点”。(1)若点 的坐标是 ，则在点 ，， 中，点 的“等差点”为点______。(2)若点 的坐标是 ，它的“等差点” 在坐标轴上，求点 的坐标。(3)若点 的坐标是 ，与点 互为“等差点”，且 ， 互为相反数，求点 的坐标。 ▸思路点拨 (1)根据新定义逐步分析即可；(2)根据新定义分点 在 轴上和点 在 轴上两种情况分析即可；(3)根据新定义，列出方程组，求出 ，，即可求出点 坐标。 ▸过程详解 解：(1)因为点 的坐标是 ，点 ，所以 ，所以点 与点 不是互为“等差点”。因为点 ，所以 ，所以点 与点 互为“等差点”。因为点 ，所以 ，所以点 与点 互为“等差点”。故答案为 ，。(2)①当点 在 轴上时，设 ，由题意得 ，解得 ，所以 ；②当点 在 轴上时，设 ，由题意得 ，解得 ，所以 。综上所述，点 的“等差点” 的坐标为 或 。(3)由题意得 ，所以 。因为 ， 互为相反数，所以 ，解得 ，所以 ，。所以 。 ▸总结升华 本题考查了直角坐标系中点的坐标定义，解题的关键在于读懂新定义，利用新定义给出的公式，解决问题。 变式训练 11. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点 到 轴、 轴的距离的较大值称为点 的“长距”，点 到 轴、 轴的距离相等时，称点 为“龙沙点”。(1)点 的“长距”为______。(2)若点 是“龙沙点”，求 的值。(3)若点 的“长距”为 ，且点 在第二象限内，试说明点 是“龙沙点”。 (六)直角坐标系与图形性质结合 例题精析 例12 已知在直角坐标系中，点 ，，，由线段 绕原点 顺时针转动某个角度得到线段 ，线段 顺时针转动 得到线段 ，连结 ，作直线 ， 交于点 。(1)如图 ，当点 在第一象限，①若 ，求点 的坐标；②求证：；③求证：。(2)在线段 绕原点转动的过程中，当 为等腰三角形时，求点 的坐标。 ▸思路点拨 (1)①作 轴于点 ，易得 为等腰直角三角形且 ，即可得点 的坐标；②由同角的余角相等可得 ，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；③根据全等三角形的性质可得 ，结合平角 可得 ，然后根据四边形内角和为 进行计算。(2)由 ，可知当 为等腰三角形时，，，分当点 与点 重合时，当点 与点 关于 轴对称点重合时，当点 在第一象限时，当点 在第二象限时讨论，利用勾股定理，等腰直角三角形的性质进行求解。 ▸过程详解 解：(1)①如图 ，作 轴于点 ，因为 ，所以 是等腰直角三角形，且 ，所以 。由勾股定理得 ，所以点 坐标为 ；②因为 ，所以 。因为 ，，所以 (SAS)；③因为 ，所以 。因为 ，所以 。因为 ，所以 。(2)由(1)③知，，要使 为等腰三角形，必定 ，所以 。如图 ，当点 与点 重合时，显然 为等腰直角三角形，此时，；如图 ，当点 与点 关于 轴的对称点重合时，显然 为等腰直角三角形，此时，；如图 ，当点 在第一象限时，因为 为等腰直角三角形，所以 ，所以 ，即 ，由勾股定理得 ，作 轴于点 ，因为 ，所以 ，所以 ，由勾股定理得 ，点 坐标为 ；如图 ，当点 在第二象限时，由勾股定理得 ，作 轴于点 ，同理求得 ，由勾股定理得 ，点 坐标为 。综上所述，点 坐标为 或 或 或 。 ▸总结升华 本题考查直角坐标系与图形性质结合的问题，熟练掌握用点的坐标求线段长度及由线段长度求点的坐标是本题的关键。在求线段长度时，通常向 轴或 轴作垂线构造直角三角形，用勾股定理进行计算。 变式训练 12. 已知，平面直角坐标系中，点 在 轴正半轴，，。(1)如图 ，已知 ，点 在 轴的正半轴上，当 为等腰三角形时，直接写出点 的坐标为______。(2)如图 ，以 为边作等边三角形 ， 交 的垂直平分线于点 ，求证：。(3)如图 ，在(2)的条件下，连结 交 于点 ，求 的值。 链接好题 1. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，，点 与点 关于 轴对称。(1)画出点 的位置，并求点 的坐标。(2)连结 ，，，求 的面积。(3)将点 向右平移 个单位长度得到点 ，连结 ，若 ，请你直接写出 的值。 参考答案 变式训练 1 (1)因为点 在 轴上，所以点 的纵坐标为 ，所以 ，解得 。(2)因为点 在第四象限，所以点 的横坐标为正数，纵坐标为负数，所以 ，，解得 。 变式训练 2 (1)由点 的横坐标比纵坐标大 ，得 ，解得 ，即 。(2)由点 在过点 ，且与 轴平行的直线上，得 ，解得 ，即 。(3)由题意得 ，解得 或 ，所以点 坐标为 或 。 变式训练 3 B 【解析】青蛙运动的规律：，青蛙运动了 s；，青蛙运动了 (s)，接着向下运动；，青蛙运动了 (s)，接着向左运动；，青蛙运动了 (s)，接着向下运动；，青蛙运动了 (s)，接着向左运动；，青蛙运动了 (s)，接着向下运动 s 到了 。故选 B。 变式训练 4 由题意作图如图，因为 ，，，所以 ，，，所以 ，，，，，，所以 。 变式训练 5 (1)如图 ， 即为所求作。(2)如图 ，连结 ，交 轴于点 ，连结 ，此时， 且值最小，所以 的值最小，即 的周长最小。因为 ，，所以 的周长最小值为 。 变式训练 6 D 变式训练 7 D 变式训练 8 D 变式训练 9 (1)如图， 的面积 。故答案为 。(2) (3)因为 为 轴上一点， 的面积为 ，所以 ，所以点 的横坐标为 或 ，故点 坐标为 或 。 变式训练 10 (1)略 (2)线段 向左平移 个单位长度时，即 ， 两点的纵坐标不变，横坐标减去 ，所以横坐标都为 ，纵坐标从 至 。即线段 上任意一点的坐标为 。 变式训练 11 (1)根据题意得点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ，点 的“长距”为 。故答案为 。(2)因为点 是“龙沙点”，所以 ，所以 或 ，解得 或 。(3)因为点 的“长距”为 ，且点 在第二象限内，所以 ，解得 ，所以 ，所以点 的坐标为 ，点 到 轴、 轴的距离都是 ，所以点 是“龙沙点”。 变式训练 12 (1)因为 ，所以 。因为 ，点 在 轴的正半轴上， 为等腰三角形，所以 ，所以 ，所以点 的坐标为 。故答案为 。(2)证明：连结 ，如图 ，因为 是等边三角形，所以 ，，因为 ，所以 。因为 ，所以 ，。因为 是 的垂直平分线，所以 ，所以 是等边三角形，所以 。在 和 中，，，，所以 (SAS)，所以 。(3)作 于点 ，如图 ，因为 是等边三角形，，所以 ，因为 ，，所以 ，所以 。在 Rt 和 Rt 中，，，所以 RtRt(HL)，所以 。在 和 中，，，，所以 (AAS)，所以 ，所以 ，所以 。 链接好题 1 (1)点 位置如图所示，。(2)图略， 的面积为 。(3)。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $