第2章第6讲直角三角形（2.5～2.6）2026-2027学年浙教版八年级数学上册

八年级上册 · 数学（浙教版） 第6讲 直角三角形(2.5~2.6) (一)逆命题和逆定理 例题精析 例1 命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是________，这个逆命题是________命题。 ▸思路点拨 先确定该命题的条件和结论，然后把它们交换位置。 ▸过程详解 如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 ▸总结升华 定理不一定有逆定理，但一定有逆命题，一个定理的逆命题只有经过推理证明是正确的，才能叫作原定理的逆定理，否则该定理就不存在逆定理。 变式训练 1. 命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是________，这个逆命题是________命题。 例2 已知命题：“ 是等边三角形 内的一点，若点 到三边的距离相等，则 。” (1)写出它的逆命题。判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明。 (2)进一步证明：点 到等边三角形 各边的距离之和为定值。 ▸思路点拨 (1)根据题意画出图形，写出已知和求证，利用线段垂直平分线的性质定理及逆定理，角平分线的性质定理来推导证明命题的正确性；(2)利用等面积法求解。 ▸过程详解 解：(1)逆命题： 是等边三角形 内的一点，若 ，则点 到三边的距离相等。该逆命题成立。 证明：如图，因为 ，所以点 在 的垂直平分线上。因为 ，所以点 在 的垂直平分线上，所以 是 的垂直平分线，又因为 ，所以 平分 ，同理， 平分 ， 平分 ，所以 是 三个角的平分线的交点，所以点 到三边的距离相等。 (2)证明：因为 且 ，所以由面积法可得，点 到各边的距离之和＝任意边上的高线长，即为定值。 ▸总结升华 线段垂直平分线的逆定理“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”。当图形中高线较多时，常用等面积法求解线段长度问题。 变式训练 2. 如图， 是等边三角形。 (1)若 ，求证： 是等边三角形。 (2)请问(1)中的逆命题成立吗？若成立，请证明；若不成立，请用反例说明。 (二)直角三角形的性质 例题精析 例3 图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，杠杆 与上臂 重合；使用时， 刚好至点 ，当 时，恰好 平分 ，若 ，则 ________。 ▸思路点拨 延长 交 于点 ，先根据平行线的性质求出 ，进而求出 ，根据直角三角形两锐角互余求出 ，进而求出 ，即可求出 。 ▸过程详解 解：延长 交 于点 ，如图，因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 。因为 平分 ，所以 ，所以 。故答案为 12。 ▸总结升华 本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余等知识。 变式训练 3. 如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个 Rt，，并画出了两锐角的角平分线 ， 及其交点 。小明发现，无论怎样变动 Rt 的形状和大小， 的度数是定值，这个定值为________。 例4 如图，在 中，，， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，，则 等于（　） ▸思路点拨 连结 ，先由直角三角形的性质求出 的度数，由 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，垂足为 ，可得 ，由 可知 ，故可得出 ，根据 可得出 的长，进而得出 的长。 ▸过程详解 解：如图，连结 ，因为在 中，，，所以 。因为 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，所以 ，，所以 ，所以 ，因为 ，所以 。所以 。故选 D。 ▸总结升华 此题考查了线段垂直平分线的性质以及含 角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键。 变式训练 4. 将一副三角板如图所示叠放在一起，若 ，则阴影部分 的面积是________。 例5 如图，在 中，点 在 上，且 ， 为 的中点， 为 的中点，连结 交 于点 ，连结 。 (1)求证：。 (2)若 ，求线段 ，， 之间的数量关系。 ▸思路点拨 (1)由 ， 为 的中点，根据等腰三角形的“三线合一”性质可得 是直角三角形，由 为 的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得结论；(2)当 时，可得 为等腰直角三角形，由线段垂直平分线的性质可得 ，再由 ，得 。 ▸过程详解 (1)证明：因为 ， 为 的中点，所以 ，所以 ，又因为 为 的中点，所以 。 (2)解：因为 ，，所以 ，所以 ，又因为 为 的中点，所以 ，所以 为 的垂直平分线，所以 ，所以 ，又因为 ，所以 。 ▸总结升华 本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质和线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形和直角三角形的性质。 变式训练 5. 如图，在 中， 是边 上的高线， 是边 上的中线，且 ， 于点 。 (1) 是 的中点吗？试说明理由。 (2)求证：。 (三)直角三角形的判定 例题精析 例6 如图，在 中，，， 为 的中点，，垂足为 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连结 交 于点 。试猜想 是什么三角形，并证明你的猜想。 ▸思路点拨 先证 为等腰直角三角形，得 ，再证 (SAS)，得到 ，最后用互余即可得 ， 为直角三角形得证。 ▸过程详解 解： 为直角三角形。证明：因为 ，，所以 。因为 ，所以 。因为 ，所以 。所以 为等腰直角三角形，所以 。因为 为 的中点，所以 。在 和 中，因为 ，，，所以 (SAS)，所以 。因为 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 为直角三角形。 ▸总结升华 本题考查了等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等、互余等知识，充分利用 角得等腰直角三角形是解题的关键。 变式训练 6. 如图，， 分别是 的高线与角平分线， 与 交于点 ，。求证： 是直角三角形。 (四)等腰直角三角形 例题精析 例7 如图，在 中，，， 是 的中点，点 在 上，点 在 上，连结 且 。求证： 为等腰直角三角形。 ▸思路点拨 连结 ，由直角三角形斜边上的中线知 ，证 即可得到 ，，根据互余可得证。 ▸过程详解 证明：连结 。因为 ，，所以 。因为 是 的中点，，，所以 ，，。因为 ，所以 ，在 和 中，因为 ，，，所以 。所以 ，。所以 ，所以 为等腰直角三角形。 ▸总结升华 本题考查了等腰直角三角形的性质及判定、直角三角形斜边上的中线的性质、三角形全等、互余等知识。 变式训练 7. 如图，在等腰三角形 中，， 为 边的中点，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，若 ，则 的长为（　） A．3 B．6 C．9 D．18 链接好题 1. 在 中，已知点 在 上，且 ，点 在 的延长线上，且 。 (1)如图1，若 ，，求 的度数。 (2)试探求 与 的数量关系。 (3)如图2，若 平分 ， 于点 ，求证：。 参考答案 变式训练 1 如果一个三角形中一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形 真 变式训练 2 (1)证明：因为 是等边三角形，所以 ，。因为 ，所以 ，所以 。在 和 中，因为 ，，，所以 (SAS)，同理，得 ，，所以 ，所以 是等边三角形。 (2)(1)中的逆命题成立。证明：因为 是等边三角形，所以 ，。因为 是等边三角形，所以 ，所以 ，，，，所以 。在 和 中，因为 ，，，所以 (AAS)。同理，得 ，即 ，所以 。 变式训练 3 变式训练 4 变式训练 5 (1) 是 的中点。理由如下：如图，连结 。因为 是边 上的高线， 是边 上的中线，所以 。因为 ，所以 。因为 ，所以 是 的中点。 (2)证明：由(1)知 得 。因为 ，所以 。由外角的性质得 ，所以 。 变式训练 6 证明：因为 ，所以 。因为 平分 ，所以 ，所以 。又因为 ，所以 。又因为 ，所以 ，所以 ，即 是直角三角形。 变式训练 7 B 链接好题 1 (1)在 中，，，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 。 (2)，理由如下：在 中，设 ，，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 。 (3)因为 ，所以 。因为 ，所以 ，设 ，则 。因为 平分 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，即 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $