第1章第3讲全等三角形及其判定（1.4～1.5）2026-2027学年浙教版八年级数学上册

八年级上册 · 数学（浙教版） 第3讲 全等三角形及其判定(1.4~1.5) (一)全等三角形的概念及性质 例题精析 例1 如图，，点在边上，与交于点，已知，，，。(1)求的度数。(2)求与的周长和。 ▸思路点拨 在图中找全等三角形的对应线段和对应角，由已知求解即可。 ▸过程详解 解：(1)因为，，所以。因为，所以。所以，即的度数为。(2)因为，所以，。所以与的周长和。 ▸总结升华 全等三角形对应边相等，对应角相等。 变式训练 1. 如图，已知，给出下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦。其中正确的有（　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 (二)三角形全等的判定 例题精析 例2 如图，与交于点，，，是上两点，且，。求证：(1)。(2)。 ▸思路点拨 在图中标记已知条件，先证，再根据全等三角形的性质证明即可。 ▸过程详解 证明：(1)在和中，因为，，，所以（SSS）。所以。(2)因为，所以。因为，，所以。所以。 ▸总结升华 三边对应相等的两个三角形全等。 变式训练 2. 小明用四根木条摆成如图所示的四边形，其中，。当他不断改变的大小，使这个四边形的形状发生改变时，他发现与的大小存在着一个规律，那么与的大小存在什么关系呢？请说明理由。 例3 如图，在和中，，，，连结，，与交于点，与交于点。求证：(1)。(2)。 ▸思路点拨 (1)根据题意先证明，即可证明；(2)由，可证得，再根据三角形内角和，求得，因此得证。 ▸过程详解 证明：(1)因为，所以，即。在和中，因为，，，所以（SAS）。所以。(2)因为，所以。因为，，又因为，，所以，所以。 ▸总结升华 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 变式训练 3. 如图，点，，，在同一条直线上，，，。求证：。 例4 (1)如图1所示，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为，。求证：。(2)如图2所示，将(1)题中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。 ▸思路点拨 (1)根据，得，而，根据等角的余角相等得，然后根据AAS可判断，则，，于是；(2)利用，则，得出，进而证得，即可得出答案。 ▸过程详解 (1)证明：因为，，所以。因为，所以。因为，所以。在和中，因为，，，所以（AAS）。所以，。所以。(2)结论成立，证明：因为，所以。所以。在和中，因为，，，所以（AAS）。所以，。所以。 ▸总结升华 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，是全等三角形中常见的“一线三等角模型”，当三个角为直角时，更为特殊，可称为“K字全等模型”。 变式训练 4. 如图，在中，，，于点，于点。求证：(1)。(2)。 (三)全等三角形中常见的辅助线 倍长中线法 ▸常见模型 例题精析 例5 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围。小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使，连结。请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到的理由是（　）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA (2)如图2，长的取值范围是（　）A． B． C． D． ▸思路点拨 (1)根据全等三角形的判定条件求解即可。(2)根据全等三角形的性质得到，由三角形三边关系得到，即可求出。 ▸过程详解 解：(1)延长到点，使，连结。因为为的中线，所以，又因为，，所以（SAS），故选B。(2)因为，所以，在中，，所以，所以，故选C。 ▸总结升华 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，利用了全等三角形中常用辅助线——倍长中线法构造全等三角形。解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中。 变式训练 5. 如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若是线段上的一个动点（点不与点，重合），连结，，则的面积比的面积大；④，是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连结，，则。所有正确结论的序号是（　） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 截长补短法 ▸模型分析 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长：指在线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。 ▸模型图示 (1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。例：如图1，求证。方法：①在上取一点，使得，证；②在上取一点，使，证。(2)补短：将短线段延长，证与长线段相等。例：如图2，求证。方法：①延长至点处，使，证；②延长至点处，使，证。 例6 把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边，于点，。(1)如图1，若，，两边分别交，于点，，，，三条线段之间有何数量关系？证明你的结论。(2)如图2，当时，，，三条线段之间有何数量关系？证明你的结论。(3)如图3，在(2)的条件下，若将点，改在，的延长线上，完成图3，其余条件不变，则，，三条线段之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明） ▸思路点拨 (1)延长到点，使，证，推出，，证，推出即可；(2)延长到点，使，证，推出，，证，推出即可；(3)在截取，连结，证，推出，，证，推出即可。 ▸过程详解 解：(1)。证明：如图1，延长到点，使，连结。因为，所以。因为，所以。在和中，因为，，，所以（SAS），所以，。因为，所以，，所以。在和中，因为，，，所以（SAS），所以。因为，所以。(2)。证明：如图2，延长到点，使，连结。因为，所以。因为，所以，。在和中，因为，，，所以（SAS），所以，。因为，，，所以，所以，，所以。在和中，因为，，，所以（SAS），所以。因为，所以。(3)补充完成题图，如图3。。证明：如图3，在上截取，连结。因为，，所以，所以。因为，所以。在和中，因为，，，所以（SAS），所以，。因为，所以，所以。在和中，因为，，，所以（SAS），所以。因为，所以。 ▸总结升华 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，利用了全等三角形中常用辅助线——截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法。 变式训练 6. 如图，在中，平分，，，，则的长为（　） A．3 B．9 C．11 D．15 旋转法 ▸模型分析 旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等。注：旋转需要特定条件（旋转后两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用。 ▸模型图示 如图，已知，，求证：。方法：旋转至处，证。 例7 (1)如图1，在正方形中，，分别是，上的点，且，连结，探究，，之间的数量关系，并说明理由。(2)如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，此时(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由。 ▸思路点拨 (1)典型的“夹半角模型”，把绕着点顺时针旋转得到，则，由于，则，因此，，三点共线，再证，最后根据边的关系即可证明；(2)图形变式题可以参考第一问的思路，把绕着点顺时针旋转的度数，得到，则，再证，最后根据边的关系即可证明。 ▸过程详解 解：(1)。理由如下：因为四边形是正方形，所以，。如图1，把绕着点顺时针旋转得到，由旋转知，，所以，，因为，所以，所以，，三点共线。因为，所以，所以。又因为，所以（SAS），所以。又因为，所以。(2)成立。理由如下：因为，如图2，把绕着点顺时针旋转的度数，得到，由旋转知，，所以，，。因为，所以，所以，，三点共线。因为，所以，所以。又因为，所以（SAS），所以。又因为，所以。（用截长补短法也可求解） ▸总结升华 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，利用了全等三角形中常用辅助线——旋转法构造全等三角形，正确的根据“夹半角模型”作出辅助线是解题的关键。 变式训练 7. 在中，，，是直线上的一点，连结，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连结。(1)操作发现 如图1，当点在线段上时，请你直接写出与的位置关系为______；线段，，的数量关系为______。(2)猜想论证 当点在直线上运动时，①如图2，是点在射线上，请你写出线段，，的数量关系，并证明；②如图3，是点在射线上，请直接写出线段，，的数量关系。 链接好题 1. 如图，将沿折叠，的对应边恰好经过顶点，，设，，则下列等式成立的是（　） A． B． C． D． 参考答案 变式训练 1 C 变式训练 2 。理由如下：连结。在和中，因为，，，所以（SSS）。所以。 变式训练 3 因为，所以。在和中，因为，，，所以（SAS）。所以。 变式训练 4 (1)因为于点，于点，所以。所以。因为，所以。易得。在和中，因为，，，所以（ASA）。(2)因为，所以，，所以。 变式训练 5 B【解析】因为是中线，所以，所以与的面积相等，故①正确。延长至点，使，如图1。因为，，所以（SAS），所以，则在中，，所以，故②正确。是线段上的一个动点（点不与点，重合），连结，，如图2，因为，所以。又因为与的面积相等，所以的面积和的面积相等，故③不正确。，是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连结，，如图3，由，，，可得，所以，所以，故④正确，故选B。 变式训练 6 C【解析】如图，在上截取，连结，因为平分，所以，在和中，因为，，，所以（SAS），所以，，又因为，所以，，因为，，所以，所以，因为，，所以。故选C。 变式训练 7 (1)因为，所以，因为，，所以（SAS），所以，，因为，所以，所以，因为，，所以，故答案为，。(2)①。证明：因为，所以，因为，，所以（SAS），所以，因为，所以。②。 链接好题 1 B【解析】因为将沿折叠，的对应边恰好经过顶点，，因为，所以，，所以，所以，所以，故选B。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $