1.5 全等三角形的判定（二）《知识解读·题型专练》-2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形的判定，系统梳理已知两边、一边一角、两角时的判定思路，通过数全等对数、动态问题、线段关系、尺规作图及作垂线等辅助线构造共9类题型，构建从基础到应用的递进学习支架。 资料以题型分类与分层变式为特色，结合动态问题（如用t表示线段探究全等）、格点图形等情境，培养几何直观与推理意识。辅助线构造方法系统，助学生提升问题解决能力，课中便于教师分层教学，课后可供学生查漏补缺。

1.5 全等三角形的判定（二）（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型 1··数全等三角形的对数】 2 【题型 2·全等三角形的动态问题】 4 【题型3··利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】 10 【题型 4·利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】 15 【题型 5·结合尺规作图的全等问题】 18 【题型 6··构造全等三角形的常规辅助线(作垂线法)】 23 【题型7··构造全等三角形的常规辅助线(作平行线法)】 30 【题型 8··构造全等三角形的常规辅助线(延长法)】 38 【题型 9·构造全等三角形的常规辅助线(截长补短法)】 49 知识点 判定两个三角形全等的常用思路 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL” 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL” 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL” 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 【题型 1··数全等三角形的对数】 【例1】如图，在的正方形网格中，是格点三角形（即顶点恰好是小正方形的顶点），在图中与不重合且有一条公共边的全等格点三角形的个数是（   ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查网格中判断三角形全等，根据全等三角形的判定方法，借助网格特点，画出符合题意的三角形即可． 【详解】解：如图，符合题意的三角形共有4个；    故选B． 【变式1-1】如图，在的方格纸中，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，我们称这样的三角形为格点三角形．那么方格纸中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与它全等的格点三角形，统计数量． 【详解】解：如图： 共5个三角形符合， 故选：C． 【变式1-2】在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质找出全等三角形即可． 【详解】解：如图所示， 以BC为公共边的全等三角形有三个分别为，，， 以AB为公共边的全等三角形有一个为， ∴共有4个三角形与△ABC有一条公共边且全等． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，作，使与全等，则点C（不与点A重合）的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用三角形全等的判定方法，当，，而为公共边，则，从而得到此时点C的坐标为，当，，为公共边，则，从而得到此时点C的坐标为或． 【详解】解：如图， ∵点，， ∴，， 当，，， ∴， 此时点C的坐标为， 当，，， ∴， 此时点C的坐标为或， 综上所述，C点坐标为或或． 故答案为：或或． 【题型 2·全等三角形的动态问题】 【例2】如图，已知中，厘米，厘米，点D为 的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t． (1)当点P运动t秒时的长度为______（用含t的代数式表示）； (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)； (2)全等，理由见解析； (3)厘米/秒． 【分析】本题考查线段的和差，等边对等角，三角形全等的判定和性质，三角形中的动点问题； （1）根据线段的和差求解即可； （2）由证即可； （3）由，，结合，得，，即可解答． 【详解】（1）解：，则； （2）解：当时，， ∵，点D为的中点， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴当，时，， ∴点P，点Q运动的时间秒， ∴厘米/秒． 【变式2-1】如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为t 秒． (1)_____________．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，？ (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的v值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时， (3)当或时，与全等 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． （1）根据路程速度时间，根据点的速度，表示出，再表示出即可； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ， ∴， 解得， 当时，； （3）解：情况一：当，，时， ， ， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当，，时， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 【变式2-2】如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，当，中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为连接，． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当，时，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)存在，，或，． 【分析】（1）判定，推出，，由直角三角形的性质得到，因此，求出，即可证明； （2）当，时，，求出，；当，时，，求出，，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，，，理由如下； ∵点和的运动速度是，运动的时间是， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等， ∵， 当，时，， ∴，， ∴，； 当，时，， ∴，， ∴，． 综上，或，． 【变式2-3】如图1，在长方形中，，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒． (1)________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)在图2中，当点P从点B开始运动，点Q从点C出发，以秒的速度沿向点D运动，当点P到达C点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，问是否存在这样的v值，使得与以点P、Q、C三点为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时， (3)或 【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）根据三角形全等的性质可得当，从而列出关于t的方程，解关于t的方程即可； （3）此题主要分两种情况①当时，；当，时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为t秒时，， 则， 故答案为； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴当时，； （3）①当时，， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时与以点P、Q、C三点为顶点的三角形全等． 【题型3··利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】 【例3】如图1，于点，于点B，P，Q分别为线段上任意一点． (1)如图1，若，，求之间的数量关系； (2)如图2，将“，”改为“（为锐角）”．若，，判断（1）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 【答案】(1) (2)不会改变，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题过程中，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题关键． （1）根据题意证明，得到，，则问题可证； （2）根据题意证明，得到，，则问题可证． 【详解】（1）解：由，， ， ， 又， ，， ． 即之间的数量关系为． （2）不会改变， 理由：， ， ． 又，， ， ，， 即（1）中的数量关系不会改变． 【变式3-1】如图，已知：，于点B，．请探索，，之间的数量关系，说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．根据“”证明，得，，所以． 【详解】解：．理由如下： ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【变式3-2】如图，点在同一条直线上，，，． (1)求证： ； (2)连接和，直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质： （1）先证明，得到后，得到对应补角相等后即可证平行； （2）证明即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 平行于． （2）解：． ， ， ． 【变式3-2】如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点E． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，求证：； (3)如图3，直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）①由垂直的定义得到，由同角的余角相等得到，即可根据“”证明；②根据全等三角形的性质证明； （2）同（1）思路证明即可； （3）同（2）思路求解． 【详解】（1）证明：①，， ， ， ， ， ， ， ； ②由①知， ，， ． （2）证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【题型 4·利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】 【例4】如图，点B、E在线段上，． (1)试说明：； (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，证明即可； （2）全等三角形的性质，得到，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，点在线段上，，，，是的中点． (1)求证： (2)直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形边角边判定及等腰三角形底边上的三线合一，解题的关键是通过平行线的性质找到夹角相等． （1）根据平行线的性质得到内错角相等，再根据边角边判定即可证明； （2）由（1）得，根据等腰三角形底边上三线合一即可得到证明． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ． （2）解：， 理由如下： ∵， ∴， ∵是的中点， ∴． 【变式4-2】如图，已知点B、D在直线上，，，，判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，先证明，再由平行线的性质得到，据此证明得到，则． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，于点D，且，在上取一点E，使得，连接．    (1)求证：． (2)判断直线与直线之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和性质： （1）因为得，结合，，即可通过证明作答． （2）根据三角形内角和性质以及全等三角形的对应角相等，得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）解：． 理由：如图，延长交于点F，    ∴． ∵，且， ， ∴， ∴． 题型 5·结合尺规作图的全等问题】 【例5】如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 【答案】(1)图见解析，答案不唯一 (2)图见解析，答案不唯一 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，明确全等三角形的判定定理是关键； （1）如果公共点为B，取格点E、F，使，，可得出格点三角形即为所求作； （2）以为公共边，是小方格的对角线，可画出，连接，就可得出即为所求作． 【详解】（1）解：即为所求作（答案不唯一）； （2）解：即为所求作（答案不唯一）． 【变式5-1】作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 【答案】(1) 解：证明：在和中， ， ， ． (2) 【分析】（1）由作图过程得到相应条件，再根据证明即可； （2）根据作图过程可得这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 【详解】（1）略 （2）这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 故答案为： 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 【变式5-2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上． (1)在图1中画（点D在小正方形的顶点上），使得与全等，且点D在直线的下方（点D与点C不重合）； (2)在图2中画（点E在小正方形的顶点上），使得与全等，且； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形的性质找出点的对应点，连接，即可； （2）根据中心对称图形的性质找出点的对应点，连接，即可． 【详解】（1）解：利用轴对称图形的性质找出点的对应点，连接，，则即为所求作的三角形，如图所示： （2）解：利用中心对称图形的性质找出点的对应点，连接，，则即为所求作的三角形，如图所示： 【点睛】本题主要考查了网格作图，解决问题的关键是熟练掌握运用轴对称性质中心对称性质确定对应点，解题的关键是确定点D和点E的位置． 【变式5-3】如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，试在方格纸上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可： (1)在图（1）中画出与全等的三角形，且有条公共边： (2)在图（2）中画出与全等的三角形，且有一个公共顶点： (3)在图（3）中画出与全等的三角形，且有一个公共角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（ 1）可根据全等三角形判定中的边边边（）为依据作图； （2 ）（ 3）可根据全等三角形的判定中的边角边（）为依据作图． 【详解】（1）解：如图1，即为所求（答案不唯一）， ； （2）解：如图2，即为所求， ； （3）解：如图3，即为所求， ． 【点睛】本题考查的是作图－复杂作图，熟知全等三角形的作法是解答此题的关键． 【题型 6··构造全等三角形的常规辅助线(作垂线法)】 【例6】阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 【变式6-1】已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分． 【答案】(1)，， (2) (3)见解析 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，可求出、的值，由，可求出、的长，得出点的坐标， （2）过点作轴于，由，可求出、的长，得出点的坐标， （3）延长、交于点，由，得出，结合，可证，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角坐标系内点的坐标，解题的关键是：作垂直辅助线，找到全等三角形． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标为， （2）过点作轴于， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点的坐标为， （3）延长、交于点， 轴， ， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故轴恰好平分． 【变式6-2】平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE． (1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． (2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立 (2)AF-BF=2CE 【分析】（1）过B作BH⊥CE于点H，可证△ACE≌△CBH，通过线段的等量代换可得结论； （2）过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，△ACE≌△CBG，通过线段的等量代换可得答案． 【详解】（1）解：图2，AF+BF=2CE仍成立，                            证明：如图，过B作BH⊥CE于点H， ∵∠BCH+∠ACE=90°， 又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠CAE=∠BCH， 又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90° ∴△ACE≌△CBH． ∴CH=AE，BF=HE，CE=BH， ∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC． （2）解：不成立，线段AF、BF、CE之间的数量关系为：AF-BF=2CE 证明：如图，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G， ∵∠BCG+∠ACE=90°， 又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠CAE=∠BCG， 又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90° ∴△ACE≌△CBG． ∴CG=AE，BF=GE，CE=BG， ∴AF-BF=AE+EF-BF=CG+EF-GE=CE+EF=2EC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，根据题意正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型7··构造全等三角形的常规辅助线(作平行线法)】 【例7】如图，已知△ABC为等边三角形，D为直线BC上一点，ED＝EC，求证：AE＋AC＝CD． 【答案】见解析 【分析】过点作，交于，先利用证明，由此可得，而易得与都为等边三角形，故，，代入即可得证． 【详解】证明：过点E作EF∥BC，交AC于F，如图所示： 则∠FEC＝∠ECD，△AEF是等边三角形， ∴AE＝AF＝EF，∠AFE＝60°， ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠ECD＝∠FEC， ∵△ABC为等边三角形， ∴BC＝AC，∠ABC＝∠AFE＝60°， ∴∠DBE＝∠EFC＝120°， 在△EBD和△CFE中， ， ∴△EBD≌△CFE（AAS）， ∴BD＝EF＝AE， ∵CD＝BD+BC， ∴CD＝AE+AC． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质与定理，并找到正确的辅助线作法是解题的关键． 【变式7-1】学习三角形后，同学们展开了多维度探索：已知为边长为6的等边三角形． 【初步探索】 （1）如图①，若点为边边上一动点，以为边向右侧作等边，连接．当时，______，______度； 【类比探索】 （2）如图②，若点运动到的延长线上，线段、、之间有何数量关系？并证明你的结论． 【深入探索】 （3）如图③，在等边中，，点是边上一点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，探索当取最小值时，求的长． 【答案】（1）2；60 （2）．证明见解析 （3）2 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定是解题关键． （1）根据题意，通过证明即可求解； （2）通过证明，结合等边三角形的性质即可求解； （3）由题意可得，，故当最小时，即最小，则当时，有最小值，过点作交于点，易得，进而得到． 【详解】解：（1）根据题意，， ， ， 在和中， ， ， ，， 故答案为：2；60． （2）．证明如下： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即． 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴． （3）∵是等边三角形，， ∴当最小时，也最小， ∴当时，有最小值，如图所示： 过点作交于点， ∴，， ∴是等边三角形，由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式7-2】【问题提出】 如图1，等边的边长为4，点P在边上，作于点E，Q为边延长线上一点，且，连接交于D，求的长． 小明同学经过思考后认为，过点P作的平行线可以使问题得到解决．请你根据小明同学的思路，求出的长． 【问题拓广】 如图2，等边边长为a，点P在边的延长线上，作的延长线于点E，Q为边上一点，且，连接交于D．求的长． 【答案】【问题提出】2；【问题拓广】 【分析】本题考查了等边三角形的性质及判定，全等三角形的综合，辅助线是解题关键． 【问题提出】过点P作交于点F，得出，，，证明为等边三角形，得出，再证明，证明，得出，进而可得出答案； 【问题拓广】过点P作交的延长线于点F，得出，，，证明为等边三角形，得出，再证明，证明，得出，进而可得出答案． 【详解】解：（1）如图，过点P作交于点F， ，，， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， 又 ， ， 又，， ， ， ； （2）过点P作交的延长线于点F， ，，， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， 又 ， ， 又，， ， ， ． 【变式7-3】综合与实践 问题情境：已知在等边中，是边上的一个定点．是直线上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接．猜想证明： （1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，求证：； 问题解决： （2）如图2，当点在的延长线上时，已知，．请求出的长； （3）如图3，当点在的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明是等边三角形，得到，证明，得到即可； （2）过点作，交于，同（1）法证明，即可得出结果； （3）过点作，交于，同（1）法，即可得出结论． 【详解】证明：（1）和是等边三角形， ，，， ， ，， ∴， 是等边三角形， ． ． ， ， ∴； （2）如图2，过点作，交于， 和是等边三角形． ，，． ， ，． 是等边三角形， ， ， ， ， ． ， ． ． （3）． 如图，过点作，交于， 和是等边三角形． ，，． ． ，． 是等边三角形． ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键． 【题型 8··构造全等三角形的常规辅助线(延长法)】 【例8】【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 【答案】(1)B (2)2（或3，4，5，6之一） (3)证明：如图③，延长 至点 ，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． (4)4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长 至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解： ， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵ 为整数，， ∴ 的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长至点 ，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵ ， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 【变式8-1】【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是 ； A．  B．   C．   D． (2)请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，．探究与的关系，并说明理由； 【深入探究】 (4)如图③，在和中，，，且，连接，F为的中点，连接并延长交于H，，，求的面积． 【答案】(1)B (2)1（或3或5或7或9或11） (3)，理由如下： 延长至点E使，连接，如图， 同理可证， ∴，， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (4)8 【分析】（1）根据边角边的证明方法即可得到； （2）根据三角形三边的关系先得到的范围，再由，且边的长度为奇数，这一条件求解即可； （3）同理可证，可得，再由，转化边的关系求解角度的关系即可； （4）添加辅助线，延长至点G使，连接，同理可证明，再证明，由此可得，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴的理由是B； （2）解：∵， ∴，， ∴， 在中，， 即，即 ∵边的长度为奇数，且， ∴的长可能为1或3或5或7或9或11； （3）解：略 （4）解：延长至点G使，连接，如图， 同理可知， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 即， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，则， ∴． 【变式8-2】八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 【答案】（1），2；（2）见解析；（3）,的面积为12 【分析】（1）如图1：先延长至点，使，连接，易证可得，，再在中利用三角形的三边关系可得，进而得到，再结合已知条件即可解答； （2）如图：延长到点F，使，连接．易证可得，进而得到，再根据等边对等角可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图3：延长到点E，使，连接．易证可得、，再证明可得、，即；再说明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）如图1：先延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为整数， ∴． 故答案为：，2． （2）证明：如图：延长到点F，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）如图3：延长到点E，使，连接． ∵点D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】灵活运用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键． 【变式8-3】综合探究：在中，已知，是边上的中线． 【问题初探】 （1）如图1，延长至点G，使得，连接，求证：； 【知识应用】 （2）如图2，于点E，交于点F，若，求的长； 【拓展创新】 （3）如图3，分别以，为边向外作等腰三角形，且，．当时，猜想与有什么数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证明，即可解答； （2）延长至点G，使得，连接，证明为等腰三角形即可解答； （3）延长至点G，使得，连接，证明即可得出结论． 【详解】（1）证明： 是边上的中线， ， ， ， ； （2）解：如图，延长至点G，使得，连接， 根据（1）可得， ， ，， ， ，， ； （3）解：，理由如下： 如图，延长至点G，使得，连接 根据（1）可得， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型 9·构造全等三角形的常规辅助线(截长补短法)】 【例9】如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴ , ， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【变式9-1】正三角形中，E在上，F在上，，请问现在又有什么数量关系？    【答案】 【分析】延长到点，使得，连接，证明，得到，再证明，即可得到． 【详解】解：数量关系为：，理由如下： 延长到点，使得，连接，    ∵是正三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判断和性质．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【变式9-2】在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点（不与点B重合，且），在射线上截取，连接． (1) （填“是”或“不是”）等边三角形； (2)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，如图1，线段与的数量关系为 ； ②如图2，若点C不与点D重合，求证：； (3)当点C在线段的延长线上时，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)是 (2)①；②见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据“有一个角为的等腰三角形是等边三角形”即可判断． （2）①由是等边三角形，得出，，再利用全等三角形判定推出，即可得出结论； ②在上截取，连接，先证明和都是等边三角形，得出，再通过证明得出，结合图形即可得出结论； （2）分两类情况：点在线段、延长线上，作出同（1）中的辅助线，由（1）中的结论得，，，再根据线段的和差进行等量代换即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形． 故答案为：是； （2）解：由（1）知是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：． ②证明：在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， 同理可得，也是等边三角形， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：若点A在线段上，如图3，作同（1）中的辅助线， 由（1）中的结论得，，， ； 若点A在延长线上，如图4，作同（1）中的辅助线， 由（1）中的结论得，，， ； 综上所述，数量关系为或． 【变式9-3】阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】；；；；；；变式应用：．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线．按照题干的要求填空即可；变式应用：在上截取，连接，求得，证明，得到，，得到，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图2，在上截取，连接， 只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出，得出及，再证出，进而得出，则结论成立． 故答案为：；；；；；； 变式应用：．理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 随堂检测 【随堂检测】 1．数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】延长到点使，构造使，根据全等三角形对应边相等可知，根据三角形三边关系可得，从而可得； 延长交的延长线于点，构造，从而可证，，，可证，根据全等三角形对应边相等可得，从而可得 【详解】（1）解：如下图所示，延长到点使， 是边上的中线， ， 在和中， ， 在中，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，延长交的延长线于点， 是的中线， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形三边的关系、全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的关系找边之间的关系． 2．阅读下面的题目及分析过程． 已知：如图1，点E是的中点，点A在上，且．说明：． 分析：说明两个角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质． 观察本题中说明的两个角，它们既不在同一个三角形中，而且它们所在两个三角形也不全等．因此，要说明，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现在提供两种添加辅助线的方法如下：如图2，过点C作，交的延长线于点F；如图3，延长至点M，使，连接． (1)请从以上两种添加辅助线方法中选择一种完成上面的说理过程． (2)反思应用：如图4，点B是的中点，于点B．请类比（1）中解决问题的思想方法，添加适当的辅助线，判断线段与之间的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）法一：过点C作，交的延长线于点，证明，得到，，推出，得到，即可得证； 法二：延长至点M，使，连接，证明，得到，推出，进而得到，即可得证； （2）延长到F，使，连接，证明，，推出，利用三角形三边关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：法一：如图2，过点C作，交的延长线于点， ∵ ∴， ∵E是的中点， ∴； 在和中，                    ， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 法二：如图3，延长至点M，使，连接． ∵E为的中点， ∴， 在和中                                     ， ∴； ∴， 又∵， ∴； ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 如图，延长到F，使，连接， 同（1）法可得：， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．中垂线的性质，通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键． 3．（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，即； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； 即； （3）；理由如下： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 4．如图，在等边三角形右侧作射线，，点A关于射线的对称点为点D，交于点E，连接，，． (1)求的大小（用含的代数式表示）； (2)在的变化过程中，的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出的范围；如果不发生变化，请直接写出的大小； (3)用等式表示线段，，三者之间的数量关系，并证明您的结论． 【答案】(1) (2)不发生变化， (3)，证明见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据轴对称的性质得到，，再根据等边对等角以及三角形内角和定理得到，最后利用角的和差即可求解； （2）利用三角形内角和定理得到，利用平角的定义得到的度数，再通过证明得到，即可得出结论； （3）在上取点使得，连接，由（2）得，，则是等边三角形，，再通过证明得到，再利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵等边三角形， ∴，， ∵点A关于射线的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：不发生变化，如图，设与交于点， 由（1）得，， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的大小不发生变化，且； （3）解：，证明如下： 如图，在上取点使得，连接， 由（2）得，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理、等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）证明过程见解析； （3）线段，，之间的数量关系为． 【分析】（1）由折叠的性质可证三角形全等，可得对应边相等，对应角相等，结合已知，可得等腰直角三角形，等量代换，即可证得结论； （2）在上截取，综合全等三角形的判定和性质，可得，结合已知和三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可证得结论； （3）在射线上截取，结合角平分线，可证三角形全等，对应边相等，对应角相等，由已知结合三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可得出线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，在上截取， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：， 证明：如图，在射线截取，连接， ∵是的外角的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：线段，，之间的数量关系为． 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 全等三角形的判定（二）（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型 1··数全等三角形的对数】 2 【题型 2·全等三角形的动态问题】 3 【题型3··利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】 5 【题型 4·利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】 6 【题型 5·结合尺规作图的全等问题】 7 【题型 6··构造全等三角形的常规辅助线(作垂线法)】 9 【题型7··构造全等三角形的常规辅助线(作平行线法)】 11 【题型 8··构造全等三角形的常规辅助线(延长法)】 13 【题型 9·构造全等三角形的常规辅助线(截长补短法)】 16 知识点 判定两个三角形全等的常用思路 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL” 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL” 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL” 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 【题型 1··数全等三角形的对数】 【例1】如图，在的正方形网格中，是格点三角形（即顶点恰好是小正方形的顶点），在图中与不重合且有一条公共边的全等格点三角形的个数是（   ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-1】如图，在的方格纸中，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，我们称这样的三角形为格点三角形．那么方格纸中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，作，使与全等，则点C（不与点A重合）的坐标为______． 【题型 2·全等三角形的动态问题】 【例2】如图，已知中，厘米，厘米，点D为 的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t． (1)当点P运动t秒时的长度为______（用含t的代数式表示）； (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【变式2-1】如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为t 秒． (1)_____________．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，？ (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的v值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式2-2】如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，当，中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为连接，． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当，时，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】如图1，在长方形中，，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒． (1)________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)在图2中，当点P从点B开始运动，点Q从点C出发，以秒的速度沿向点D运动，当点P到达C点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，问是否存在这样的v值，使得与以点P、Q、C三点为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【题型3··利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】 【例3】如图1，于点，于点B，P，Q分别为线段上任意一点． (1)如图1，若，，求之间的数量关系； (2)如图2，将“，”改为“（为锐角）”．若，，判断（1）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 【变式3-1】如图，已知：，于点B，．请探索，，之间的数量关系，说明理由． 【变式3-2】如图，点在同一条直线上，，，． (1)求证： ； (2)连接和，直接写出和之间的数量关系． 【变式3-2】如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点E． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，求证：； (3)如图3，直接写出线段之间的数量关系． 【题型 4·利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】 【例4】如图，点B、E在线段上，． (1)试说明：； (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 【变式4-1】如图，点在线段上，，，，是的中点． (1)求证： (2)直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． 【变式4-2】如图，已知点B、D在直线上，，，，判断和的位置关系，并说明理由． 【变式4-3】如图，于点D，且，在上取一点E，使得，连接．    (1)求证：． (2)判断直线与直线之间的位置关系，并说明理由． 题型 5·结合尺规作图的全等问题】 【例5】如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 【变式5-1】作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 【变式5-2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上． (1)在图1中画（点D在小正方形的顶点上），使得与全等，且点D在直线的下方（点D与点C不重合）； (2)在图2中画（点E在小正方形的顶点上），使得与全等，且； 【变式5-3】如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，试在方格纸上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可： (1)在图（1）中画出与全等的三角形，且有条公共边： (2)在图（2）中画出与全等的三角形，且有一个公共顶点： (3)在图（3）中画出与全等的三角形，且有一个公共角． 【题型 6··构造全等三角形的常规辅助线(作垂线法)】 【例6】阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【变式6-1】已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分． 【变式6-2】平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE． (1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． (2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 【题型7··构造全等三角形的常规辅助线(作平行线法)】 【例7】如图，已知△ABC为等边三角形，D为直线BC上一点，ED＝EC，求证：AE＋AC＝CD． 【变式7-1】学习三角形后，同学们展开了多维度探索：已知为边长为6的等边三角形． 【初步探索】 （1）如图①，若点为边边上一动点，以为边向右侧作等边，连接．当时，______，______度； 【类比探索】 （2）如图②，若点运动到的延长线上，线段、、之间有何数量关系？并证明你的结论． 【深入探索】 （3）如图③，在等边中，，点是边上一点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，探索当取最小值时，求的长． 【变式7-2】【问题提出】 如图1，等边的边长为4，点P在边上，作于点E，Q为边延长线上一点，且，连接交于D，求的长． 小明同学经过思考后认为，过点P作的平行线可以使问题得到解决．请你根据小明同学的思路，求出的长． 【问题拓广】 如图2，等边边长为a，点P在边的延长线上，作的延长线于点E，Q为边上一点，且，连接交于D．求的长． 【变式7-3】综合与实践 问题情境：已知在等边中，是边上的一个定点．是直线上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接．猜想证明： （1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，求证：； 问题解决： （2）如图2，当点在的延长线上时，已知，．请求出的长； （3）如图3，当点在的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 【题型 8··构造全等三角形的常规辅助线(延长法)】 【例8】【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 【变式8-1】【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是 ； A．  B．   C．   D． (2)请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，．探究与的关系，并说明理由； 【深入探究】 (4)如图③，在和中，，，且，连接，F为的中点，连接并延长交于H，，，求的面积． 【变式8-2】八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 【变式8-3】综合探究：在中，已知，是边上的中线． 【问题初探】 （1）如图1，延长至点G，使得，连接，求证：； 【知识应用】 （2）如图2，于点E，交于点F，若，求的长； 【拓展创新】 （3）如图3，分别以，为边向外作等腰三角形，且，．当时，猜想与有什么数量关系，并说明理由． 【题型 9·构造全等三角形的常规辅助线(截长补短法)】 【例9】如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式9-1】正三角形中，E在上，F在上，，请问现在又有什么数量关系？    【变式9-2】在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点（不与点B重合，且），在射线上截取，连接． (1) （填“是”或“不是”）等边三角形； (2)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，如图1，线段与的数量关系为 ； ②如图2，若点C不与点D重合，求证：； (3)当点C在线段的延长线上时，直接写出、、之间的数量关系． 【变式9-3】阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 随堂检测 【随堂检测】 1．数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． 2．阅读下面的题目及分析过程． 已知：如图1，点E是的中点，点A在上，且．说明：． 分析：说明两个角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质． 观察本题中说明的两个角，它们既不在同一个三角形中，而且它们所在两个三角形也不全等．因此，要说明，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现在提供两种添加辅助线的方法如下：如图2，过点C作，交的延长线于点F；如图3，延长至点M，使，连接． (1)请从以上两种添加辅助线方法中选择一种完成上面的说理过程． (2)反思应用：如图4，点B是的中点，于点B．请类比（1）中解决问题的思想方法，添加适当的辅助线，判断线段与之间的大小关系，并说明理由． 3．（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 4．如图，在等边三角形右侧作射线，，点A关于射线的对称点为点D，交于点E，连接，，． (1)求的大小（用含的代数式表示）； (2)在的变化过程中，的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出的范围；如果不发生变化，请直接写出的大小； (3)用等式表示线段，，三者之间的数量关系，并证明您的结论． 5．问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $