第2章第7讲勾股定理（2.7～2.8）2026-2027学年浙教版八年级数学上册

八年级上册 · 数学（浙教版） 第7讲 勾股定理(2.7~2.8) (一)勾股定理的证明 例题精析 例1 探索与研究：(1)如图1，对任意的符合条件的直角三角形，绕其锐角顶点将其旋转，可知，且四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，而四边形的面积等于Rt和Rt的面积之和。根据图示写出证明勾股定理的过程。(2)如图2的图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt和Rt拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？ ▸思路点拨 (1)由，代入计算即可证得；(2)由，代入计算即可证得。 ▸过程详解 解：(1)，即，整理得，所以。(2)一方面，四边形的面积等于和Rt的面积之和，另一方面，四边形的面积等于Rt和的面积之和，所以，即，整理得，所以。 ▸总结升华 本题考查勾股定理的证明，利用同一个图形的两种计算面积的方法，列式化简即可证明勾股定理。 变式训练 1. 在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（　） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 (二)勾股定理的应用 例题精析 例2 在中，，，是的中点，是射线上一点，过点作于点，连结。(1)若，，求的长。(2)过点作交于点，求证：。(3)请直接写出，，三条线段间的关系。 ▸思路点拨 (1)利用勾股定理求出，再利用等积法即可求的长；(2)连结，证明，即可求证；(3)由于点在射线上，点的位置不确定，因此需要分类讨论。由(2)可得是等腰直角三角形，得到，故可得到，，三条线段间的关系。 ▸过程详解 (1)解：因为，，，所以。因为于点，所以，所以，所以的长为。不化简也可以。(2)证明：如图1，连结，因为，所以。因为，所以。因为是的中点，所以，，，所以，，所以。因为，所以，所以，所以，所以。(3)解：，或。理由如下：由(2)得，所以，。因为，所以，所以。当点在线段上，如图1，因为，所以；当点在线段的延长线上，如图2，因为，所以。 ▸总结升华 本题考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质。 变式训练 2. 已知和都是等腰直角三角形，且。(1)如图1，点在内，求证：。(2)如图2，，，三点在同一条直线上，若，，求的面积。(3)如图3，若，点在边上运动，求周长的最小值。 例3 如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，连结，，若，，则正方形的边长是（　） ▸思路点拨 由，得，因为，所以，由，，推导出，则，由，，得，则，所以，求得，于是得到问题的答案。 ▸过程详解 解：因为四边形是正方形，所以。因为，所以，所以。因为，所以，所以。因为由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，所以，，所以，所以。因为，，所以，所以，所以，所以。故选A。 ▸总结升华 本题考查赵爽弦图的应用，重点考查等腰三角形的性质及判定、勾股定理等知识，对于图形中涉及的相等的线段和角比较多时，读图、描图是关键。 变式训练 3. 第24届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图，在由四个全等的直角三角形(，，，)和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连结。若正方形与正方形的面积之比为，且有，则的值为（　） A．2 B．3 C．4 D．5 (三)勾股定理的逆定理 例题精析 例4 王老师在一次探究性学习课程中，设计了如下数表： ：2，3，4，5，… ：，，，，… ：4，6，8，10，… ：，，，，… (1)请你分别观察，，与之间的关系，并用含自然数的代数式表示：____，____，____。 (2)以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论。 (3)观察下列勾股数，，，，分析其中的规律，根据规律写出第五组勾股数。 ▸思路点拨 (1)探究规律后，利用规律即可解决问题；(2)根据勾股定理的逆定理证明即可；(3)观察发现算式的规律，由此即可解决问题。 ▸过程详解 解：(1) (2)以，，为边的三角形是直角三角形。证明：因为，，所以。所以以，，为边的三角形是直角三角形。 (3)。 ▸总结升华 本题考查勾股数、规律型问题，解题的关键是学会观察，学会寻找规律，利用规律解决问题。 变式训练 4. 已知三角形的三边分别为，，，且，，。(1)请判断这个三角形的形状。(2)试找出一组，，，使三角形的最短边不小于20，另两边的差为2，三边均为正整数。 (四)勾股定理与图形面积关系的拓展 例题精析 例5 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理。在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今。(1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理。（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）(2)①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有____个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明。(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”。在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）____。 ▸思路点拨 本题考查了勾股定理的证明及勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用。(1)①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；(2)①根据题意，设直角三角形的三边分别为，，，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；(3)由(1)(2)中的结论，结合勾股定理的应用即可求解。 ▸过程详解 (1)①解：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么。（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。）②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和。即，化简得。在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和。即，化简得。在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和。即，化简得。(2)①解：根据题意，在图4中，直角三角形的边长分别为，，，则由勾股定理，得，所以；在图5中，三个扇形的直径分别为，，，则，，，所以。因为，所以，所以；在图6中，等边三角形的边长分别为，，，则，，，因为，，所以，所以；所以满足的有3个。故答案为3。②。证明：因为，所以。因为，所以。(3)解：如图，正方形，，，，，，中，对应的边长分别为，，，，，，，则有由(1)(2)中的结论可知，面积的关系为，，，所以，，，所以。故答案为。 ▸总结升华 以两直角边构造的图形面积之和＝以斜边构造的图形面积。 变式训练 5. 如图，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形的边长为，正方形的边长为，的边长为，的边长为，则正方形的边长为（　） A． B． C． D． 例6 勾股定理是人类最伟大的科学发明之一。如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形）的面积为____。 ▸思路点拨 设直角三角形的斜边的长为，较长直角边的长为，较短直角边的长为，由勾股定理得，求出，即可得出答案。 ▸过程详解 解：设在Rt中，，，，斜边对应的正方形面积为，直角边对应的正方形面积为和，故，，，由勾股定理可知，所以，所以。因为，所以，所以。故答案为12。 ▸总结升华 本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键。利用勾股定理以及正方形、长方形的面积进行解答即可。 变式训练 6. 如图，中，，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（　） A．以为边的正方形面积 B．以为边的正方形面积 C．以为边的正方形面积 D．的面积 (五)利用勾股定理解决折叠问题 例题精析 例7 如图所示的三角形纸片中，，，。现将纸片进行折叠，使得顶点落在边上的点处，折痕为，则的长为（　） ▸思路点拨 由，，，可求得的长，设，由折叠的性质可得是直角三角形，，，，然后由勾股定理求得的长。 ▸过程详解 解：因为，，，所以。设，由折叠的性质可得，，，所以。在Rt中，，所以，解得，所以。故选A。 ▸总结升华 此题考查了折叠的性质以及勾股定理，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用。 变式训练 7. 如图，Rt中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（　） A． B． C．4 D．5 例8 如图，长方形沿直线折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，其中，，求的长。 ▸思路点拨 设，则由折叠的性质得，则，在Rt中，由勾股定理建立关于的方程，解方程即可。 ▸过程详解 解：因为四边形为长方形，所以，。因为为的中点，所以，由折叠的性质得，设，则，所以。在Rt中，由勾股定理得，解得，即。 ▸总结升华 1.利用折叠和矩形性质找出线段之间的关系；2.在折叠后形成的直角三角形中设未知数，利用勾股定理列方程求解。 变式训练 8. 如图，沿着折叠长方形，使点落在边上的点处，已知，，则的长为（　） A． B． C． D． (六)直角三角形全等的判定(HL) 例题精析 例9 如图，已知在中，的平分线与线段的垂直平分线相交于点，过点分别作垂直于点，垂直于点，和有什么数量关系？请说明理由。 ▸思路点拨 连结，，根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质得，，再根据“HL”证明RtRt，即可证明结论。 ▸过程详解 解：。理由如下：如图，连结，，因为是的平分线，，，所以，。因为点在的垂直平分线上，所以。在Rt和Rt中，因为，，所以RtRt(HL)，所以。 ▸总结升华 本题考查角平分线的性质及线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，根据线段垂直平分线的性质想到连结，是解题的关键。 变式训练 9. 如图1，点，，，在同一条直线上，，过点，分别作，，且，与交于点。(1)求证：平分。(2)若将的边沿方向移动变为图2，其余的条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由。 (七)角平分线性质定理的逆定理 例题精析 例10 如图，为等边三角形，点在边的延长线上，以为边作等边三角形，连结，交于点。(1)求证：。(2)连结，求证：是的平分线。 ▸思路点拨 (1)由于和为等边三角形，利用SAS证明即可；(2)过点分别作于点，于点，利用全等三角形的性质，得到即可得证。 ▸过程详解 证明：(1)因为和为等边三角形，所以，，，所以，所以(SAS)。(2)如图，过点分别作于点，于点，因为，所以，，所以，所以。又因为，，所以是的平分线。 ▸总结升华 角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可以证明角相等。 变式训练 10. 如图，在直角三角形中，，点，分别在边和上，，垂足为，且，。(1)求证：平分。(2)当时，求的度数。 (八)特殊三角形综合之动点问题 例题精析 例11 如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为。(1)出发时，求的值。(2)出发几秒时，第一次能形成等腰三角形？(3)当点运动到上时，求能使是等腰三角形时点的运动时间，求出的值。 ▸思路点拨 (1)根据点，的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；(2)设出发时，能形成等腰三角形，则，由，，列式求得即可；(3)当点在边上运动时，能使成为等腰三角形，有三种情况：①当时（如图1），则，可证明，则，则，从而求得；②当时（如图2），则，易求得；③当时（如图3），过点作于点，则求出，，即可得出。 ▸过程详解 解：(1)出发时，，，所以。因为，根据勾股定理，。(2)设出发时，第一次能形成等腰三角形。此时，。当时，，解得。(3)①当时，如图1，则，因为，，，所以，，，所以，所以，所以，所以，所以，②当时，如图2，则，所以；③当时，如图3，过点作于点，则，所以，故，所以，所以。综上所述，当值为或或时，为等腰三角形。 ▸总结升华 本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用。 变式训练 11. 如图，在Rt中，，，，为边上的动点，点从点出发，沿边运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度。(1)当时，____，____。(2)当____时，是直角三角形。(3)求当为何值时，是等腰三角形。 链接好题 1. 如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点，若，为中点，则的长为____；的长为____。 参考答案 变式训练 1 A 变式训练 2 (1)证明：如图1，延长交于点，因为，所以。在和中，因为，，，所以(SAS)，所以，。因为，所以，所以，所以。(2)因为，所以。如图2，过点作于点，由(1)可知，，因为是等腰直角三角形，，所以，所以为等腰直角三角形。在等腰直角三角形中，因为，所以，所以。因为，所以，所以，所以的面积。(3)由(1)可知，因为的周长，所以取最小值时，的周长取最小值，所以当时，有最小值。因为是等腰直角三角形，，所以周长的最小值为。 变式训练 3 B 【解析】设，，因为，所以，整理得，所以。因为，，所以正方形的面积为。因为正方形的面积为，正方形与正方形的面积之比为，所以，解得。故选B。 变式训练 4 (1)因为，所以，所以这个三角形是直角三角形。(2)取，即，所以，所以，。（答案不唯一） 变式训练 5 C 变式训练 6 D 【解析】如图，过点作于点，延长，分别交长方形两边于点，，所以，所以，所以。又因为，所以(AAS)，所以，。同理可证，所以，，所以，所以，所以只需要知道的面积即可求出阴影部分的面积。故选D。 变式训练 7 C 变式训练 8 A 【解析】因为四边形是长方形，所以，，。由折叠的性质可得，，在Rt中，由勾股定理可得，在Rt中，设，则，，由勾股定理得，即，解得，所以的长为。故选A。 变式训练 9 (1)证明：因为，所以，所以。因为，，所以。又因为，所以RtRt(HL)，所以。又因为，所以(AAS)，所以，即平分。(2)结论仍成立。理由如下：因为，，所以。因为，所以，即。因为，所以RtRt(HL)，所以。又因为，所以(AAS)，所以，即平分。 变式训练 10 (1)证明：因为，所以，所以。在Rt和Rt中，因为，，所以RtRt(HL)，所以。又因为，，所以平分。(2)因为，所以。因为，所以。因为RtRt，所以。 变式训练 11 (1) (2)或 (3)当时，，；当时，，；当时，，。故当值为或或时，是等腰三角形。 链接好题 1 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $