第1章第1讲认识三角形（1.1）2026-2027学年浙教版八年级数学上册

八年级上册 · 数学（浙教版） 第1讲 认识三角形(1.1) (一)三角形内角和等于180° 例题精析 例1 在中，若，且比大，则的度数为（　） ▸思路点拨 依题意可设与的度数分别为，，根据三角形内角和的性质，列式求解即可。 ▸过程详解 解：依题意可设与的度数分别为，，则，在中，，即，解得，所以。故选B。 ▸总结升华 已知角度的比值关系通常用设法，把角表示出来，再利用三角形内角和定理列关系式求解。 变式训练 1. 如图，，，，则（　） A． B． C． D． (二)三角形按角分类(锐角三角形，直角三角形，钝角三角形) 例题精析 例2 在下列条件中：①；②；③；④。能确定是直角三角形的条件有（　） ▸思路点拨 计算每种情况，若求得某个角为，则为直角三角形。 ▸过程详解 解：因为，，所以，解得，故①能确定是直角三角形；因为，所以，所以是钝角三角形，故②能确定不是直角三角形；因为，，所以，解得，，故③能确定不是直角三角形；因为，，所以，解得，，，故④能确定是直角三角形。综上所述，能确定是直角三角形的有①④，共2个，故选B。 ▸总结升华 三角形内角和为隐含条件，通过已知条件以及三角形内角和进行计算，求得直角，则说明三角形为直角三角形。 变式训练 2. 一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形是（　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 (三)三角形三边关系的应用 例题精析 例3 有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为（　） ▸思路点拨 根据三角形的三边关系逐一判断即可。 ▸过程详解 解：若选取长度分别是4cm、5cm、8cm的小棒，，故能围成三角形；若选取长度分别是4cm、5cm、9cm的小棒，，故不能围成三角形；若选取长度分别是5cm、8cm、9cm的小棒，，故能围成三角形；若选取长度分别是4cm、8cm、9cm的小棒，，故能围成三角形。综上所述，可以围成3种不同形状的三角形。故选D。 ▸总结升华 此题主要考查了构成三角形的条件，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键。 变式训练 3. 三角形的两边长分别为3和8，第三边长为奇数，这个三角形的周长可以是______。 例4 已知的三边长分别是，化简的结果是______。 ▸思路点拨 先根据三角形三边关系判断出与的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案。 ▸过程详解 解：因为的三边长分别是，所以，，所以，，所以，故答案为。 ▸总结升华 此题考查了三角形三边关系，用到的知识点是三角形的三边关系、绝对值、整式的加减，关键是根据三角形的三边关系判断出与的符号。 变式训练 4. 如图，是的边上任意一点，则。请说明理由。 (四)三角形中三条重要线段(中线，角平分线，高线) 例题精析 例5 如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上。(1)画出中边上的高线。(2)画出中边上的中线。(3)的面积为______。 ▸思路点拨 (1)延长，过点作垂直，即可得到答案；(2)结合题意，根据中线的定义可得点，连结即可得到答案；(3)根据三角形面积公式的求法，结合题意，即可得到答案。 ▸过程详解 解：(1)如图，线段即为所求作。(2)如图，线段即为所求作。(3)。所以的面积，故答案为4。 ▸总结升华 本题考查作图和求三角形面积，解题的关键是掌握作图技巧和求三角形面积的方法。 变式训练 5. 下列各组图形中，表示是中边上的高线的图形为（　） 例6 如图，在中，是高线，是角平分线。(1)若，，求的度数。(2)若，求的度数。(3)若，，与之间有怎样的关系？请说明理由。 ▸思路点拨 根据三角形高线、角平分线以及三角形内角和进行角的和差计算。 ▸过程详解 解：(1)因为，，所以，因为平分，所以，因为是高线，所以，所以，所以。(2)因为，，所以两式相加得，则有，因为平分，所以，因为是高线，所以，，所以。(3)，理由如下：因为，，所以，因为平分，所以，因为是高线，所以，，所以。 ▸总结升华 在求角度时，在图形上进行标记，尽可能地表示出已知角度，这样更容易找出角度关系。 变式训练 6. 如图，为的角平分线，为的高线，若，，求的度数。 例7 如图，在中，是中线，是中点，且，若的面积是2，则的面积为______。 ▸思路点拨 根据三角形面积公式，利用得到，再利用是中点得到，接着利用是中线得到，然后利用从而得到的值。 ▸过程详解 解：因为，所以，所以，因为是中点，所以，所以，因为是中线，所以，因为，所以，所以。故答案为8。 ▸总结升华 三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形，可以理解为等高的三角形面积之比等于底边之比模型。 变式训练 7. 如图，的三边的中线的公共点为，且，若，则图中阴影部分的面积是（　） A．3 B．4 C．5 D．6 例8 等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法。(1)如图1，在中，，，，，，则长为______。(2)如图2，在中，，，则的高与的比是______。(3)如图3，在中，，点分别在边上，且，，，垂足分别为。若，求的值。 ▸思路点拨 (1)利用等面积法可得，代入计算可得的长；(2)利用等面积法可得，进而将等积式根据比例的性质转化为比例式即可得出答案；(3)由及三角形面积的计算公式即可得出答案。 ▸过程详解 解：(1)因为，，所以，，所以，因为，，，所以。故答案为。(2)根据题意得，，所以，所以。故答案为。(3)因为，，，，所以，又因为，所以，即。 ▸总结升华 本题考查了三角形的面积相关求法，熟练掌握利用等面积法求线段的长是解题的关键。当已知同一个三角形的不同边上的高，即可用等面积法求解。 变式训练 8. 如图，在中，是中线，于点，于点，若cm，cm，则______。 (五)三角形的外角及其性质 例题精析 例9 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点。(1)若，，求的度数。(2)证明：。 ▸思路点拨 (1)根据三角形的外角性质求出，根据角平分线的定义求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案；(2)根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论。 ▸过程详解 (1)解：因为，，所以，因为平分，所以，所以。(2)证明：因为平分，所以，因为，所以，因为，所以，所以。 ▸总结升华 本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键。 变式训练 9. 如图，在中，是它的一个外角，为边上一点，延长到点，连结。若，，，求的度数。 (六)三角形的折叠问题 例题精析 例10 (1)如图1，在中，是边上的一点，将沿折叠，得到，与交于点。已知，，求的度数。(2)如图2，将纸片沿折叠，使点落在四边形的内部点的位置，，与之间存在一定的数量关系，请判断它们之间的关系，并说明理由。(3)如图3，将纸片沿折叠，使点落在四边形的外部点的位置，此时，与之间也存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的关系，无需说明理由。 ▸思路点拨 (1)根据折叠的性质，，根据三角形的外角性质计算；(2)连结，由折叠的性质可知，，根据三角形的外角性质说明；(3)由折叠的性质可知，，根据三角形的外角性质找数量关系。 ▸过程详解 解：(1)由折叠的性质可知，所以，所以。(2)。理由如下：如图1，连结，由折叠的性质可知，由三角形的外角的性质可知，，，所以。即。(3)。理由如下：如图2，由折叠的性质可知，，，所以，所以。 ▸总结升华 本题考查了折叠的性质“折痕具有角平分线的作用，折叠前后的两个角相等”，三角形外角的性质“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”。 变式训练 10. 如图，将沿翻折，顶点均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为______。 链接好题 1. 将一副三角板按照如图方式摆放，点共线，，则的度数为（　） A． B． C． D． 参考答案 变式训练 1 A 变式训练 2 A 变式训练 3 18或20 变式训练 4 因为在中，，在中，，所以，即。 变式训练 5 D 变式训练 6 因为为的高线，所以，因为，，所以，因为为的角平分线，所以，所以。 变式训练 7 B 变式训练 8 变式训练 9 因为是的一个外角，所以，因为，，所以。因为是的一个外角，所以，因为，，所以。 变式训练 10 【解析】因为将沿翻折，顶点均落在点处，且与重合于线段，所以，，因为，所以，所以，故答案为。 链接好题 1 A 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $