第1章第4讲线段垂直平分线及角平分线的性质（1.6～1.7）2026-2027学年浙教版八年级数学上册

八年级上册 · 数学（浙教版） 第4讲 线段垂直平分线及角平分线的性质(1.6~1.7) (一)线段垂直平分线 例题精析 例1 如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点，。(1)若，求的周长。(2)设直线，交于点，试判断点到，两点的距离是否相等，并说明理由。 ▸思路点拨 (1)在中，，的垂直平分线分别交于点，，根据线段垂直平分线的性质可得，，继而可得的周长；(2)连结，，，证明即可。 ▸过程详解 解：(1)因为在中，，的垂直平分线分别交于点，，所以，，又因为，所以的周长为。(2)点到，两点的距离相等。理由如下：如图，连结，，，因为是的垂直平分线，是的垂直平分线，所以，，所以，所以点到，两点的距离相等。 ▸总结升华 此题考查了线段垂直平分线的性质，注意作出合适的辅助线，掌握数形结合思想的应用。 变式训练 1. 如图，在中，，垂足为，垂直平分，交于点，交于点，连结，若，的周长为16，，则的长为（　） A．4 B．5 C．6 D．7 例2 如图，在四边形中，，。我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”。(1)求证：，。(2)在“筝形”中，已知，，请用含，的式子表示筝形的面积。 ▸思路点拨 (1)先证，再证明，即可得到，；(2)根据进行求解即可。 ▸过程详解 (1)证明：在和中，因为，，，所以，所以，在和中，因为，，，所以，所以，，即。(2)解：因为，所以。 ▸总结升华 此题考查了线段垂直平分线的应用，本题主要考查了线段垂直平分线的定义，求三角形面积。 变式训练 2. 如图，，，表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（　） A．，两边高线的交点处 B．，两边中线的交点处 C．，两边垂直平分线的交点处 D．，两内角平分线的交点处 例3 已知：如图，直线与直线相交于点，是直线上一点。求作点，使直线，且点到，两点的距离相等。 ▸思路点拨 在点处作一个角等于即可满足，同时满足点到，两点的距离相等，即点应在线段的垂直平分线上。 ▸过程详解 解：如图，点即为所求作。 ▸总结升华 本题考查线段垂直平分线的性质和尺规作图能力。 变式训练 3. 过直线外一点作直线的垂线。下列尺规作图错误的是（　） (二)角平分线 例题精析 例4 对角平分线作如下研究：(1)如图1，已知平分，于点，于点，若，则______。(2)如图2，平分，。求证：。 ▸思路点拨 (1)由角平分线的性质可知；(2)过点作，，证明，即可得到。 ▸过程详解 (1)解：因为平分，，，所以。故答案为2。(2)证明：如图，过点作，。因为平分，，，所以，因为，，所以，因为，，所以，所以，所以。 ▸总结升华 本题考查角平分线的性质，看到角平分线，即想到角平分线上的点到角两边的距离相等，构造垂线段，建立模型是解题的关键。 变式训练 4. 如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是______。 例5 如图，四边形中，，平分，平分。(1)求证：是的中点。(2)判断，，之间的数量关系，并证明。(3)若，，求。 ▸思路点拨 (1)过点作于点，根据角平分线的性质得出，，即可得出结论；(2)证明，根据全等三角形的性质得出，同理，再根据线段的和即可得出结论；(3)先求出，再根据三角形的面积公式即可得出答案。 ▸过程详解 (1)证明：如图，过点作于点，因为，平分，所以，因为，，平分，所以，所以，即是的中点。(2)，证明：因为，所以在和中，因为，，，所以，所以，同理，因为，所以。(3)解：因为，是的中点，所以，所以，因为，所以。 ▸总结升华 本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，正确理解角平分线的性质，做出合适的辅助线是解题的关键。 变式训练 5. 如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是，。证明：。 例6 如图，已知和两条公路，以及，两个村庄，建立一个车站，使车站到两个村庄的距离相等即，且点到，两条公路的距离相等。 ▸思路点拨 到，距离相等的点在的平分线上，到，距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点是的平分线与线段的垂直平分线的交点。 ▸过程详解 解：如图，的平分线与线段的垂直平分线的交点就是所求作。 ▸总结升华 本题考查了作图——应用与设计作图，角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，到两条相交直线距离相等的点在这两条相交直线夹角的平分线上；到两点距离相等的点，在这两点连线的垂直平分线上。 变式训练 6. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　） A． B． C． D． 链接好题 1. 下列尺规作图求作上点，使得的周长等于，正确的是（　） 参考答案 变式训练 1 B 变式训练 2 C 变式训练 3 C 变式训练 4 30 变式训练 5 证明：因为是的平分线，所以，因为，，所以，所以，因为，，所以。 变式训练 6 B 链接好题 1 B 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $