专题05 图形的轴对称 同步培优讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦图形的轴对称核心知识点，系统梳理轴对称图形与两个图形成轴对称的概念（以折叠重合为基础）、性质（对称轴垂直平分对称点连线、成轴对称图形全等）及应用（识别、作对称图形、最短路径问题），为后续等腰三角形学习搭建基础支架。 该资料以“概念-性质-应用”框架构建知识体系，20种题型覆盖折叠、镜面对称等实际问题，通过辨析要点（如对称轴为直线）和转化思想（折线化直线）培养几何直观与推理能力。课中辅助教师分层教学，课后知识清单与课堂小练助力学生巩固应用，强化知识迁移能力。

专题05 图形的轴对称 同步培优讲义 ✺知识框架 1.概念板块：轴对称图形刻画一个图形自身的对称性质；两个图形成轴对称刻画两个图形之间的对称关系。二者都以“折叠重合”为共同基础，可以相互转化——把成轴对称的两个图形看成一个整体，便得到轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分便成轴对称。 2.性质板块：对称轴垂直平分连结一对对称点的线段；成轴对称的两个图形全等，对应线段相等、对应角相等。 3.应用板块：由概念与性质出发，可以识别轴对称图形、确定对称轴、作已知图形的轴对称图形，并运用“转化”思想解决最短路径等实际问题。 ✅本节知识围绕“沿一条直线折叠后能够互相重合”展开。学习时把握三点：其一，能识别轴对称图形，并确定其对称轴；其二，牢记两条核心性质——对称轴垂直平分对应点的连线，成轴对称的两个图形全等；其三，会运用转化思想，借助对称点把折线化为直线，解决最短路径等实际问题。本节内容是后续学习等腰三角形及其性质的重要基础，务必熟练掌握。 ✺学习目标 1.通过观察生活中的对称现象与具体图形实例，理解轴对称图形、对称轴、对称点的概念，能判断一个图形是不是轴对称图形，能找出并画出常见图形的对称轴。 2理解两个图形成轴对称的概念，能正确区分“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”，并说出二者的联系。 3.探索并理解轴对称的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全等图形。 4.掌握作已知图形关于给定直线的轴对称图形的方法，能规范作出点、线段、三角形等简单图形的对称图形。 5.能运用轴对称的性质进行线段、角的简单计算与说理，会解决“在已知直线上求一点，使其到两定点距离之和最小”等简单实际问题。 6.能综合运用轴对称性质与全等三角形、平行线等已学知识进行较复杂的推理与计算，发展几何直观与推理能力。 7.体会并运用“转化”思想：把同侧两点问题转化为异侧两点问题，把折线问题转化为线段问题，提高分析问题、解决问题的能力。 ✺题型归纳 题型1.轴对称图形的识别 题型2.成轴对称的两个图形的识别 题型3.根据轴对称图形的特征进行判断 题型4.根据轴对称图形的特征进行求解 题型5.画对称轴 题型6.求对称轴条数 题型7.画轴对称图形 题型8.设计轴对称图案 题型9.台球桌面上的轴对称问题 题型10.轴对称中的光线反射问题 题型11.折叠问题 题型12.车牌号码的镜面对称 题型13.钟表的镜面对称 题型14.电子钟示数的镜面对称 题型15.最短路径问题 题型16.线段问题(轴对称综合题) 题型17.面积问题(轴对称综合题) 题型18.角度问题(轴对称综合题) 题型19.其他问题(轴对称综合题) 题型20.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、轴对称图形 定义：如果把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴，折叠后互相重合的点叫做对称点。 要点辨析： 1.对称轴是一条直线，不是线段，也不是射线；画对称轴时，两端要适当画出头。 2.轴对称图形是对一个图形而言的，描述的是这个图形自身具有的对称性质；沿对称轴折叠后，图形被分成的两部分能够互相重合。 3.一个轴对称图形的对称轴可以只有一条，也可以有多条，甚至无数条。 例如，等腰三角形只有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，圆有无数条对称轴。 知识点二、两个图形成轴对称 定义：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后互相重合的点叫做对应点（也叫对称点）。 说明：图形的轴对称既指“由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合”这一图形变换，也指经过这种变换后两个图形之间的对称位置关系。 知识点三、轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系 比较项 轴对称图形 两个图形成轴对称 研究对象 一个图形自身的对称性 两个图形之间的位置关系 折叠方式 沿对称轴折叠后，图形自身的两部分互相重合 沿对称轴折叠后，一个图形与另一个图形重合 对称轴条数 可能有一条、多条甚至无数条 通常只有一条 常见例子 等腰三角形、正方形、圆 关于直线l对称的两个三角形 联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，这个整体就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分成的两部分看成两个图形，那么这两个图形成轴对称。 知识点四、两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。 （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形。如下图1，若△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则直线l垂直平分AA′、BB′、CC′，且△ABC≌△A′B′C′，故AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′。 补充性质：成轴对称的两个图形中，对应线段所在直线若相交，则交点必在对称轴上。 图1　△ABC与△A′B′C′关于直线l对称 知识点五、作轴对称图形 一般步骤： 1.找出图形中的关键点，如线段的端点、三角形的顶点； 2.分别作出各关键点关于对称轴的对称点。 3.按原图形中关键点的顺序，顺次连结各对称点，所得图形即为所求。 检验方法：各对应点的连线均与对称轴垂直，且被对称轴平分。 知识点六、常见图形的对称轴 图形 对称轴条数 对称轴位置 线段 2 它本身所在直线；它的垂直平分线 角 1 角平分线所在直线 等腰三角形（非等边） 1 底边上的高（中线、顶角平分线）所在直线 等边三角形 3 三条边上的高所在直线 长方形 2 两组对边中点连线（两组对边的垂直平分线） 正方形 4 两组对边中点连线、两条对角线所在直线 圆 无数条 任意一条直径所在直线 平行四边形（非矩形、菱形） 0 无 说明：判断对称轴条数，关键看沿该直线折叠后图形能否与自身重合。一般的平行四边形沿任何直线折叠都不能与自身重合，故不是轴对称图形。 ✺题型精讲 题型1.轴对称图形的识别 1．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．某校开展“衣加衣”温暖活动，同学们积极响应号召，踊跃捐衣，校团支部为本次活动设计了一个“众志成城，奉献爱心”的图标．如图，图标中两圆的大小关系是______． 3．如图（1）～（10）所示的图案都是对称图形（其中（2）（5）（7）（9）表示两个图形），请观察并指出，哪些图案是轴对称图形？哪些图案成轴对称？    题型2.成轴对称的两个图形的识别 1．下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，两个图形成轴对称的有__________只填写序号 3．如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 题型3.根据轴对称图形的特征进行判断 1．如图，与关于直线l对称，下列所连线段中，不能被直线l垂直平分的是（     ） A． B． C． D． 2．观察图中的各组图形，其中成轴对称的是__________．（请填写序号） 3．在图形中标出点、和关于直线的对称点． 题型4.根据轴对称图形的特征进行求解 1．如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴，，，则四边形的周长为_____． 3．如图，中，，点M，N分别在边，上，连接，且和关于直线对称． (1)若，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵在中，，（已知）， ∴________（    ）． ∵和关于直线对称（已知）， ∴________（成轴对称的两个图形对应角相等）． ∴． (2)若，，则的周长为________． 题型5.画对称轴 1．下列图形中，对称轴最多的图形是（    ） A． B． C． D． 2．如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的______就是该图形的对称轴． 3．找出下列图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴． 题型6.求对称轴条数 1．下列图形中有且只有3条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，观察这些轴对称图形，按照它们对称轴条数的多少从少到多依次排列为：________． 3．（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    题型7.画轴对称图形 1．如图，在的正方形网格中，已知点A，B，C是网格线的交点，请你再找一个点D（点D是网格线的交点，且与点A，B，C不重合），使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段______． 3．如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 题型8.设计轴对称图案 1．如图由正六边形与两条对角线所组成，添加一条对角线使整个图形是轴对称图形，添加方法有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 2．在如图的正方形网格上画有两条线段．现在要再画一条，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，能满足条件的线段有______条． 3．如图，在正方形网格中已有个小方格涂成了阴影，请从其余的小方格中选一个涂成阴影，使整个阴影图形成为轴对称图形，用种不同的方法在图中补全图形，并画出相应的对称轴． 题型9.台球桌面上的轴对称问题 1．如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 3．如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 题型10.轴对称中的光线反射问题 1．如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔所处的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为（两束光线关于过点且垂直于的直线对称），且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，平面镜与水平线成角放置，入射光线与水平线成角射到平面镜的点，则反射光线与入射光线的夹角（即）的度数为______． 3．项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 题型11.折叠问题 1．如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．48 D．56 2．把长方形沿着直线对折，折痕为，对折后的图形的边恰好经过点C．若，则______． 3．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将一张三角形纸片沿折叠，点C落在点处．已知，则是多少度？ 题型12.车牌号码的镜面对称 1．一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 2．若看到镜子中的一串数字为  ，则这串数字实际是___________． 3．从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为多少？ 题型13.钟表的镜面对称 1．小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（　） A． B． C． D． 2．小龙开始学习时，从镜中看时间是下午，结束时实际是下午，他学习了( )小时． 3．平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是_____． 题型14.电子钟示数的镜面对称 1．李叔叔开车回家，在路中等红灯时，从车子的后视镜里看到了后面的公交车，如图所示，根据图中信息，可以判断出该公交车是多少路？（    ） A． B． C． 2．李明从平面镜中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是_____________ 3．电子钟示数“”在平面镜中的像为__________． 题型15.最短路径问题 1．如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 2．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 3．如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 题型16.线段问题(轴对称综合题) 1．小王计划在街道1上建一个送奶站，向小区提供牛奶，要使小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的选址正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在锐角中，平分，点，分别是和上的动点．若，，则的最小值为______． 3．如图，的内部有一点P，在射线上各取一点，，使得的周长最小，作出点，，叙述作法，保留作图痕迹． 题型17.面积问题(轴对称综合题) 1．如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的均在格点上，位置如图所示． (1)请画出关于直线对称的； (2)连接、，并计算四边形的面积． 3．如图，和的顶点都在边长为的正方形网格的格点上，且和关于直线成轴对称． (1)直接写出的面积； (2)请在如图所示的网格中作出对称轴直线； (3)请在直线上作一点，使得最小．保留必要的作图痕迹 题型18.角度问题(轴对称综合题) 1．如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为________．    3．在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸片中，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处；再将沿折叠，使点落在点处，且，，三点在同一条直线上． (1)求的大小； (2)图2是由图1得到的四边形纸片，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，，，求的大小． 题型19.其他问题(轴对称综合题) 1．如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是______．    2．如图，正方形网格中． (1)画出关于直线对称的图形；（点，，的对应点分别为点，，，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．下同） (2)在直线上找一点，使周长最小． 3．如图，在的正方形网格中，点A、B、C都在格点上点D是与网格线的交点且，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)作边上高． (2)画出点D关于的对称点F； (3)画射线，平分． ✺课堂小练 一、单选题 1．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中是轴对称图形且对称轴条数最多的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．正五边形 D．圆 3．明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，一束光线从上的点发出，经过平面镜上的点反射后，其反射光线与平行，若测得，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为_____________． 7．如图，由△ABC经过怎样的变换得到△DEC．答：_______． 8．如图，已知，为内部一点，，分别为射线、射线上的两个动点．当的周长最小时，_______． 9．如图，将一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为_________． 10．如图，在中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是________． 三、解答题 11．如图，在正方形网格中，点，，均在格点上．用无刻度直尺按要求画图（不写画法，保留画图痕迹）． (1)在图1中，画出关于直线对称的； (2)在图2中，已知与成轴对称，在图中画出对称轴； (3)如图3，方格纸上有两条线段，请在图3中补画一条线段，将其补成一个轴对称图形（在网格中画出所有符合条件的线段）． 12．如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． (1)在图1中，画出线段的中点； (2)如图2，在直线上找一点，连接和，使的值最小． 13．如图1，将一条两组对边分别平行的纸带两侧进行折叠，折痕分别是、，点、、、折叠后对应的点分别是、、、，点在线段上． (1)若，则 ； (2)说明的理由； (3)如图2，延长交于点，将四边形沿折叠得到四边形，记，试用含的代数式表示的度数． 14．科学实验证实光的反射规律：光线入射至平面镜发生反射时，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角．即下图中； (1)窗外一束光从C处斜射到平面镜上的点E处，小明转动手中的平面镜，使反射光线恰好照到黑板上的点D处．请在图①中使用无刻度的直尺和圆规画出平面镜所在位置（平面镜用线段表示，铅笔加黑加粗，保留作图痕迹）； (2)在图②中，有，．设镜子与的夹角．若，入射光线与反射光线的夹角．求的度数； (3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面反射到镜面，再反射到镜面，最后经镜面反射后，当反射光线与入射光线平行时，探索m与γ的数量关系，并说明理由； (4)如图④，若，已知入射光线与镜面平行，经过次反射后，反射光线按原路返回，请直接写出α满足的条件． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 图形的轴对称 同步培优讲义 ✺知识框架 1.概念板块：轴对称图形刻画一个图形自身的对称性质；两个图形成轴对称刻画两个图形之间的对称关系。二者都以“折叠重合”为共同基础，可以相互转化——把成轴对称的两个图形看成一个整体，便得到轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分便成轴对称。 2.性质板块：对称轴垂直平分连结一对对称点的线段；成轴对称的两个图形全等，对应线段相等、对应角相等。 3.应用板块：由概念与性质出发，可以识别轴对称图形、确定对称轴、作已知图形的轴对称图形，并运用“转化”思想解决最短路径等实际问题。 ✅本节知识围绕“沿一条直线折叠后能够互相重合”展开。学习时把握三点：其一，能识别轴对称图形，并确定其对称轴；其二，牢记两条核心性质——对称轴垂直平分对应点的连线，成轴对称的两个图形全等；其三，会运用转化思想，借助对称点把折线化为直线，解决最短路径等实际问题。本节内容是后续学习等腰三角形及其性质的重要基础，务必熟练掌握。 ✺学习目标 1.通过观察生活中的对称现象与具体图形实例，理解轴对称图形、对称轴、对称点的概念，能判断一个图形是不是轴对称图形，能找出并画出常见图形的对称轴。 2理解两个图形成轴对称的概念，能正确区分“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”，并说出二者的联系。 3.探索并理解轴对称的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全等图形。 4.掌握作已知图形关于给定直线的轴对称图形的方法，能规范作出点、线段、三角形等简单图形的对称图形。 5.能运用轴对称的性质进行线段、角的简单计算与说理，会解决“在已知直线上求一点，使其到两定点距离之和最小”等简单实际问题。 6.能综合运用轴对称性质与全等三角形、平行线等已学知识进行较复杂的推理与计算，发展几何直观与推理能力。 7.体会并运用“转化”思想：把同侧两点问题转化为异侧两点问题，把折线问题转化为线段问题，提高分析问题、解决问题的能力。 ✺题型归纳 题型1.轴对称图形的识别 题型2.成轴对称的两个图形的识别 题型3.根据轴对称图形的特征进行判断 题型4.根据轴对称图形的特征进行求解 题型5.画对称轴 题型6.求对称轴条数 题型7.画轴对称图形 题型8.设计轴对称图案 题型9.台球桌面上的轴对称问题 题型10.轴对称中的光线反射问题 题型11.折叠问题 题型12.车牌号码的镜面对称 题型13.钟表的镜面对称 题型14.电子钟示数的镜面对称 题型15.最短路径问题 题型16.线段问题(轴对称综合题) 题型17.面积问题(轴对称综合题) 题型18.角度问题(轴对称综合题) 题型19.其他问题(轴对称综合题) 题型20.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、轴对称图形 定义：如果把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴，折叠后互相重合的点叫做对称点。 要点辨析： 1.对称轴是一条直线，不是线段，也不是射线；画对称轴时，两端要适当画出头。 2.轴对称图形是对一个图形而言的，描述的是这个图形自身具有的对称性质；沿对称轴折叠后，图形被分成的两部分能够互相重合。 3.一个轴对称图形的对称轴可以只有一条，也可以有多条，甚至无数条。 例如，等腰三角形只有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，圆有无数条对称轴。 知识点二、两个图形成轴对称 定义：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后互相重合的点叫做对应点（也叫对称点）。 说明：图形的轴对称既指“由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合”这一图形变换，也指经过这种变换后两个图形之间的对称位置关系。 知识点三、轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系 比较项 轴对称图形 两个图形成轴对称 研究对象 一个图形自身的对称性 两个图形之间的位置关系 折叠方式 沿对称轴折叠后，图形自身的两部分互相重合 沿对称轴折叠后，一个图形与另一个图形重合 对称轴条数 可能有一条、多条甚至无数条 通常只有一条 常见例子 等腰三角形、正方形、圆 关于直线l对称的两个三角形 联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，这个整体就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分成的两部分看成两个图形，那么这两个图形成轴对称。 知识点四、两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。 （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形。如下图1，若△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则直线l垂直平分AA′、BB′、CC′，且△ABC≌△A′B′C′，故AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′。 补充性质：成轴对称的两个图形中，对应线段所在直线若相交，则交点必在对称轴上。 图1　△ABC与△A′B′C′关于直线l对称 知识点五、作轴对称图形 一般步骤： 1.找出图形中的关键点，如线段的端点、三角形的顶点； 2.分别作出各关键点关于对称轴的对称点。 3.按原图形中关键点的顺序，顺次连结各对称点，所得图形即为所求。 检验方法：各对应点的连线均与对称轴垂直，且被对称轴平分。 知识点六、常见图形的对称轴 图形 对称轴条数 对称轴位置 线段 2 它本身所在直线；它的垂直平分线 角 1 角平分线所在直线 等腰三角形（非等边） 1 底边上的高（中线、顶角平分线）所在直线 等边三角形 3 三条边上的高所在直线 长方形 2 两组对边中点连线（两组对边的垂直平分线） 正方形 4 两组对边中点连线、两条对角线所在直线 圆 无数条 任意一条直径所在直线 平行四边形（非矩形、菱形） 0 无 说明：判断对称轴条数，关键看沿该直线折叠后图形能否与自身重合。一般的平行四边形沿任何直线折叠都不能与自身重合，故不是轴对称图形。 ✺题型精讲 题型1.轴对称图形的识别 1．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；依次进行选择即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，不合题意； C．是轴对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不合题意． 2．某校开展“衣加衣”温暖活动，同学们积极响应号召，踊跃捐衣，校团支部为本次活动设计了一个“众志成城，奉献爱心”的图标．如图，图标中两圆的大小关系是______． 【答案】相等 【分析】本题主要考查圆的大小关系，根据两个圆的半径长度及轴对称图形判断即可． 【详解】解：∵从图中可以看出，构成心形图标的两个圆，它们的半径长度是一样的，且图标是轴对称图形，根据圆的大小由半径决定，半径相等的圆，其大小相等． ∴图标中两圆的大小关系是相等； 故答案为：相等． 3．如图（1）～（10）所示的图案都是对称图形（其中（2）（5）（7）（9）表示两个图形），请观察并指出，哪些图案是轴对称图形？哪些图案成轴对称？    【答案】轴对称图形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；两个图形成轴对称的有（2）（5）（7）（9） 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：根据轴对称的定义可知，轴对称图形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；两个图形成轴对称的有（2）（5）（7）（9）． 题型2.成轴对称的两个图形的识别 1．下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据成轴对称的性质，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，只有选项B中的两个字母“F”关于镜面成轴对称，其它选项中的两个字母“F”的对应点连线与镜面不垂直，不成轴对称. 2．如图所示，两个图形成轴对称的有__________只填写序号 【答案】 【分析】本题考查了两个图形成轴对称，两个图形成轴对称的关键是寻找对称轴，两个图形折叠后可重合．根据两个图形成轴对称的概念求解即可． 【详解】解：根据两个图形成轴对称的概念可得：的两个图形成轴对称， 故答案为： 3．如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 【答案】对应角是和和和．对应线段是和和和 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，熟练掌握成轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的角叫对应角，能够重合的线段叫对应线段． 【详解】解：对应角是和和和．对应线段是和和和． 题型3.根据轴对称图形的特征进行判断 1．如图，与关于直线l对称，下列所连线段中，不能被直线l垂直平分的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形中，对称轴垂直平分对应点所连线段，即可进行判断． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴点A与点D是对应点，点B与点E是对应点，点C与点F是对应点， ∴直线l垂直平分线段、、， ∵C与D不是对应点， ∴线段不能被直线l垂直平分． 2．观察图中的各组图形，其中成轴对称的是__________．（请填写序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了生活中的轴对称问题；轴对称的关键是寻找对称轴，观察直线两边图象折叠后可重合是正确解答本题的关键． 观察所给的图形，按照直线两旁的部分是否能够互相重合来判断是否符合要求． 【详解】解：观察所给图形可知③④不对称，成轴对称的为①②． 故答案为：①②． 3．在图形中标出点、和关于直线的对称点． 【答案】 【分析】对称前后图形全等，各点、线段、角一一对应，形状、大小不变，据此找、和对应的点． 【详解】略 题型4.根据轴对称图形的特征进行求解 1．如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质得到，结合周长的计算即可求解． 【详解】解：∵、分别是P关于、的对称点， ∴， ∵的周长， ∴的周长 ． 2．如图，四边形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴，，，则四边形的周长为_____． 【答案】11 【分析】根据轴对称图形的性质可得到、的长度，即可计算四边形的周长． 【详解】解：四边形是关于对角线对称， ，， 四边形的周长为． 3．如图，中，，点M，N分别在边，上，连接，且和关于直线对称． (1)若，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵在中，，（已知）， ∴________（    ）． ∵和关于直线对称（已知）， ∴________（成轴对称的两个图形对应角相等）． ∴． (2)若，，则的周长为________． 【答案】(1)；； (2)14 【分析】（1）根据三角形内角和定理、轴对称的性质等补充解答即可； （2）根据轴对称的性质得出，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：∵和关于直线对称， ∴， ∴， 又，， ∴的周长为. 题型5.画对称轴 1．下列图形中，对称轴最多的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对称轴，对称轴指的是一个图形沿着对称轴对折后，折痕两侧能够完全重合的直线．画出各图形的对称轴即可求解． 【详解】 解：A．对称轴有1条； B．对称轴有4条； C．对称轴有2条； D．对称轴有5条； 综上可知，对称轴最多的图形是， 故选D． 2．如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的______就是该图形的对称轴． 【答案】垂直平分线（或中垂线） 【分析】根据轴对称图形的对称轴的定义，即可求解． 【详解】解：∵轴对称图形对称点的连线被对称轴垂直平分， ∴连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴． 故答案为：垂直平分线（或中垂线）． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的对称轴的定义，理解并掌握对称轴的定义——连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴是解题的关键． 3．找出下列图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴． 【答案】轴对称图形为(1)、(3)、(5)；对称轴绘制如下： 【详解】略 题型6.求对称轴条数 1．下列图形中有且只有3条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，有条对称轴，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，有条对称轴，不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，有条对称轴，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，有条对称轴，符合题意． 2．如图，观察这些轴对称图形，按照它们对称轴条数的多少从少到多依次排列为：________． 【答案】④①②③ 【分析】本题考查了求对称轴条数，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：如图所示，图①的对称轴的条数是条，图②的对称轴的条数是3条，图③的对称轴的条数是4条，图④的对称轴的条数是1条， ∴按照它们对称轴条数的多少从少到多依次排列为：④①②③． 3．（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    【答案】（1）3， 4，5， 6，7， 8； （2）n； （3）如图所示，在图①中直线l即为所求；在图②中直线m即为所求．    图②也可以如下作法．    【分析】（1）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （2）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （3）利用正六边形有偶数条边，画出正六边形的对称轴即可，利用全等三角形的性质或等腰三角形的性质画正五边形的对称轴即可． 【详解】解：（1）正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴， 正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴， 正七边形有7条对称轴，正八边形有8条对称轴； （2）一个正n边形有条对称轴； （3）略 【点睛】本题考查的是正多边形的性质，理解正多边形是轴对称图形，正多边形有几个顶点就有几条对称轴是解本题的关键． 题型7.画轴对称图形 1．如图，在的正方形网格中，已知点A，B，C是网格线的交点，请你再找一个点D（点D是网格线的交点，且与点A，B，C不重合），使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的性质，分类讨论不同的对称轴求解即可． 【详解】解：情况1：以垂直平分线为对称轴 情况2：以垂直平分线为对称轴 情况3：以直线为对称轴 情况4：以直线为对称轴 综上，符合条件的点共有4个． 2．如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键； 由轴对称图形的性质可知：点到直线的距离为，则，，由此求得即可． 【详解】解：解：由已知正六边形和正六边形关于直线对称，因此是对称轴， ， 点到直线的距离为， ， ； 故答案为： 3．如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 【答案】 解：如下图即为所求， 【分析】分别作出特殊点关于直线的对称点，顺次连接对应点得到的图形即为所求． 【详解】略 题型8.设计轴对称图案 1．如图由正六边形与两条对角线所组成，添加一条对角线使整个图形是轴对称图形，添加方法有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由轴对称图形的定义添加验证即可． 【详解】解：如图所示： 添加一条对角线使整个图形是轴对称图形，添加方法有种． 2．在如图的正方形网格上画有两条线段．现在要再画一条，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，能满足条件的线段有______条． 【答案】4 【详解】解：如图所示： 能满足条件的线段有4条． 3．如图，在正方形网格中已有个小方格涂成了阴影，请从其余的小方格中选一个涂成阴影，使整个阴影图形成为轴对称图形，用种不同的方法在图中补全图形，并画出相应的对称轴． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的概念作图即可． 【详解】略 题型9.台球桌面上的轴对称问题 1．如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解题意，掌握碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角是解题的关键． 根据黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角，轴对称图形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角， ∴最后进入的球洞的序号是①， 故选：A ． 2．如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 【答案】675 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．根据反射角与入射角的定义，可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：根据题意，得到如下反射图， 根据图形可得，从点P开始，发光电子与长方形的边，每碰撞6次为一个循环组，且每次循环发光电子与边碰撞2次， 因为， 故它与边的碰撞次数是 （次）． 3．如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 【答案】 解：如图所示，白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 【分析】本题是日常生活中常见的台球问题，通过感知并描述台球的运动规律，想象出小球被撞击后的运动路线，可利用轴对称的性质作出图形，培养了空间观念和应用意识．要使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N，可画点M关于的对称点，连接交于点O，则沿方向撞击白球可满足要求． 【详解】解：画点M关于的对称点；连接交于点O，则白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 理由：由轴对称性质得． 又∵， ∴． ∴白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 题型10.轴对称中的光线反射问题 1．如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔所处的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为（两束光线关于过点且垂直于的直线对称），且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反射角等于入射角，由题意得，，然后通过三角形内角和定理即可求解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵，, ∴， ∴， 故选：． 2．如图，平面镜与水平线成角放置，入射光线与水平线成角射到平面镜的点，则反射光线与入射光线的夹角（即）的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据题意以及三角形的外角的性质求得，结合平角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， 依题意，， ∴． 3．项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 【答案】 （1）3 （2）5 （3）7 （4） 【分析】本题考查了折射的提醒，在于观察生活以及对物体成像的理解，较为抽象，比较难懂，解题关键在于熟悉知识体系， 根据两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，然后分别解答即可. 【详解】解：（1）原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 故答案为：3. （2）由题可知，当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为5． 故答案为：5. （3）如图：可知当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为7． 故答案为：7. （4）两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，故当“镜子门”张角的大小为（且能被360整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为． 故答案为：. 题型11.折叠问题 1．如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．48 D．56 【答案】C 【分析】利用折叠的性质得到对应线段相等，将阴影部分周长中的线段等量代换，转化为长方形的周长，代入数值计算得到结果． 【详解】解：根据折叠的性质，得，，， ∴阴影部分图形的周长 ． 2．把长方形沿着直线对折，折痕为，对折后的图形的边恰好经过点C．若，则______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质，平行线的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴. 3．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将一张三角形纸片沿折叠，点C落在点处．已知，则是多少度？ 【答案】 【详解】解：由折叠可得， ∵ ∴． 题型12.车牌号码的镜面对称 1．一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查镜面对称性质，属于简单题，关键在于能够理解镜面对称性质.根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，据此作答即可. 【详解】根据镜面对称的性质，可以得到号码为， 故选：B. 2．若看到镜子中的一串数字为  ，则这串数字实际是___________． 【答案】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．解决此类题应认真观察，注意技巧． 【详解】 解：若看到镜子中的一串数字为  ，则这串数字实际是， 故答案为：． 3．从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为多少？ 【答案】 【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【详解】解：∵是从镜子中看， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这串数字应为． 题型13.钟表的镜面对称 1．小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了镜面对称，熟练掌握镜面反射的原理与性质是解题的关键． 根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，即可解答． 【详解】解：根据镜面对称的性质可得拍照的时刻应是， 故选：C． 2．小龙开始学习时，从镜中看时间是下午，结束时实际是下午，他学习了( )小时． 【答案】1 【分析】镜中时间与实际时间关于钟表上过数字和的直线对称，先求出开始学习的实际时间，再用结束实际时间减去开始实际时间得到学习时长． 【详解】解：根据镜面对称的性质，镜中显示的，对称后得到实际开始时间为下午，已知结束实际时间为下午， 计算学习时长：（小时）． 3．平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，的实际时间应该是． 故答案为： 题型14.电子钟示数的镜面对称 1．李叔叔开车回家，在路中等红灯时，从车子的后视镜里看到了后面的公交车，如图所示，根据图中信息，可以判断出该公交车是多少路？（    ） A． B． C． 【答案】C 【分析】根据镜子中看到的像正好与现实相反可得答案． 【详解】解：从车子的后视镜里看到了后面的公交车为路公交， 该公交车是路， 故选：C． 【点睛】本题考查了镜面对称的知识，熟知在镜中看到的像与现实的像正好相反是解本题的关键． 2．李明从平面镜中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是_____________ 【答案】 【分析】本题主要考查了镜面对称的特点，掌握其特点：上下前后方向一致，左右方向相反是解题的关键． 根据镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称求解即可． 【详解】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的轴对称， 注意镜子中的2实际应为5，电子表的实际时刻是． 故答案为：． 3．电子钟示数“”在平面镜中的像为__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质．平面镜成像左右颠倒，数字本身也左右翻转；数字1对称，翻转后仍为1；数字2翻转后像5；冒号对称，不变；左右位置互换，因此平面镜中的像为． 【详解】解：电子钟显示“”，在平面镜中左右颠倒，数字翻转：数字1对称，翻转后仍为1；数字2翻转后像5；冒号对称，不变； 左右位置互换，实际右边分钟22翻转后为55移到左边，实际左边小时11翻转后为11移到右边，故平面镜中的像为“”． 故答案为． 题型15.最短路径问题 1．如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于． 根据两点之间，线段最短，可知选项铺设的管道，所需管道最短． 故选：D． 2．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】 【分析】此题主要考查了最短路线问题，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时点到与的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ，此时点到与的距离和最小， 过作，延长与交于点， ， ，，且， ， ， ， 点与点的距离是， 故答案为：． 3．如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 【答案】10 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边关系的应用，如图，连接，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接． ∵是的垂直平分线，点是直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵， ∴的最小值为10． 题型16.线段问题(轴对称综合题) 1．小王计划在街道1上建一个送奶站，向小区提供牛奶，要使小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的选址正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的相关知识点，作出点（或点）关于街道l的对称点即可求解． 【详解】解：选项D中： ∴当三点共线时，的值最小，满足题意； 故选：D 2．如图，在锐角中，平分，点，分别是和上的动点．若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，作关于的对称点，由平分，，得到点一定在上，过作于，交于，连接，则此时，的值最小，的最小值，过作于，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：如图所示， 作关于的对称点， 平分， 点一定在上， 过作于，交于，连接， 则此时，的值最小，的最小值， 过作于， 的面积为，长为， ， 垂直平分， ， ， ， 的最小值是， 故答案是：． 3．如图，的内部有一点P，在射线上各取一点，，使得的周长最小，作出点，，叙述作法，保留作图痕迹． 【答案】 即为所求． 【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小问题， 作点P关于射线，的对称点E，点F，连接交于点，交于点，依次连接可得答案，再根据轴对称可知的周长为，然后根据“两点之间，线段最短”，可知此时的周长最小． 【详解】解：∵，， ∴的周长为． 根据两点之间，线段最短，可知此时的周长最小． 题型17.面积问题(轴对称综合题) 1．如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 【答案】8 【分析】连接，过点O作，根据三角形的面积求出，再根据对称性可得，，从而得出，然后根据三角形的面积公式得．可知当点P与点H重合时，取最小值，的面积最小，由此可得答案． 【详解】解：连接， ∵点P关于的对称点是，点P关于的对称点是， ∴，，， ∵， ∴当在线段上时，， 当在左侧时，， 当在右侧时，， 综上所述是等腰直角三角形， ∴， 过点O作，交的延长线于点H， ，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值，即， ∴的面积最小值为． 2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的均在格点上，位置如图所示． (1)请画出关于直线对称的； (2)连接、，并计算四边形的面积． 【答案】(1) 根据轴对称的基本作图，画图如下： 则即为所求． (2)24 【分析】（1）根据对称点到对称轴的距离相等且与对称轴垂直，确定对称轴点，后依次连接得到图形即可． （2）利用梯形的面积公式计算即可． 本题考查了轴对称图形的基本作图，图形的面积计算，熟练掌握轴对称基本作图是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意，得四边形的面积为． 3．如图，和的顶点都在边长为的正方形网格的格点上，且和关于直线成轴对称． (1)直接写出的面积； (2)请在如图所示的网格中作出对称轴直线； (3)请在直线上作一点，使得最小．保留必要的作图痕迹 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用割补法，用一个正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解； （2）利用网格特点作的垂直平分线即可得到对称轴； （3）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）的面积； （2）如图，直线为所作； （3）如图，点为所作． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，割补法求面积，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型18.角度问题(轴对称综合题) 1．如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 2．如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为________．    【答案】/度 【分析】作点关于的对称点，连接，，，得，；作点关于的对称点，连接，，，得，；根据；，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】作点关于的对称点，连接，，； ∴，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，， ∴ 当，，，共线时，周长最短 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴在中， ∴ ∵， ∴ ∵ 故答案为：．    【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换． 3．在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸片中，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处；再将沿折叠，使点落在点处，且，，三点在同一条直线上． (1)求的大小； (2)图2是由图1得到的四边形纸片，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，根据平角的定义，即可求解； （2）由（1）可知：，根据折叠的性质设，，根据平角的定义可得，，解方程求出，，结合四边形的内角和是，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，由图形折叠的特征可得：，， ， ， ． （2）解：如图2： 由（1）可知：， 设，， 则，， ∵，， 故，， 解得，， 在四边形中，， 在四边形中，． 题型19.其他问题(轴对称综合题) 1．如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是______．    【答案】/ 【分析】由轴对称的性质可知，，点M在以A为圆心，5为半径的圆上，进而得出当点M在上时，长度最小，即可得到答案． 【详解】解：是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点， ， 点M在以A为圆心，5为半径的圆上， 当点M在上时，长度最小，此时， 故答案为：．    【点睛】本题考查了轴对称的性质和轨迹问题，解题关键是利用轴对称的性质确定点M的运动轨迹． 2．如图，正方形网格中． (1)画出关于直线对称的图形；（点，，的对应点分别为点，，，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．下同） (2)在直线上找一点，使周长最小． 【答案】(1)，即为所作 (2)，点即为所作 【分析】本题考查了轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质找点，，关于直线对称的对应点，，的位置，依次连接即可作答； （2）要使周长最小，即要使得最小，是定值，则只要最小，即可；连接交直线于点P，连接、，问题得解． 【详解】（1）解析见详解 （2）作图见详解 按照典型的“将军饮马”问题解决方法即可证明． 3．如图，在的正方形网格中，点A、B、C都在格点上点D是与网格线的交点且，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)作边上高． (2)画出点D关于的对称点F； (3)画射线，平分． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，点即为所求； (3) 如图，即为所求； 【分析】（1）取格点，连接交于点，线段即为所求； （2）作线段关于直线的对称直线与网格线的交点即为所求； （3）延长到点，使，找到中点，与点连接并延长，即为． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查作图—轴对称变换等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，灵活运用所学知识解决问题． ✺课堂小练 一、单选题 1．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意； A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意． 2．下列图形中是轴对称图形且对称轴条数最多的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．正五边形 D．圆 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴条数，需明确各选项图形的对称轴数量，再通过比较得出结果． 【详解】解：∵等腰三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，圆有无数条对称轴． 又∵无数条5条4条3条， ∴对称轴条数最多的是圆， 故选：D． 3．明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了镜面对称的性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称，然后分别求出每个选项中的时间，进而求解即可． 【详解】解：A、实际时间大约为； B、实际时间大约为； C、实际时间大约为； D、实际时间大约为； ∴实际时间最接近的是． 故选：D． 4．如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可得解． 【详解】解：由题意可得，，，故A、B、C正确，不符合题意． 5．如图，一束光线从上的点发出，经过平面镜上的点反射后，其反射光线与平行，若测得，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得出，结合反射性质，再利用三角形外角性质建立方程求解即可． 【详解】解：， （两直线平行，同位角相等）， 由光的反射性质可知， ， 是的外角， ， ， ， ． 二、填空题 6．一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为_____________． 【答案】 【分析】解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．根据所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】 解：作汽车牌照在水中的倒影关于水平方向的轴对称图形，如图所示： ∴该汽车牌照号码为． 故答案是：． 7．如图，由△ABC经过怎样的变换得到△DEC．答：_______． 【答案】轴对称（或翻折变换） 【分析】根据网格结构和几何变换的特点解答． 【详解】解：如图，△ABC沿虚线翻折变换得到△DEC． 故答案为：轴对称（或翻折变换）． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握网格结构和几何变换的特点是解题的关键． 8．如图，已知，为内部一点，，分别为射线、射线上的两个动点．当的周长最小时，_______． 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，作关于，的对称点．连接．，的周长，则当，是与，的交点时，此时的周长最短， 关于对称， ∴， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， ． 9．如图，将一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，，结合平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，最后利用平行线的性质求出的度数. 【详解】解：如图， 由折叠的性质可得，， 四边形是长方形， ， ， ， ， ， ， ， ， . 10．如图，在中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了线段最短问题，轴对称，解题的关键是正确作出辅助线． 作，交于点E，作点E关于的对称点，关于的对称点． 将转化为求线段的长度；再利用三角形面积公式求出边上的高，进而得到的最小值． 【详解】解：作，交于点E， ∴为到的垂线段，即高，是的最小值， 作点E关于的对称点，关于的对称点． ∴，，则． 当M，N与C重合时，， ，， 路径 ∴当、N、M、共线时，和最小，即的长度． ， ∴，即、C、共线， 故． 面积， 又，即， 解得．   ∴，即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 11．如图，在正方形网格中，点，，均在格点上．用无刻度直尺按要求画图（不写画法，保留画图痕迹）． (1)在图1中，画出关于直线对称的； (2)在图2中，已知与成轴对称，在图中画出对称轴； (3)如图3，方格纸上有两条线段，请在图3中补画一条线段，将其补成一个轴对称图形（在网格中画出所有符合条件的线段）． 【答案】(1)，即为所求 (2)，直线即为所求 (3)，线段、、即为所求 【分析】（1）根据轴对称的定义，结合网格的特点确定点、、的位置，连接、、，则即为所求； （2）连接，结合网格的特点画出的垂直平分线，则直线即为所求； （3）根据轴对称的定义，结合网格的特点即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作法： 以竖直线段为轴对称，在竖直线段的左侧画出线段，使线段与斜线段关于竖直线段对称； 以竖直线段的垂直平分线为轴对称，在斜线段的上方画出线段，使线段与斜线段关于竖直线段的垂直平分线对称； 以斜线段为轴对称，在竖直线段的上方画出线段，使线段与竖直线段关于斜线段对称． 12．如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． (1)在图1中，画出线段的中点； (2)如图2，在直线上找一点，连接和，使的值最小． 【答案】(1) 解：如图1，点即为所求． (2)如图2，点即为所求． 【分析】本题考查了网格作图、线段中点的性质及轴对称求最短路径（两点之间线段最短），解题关键是利用网格的对称性和格点特征构造辅助线． 小问1：选择格点C、D，通过证明，再利用全等三角形的性质即可得到的中点． 小问2：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求点． 【详解】（1）略 （2）略 13．如图1，将一条两组对边分别平行的纸带两侧进行折叠，折痕分别是、，点、、、折叠后对应的点分别是、、、，点在线段上． (1)若，则 ； (2)说明的理由； (3)如图2，延长交于点，将四边形沿折叠得到四边形，记，试用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)由折叠可知：，， ， ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据折叠的性质和平角定义求解； （2）由折叠可知，，则可推出，由，得，则题目可证； （3）由平行可得，则，，故可解． 【详解】（1）解：通过折叠可知，， ， ， ； （2）略 （3）解：， ， ， ， ． 14．科学实验证实光的反射规律：光线入射至平面镜发生反射时，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角．即下图中； (1)窗外一束光从C处斜射到平面镜上的点E处，小明转动手中的平面镜，使反射光线恰好照到黑板上的点D处．请在图①中使用无刻度的直尺和圆规画出平面镜所在位置（平面镜用线段表示，铅笔加黑加粗，保留作图痕迹）； (2)在图②中，有，．设镜子与的夹角．若，入射光线与反射光线的夹角．求的度数； (3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面反射到镜面，再反射到镜面，最后经镜面反射后，当反射光线与入射光线平行时，探索m与γ的数量关系，并说明理由； (4)如图④，若，已知入射光线与镜面平行，经过次反射后，反射光线按原路返回，请直接写出α满足的条件． 【答案】(1)如图所示，线段即为所求； (2) (3)，理由如下： 延长和，交点为，如图所示： 由（2）的思路可得，， ， ∵， ∴，即， 整理得，， ， 即． (4)（为正整数，） 【分析】（1）延长，作出邻补角的平分线即可，根据角平分线以及对顶角相等即可得到； （2）根据三角形内角和，利用对顶角相等得，，再利用三角形内角和结合等量代换即可求解； （3）延长和，交点为，由（2）得，根据平行线的性质即可求解； （4）分别求出时的度数，然后总结出一般规律即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）略 （4）解：当时，如图，时，反射光线按原路返回， ∵ ∴，即； 当时，如图，时，反射光线按原路返回， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，解得，即 当时，如图，当时，反射光线按原路返回， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴在中，，解得，即； 当时，如图，当时，反射光线按原路返回， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，，解得，即， 依次类推，经过次反射后，反射光线按原路返回，α满足的条件为（为正整数，）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $