2.4 等腰三角形的判定定理9大题型（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦等腰三角形“等角对等边”判定定理及等边三角形的判定，系统梳理与性质定理的区别，构建从定理证明、基础应用到复杂几何问题的学习支架，助力学生形成完整知识体系。 该资料通过题型分层设计，典例精析与变式巩固结合，培养学生推理能力与几何直观，格点图等情境题发展空间观念，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生强化练习、查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

第二章 特殊三角形 2.4 等腰三角形的判定定理 课标要点 1. 掌握等腰三角形“等角对等边”判定定理，明晰定理的文字表述与核心内涵。 2. 能规范完成判定定理的推理证明，提升几何逻辑推理与严谨表达能力。 3. 会运用判定定理解决线段相等、三角形形状判断等基础几何问题。 学习重难点 重点： 1. 透彻理解“等角对等边”判定定理，准确区分判定定理与性质定理的差异。 2. 熟练掌握判定定理的应用场景，精准判断三角形是否为等腰三角形。 3. 规范书写几何证明步骤，依托定理完成简单几何题型的完整解答。 难点： 1. 厘清性质与判定的因果关系，避免混淆“等边对等角”与“等角对等边”。 2. 在复杂几何图形中，精准识别隐含等角条件，灵活运用判定定理解题。 3. 结合平行线、角平分线等知识，综合运用定理解决复合型几何问题。 知识点一 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 总结： 特别提醒 运用等腰三角形“等角对等边”判定时，需保证角和边在同一三角形内，不可跨三角形判定。严格区分判定与性质，判定是由角证边等，性质是由边等推角等。解题需找准等角条件，杜绝凭图形直观判断，保证推理严谨规范。 即学即练 1．如图，已知中，，于，于，相交于点．求证：． 【答案】证明：∵于，于， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【分析】证明即可求证． 【详解】略 2．如图，在中，，点E，F分别在，上，，与相交于点P． (1)求证：； (2)请直接写出图中其他相等的线段． 【答案】(1) 证明；∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定， 对于（1），先根据“等边对等角”得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据角的和差得，最后根据“等角对等边”得出答案； 对于（2），根据全等三角形的对应边相等得，再根据线段的和差说明另外两组即可． 【详解】（1）略 （2）解：，，． ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴． 知识点二 等边三角形的判定 1、判定： ①三条边都相等的三角形是做等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 2、等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 特别提醒 判定等边三角形需区分三种判定方法：三边相等、三角相等、有一个角为60°的等腰三角形。解题优先观察图形是否为等腰三角形，再结合60°角判定，切勿混淆判定条件，不可仅凭目测图形等边，需严格依据定理推理证明。 即学即练 3．已知a，b，c是的三边长．若，试判断的形状． 【答案】等边三角形 【分析】根据等式得出，即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 即， ∴是等边三角形． 4．如图，用两个含角且大小相同的三角板（和）摆放在一起，两直角顶点重合，点D恰好落在边上．求证： (1)为等边三角形； (2)． 【答案】(1) 证明：依题意得，， ∴是等边三角形． (2) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，平行线的判定，三角板中角度的计算，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据题意可得，，据此可证明结论； （2）根据等边三角形的性质和三角板中角度的特点可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 题型01 根据等角对等边证明等腰三角形 典｜例｜精｜析 1．如图，平分．试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由． 【答案】解：图中的等腰三角形是、、，共3个； 理由：在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， 在中： ， ∴ ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】在中，根据三角形内角和定理得出，则，是等腰三角形；根据平分，得出，在中根据三角形内角和定理得出，则，，即、是等腰三角形． 【详解】略 变｜式｜巩｜固 2．在中，，平分，平分，过O点作，使， (1)图中又会有几个等腰三角形？ (2)仍然成立吗？ 【答案】(1)图中有2个等腰三角形 (2)解：成立，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此和是等腰三角形； （2）由（1）得到，，根据线段的和差即可得到． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和是等腰三角形． 综上所述，图中有2个等腰三角形． （2）略 3．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵与是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】先证明，得出，再证明，得出，最后根据等腰三角形的判定方法，得出结论即可． 【详解】略 4．如图，在中，点在边上，连接，，的角平分线交于点，交于点，求证：． 【答案】证明：∵平分角， ∴， ∵， 又∵， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 【分析】由角平分线得到，再由推出，再利用三角形的外角性质证明，进而推出． 【详解】略 题型02 根据等角对等边证明边相等 典｜例｜精｜析 5．如图，在和中，与相交于点E，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴． 【分析】（1）利用即可证明； （2）利用全等三角形对应角相等得到，再根据等角对等边即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 变｜式｜巩｜固 6．如图，在等边三角形中，是的中点，延长到点，使，求证：． 【答案】证明：是等边三角形， ． 是中点， 平分， ． ， 为等腰三角形，． 又是的外角， ， ，得． ， ． 【分析】利用等边三角形性质得到角度，结合等腰三角形外角性质，证明，根据等角对等边得证． 【详解】略 7．如图，点C，D在上，，，，，相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：在和中， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论； （2）利用全等三角形的对应边相等得到，再根据等角对等边得到，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 8．在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 【答案】 【分析】先运用平行线的性质推出，，再运用角平分线的性质推出，，运用等量代换结合等角对等边的性质推出，，最后根据，代入数值即可求解． 【详解】∵， ∴，， ∵平分， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型03 根据等角对等边求边长 典｜例｜精｜析 9．如图，在中，，分别平分，交于点，过点作交于点，交于点．若，，则等于_______． 【答案】5 【分析】首先根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质可知，从而可知，根据等角对等边可证，同理可证，再根据线段的和与差求出的长度． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 变｜式｜巩｜固 10．如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．如图，在中，的平分线交于点，交于点．如果，，那么_________． 【答案】 9 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义证得，从而得到，再结合求出，最后由求解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ，， ， ． 12．如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作分别交、于、，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．不确定 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的判定证明，即可求解． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴ ，又， ∴ ， ∴， ∴， 同理可得：， 的周长 ． 题型04 格点图中画等腰三角形 典｜例｜精｜析 13．在网格中，网格线的交点称为格点．已知O，A是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得为等腰三角形，那么满足条件的P点请在图中找出． 【答案】 【分析】结合图形，利用格点，分以和为腰时；以和为腰时；以和为腰时，三种情况进行讨论，即可解决． 【详解】解：以和为腰时，符合条件的等腰有6个， 以和为腰时，符合条件的等腰有5个， 以和为腰时，此时顶点P在格点上的情况不存在， ∴符合条件的等腰有11个． 变｜式｜巩｜固 14．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分为等腰三角形的底边和为等腰三角形的一条腰两种情况讨论即可． 【详解】解：如图所示： ①为等腰三角形的底边，符合条件的点C有个； ②为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C有个； 故符合条件的点C共有个． 15．在的方格纸中，点，，都在格点上，请按下列要求作图． (1)在图1中画出格点，使为等腰三角形（画一个点即可）． (2)在图2中画出格点，使． 【答案】(1)如图，点D即为所求；（画一个点即可） (2)如图，点E即为所求； 【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质，求解即可． （2）构造平行四边形求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 16．由边长为1的小正方形构成的10×12的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成画图（仅用无刻度的直尺）： (1)如图1，画出，使得与关于直线对称； (2)如图2： ①在上方画出，使得是以为底的等腰三角形，且顶角为； ②画出，使得． 【答案】(1) 如图所示． (2) 如图所示； 如图所示． 【分析】（1）根据轴对称的性质确定关于直线的对应点，然后再顺次连接即可； （2）①根据网格特点和等腰三角形，直角三角形的特点，在上方作图即可； ②根据网格的特点和全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】（1）略. （2）略. 题型05 找出图中的等腰三角形 典｜例｜精｜析 17．在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 【答案】(1)图中共有5个等腰三角形 (2)，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据得到是等腰三角形，根据平行线的性质得出，因此是等腰三角形．根据角平分线的定义得出，因此是等腰三角形．根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，因此，都是等腰三角形，即可解答； （2）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此根据线段的和差得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴，， ∴，，即，都是等腰三角形． 综上所述，图中共有5个等腰三角形． （2）略 变｜式｜巩｜固 18．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 19．如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，掌握等角对等边的性质是解题的关键． 先计算各角的度数，利用角平分线性质、全等三角形判定，结合等角对等边逐一判定等腰三角形的个数． 【详解】解：在中，， 是的平分线， 是角平分线，，∴点到和的距离相等，即，∴是等腰三角形； 在和中，，，是等腰三角形； 在中，，是等腰三角形； 在中，且，是等边三角形，， 在中，，，是等腰三角形； 综上所述，图中的等腰三角形有△BDE、△ABE、△ACD、△BEC，共4个． 故选：C． 20．如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点B为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】(1)、 (2)、 (3)等腰三角形有、；等边三角形有：． 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行解答即可； （3）根据等腰三角形定义和等边三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：以点B为顶点的三角形有：、； （2）解：以为边的三角形有：、； （3）解：，， ∴等腰三角形有、； ， ∴等边三角形有：． 题型06 等腰三角形的判定 典｜例｜精｜析 21．如图，已知在中，，，，交于，求证：． 【答案】证明：取中点，连接并延长至点，使，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【分析】取中点，连接并延长至点，使，连接，证明，得出，，导角求出，证明，得出，则，根据等边对等角求出，则，根据等角对等边得出，即可得证. 【详解】略 变｜式｜巩｜固 22．如图，在中，点D、C在上，连接、，，，过点F作于E． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：是的外角， ， ，，， ， ， 是等腰三角形． (2)证明：由（1）得， ， ． 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，再由，可证明，得到，则是等腰三角形 （2）由三线合一定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 23．已知，D是上一点，于E，的延长线交的延长线于F，试说明是等腰三角形的理由． 【答案】解：， ， ， ， 在中，； 在中，， 又， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】根据等腰三角形的性质得到，再根据等角的余角相等得到，再由，可得，即可判定是等腰三角形． 【详解】略 24．如图，在中，，垂直平分，分别交，于点，，且满足． (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由等腰顶角求底角，依托三线合一得到，借助三角形外角建立角度等式算出； （2）利用三线合一推出，对周长做线段等量代换，结合转化线段，代入长度求出周长． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 解得； （2）∵，， ∴， ∴， ∴的周长：， 由（1）知：， ∴， ∴的周长：． 题型07 等边三角形的判定 典｜例｜精｜析 25．如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 【答案】证明：∵是中线， ∴，即， ∵， ∴， 如图，在的延长线上截取，连接， ∴，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】根据已知条件得到，在的延长线上截取，连接，得到，得到，由等腰三角形的判定得到，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】略 变｜式｜巩｜固 26．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 27．如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)若，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）由得到，即可通过“”证明； （2）由垂直的定义得到，根据角的和差得到，由得到，，即可得出，从而根据等边三角形的判定得出是等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 28．如图，已知：中的垂直平分线分别交边，于点、，，垂足为点，，延长与的垂直平分线交于点，连接． 求证：是等边三角形． 证明：， （ ）， ，又， ， 垂直平分， （ ）， （ ）， （ ）， ， ， 是等边三角形（ ）． 【答案】垂直定义；；；线段垂直平分线上的点到线段两点的距离相等；；等边对等角；三角形内角和定理；三个内角相等的三角形是等边三角形 【分析】根据垂直定义得，根据三角形内角和定理得，再根据线段垂直平分线性质得，进而根据等边对等角得，再根据三角形内角和定理得，则，由此可判定△是等边三角形． 【详解】略 题型08 等腰（边）三角形存在性问题 典｜例｜精｜析 29．已知：在中，． (1)如图1，，分别为两腰上的中线．求证：； (2)如图2，若点为上任意一点，试问，在上是否存在点，使？若存在，请添加一个条件（不再添加其它字母），并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：，、分别是两腰上的中线， ，， ． 在和中： ， ， ． (2)解：存在，添加条件：． 证明：， 又， 在和中： ， ， ． 【分析】（1）已知，、为两腰中线，可得，结合公共角，通过证得． （2）已知，添加后，结合公共顶角，可证，由全等对应边相等得． 【详解】（1）略 （2）略 变｜式｜巩｜固 30．如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)的长为______；（用含t的代数式表示） (2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据动点运动情况，得到，作差即可得到； （2）当点B在线段的垂直平分线上时，，列方程求解即可； （3）连接，由对称可知，再借助，可知，故可以得出，进而推出，再利用垂直关系和等腰三角形三线合一的性质，由此得到此时点P是的中点，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴，即， 解得； （3）解：存在， 如图，连接， 由对称的性质，可知， 当，则， ∴， ∴， 又， ∴，即， 解得． 31．如图，已知长方形中，，，为边的中点，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着方向运动（不与点重合），设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，求的值； (2)当点在边上运动时： ①用含的代数式表示：________，________； ②求出与之间的关系式； ③是否存在点使得的周长最小，若存在，请先在备用图中找到点，并直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)22.5 (2)①；；②；③存在，面积为18 【分析】本题考查了三角形面积求法等知识，轴对称的意义，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键： （1）当时，判断出点P在上，利用三角形的面积公式得出结论； （2）①根据线段的和差关系求解即可； ②根据割补法求解即可； ③先找出点E关于的对称点F，连接交于点P，即可得出结论；分别判断、是等腰直角三角形，可得出，从而求出x的值，最后代入②中关系式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，点P在上，如图， ∴； （2）解：点P在线段上时，如图， ①根据题意，得，， 故答案为：；； ②根据题意，得， 即； ③如图，点P即为所求， 根据题意，得， 则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得， ∴ 即的面积为18． 32．如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M，N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ (2)当点M，N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，M，N两点重合，此时两点重合在点C处 (2)存在，此时M，N运动的时间为 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，一元一次方程与几何综合，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出点N第一次运动到点B的时间，再结合M，N两点重合，进行列式，解出，即可作答． （2）先根据等腰三角形的性质得，再结合等边三角形的性质得，证明，得．当点M，N在BC边上运动，是等腰三角形时，．结合进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：点N第一次运动到点B用时为， 由题意，得， 解得， ∴当时，M，N两点重合， 则， 此时两点重合在点C处． （2）解：存在． 理由如下：如图，点M，N在上，连接， ∵是以为底边的等腰三角形， ， ． ∵是等边三角形， ． 在和中， ． 当点M，N在边上运动，是等腰三角形时，． ， 解得， ∴当点M，N在边上运动时，存在以为底边的等腰， 此时M，N运动的时间为． 题型09 等腰三角形的判定与性质综合 典｜例｜精｜析 33．如图，在中，，点D是边上一点，连接，先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接、，交于点F，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴； (2)． 【分析】（1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后利用定理即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 34．如图，在中，，，，垂足是点D．E是上一点，连接，过点B作于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∵于点F， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． (2)的长为10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）由等腰直角三角形的性质得出，再证明，，进而根据即可证明． （2）先证明是等腰直角三角形，再利用等腰三角形三线合一，得到，最后结合全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，于点D， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为10． 35．如图，在中，，平分，点E是边上一点，连接，交于点F，，延长至一点M，使，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵在中，，平分， ∴， 在和中， ， ∴； (2)18 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先根据等腰三角形的性质到，再根据全等三角形的判定可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质和对顶角相等得到，再根据全等三角形的性质得到，，证明，推导出，进而利用等角对等边得到，即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 36．已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． (1)如图1，若为的中点，，求的长． (2)如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 【答案】(1) (2)，理由如下： ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ，即， 在中， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，进而根据等边对等角结合三角形外角的性质可得，最后根据等角对等边即可求解； （2）先根据等边对等角结合平行线的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形性质推出，然后根据全等三角形性质可证，等量代换即可得证； （3）过作交延长线于点，先证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质推出，得出，进而得到的长，证明，得到，即可得解． 【详解】（1）解：为等边三角形， ，， 为的中点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，过作交延长线于点， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 基础通关 1．一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和为求出第三个内角的度数，再根据三角形的分类标准判断三角形的类型即可． 【详解】解：∵三角形内角和为，已知两个内角分别为和 ∴第三个内角的度数为 ∴该三角形的三个内角分别为，，，三个角都小于，都是锐角，且三个角互不相等 ∴这个三角形是锐角三角形，不是钝角三角形、直角三角形，也不是等腰三角形． 2．在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”时，需添加辅助线．如图，已知，求证．小明对辅助线的描述采取了三种不同方法：①作顶角平分线；②作底边上的高；③作底边上的中线．能够判定的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】由角平分线，高和中线的定义得到，，，然后分别根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：①作顶角平分线， ∴， 又∵，， ∴； ②作底边上的高， ∴，即， 又∵，， ∴； ③作底边上的中线， ∴， 结合，，构成，不能证明． 综上所述，能够判定的是①②． 3．已知中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形与等边三角形的判定和性质，利用“有一个内角是的等腰三角形是等边三角形”的结论即可求解. 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴. 4．已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】利用平方和绝对值的非负性推导三边的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，即， ∴是等边三角形． 5．如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 【答案】8 【详解】解：根据等腰三角形的定义分三种情况讨论： ①当点A为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ②当点B为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ③当点C为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点，，，，，； 综上所述，点C的个数是8． 6．已知等腰三角形的一个底角等于，则它的顶角的度数是_____________． 【答案】/20度 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理，即可计算出顶角的度数． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等，该等腰三角形一个底角为， 该等腰三角形的另一个底角也为， 顶角的度数为：． 7．如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 【答案】8 【详解】解：如图，点，，，，，，，即为所求． ∴满足条件的点C的位置有8处． 8．如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 【答案】 【分析】由角平分线的定义，结合平行线的性质，可得，，可得，，即可得的长． 【详解】解：∵在中，、的平分线交于点， ∴，， ∵过点，交、于点、， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴． 9．如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．请判断的形状，并加以证明． 【答案】解：是等腰三角形， 证明：平分， ． ， ，． ． ． 是等腰三角形． 【分析】由平分，得；由，根据平行线的同位角、内错角相等，得，．等量代换得，由等角对等边得，故是等腰三角形． 【详解】略 10．如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，则；由得，根据三角形内角和定理求出的度数，即可求解； （2）根据三角形的周长公式可得，推出；根据可得的周长，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∴cm， ∴， 又∵， ∴cm， ∵， ∴的周长． 素养提升 11．下列三个图中，能够用来判断的是（   ）． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据作图痕迹识别出几何关系，进而利用角度之间的和差关系或外角定理进行推导． 【详解】解：如图， 在①中连接，则， ， ，故①符合题意； 在②中连接，则有， ， ，， ． ， ， ，故②符合题意； 在③中，不能判断与的大小，故③不符合题意． 故符合题意的有①②． 12．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义结合网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 当点C在或或或的位置上时，， 当点C在或位置上时，， ∴满足条件的格点C的个数有6个． 13．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一性质及线段垂直平分线性质得出及的度数，进而求解. 【详解】解：连接， ，， ，， 平分， ， 垂直平分， ， ， ，平分， 垂直平分， ， ， 14．如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架与交于点O，．椅面与地面水平线l平行，，，，则支架的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明为等边三角形，可得，，，从而得到为等边三角形，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 【答案】5 【分析】首先证明，得到，再利用，求解即可． 【详解】解：∵， ，， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16．如图，直尺的一边经过含（）的直角三角板的顶点，对边与三角板的和边分别交于点，，若，则的度数是______． 【答案】 【分析】易得为等边三角形，根据平行线的性质，即可得出结果. 【详解】解：由题意，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵直尺的两边平行， ∴. 17．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 【答案】 【分析】根据作图可得，是的垂直平分线，得到，再通过线段等量代换将的周长转化为，进而求出三角形周长． 【详解】解：由作图可知，， ， ， 由作图可知，直线是的垂直平分线， 点在直线上， ， ， 将代入得，， ，， ． 18．如图，在中，为的角平分线，M是的中点，过点M作交于点F，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】延长到N，使，连接，延长交延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论． 【详解】解：如图，延长到N，使，连接，延长交延长线于E， ∵M是的中点， ∴，， ∴， ∴，， 又∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 19．如图，在和中，与相交于点E，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴． 【分析】（1）利用即可证明； （2）利用全等三角形对应角相等得到，再根据等角对等边即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：是等边三角形，为中点， ，，，， ， ， ， ，； ∵，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ∵， 是等边三角形． 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求出，结合得到，通过角的差计算 （2）先沿用（1）的结论得到，证明得到，算出；利用三角形内角与邻补角求出，结合判定，最终证明为等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形，为中点， ，，， ， ， ， ； （2）略 迁移创新 21．如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（     ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．①②④⑥ 【答案】A 【分析】对于①，证明即可判断； 对于②，由，得到，进一步得出，即可得到结论； 对于③，先证明，得到，再证明，即得结论； 对于④，连接，在上取点M，使得，连接，先证明是等边三角形，再证明，可得，即得结论； 对于⑤，由③知，可得，即可得到结论； 对于⑥，先证明，，再根据题中没有给出这一条件，所以不能成立，所以也不能成立，即可判断结论． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ， 故①正确； 由①知，， ， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ， 点Q在上，是等边三角形， ， ， 故③错误； 连接，在上取点M，使得，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 由③知，， ， ， 是等边三角形， 故⑤正确； ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由于题中没有给出这一条件， 所以不能成立， 所以也不能成立， 故⑥错误； 所以正确的结论有①②④⑤． 22．如图所示，在中，，，在内，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在下方取一点，使得三角形为等边三角形，连接、，根据等边三角形的性质得到，求出，，的度数，证，得到，进一步得到等边，推出，根据全等三角形的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：在下方取一点，使得三角形为等边三角形，连接、， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 23．如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为__________ ． 【答案】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可知，，周长转化为，当，，三点共线时，周长取得最小值，从而解得，即可求解的面积． 【详解】解：连接，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵点为的中点， ∴， 周长， 当，，三点共线时，周长取得最小值， 此时，周长最小值， 解得， 的面积． 24．如图，在中，，，点、、分别是边、边、边上的动点，连接、、，使，若是等腰三角形，那么的度数为____________． 【答案】或或． 【分析】分三种情况：当时，再根据等边对等角得，进而求出，然后根据，可得；当时，当时，仿照上述解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 分三种情况：当时， ∴， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 所以的度数为或或． 25．已知，在中，，于点D，E是上一点，满足：；将绕点E顺时针旋转，交于点F． (1)如图1， ①试说明：； ②若，请探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若E是线段的中点，求的值． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ∵将绕点E顺时针旋转，交于点F， ， ， ， ； ②，理由如下： 过F作于H， 由①知，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． (2)3 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得到，再根据旋转性质和余角性质得到，然后根据等角对等边可得结论； ②过F作于H，则，证明得到即可得到结论； （2）过F作于G，根据等腰三角形的性质，结合已知可得，由推导出，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）①略； ②略 （2）解：如图，过F作于G， 是线段的中点， ， 由（1）知， ， ∵， ， ， ， 即， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 特殊三角形 2.4 等腰三角形的判定定理 课标要点 1. 掌握等腰三角形“等角对等边”判定定理，明晰定理的文字表述与核心内涵。 2. 能规范完成判定定理的推理证明，提升几何逻辑推理与严谨表达能力。 3. 会运用判定定理解决线段相等、三角形形状判断等基础几何问题。 学习重难点 重点： 1. 透彻理解“等角对等边”判定定理，准确区分判定定理与性质定理的差异。 2. 熟练掌握判定定理的应用场景，精准判断三角形是否为等腰三角形。 3. 规范书写几何证明步骤，依托定理完成简单几何题型的完整解答。 难点： 1. 厘清性质与判定的因果关系，避免混淆“等边对等角”与“等角对等边”。 2. 在复杂几何图形中，精准识别隐含等角条件，灵活运用判定定理解题。 3. 结合平行线、角平分线等知识，综合运用定理解决复合型几何问题。 知识点一 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 总结： 特别提醒 运用等腰三角形“等角对等边”判定时，需保证角和边在同一三角形内，不可跨三角形判定。严格区分判定与性质，判定是由角证边等，性质是由边等推角等。解题需找准等角条件，杜绝凭图形直观判断，保证推理严谨规范。 即学即练 1．如图，已知中，，于，于，相交于点．求证：． 2．如图，在中，，点E，F分别在，上，，与相交于点P． (1)求证：； (2)请直接写出图中其他相等的线段． 知识点二 等边三角形的判定 1、判定： ①三条边都相等的三角形是做等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 2、等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 特别提醒 判定等边三角形需区分三种判定方法：三边相等、三角相等、有一个角为60°的等腰三角形。解题优先观察图形是否为等腰三角形，再结合60°角判定，切勿混淆判定条件，不可仅凭目测图形等边，需严格依据定理推理证明。 即学即练 3．已知a，b，c是的三边长．若，试判断的形状． 4．如图，用两个含角且大小相同的三角板（和）摆放在一起，两直角顶点重合，点D恰好落在边上．求证： (1)为等边三角形； (2)． 题型01 根据等角对等边证明等腰三角形 典｜例｜精｜析 1．如图，平分．试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 2．在中，，平分，平分，过O点作，使， (1)图中又会有几个等腰三角形？ (2)仍然成立吗？ 3．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点．求证：是等腰三角形． 4．如图，在中，点在边上，连接，，的角平分线交于点，交于点，求证：． 题型02 根据等角对等边证明边相等 典｜例｜精｜析 5．如图，在和中，与相交于点E，． (1)求证：； (2)求证：． 变｜式｜巩｜固 6．如图，在等边三角形中，是的中点，延长到点，使，求证：． 7．如图，点C，D在上，，，，，相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 8．在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 题型03 根据等角对等边求边长 典｜例｜精｜析 9．如图，在中，，分别平分，交于点，过点作交于点，交于点．若，，则等于_______． 变｜式｜巩｜固 10．如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 11．如图，在中，的平分线交于点，交于点．如果，，那么_________． 12．如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作分别交、于、，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．不确定 题型04 格点图中画等腰三角形 典｜例｜精｜析 13．在网格中，网格线的交点称为格点．已知O，A是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得为等腰三角形，那么满足条件的P点请在图中找出． 变｜式｜巩｜固 14．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（     ）个． A． B． C． D． 15．在的方格纸中，点，，都在格点上，请按下列要求作图． (1)在图1中画出格点，使为等腰三角形（画一个点即可）． (2)在图2中画出格点，使． 16．由边长为1的小正方形构成的10×12的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成画图（仅用无刻度的直尺）： (1)如图1，画出，使得与关于直线对称； (2)如图2： ①在上方画出，使得是以为底的等腰三角形，且顶角为； ②画出，使得． 题型05 找出图中的等腰三角形 典｜例｜精｜析 17．在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 变｜式｜巩｜固 18．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 19．如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点B为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 题型06 等腰三角形的判定 典｜例｜精｜析 21．如图，已知在中，，，，交于，求证：． 变｜式｜巩｜固 22．如图，在中，点D、C在上，连接、，，，过点F作于E． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 23．已知，D是上一点，于E，的延长线交的延长线于F，试说明是等腰三角形的理由． 24．如图，在中，，垂直平分，分别交，于点，，且满足． (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 题型07 等边三角形的判定 典｜例｜精｜析 25．如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 变｜式｜巩｜固 26．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 27．如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)若，且，试判断的形状，并说明理由． 28．如图，已知：中的垂直平分线分别交边，于点、，，垂足为点，，延长与的垂直平分线交于点，连接． 求证：是等边三角形． 证明：， （ ）， ，又， ， 垂直平分， （ ）， （ ）， （ ）， ， ， 是等边三角形（ ）． 题型08 等腰（边）三角形存在性问题 典｜例｜精｜析 29．已知：在中，． (1)如图1，，分别为两腰上的中线．求证：； (2)如图2，若点为上任意一点，试问，在上是否存在点，使？若存在，请添加一个条件（不再添加其它字母），并证明；若不存在，请说明理由． 变｜式｜巩｜固 30．如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)的长为______；（用含t的代数式表示） (2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； 31．如图，已知长方形中，，，为边的中点，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着方向运动（不与点重合），设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，求的值； (2)当点在边上运动时： ①用含的代数式表示：________，________； ②求出与之间的关系式； ③是否存在点使得的周长最小，若存在，请先在备用图中找到点，并直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由． 32．如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M，N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ (2)当点M，N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 题型09 等腰三角形的判定与性质综合 典｜例｜精｜析 33．如图，在中，，点D是边上一点，连接，先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接、，交于点F，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 变｜式｜巩｜固 34．如图，在中，，，，垂足是点D．E是上一点，连接，过点B作于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 35．如图，在中，，平分，点E是边上一点，连接，交于点F，，延长至一点M，使，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 36．已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． (1)如图1，若为的中点，，求的长． (2)如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 基础通关 1．一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 2．在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”时，需添加辅助线．如图，已知，求证．小明对辅助线的描述采取了三种不同方法：①作顶角平分线；②作底边上的高；③作底边上的中线．能够判定的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．已知中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 5．如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 6．已知等腰三角形的一个底角等于，则它的顶角的度数是_____________． 7．如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 8．如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 9．如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．请判断的形状，并加以证明． 10．如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 素养提升 11．下列三个图中，能够用来判断的是（   ）． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 12．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 13．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 14．如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架与交于点O，．椅面与地面水平线l平行，，，，则支架的长度为（     ） A． B． C． D． 15．如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 16．如图，直尺的一边经过含（）的直角三角板的顶点，对边与三角板的和边分别交于点，，若，则的度数是______． 17．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 18．如图，在中，为的角平分线，M是的中点，过点M作交于点F，若，，则的长为________． 19．如图，在和中，与相交于点E，． (1)求证：； (2)求证：． 20．如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 迁移创新 21．如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（     ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．①②④⑥ 22．如图所示，在中，，，在内，，，则（     ） A． B． C． D． 23．如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为__________ ． 24．如图，在中，，，点、、分别是边、边、边上的动点，连接、、，使，若是等腰三角形，那么的度数为____________． 25．已知，在中，，于点D，E是上一点，满足：；将绕点E顺时针旋转，交于点F． (1)如图1， ①试说明：； ②若，请探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若E是线段的中点，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $