精品解析：重庆市巴蜀中学校2027届高三上学期9月阶段检测数学试题

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在上的偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 若将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上每个点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 曲线（其中）在处的切线方程为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 4或0 D. 0 7. 如图，给编号为1，2，3，4的4块矩形区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜色不能相同，若有4种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）种. A. 24 B. 48 C. 60 D. 84 8. 已知函数，将函数的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知事件，，，均为随机事件，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则与互斥 B. 若，对立，则 C. 若，互斥，则 D. 若，相互独立，且，，则 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的对称中心为 B. 是的极大值 C. 存在，使得有个零点 D. 的图象上不存在四点，，，，使得四边形为平行四边形 11. 已知，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线的渐近线方程是___________． 13. 已知数列满足，，则的前13项和为______. 14. 已知函数在区间内无零点，则的取值范围是______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知一个不透明盒子中有1个红球、2个黄球、7个蓝球，这些球除颜色不同外，其大小形状完全相同，随机不放回依次抽取出一个球，直到将球全部取出. （1）求第三次抽取出蓝球的概率； （2）记最后一个蓝球被取出时总共取出球的个数为，求的数学期望. 16. 设函数，其中实数. （1）当时，求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最小值. 17. 如图所示，在正四棱锥中，，，，分别为，的中点， ，平面与交于. （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）设，求实数的值及三棱锥的体积. 18. 已知椭圆：的短轴长为，离心率为，上、下顶点分别为，，点为椭圆内部一点，直线，与椭圆的另外一个交点分别为，两点，直线，交于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：； （3）在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数，. （1）当时，求在区间上的最大值； （2）当时，，求的取值范围； （3）当时，是否存在，，使得，若存在，试比较与的大小关系；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】因为命题：，， 所以为：，. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由解析式得，故定义域为. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式即可化简求值. 【详解】解：， ， 即. 故选：B. 4. 已知定义在上的偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为为偶函数，且在上单调递增，所以，解得，故选B. 5. 若将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上每个点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数的图象向右平移个单位，得的图象， 再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的，得到的图象. 6. 曲线（其中）在处的切线方程为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 4或0 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由切线方程得与；按、分类去掉绝对值写出，分别与联立解出，两种情形均得. 【详解】由题得， 若，当时，，， 所以，所以，； 若，当时，，， 所以，所以，. 7. 如图，给编号为1，2，3，4的4块矩形区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜色不能相同，若有4种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）种. A. 24 B. 48 C. 60 D. 84 【答案】D 【解析】 【分析】从使用的颜色种数出发，分析颜色与位置的关系.至少使用2种颜色，至多使用4种颜色. 【详解】（1）若用2种颜料，对角位置颜色相同，则涂色方案有种； （2）若用3种颜料，一组对角位置颜色相同，一组对角位置颜色不同，则涂色方案有种； （3）若用4种颜料，则涂色方案有种；所以共有种，故选D. 8. 已知函数，将函数的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将“函数图像绕原点逆时针旋转后仍为函数图像”的几何条件转化为代数条件：原函数与任意斜率为的直线至多有一个交点，进一步转化为构造的函数至多一个零点，即在上单调，由此得到导数恒成立的约束，再通过参变分离求函数最值即可求解的取值范围. 【详解】函数图象绕原点逆时针旋转后仍为函数图象，根据函数定义可知，旋转后任意垂直于轴的直线与曲线至多有1个交点. 将该条件等价转化为：原函数的图象上任意两点连线的倾斜角不能等于， 即对任意实数，直线与的图象至多有1个交点. 令，则上述条件等价于在上至多有1个零点. 若同时存在增区间和减区间，则必然存在极值， 当取值合适时会出现2个及以上零点，因此需在上单调. ， 若，则当时，，当时，，若能使恒成立，则满足要求； 若，则当时，，当时，，不可能单调. 综上，只能单调递增，即对任意恒成立. ，即恒成立. ∵ ，参变分离得 ，对任意恒成立，只需. 令，. ∵ 当时，，单调递增；当时，，单调递减. ∴ 在处取得最大值，. ∴ ，即的取值范围为，故选C. 【点睛】方法归纳：涉及函数图像旋转后仍为函数图像的问题，核心是利用函数的定义（一个自变量对应唯一函数值），将旋转条件转化为原函数切线斜率的取值范围约束，再通过导数、参变分离、函数最值求解参数范围. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知事件，，，均为随机事件，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则与互斥 B. 若，对立，则 C. 若，互斥，则 D. 若，相互独立，且，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用独立事件、对立事件与互斥事件的性质可判断AB，根据条件概率概念可判断C，即可判断；对于D，通过即可判断. 【详解】对于A，与互斥，则，显然错误； 对于B，若，对立，则，符合对立事件的定义，显然正确； 对于C，由于 ，故C正确； 对于D，，D正确. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的对称中心为 B. 是的极大值 C. 存在，使得有个零点 D. 的图象上不存在四点，，，，使得四边形为平行四边形 【答案】AC 【解析】 【分析】用导数确定三次函数的单调区间与极值点，用中点处的对称关系验证中心对称，由极大值为正、极小值为负给出三零点的条件，并借中心对称直接构造出满足要求的四点. 【详解】， 当或时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； A项，， ，与无关， 故图象关于点对称，而， 所以对称中心为，A正确； B项，在处取极大值，在处取极小值，B错误； C项，，， 当且，即时，极大值大于零且极小值小于零， 恰有三个零点，取即符合，C正确； D项，的图象关于点对称， 取图象上两点、及它们关于该中心的对称点、， 则四边形的两条对角线与互相平分，是平行四边形，D错误. 11. 已知，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，直接利用不等式求最值；对B，由三角换元，转化为辅助角公式求的最小值；对C，先用基本不等式放缩，再检验等号成立条件进行判断；对D，分与分别验证其是否满足最小值. 【详解】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，A正确； 对于B：令，则，B正确； 对于C：， 当且仅当时取等号，此时即无解，所以取等条件不成立， 所以，C错误； 对于D：当时， ，当且仅当时取等号， 当时，比如，此时，，D错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线的渐近线方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据渐近线方程公式计算得到答案. 【详解】，，，故渐近线方程为：. 故答案为：. 13. 已知数列满足，，则的前13项和为______. 【答案】129 【解析】 【分析】由可知，数列的前项和可以使用分组求和解决. 【详解】设数列的前项和为，那么 . 14. 已知函数在区间内无零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】把 看作整体，由 的范围写出相位 的范围（开区间）； 在该区间内无零点，等价于相位开区间完整落在相邻两零点 与 之间（端点可以重合），据此建立 的不等式组，再对整数 分类讨论. 【详解】因为 ，，所以 ，且该区间为开区间. 在 内无零点， 等价于开区间 内不含 （），即存在整数 ，使得 且 . 由不等式组解得 . 该不等式组有解，需 ，解得 . 又 ：当 时，； 当 时，，结合 得 （此时相位范围为 ，右端点处的零点取不到，故 满足题意）； 当 时，，与 矛盾. 综上， 的取值范围是 . 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知一个不透明盒子中有1个红球、2个黄球、7个蓝球，这些球除颜色不同外，其大小形状完全相同，随机不放回依次抽取出一个球，直到将球全部取出. （1）求第三次抽取出蓝球的概率； （2）记最后一个蓝球被取出时总共取出球的个数为，求的数学期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用排列组合数及古典概率求概率即可； （2）首先确定随机变量的可能取值，再求出对应概率值，即可求期望. 【小问1详解】 记“第三次取出蓝球”为事件， 前两次从1个红球、2个黄球、6个蓝球中任取2个并作全排，第三次取出1个蓝球有种， 从10个球中任取3个并作全排有种， 所以； 【小问2详解】 由题意可知，随机变量，对应概率如下： 分子表示从1个红球、2个黄球中取出个，把前个球做全排， 7个蓝球的其中1个作为最后1个取出，共有种， 分母表示将取出的个球作全排，有种， ，， ，， 所以. 16. 设函数，其中实数. （1）当时，求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最小值. 【答案】（1），单调递增区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合正弦型函数的单调性进行求解即可； （2）根据二倍角正弦公式，利用换元法、辅助角公式、余弦函数的单调性、二次函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 所以最小正周期. 令，解得：， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 令，， 由， . ①当时，，所以； ②当时，的对称轴，所以； ③当时，，所以； ④当时，，所以； 综上， 17. 如图所示，在正四棱锥中，，，，分别为，的中点， ，平面与交于. （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）设，求实数的值及三棱锥的体积. 【答案】（1） （2），体积为. 【解析】 【分析】（1）根据题设条件建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法可求面面角的余弦值； （2）根据题设求出、，结合（1）中的法向量可求参数的值，再根据公式可求体积. 【小问1详解】 连接，，设，连接，以，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， 则，，，，，，，， 所以，. 设平面的一个法向量为， 则，即，解得， 令，得. 平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 所以. 【小问2详解】 设，，，， 所以， 所以，所以，. 由，得，解得， 即与重合， 所以. 18. 已知椭圆：的短轴长为，离心率为，上、下顶点分别为，，点为椭圆内部一点，直线，与椭圆的另外一个交点分别为，两点，直线，交于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：； （3）在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明：如图，设直线方程为，令， 由消去得，设， 解得，， 设直线的方程为，令， 由消去得，设， 解得，, 由三点共线，得，代入点坐标化简得， 由三点共线，同理得，因此， 所以. （3）存在点 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组求解即得. （2）求出直线方程，并与椭圆方程联立求出点的坐标，再利用三点共线列式推理得证. （3）由（2）中信息求出点的横纵坐标间的关系，再设出点的坐标，利用两点间距离公式，结合恒成立求出点的坐标即可. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得，则，解得， 由点在椭圆内部，得，解得，则， 设点，则， 若为定值，则，其中为常数， 平方并整理得恒成立， 因此，解得，， 所以存在点，使得为定值. 19. 已知函数，. （1）当时，求在区间上的最大值； （2）当时，，求的取值范围； （3）当时，是否存在，，使得，若存在，试比较与的大小关系；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数确定单调性求出最大值. （2）等价变形不等式并构造函数，利用导数并按分段确定单调性，进而求出范围. （3）把代入，由（2）的信息确定的零点，再利用换元法确定函数的零点范围即可比较大小. 【小问1详解】 当时，函数，求导得， 当时，，函数在区间上单调递减， 所以在区间上的最大值为. 【小问2详解】 不等式，令， 求导得，令函数， 求导得， ①当时，， ，函数在区间上单调递减， 因此，即恒成立，符合题意； ②当时，，则，函数在区间上单调递减， 又，，因此存在唯一的，使得. 当时，，单调递增，则，不符合题意， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 存在且，理由如下， 一方面：由（2）知，求导得， 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，，因此存在唯一的，使得； 另一方面：当时，令， ， 令，，则， 求导得，显然， 因此存在唯一的，使得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 又，，则， 于是存在唯一的，使得， 此时，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $