重庆市巴蜀中学校2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试卷

数学试卷 注意事项: 1. 答题前, 考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 3. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟. 一、单项选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 已知命题 ,则 为 A. B. C. D. 2. 函数 的定义域是 A. B. C. D. 3. 已知 ,则 A. B. C. D. 4. 已知定义在 上的偶函数 在区间 上单调递增,则不等式 的解集为 A. B. C. D. 5. 若将函数 的图象向右平移 个单位,再把所得图象上每个点的横坐标缩小为原来的 ,得到函数 的图象,则 的解析式为 A. B. C. D. 6. 曲线 (其中 ) 在 处的切线方程为 ,则 A. 2 B. 4 C. 4 或 0 D. 0 7. 如图 1,给编号为1,2,3,4的 4 块矩形区域涂色,要求每个区域涂一种颜色, 且相邻区域 (有公共边) 所涂颜色不能相同, 若有 4 种不同颜色的颜料可供选择, 则不同的涂色方案有 ( ) 种. A. 24 B. 48 C. 60 D. 84 8. 已知函数 ,将函数 的图象绕原点 逆时针旋转 后,得到的曲线仍是函数图象,则 的取值范围为 A. B. C. D. 二、多项选择题 (本大题共 3 个小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分) 9. 已知事件 均为随机事件,则下列结论正确的是 A. 若 ,则 与 互斥 B. 若 对立,则 C. 若 互斥,则 D. 若 相互独立,且 ,则 10. 已知 ,则下列说法正确的是 A. 的对称中心为 B. 是 的极大值 C. 存在 ,使得 有 3 个零点 D. 的图象上不存在四点 ,使得四边形 为平行四边形 11. 已知 ,且满足 ,则下列说法正确的是 A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题 (本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分) 12. 双曲线 的渐近线方程为_____. 13. 已知数列 满足 ，则 的前 13 项和为_____. 14. 已知函数 在区间 内无零点，则 的取值范围是_____. 四、解答题 (共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 15. ( 13 分)已知一个不透明盒子中有 1 个红球、 2 个黄球、 7 个蓝球, 这些球除颜色不同外; 其大小形状完全相同, 随机不放回依次抽取出一个球, 直到将球全部取出. (1)求第三次抽取出蓝球的概率; (2)记最后一个蓝球被取出时总共取出球的个数为 ，求 的数学期望. 16. ( 15 分)设函数 ,其中实数 . (1)当 时，求函数 的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数 在区间 上的最小值. 17. ( 15 分)如图 2 所示,在正四棱锥 中, 分别为 的中点, ,平面 与 交于 . 图 2 (1)求平面 与平面 夹角的余弦值; (2)设 ,求实数 的值及三棱锥 的体积. 18. (17 分)已知椭圆 的短轴长为 ,离心率为 ,上、下顶点分别为 ,点 为椭圆 内部一点,直线 与椭圆 的另外一个交点分别为 两点,直线 交于点 . (1)求椭圆 的标准方程; (2)证明: ; (3)在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值. 若存在，求出 的坐标；若不存在， 请说明理由. 19. ( 17 分)已知函数 . (1) 当 时,求 在区间 上的最大值; (2)当 时， ，求 的取值范围； (3)当 时，是否存在 ，使得 ，若存在，试比较 与 的大小关系; 若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $口■■口口■■■■口■ 数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 C B A B C D D C 【解析】 1.因为命题p:x>1,x2+1>2,则-p为：3x>1,x2+1≤2，故选C. 2.由题得x-1>0 ln(x-1)≥0 解得≥2，故选B. 4.因为f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+o)上单调递增，所以f(x)≤f1-x)x≤1-x, 解得≤，故选B 5将函数f=n2-到 的图象向右平移亚个单位，得 6 ym用哥m〔2x 的图象，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的 片得到g回=m4x的图象，放选C 6.由题得f)1-a+b=3,若a>1,当0<x<a时，f(x)=-x2+ax+lnx+b, =-2+a+,所以了0=a-1=3,所以8。h-0:若a<1,当x>a时。 f)=-a+nx+b,f)=2x-a+,所以f'0=3-a=3,所以a=0 1* b=2’ab=0, 故选D, 7.(1)若用2种颜料，则涂色方案有A=12种；(2)若用3种颜料，则涂色方案有2×A=48 种；(3)若用4种颜料，则涂色方案有A=24种；所以共有12+48+24=84种，故选D. 数学参考答案·第1页（共8页） 口■■口口■■■■■ 8.函数y=f)的图象绕原点O逆时针旋转工后，得到的曲线仍是函数图象，等价于函数 y=f(x)与y=V3x+t(其中t为任意实数)至多有一个交点，等价于 g=f)-5x-1=ke-5:-5x-1至多有一个零点，故函数g只能单调递增， 2 x+1 所以g'(x)≥0在R上恒成立一k≥ 所以k≥√5，所以k的取值范围为 [√3，+)，故选C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 BCD AC ABD 【解析】 9,对于A,显然错误；对于B,显然正确；对于C,由于 P(AURC)=PCAURNC-PACUBC)_PAC)+PBC=PAC+PBO,C正确： P(C) P(C) P(C) 对于D,PAUB=P(A+PB-PAnB)=+x,D正确，故选BCD. 34342 0')=3P-4x-4=x-23x+2),f)在区间-0，-和(2+9)上单调递增，在E 问（子2上单调递减，放B错误：对于A,显然正确：对丁C,当-9a<8时， 27 f引re)Q贺》a<0,所以r有3个学点，故c正确：对打D,由图象单 调性和对称性可知：f(x)的图象上一定存在四点A,B,C,D,使得四边形ABCD为平行 四边形，D错误，故选AC. Ⅱ.因为。+2ab，所以a,放A正确；令-c0s0 ，所以 b=sine 2a-b=2cos0-sin0=5cos(+)-5 B 正 确 ab+2a_a(b+2)<a2+(b+2)2_a2+b2+4b+4_1 4b+54b+52(4b+5) 2(4b+5) 2 ，取等条件不成立，所以 数学参考答案·第2页（共8页） 口■■口口■■■■口■ b+20<,故C错误 V3,12 1 4 1 4 4b+52 2a+302+2 十 2 6*2 1 23 b2+ a+ 3 故选ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 129 到 【解析】 12.令号-0，解得y= 2 4 2 13.S3=(a,+a2)+(a,+a4)+(a+a6)+(a,+4)+(a,+ao)+(a1+a2)+a =3+3×3+3×5+3×7+3×9+3×11+21=129. 14（低得会（管受引为怎到上无点，所以 6 6 .3 kEZ,解得1+6≤o子K,必须1+6M≤7+头，所以kD 20m_L≤元+k匹 2 3 6 又因为0>0，所以k=0,-1,所以0∈ 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：()记“第三次取出蓝球”为事件A,所以PA)=ASC-乙 A。10 …………（6分） (2)由题意可知，随机变量X=7,8,9,10, P(X=7)= A71 A120 PX=8=A9CC7 A。120 数学参考答案·第3页（共8页） 口■■口口■■■■口■ Px=y-4℃X-1I0-ACg A301 A810 +8* 所以E(X)=7×120 7 7 777 0+9x3 +10x108 …(13分) 16.(本小题满分15分) 解：(1)当a=1时，f(x)=sin2x, 所以最小正周期T=2严 …(3分) 2 令2a-2×2+5解得：m-牙x<c+子 2 4 所以f的单调递蝌区间为红-平红+keZ 4 …(7分) (2令=osx-sn=c+到，由e[0 可得te[-1,刂， f(x)=g(t)=-at2+(a2-10t+a=(a-t)(at+1).…(10分) ①当a=0时，g(t)=-t∈[-1,1，所以g(t)m=g①=-1； ②当0<a<1时，g0的对称轴-。二1<0，所以g0=g0=公2-1： 2a ③当a=1时，t对= -1=0,所以g0m=8←)=g0=0: 2a ④当a>1时，e-分>0，所以80a=8-D-1a …（14分) [a2-l,0≤a≤1， 综上，f(x)n= …(15分) 1-a2,a>1. 17.(本小题满分15分) 解：(1)连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接PO,以OA,OB,OP所在的直线分别为 少轴建立如图1所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(0,-2,0), P0.0,4.M0,02,N-10,2E0,-53 28 所以？引成(1子) …(3分) 数学参考答案·第4页（共8页） 口■■口▣■■■■口■ 设平面MNE的一个法向量为i=(x,y,z), ,2.2 i.EM=0 x+一y- =0 则 即 3 3 x=0 ,22 ,解得 n.E=0 3 30 y=Z -x+一y- 令y=乙=1，得万=(0,1,1)…(5分) 平面ABCD的一个法向量为m=(O,O,1). (7分) 设平面ABCD与平面MNE的夹角为B, 所以cos0=1im。1_V5 m2 …(9分) x=0 (2)设F(xoo),PF=tPB,所以{y=2t 3=4-4t 所以F(0,2t,4-4),所以MF=-1,2t,2-4),，NF=(1,2t,2-4t). n.MF=0 由 ,得2t+2-4t=0,解得t=1,…（13分) i.NF=0 即F(0,2,0)与B重合， 所以u=.w*2x2x4 3 …(15分) 18.(本小题满分17分) [2b=25 c I a=2 (1)解：由题得 一= ,解得 b=5' a2=b2+c2 所以椭圆C的标准方程为： X1y=1…(4分) 43 (2)证明：如图2，设直线AQ y=。~ x+5,令k=。B 图2 数学参考答案·第5页（共8页） 口■■口口■■■■口■ +-1 联立43 ，可得：3+4k2)x2+85x=0, y=kx+3 解得xe= =36-4 -8√3k …(7分) 3+4k2 设直线0：y=+5, -5,令=。+5 xo 联立{43 ,可得：(3+42)x2-83x=0, y=x-5 解得 3+4r,为=35+45 83r …(9分) 3+4t2 因为4BD三点共线，所以凸5b ,代入D点坐标化简得：为-5=-3， 1-0x 4t 因为B,BE三点共线，同理得%+5=-3（脚)，（倒（的两式相除得： 4k %-V5 为-5k=。一 。-5 %+5io+5o+' xo 解得yg=%.…(11分) (3)解：由(2)中()，（两式相减可得： 11_8W5 t k3 解得xo=- 3 又因为点PL,%)在椭圆C内部，所以+ <1，解得8<4 9 43 所以Xg>1.…(13分) 设点G(m,0),则Pl+|G|=√o-m2+乃+xe-1, 若PQ+|G为定值，则Vx。-m)2+片=S-o0,其中S≥为常数， 平方得：1号-m]-5-m8-5+m=0恒成立， 数学参考答案·第6页（共8页） 则 1-8s-m=0 3 …(15分) (S-m)[8-(S+m】=0 解得5= 67 61 16 m= 所以存在点 61 16 16 使得|PQ+|QG为定值 51 ……………（17分) 16 19.(本小题满分17分) 解：(1)当k=0时，f(x)=xcOSx-x2+1,f'(x)=cosx-xsinx-2x, 当x∈（径时，f)-cosx-xsnx-2x<0,所以f6在区间子元上单调递减： 所以f(x)在区 [臣上放大值为/ ……(4分) (2)f(x)<1 xcosx+ksinx-x2<0,(x)=xcosx+ksinx-x2, '(x)=cosx-xsinx+kcosx-2x,o(x)=-2sinx-xcosx-ksinx-2. ①当k≤-1时，p(x)=xcoSx+ksinx-x2≤xcoSx-sinx-x2=T(x), T"(x)=-xsinx-2x<0, 所以T(x)在区间 o. 上单调递减，所以T(x)<TO)=0,所以(x)<0,符合题 意；… …(8分) ②当k>-1时，-ksinx-2<0,所以p"(x)<0,所以p'(x)在区间 上单调递减， 又因为φ(0)=1+k>0,p 交<0，所以存在唯一的无0 2 使得p'(x)=0. 当x∈(0，x)时，p'(x)>0,p(x)单调递增，所以x)>p(O)=0与x)<0矛盾， 综上，k的取值范围为（仁0，一1].…(I0分） (3)存在且x+x2>π，理由如下： 一方面： 因为f(x)=x)+1,f'(x)=p(x),所以当k=1时，由（2)讨论可知： f在区间0.为)上单调递增，f倒在区回（习 上单调递减 又因为f0)=1>0,f(x6)>0,f 0, 数学参考答案·第7页（共8页） 口■■口口■■■■口■ 所以存在唯一的， 使得f(X)=0;…(11分) 另一方面： 当xe时， 令t=元-xe 0 所以g(x)=G(t)=tcost+(I+sint)lnt, …(12分) 令h(t)= tcost +lnt,t∈ 则Gt)=(1+sint)h(t), 1+sint h'(t)= t(cost-t)+1+sint 发现h'(t)= f() t(1+sint) t(1+sint) 所以存在唯一的6=e0引， 使得h't)= f(to) 一=0， to(1+sinto) 所以当t∈(0，t。)时，(t)>0,h(t)单调递增： 时，M0<0,h0单调递减， 当t∈2 又因为limh(t)=-w,h >0,所以h(t)>0, 所以存在唯一的t2=几-x2∈(0，t),使得h(2)=Gt2)=8(x2)=0,， …(16分) 此时2=元-X2<。=X,所以x+x2>兀.…(17分) 数学参考答案·第8页（共8页）