精品解析：河北丰润车轴山中学2026-2027学年第一学期高二年级9月月考数学试卷

2026—2027学年度高二年级第一学期月考试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共4页，19题，满分150分. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 在空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 2. 若，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）. A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理以及空间共面向量逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于A，若，，共面，则， 使得， ，方程组无解，则，，不共面，故A不符合题意； 对于B，若，，共面，则， 使得， ，方程组无解，则，，不共面，故B不符合题意； 对于C，易知不能用与表示， 则，，不共面，故C不符合题意； 对于D，，则 ，，共面，故D符合题意． 故选：D． 3. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 4. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 5. 三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】三棱锥中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又分别是的中点，再根据数量积的定义求解． 【详解】 分别是的中点，且，即， 又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°， ， 故选：A. 6. 在空间四边形中，点在上，点在上，且，则向量等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加减运算法则，以为基底，不断向其转化即可得到答案. 【详解】 故选：A. 7. 在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点可以是棱的中点 B. 线段的最大值为 C. 点的轨迹是平行四边形 D. 点轨迹的长度为 【答案】B 【解析】 【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果. 【详解】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为，分别为，的中点， 则，，，， 所以，设，则， 因为， 所以 所以，即， 令，当时，；当时，； 取，， 连接，，，则，， 则， ， 所以，， 又，且平面，平面， 所以平面， 所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹为正三角形，故C错误； 因此点不可能是棱的中点，故A错误； 线段的最大值为，故B正确； 点轨迹的长度为，故D错误； 故选：B 8. 在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在空间四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】由题意， 则，， 因为， 所以在上的投影向量为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 关于空间向量，下列说法错误的是（ ） A. 对于任意的空间向量，都有 B. 若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C. 若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量数量积公式判断AB，根据空间直线与平面的位置关系判断CD. 【详解】选项A，是一个数，表示与共线的向量，同理表示与共线的向量， 与不一定共线，所以，即向量不满足结合律，A说法错误； 选项B：因为，所以若，则与共线或夹角为锐角，B说法错误； 选项C：因为是直线的方向向量，是平面的法向量， 且，所以，C说法正确； 选项D：因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 若，则或，若，则， 所以是的必要不充分条件，D说法错误； 故选：ABD 10. 已知空间向量，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据数量积、模、平行、垂直的坐标逐一运算. 【详解】由题意得，，故A错误； ，则，故B错误； 因为，所以，得，故C正确； 由题意得，，则，得，故D正确. 故选：CD 11. 在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. 点B到平面的距离是 B. 平面与平面垂直 C. 记底面的中心为，则直线与直线所成角的余弦值为 D. 若为线段的中点，点在正四棱柱表面上运动，若平面，则点的轨迹是六边形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等体积法判断A，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量判断B，利用向量的夹角公式判断C，设，求出平面的法向量，利用求出的轨迹方程，进而得到与六个面的交线判断D. 【详解】选项A：因为四棱柱是正四棱柱，且底面边长为， 所以， 又因为是等腰三角形，， 所以底边上的高为， 设点B到平面的距离为， 则，即，解得， 所以点B到平面的距离是，A说法正确； 选项B：以为坐标原点，分别为轴建立如题所示坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面和平面的法向量分别为，， 则，， 取，， 因为，所以平面与平面垂直，B说法正确； 选项C：底面中心，则， 又，所以， ，， 所以直线与直线所成角的余弦值，C说法错误； 选项D：若为线段的中点，则， 因为，，， 设平面的法向量，则，取平面的法向量， 设，则， 若平面，则， 整理得的轨迹方程为， 因为点在正四棱柱表面上运动， ，，， 所以6个表面方程及交线如下： ①下底面令，联立轨迹方程得，即， 范围，，交线线段为，从到； ②上底面令，联立轨迹方程得，即， 范围，，交线线段为，从到； ③后面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； ④前面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； ⑤左侧面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； ⑥右侧面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； 由图象可得依次连接，形成一个闭合的六边形，D说法正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，已知，，点关于轴对称的点为，则，两点间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据对称关系得到点的坐标，再应用两点距离公式即可求出，两点间的距离． 【详解】又，则 点关于y轴对称的点为， 又，则， 所以，两点间的距离为． 故答案为：． 13. 长方体中，，，则点到直线的距离等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】以向量，，所在方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，连接，作垂直，垂足为，求出向量在向量上的投影，由勾股定理即可求点到直线的距离. 【详解】如图，以向量，，所在方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 连接，作垂直，垂足为， 由，，，得，， 所以， 又，所以点到直线的距离. 故答案为： 14. 已知向量，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示可得解. 【详解】由，， 则，， 又， 则， 即， 解得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知且 （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解. 【小问1详解】 ， ， 设， ， 的值为2． 【小问2详解】 由（1），则， ， ， ． 16. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求点B到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的大小； （2）利用向量法求得点B到平面的距离． 【小问1详解】 依题意可知两两相互垂直， 以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 由于，所以. 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点B到平面的距离为. 17. 如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 平面，平面，平面平面； 为等边三角形，为中点，， 又平面平面，平面，平面， 取中点，连接，则，平面， 则以为坐标原点，为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， ，，， ，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质可知，由面面垂直的判定与性质可证得平面，取中点，可知平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可证得，，由线面垂直的判定可证得结论； （2）根据点到平面距离的向量求法直接求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：平面的一个法向量为； 又，， 点到平面的距离. 18. 已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为2，． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角． 【答案】（1）证明：设，则， ． ． （1）， ， ，即． （2）． 【解析】 【分析】(1)在点建立基底，，分别表示向量，计算出向量数量积即可判断垂直. (2)表示向量，用夹角余弦公式代入计算即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ， ， ， 异面直线与所成角为． 19. 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 分别为的中点， ，且， 又且， 且， 四边形为平行四边形，则， 平面平面， 平面． （2）． 【解析】 【分析】(1) 取的中点，连接，构造平行四边形可以证得线面平行. (2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，代入公式即可求得线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，则． 以为原点，以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， ． 所以， 设平面的法向量为． 则即 取，则． 又， 设直线与平面所成的角为，则， 故与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度高二年级第一学期月考试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共4页，19题，满分150分. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 在空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 2. 若，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）. A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 5. 三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 6. 在空间四边形中，点在上，点在上，且，则向量等于（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点可以是棱的中点 B. 线段的最大值为 C. 点的轨迹是平行四边形 D. 点轨迹的长度为 8. 在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 关于空间向量，下列说法错误的是（ ） A. 对于任意的空间向量，都有 B. 若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C. 若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 10. 已知空间向量，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 11. 在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. 点B到平面的距离是 B. 平面与平面垂直 C. 记底面的中心为，则直线与直线所成角的余弦值为 D. 若为线段的中点，点在正四棱柱表面上运动，若平面，则点的轨迹是六边形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，已知，，点关于轴对称的点为，则，两点间的距离为______． 13. 长方体中，，，则点到直线的距离等于__________. 14. 已知向量，，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知且 （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求点B到平面的距离． 17. 如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 18. 已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为2，． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角． 19. 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $