河北部分学校2026-2027学年第一学期高二联考数学试卷

高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在长方体中，是的中点，则下列各式能表示向量的是 A． B． C． D． 2．已知平面，的法向量分别是，，则平面与的位置关系是 A．相交但不垂直 B． C． D．与重合 3．已知空间向量，，若，则 A．， B．， C．， D．， 4．已知圆台的母线与下底面成60°角，且下底面半径是上底面半径的2倍．记圆台的侧面积为，上、下底面积之和为，则 A． B． C． D． 5．如图，和所在的平面互相垂直，且，．设为的中点，则下列结论错误的是 A．平面 B．平面 C． D． 6．已知，是两条不同的直线，，，是三个互不重合的平面，则下列条件中，一定能使成立的是 A．， B．， C．，， D．， 7．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 8．在正四棱锥中，侧棱长是底面边长的倍，点在侧棱上．若平面，直线上存在一点，使得平面，则 A．3∶4 B．2∶3 C．2∶1 D．3∶1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有 A．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B．在三棱锥中， C．若，则异面直线与所成角的余弦值为 D．若空间向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 10．已知空间非零向量，，，则下列说法正确的有 A．，可以相互垂直 B．，为平面内的共面向量 C．是平面的一个法向量 D．不能作为其确定平面内的一个基底 11．如图，在矩形中，，，为的中点．现分别沿，将，翻折，使点，重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则下列结论正确的有 A．三棱锥的体积为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的表面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在空间直角坐标系中，点，，则直线与平面的交点的坐标为________． 13．已知空间四边形的对角线，，，分别是，的中点．若异面直线，所成的角为60°，则________． 14．已知正方体的棱长为2，点满足，则点到平面的距离为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知空间向量，，满足，． （1）求向量，，； （2）求向量与夹角的余弦值； （3）求向量在向量上的投影向量的坐标． 16．（15分）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，．为的中点，为的三等分点（靠近点）． （1）用，，表示； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）如图，在三棱柱中，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段上的动点，为线段的中点． （1）求证：； （2）当为线段的中点时，求二面角的余弦值． 19．（17分）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学参考答案及评分意见 1.B2.C3.B4.A5.D6.D7.A8.C9.ACD10.BC11.ABD 5 12. 13.7或914.2 x=4.1 15.解：（a6,a=(4,6=(-2y-）,之 解得x=2,y=-4 …2分 b1c.b=(（-2,-1.c=(3,-2,2) 万G=(-2,y,-1)小(3，-2，z)=6-2y-2=2-2=0,解得z=2. …4分 ∴.a=(2,4,1)b=(-2,-4,-1).c=(3,-2,2) …5分 (2)由1)得a=(2,4,),6=(-2,4,-),c=(3,-2,2 ∴.+c=(5,2,3)b+c=(1,-6,1) 6分 (a+c)(6+c)=(5,2,3)(1,-6,1)=-4 a+d=V52+22+32=V386+d=V1P+(-6)}2+1=38 …9分 .cos(a+.6+)-a+e)(B+e)2 a+cb+c 19 2 即向量ā+c与b+c夹角的余弦值为19 。。。。。。。 …11分 (3)由1)得a=(2,4,1),6=(-2,-4,-).a=-6. ∴向量元在向量b上的投影向量为a,“向量ā在向量万上的投影向量的坐标为(2,4,1)， …13分 16.解：(1)如图，连接AD 因为D为BC的中点，E为PD的三等分点（靠近点P), 所0-（而+aC)PE=m …3分 所以 亚-P+P死=P+}PD-P+aD- …6分 E D (2)因为PA⊥平面ABC,AB,BCC平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥BC. 如图，过点A作AM⊥PB,垂足为M. 因为平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,AMc平面PAB, 所以AM⊥平面PBC. 8分 又因为BCC平面PBC,所以AM⊥BC. 因为AM∩PA=A,AM,PAc平面PAB,所以BC⊥平面PAB 因为PB,ABC平面PAB,所以BC⊥PB,BC⊥AB 10分 如图，过点E作ENI/BC,交PB于点N,连接AW, 则EN⊥平面PAB,EN⊥PB,∠EAN即为直线AE与平面PAB所成的角.…I1分 在Rt△ABC中，BC=√AC2-AB=V2-1=1,在Rt△PAB中，PB=VPA+AB2=V+1=V2, EN-3BD-1BC-1 PN-1PB- 所以 3 66, 3 3，… …12分 在△PAN中，由余弦定理，得 N2=P4+PN2-2PA.PNc0s45=1+2-2xlx 22 5 329， AN=5 AE=VEN2+AN2 所以 3，所以 1 sin∠EAN=EN-6=V21 AE 21 21 所以 6 √21 即直线AE与平面PAB所成角的正弦值为21.… …15分 17.(1)证明：在△AAC中，∠4AC=60°，AC=1,A4=2, ∴由余弦定理， 4C=4c+f-2ac4-o244c-y+4-2x2x5 .AC2+AC2=A4,AC1AC.… …3分 AC1AB,AB∩AC=A,AB,ACc平面ABC,AC1平面ABC.…4分 ACC平面ABC,平面ABCL平面ABC.5分 (2)解：由(1)得AC1AC,AC LBC.又：AC⊥BC,AC,AC,BC两两相互垂直 以点C为坐标原点，CA,CB,CA所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 …6分 设Bc=k(k>0),由1D知4C=5,则C(00,o0).4(0.0,B0k,0),C(10,5) 4B=(0,k-5.CB=(0,k.0),cC=（10,5) …8分 设平面BCCB的法向量为m=(c,少2)， m.CB=0,[y=0, 则m:CC=0,即-x+V32=0. 令x=5,则y=0,z=l,m=(5,0 …10分 设直线4B与平面BCCB所成的角为O, sin0-cos(m- AB.m 33 4B2vk2+3 6 则 ，解得k=V6 4B=(0,6,-5 …11分 在三棱柱ABC-ABC中，~BB,∥CC且BB=CC,BB=CC=(-L,05) 设平面14B,B的法向量为i=(a,b,c), i:4B=0,「V66-V3c=0, 则i:BB=0,即-a+v5c=0. 令b=1,则a=6,c=2,i=(N6,1②) …13分 设平面AAB,B与平面BCCB的夹角为a, cosa=cos(m)= m.4√2_2√2 则 m同2×33 2W2 即平面A4B,B与平面BCCB夹角的余弦值为3.… …15分 18.(1)证明：方法一：PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD,∴PA⊥BC. 又，四边形ABCD为正方形，∴BC⊥AB. 又：PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,.BC⊥平面PAB. …3分 AFC平面PAB,.BC⊥AF PA=AB,F为线段PB的中点，∴AF⊥PB.… …5分 又：PB∩BC=B,PB,BCc平面PBC,AF⊥平面PBC. …6分 EFC平面PBC,.AF⊥EF. …7分 方法二：PA⊥底面ABCD,AB,BCC平面ABCD,·PA⊥AB,PA⊥BC 又：四边形ABCD为正方形，BC⊥AB. 又PA∩AB=A,PA,PBC平面PAB,∴BC⊥平面PAB 3分 PBC平面PAB,.BC⊥PB. …4分 当点E与点B重合时，在△PAB中，PA=AB,F为线段PB的中点， AF⊥BF,即AF⊥EF. …5分 当点E与点B不重合时，设AB=2,BE=x. 在等腰直角三角形PAB中，AF=BF=V2: 在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2=4+x2: 在Rt△BEF中，EF2=BF2+BE2=2+x2 AF2+EF2=AE2,.AF⊥EF. …6分 综上，AF⊥EF. …7分 (2)解：方法一：：PA⊥底面ABCD,AB,ADc平面ABCD ∴.PA⊥AB,PA⊥AD. :四边形ABCD是正方形，.AB⊥AD,AB,AD,AP两两垂直. 以点A为坐标原点，AB,AD,AP所在的直线分别为x,V,z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系。…9分 B 设AB=2.:PA=AB,F为线段PB的中点，E为线段BC的中点， ∴.A(0,0,0).B(2,0,0).C(2,2,0).P(0,0,2）.E(2,1,0)F(1,0,1) ∴.AE=(21,0).AF=(1,0,1).AP=(0,0,2) …12分 :PA⊥底面ABCD,·MP=(00,2)是平面ABE的一个法向量 ，…13分 设平面4EF的法向量为元=(x,少，2) i·AE=0, 2x+y=0, 则i:AF=0,即x+z=0. 令北=1，则y=-2,2=-1,i=(山，-2，-1) …5分 由题意知，二面角F-AE-B的平面角为锐角. 设二面角F-AE-B的大小为B, cos0-cos(P.= 列_2-6 P司 2×V6 则 √6 即二面角F-AE-B的余弦值为6.…17分 方法二：如图，取AB的中点H,连接FH,过点H作HG⊥AE于点G,连接FG.…8分 F H B F为线段PB的中点，∴.FH为△PAB的中位线，∴.FHIPA. PA⊥底面ABCD,∴.FH⊥底面ABCD AE,GHC平面ABCD,.FH⊥AE,FH⊥GH.…10分 HG⊥AE,FH∩HG=H,FH,HGc平面FGH,.AE⊥平面FGH. :FGC平面FGH,.AE⊥FG .∠FGH即为二面角F-AE-B的平面角.… …12分 设PA=AB=2,则FH=AH=1,AE=VAB2+BE2=V22+1P=V5 AH GH 1GH 由△AGH∽△ABE,得AEBE,即V51,解 GH=5 5 15分 FG=FH2+GH2- 在Rt△FGH中， 5 GH ∴.cos∠FGH= 5 6 FG V30 6 6 即二面角F-AE-B的余弦值为6. …17分 19.(1)证明：在△PBC中，因为E,F分别是BC,PC的中点，所以EFIIPB.…1分 因为EFC平面DEF,PB丈平面DEF,所以PB∥平面DEF.…3分 (2)解：因为PA⊥平面ABC,AB,ACC平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC. 因为AB⊥AC,所以AB,AC,AP两两垂直. 以点A为坐标原点，AB，AC,AP所在的直线分别为x,y,2轴，建立如图所示的空间直角坐标系. …6分 ZA 因为AB=AC=1,PA=2,D,E,F分别是棱AB,BC,PC的中点， ))c.)(o.02) P=002).E-020.F-(2 …9分 设平面DEF的法向量为方=(x,yx)】 DE元=’=0， 2 .i三一5x+2大之0 则( 2 令2=1，则y=0,x=2,所以元=(2,0，) …11分 元.AP sin0= 2 √5 4网 2×5 5 设直线PA与平面DEF所成的角为B,则 5 故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为5. 13分 (3)解：由(2)，得 -】 平面DEF的一个法向量为i=(2,0) d=-c_15 所以点C到平面DEF的距离同、 55 ………17分