2026-2027学年人教版数学九年级上学期月质量模拟测试 （25.1-26.4）

2026—2027 学年度第一学期月考模拟测试 九年级数学试卷（25.1 一元二次方程~ 26.4 二次函数的实际应用） （2024 人教版 · 综合卷 ） 考试时间：90 分钟　　满分：120 分 班级：____________　姓名：____________　学号：________　得分：________ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若关于 x 的方程 (k−2)x|k|＋(k＋1)x−3＝0 是一元二次方程，则 k 的值为（　　） A．2　　B．−2　　C．±2　　D．−2 或 1 2．用配方法解方程 x²−8x＋5＝0，配方后得到（　　） A．(x−4)²＝11　　B．(x−4)²＝21　　C．(x−8)²＝59　　D．(x−4)²＝−11 3．一元二次方程 2x²−3x＋5＝0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根　　C．没有实数根　　D．无法确定 4．若 x₁、x₂ 是一元二次方程 x²−5x−3＝0 的两个根，则 x₁²x₂＋x₁x₂² 的值为（　　） A．−15　　B．15　　C．−8　　D．8 5．若函数 y＝(m−1)xm²＋1＋2x−3 是二次函数，则 m 的值为（　　） A．±1　　B．1　　C．−1　　D．2 6．关于抛物线 y＝−3(x−2)²＋5，下列说法正确的是（　　） A．开口向上　　 B．顶点坐标为 (2，−5)　　 C．当 x＜2 时，y 随 x 的增大而增大　　D．函数有最小值 5 7．将抛物线 y＝2x² 向左平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，得到新抛物线的解析式为（　　） A．y＝2(x−3)²＋1　　B．y＝2(x＋3)²＋1　　C．y＝2(x−3)²−1　　D．y＝2(x＋3)²−1 8．已知抛物线 y＝x²＋2x＋m−1 与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是（　　） A．m＞2　　B．m≥2　　C．m＜2　　D．m≤2 9．二次函数 y＝−x²＋2x＋3 的图象与直线 y＝x＋1 交于 A、B 两点。当 −x²＋2x＋3＞x＋1 时，x 的取值范围是（　　） A．x＜−1 或 x＞2　　B．−1＜x＜2　　C．x＜1 或 x＞2　　D．1＜x＜2 10．已知二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：① abc＞0；② b²−4ac＞0；③ 2a−b＝0；④ a−b＋c＜0；⑤ a＋b＋c＝0。其中正确的是（　　） A．①②③　　B．①②⑤　　C．②③④　　D．①②③⑤ 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．把答案填在题中横线上） 11．某商品原售价为 50 元，经过两次连续降价后售价为 40.5 元，则该商品每次降价的百分率为 ________。 12．抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是________． 13．已知等腰三角形的两边长分别是方程 x²−7x＋12＝0 的两个根，则这个等腰三角形的周长为 ________。 14．已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 15．已知 a、b 是一元二次方程 x²−7x＋1＝0 的两个实数根，c、d 是一元二次方程 x²−3x＋2＝0 的两个实数根，则 (a−c)(b−c)(a−d)(b−d) 的值为 ________。 三、解答题（本大题共 9 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（本小题 9 分）解下列方程： （1）2x²−5x＋1＝0（3 分）； （2）3(x−2)²−12＝0（3 分）； （3）(x−3)²＝4x−12（3 分）。 17．（本小题 8 分）已知 x₁、x₂ 是方程 x²−3x−1＝0 的两个实数根。 （1）求 x₁²x₂＋x₁x₂² 的值； （2）求以 (x₁−1)、(x₂−1) 为两根的一元二次方程。 18．抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 19．（本小题 8 分）已知抛物线 y＝a(x−1)²−3 的顶点为 P(1，−3)，且经过点 A(0，−1)。 （1）求抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴，并求它与 x 轴的交点坐标； （3）当 −1≤x≤3 时，求 y 的最大值与最小值。 20．（本小题 8 分）一个抛物线形拱桥的示意图如图所示，桥的跨度为，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱的水平距离为（不考虑立柱的粗细），其中距A点处的立柱的高度为． (1)求正中间的立柱的高度． (2)是否存在一根立柱，其高度恰好是的一半？请说明理由． 思考1：本题如何建立平面直角坐标系，能使计算较为简便？ 思考2：如果以直线为x轴，以点A为原点，建立平面直角坐标系，那么每根立柱上的点的横坐标有什么共同特点？ 21．（本小题 8 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝−x²＋bx＋c 与直线 y＝x＋3 交于 A(−2，1)、B 两点，且抛物线经过点 C(0，5)。 （1）求抛物线的解析式； （2）求点 B 的坐标； （3）当 −x²＋bx＋c＜x＋3 时，求 x 的取值范围。 22．（本小题 8 分）某商店以每件 20 元的价格购进一批商品，当售价定为每件 40 元时，每月可售出 200 件。经调查：售价每上涨 1 元，月销量就减少 5 件。设每件商品售价上涨 a 元（0≤a≤40），月销售利润为 W 元。 （1）求 W 关于 a 的函数解析式及 a 的取值范围； （2）当售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ （3）若商店每月销售利润不低于 4000 元，求 a 的取值范围。 23．（本小题 8 分）如图，直线 y＝x−1 与抛物线 y＝−x²＋3x＋2 交于 A、B 两点。 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求 △AOB 的面积（O 为坐标原点）； （3）点 P 为直线 AB 上方抛物线上的一个动点，求 △PAB 面积的最大值及此时点 P 的坐标。 24．（本小题 10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝−x²＋6x＋16 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D。 （1）求点 A、B、C 的坐标及顶点 D 的坐标； （2）点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，交直线 BC 于点 F。求 PF 的最大值及此时点 P 的坐标； （3）将抛物线向右平移 t（t＞0）个单位得到抛物线 C₁，C₁ 与 x 轴交于 M、N 两点（点 M 在点 N 的左侧），与 y 轴交于点 Q。若 △QMN 的面积为 45，求 t 的值。 参考答案与解析 （2024 人教版 · 25.1 一元二次方程 — 26.4 二次函数的实际应用） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．B　2．A　3．C　4．A　5．C　6．C　7．B　8．A　9．B　10．D 【解析】 1．B　由题意 |k|＝2 且 k−2≠0，得 k＝−2。 2．A　x²−8x＋5＝0，配方得 (x−4)²＝11。 3．C　Δ＝(−3)²−4×2×5＝9−40＝−31＜0，方程没有实数根。 4．A　x₁＋x₂＝5，x₁x₂＝−3，x₁²x₂＋x₁x₂²＝x₁x₂(x₁＋x₂)＝−15。 5．C　m²＋1＝2 且 m−1≠0，得 m＝−1。 6．C　抛物线开口向下，顶点 (2，5)，当 x＜2 时 y 随 x 的增大而增大，函数有最大值 5。 7．B　“左加右减、上加下减”：y＝2(x＋3)²＋1。 8．A　抛物线与 x 轴没有交点，即 Δ＝4−4(m−1)＝8−4m＜0，m＞2。 9．B　联立得 x²−x−2＝0，x＝−1 或 2；抛物线开口向下，故 −1＜x＜2。 10．D　由图象知抛物线为 y＝−x²−2x＋3，即 a＝−1、b＝−2、c＝3。abc＝6＞0，①对；b²−4ac＝16＞0，②对；2a−b＝0，③对；a−b＋c＝4＞0，故④错；a＋b＋c＝0，⑤对。故选 D。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．10%　12． x＜-1或x＞3 13．10 或 11　14．，　15．45 11．设每次降价的百分率为 x，则 50(1−x)²＝40.5，(1−x)²＝0.81，x＝10%。 12．由函数图像可得当y=0时，x= -1或3 13．x²−7x＋12＝0 的两根为 3、4。腰长为 3 时周长 3＋3＋4＝10；腰长为 4 时周长 4＋4＋3＝11。故周长为 10 或 11。 14．由函数可得，。 15．a＋b＝7，ab＝1；c＋d＝3，cd＝2。(a−c)(b−c)＝ab−c(a＋b)＋c²＝1−7c＋c²，由 c²−3c＋2＝0 得 c²＝3c−2，故原式＝−4c−1；同理 (a−d)(b−d)＝−4d−1。原式＝(−4c−1)(−4d−1)＝16cd＋4(c＋d)＋1＝32＋12＋1＝45。 三、解答题（共 75 分） 16．（9 分） （1）a＝2，b＝−5，c＝1，Δ＝25−8＝17＞0，x＝。 （2）3(x−2)²＝12，(x−2)²＝4，x−2＝±2，故 x＝0 或 x＝4。 （3）(x−3)²−4(x−3)＝0，(x−3)(x−7)＝0，故 x＝3 或 x＝7。 17．（8 分） （1）x₁＋x₂＝3，x₁x₂＝−1。x₁²x₂＋x₁x₂²＝x₁x₂(x₁＋x₂)＝−3。 （2）(x₁−1)＋(x₂−1)＝x₁＋x₂−2＝1；(x₁−1)(x₂−1)＝x₁x₂−(x₁＋x₂)＋1＝−1−3＋1＝−3。故所求一元二次方程为 x²−x−3＝0。 18．（8 分） (1) (2)， (3) (4) 19．（8 分） （1）把 A(0，−1) 代入 y＝a(x−1)²−3，得 a−3＝−1，a＝2。故 y＝2(x−1)²−3＝2x²−4x−1。 （2）对称轴为 x＝1。令 y＝0，得 2(x−1)²＝3，即 (x−1)²＝，解得 x＝1±。故与 x 轴的交点为 (1＋，0)、(1−，0)。 （3）对称轴 x＝1 ，且−1＜x＜3，当 x＝1 时 y 取最小值 −3；当 x＝−1 或 x＝3 时 y＝2×4−3＝5，故 y 的最大值为 5。 20．（8 分） （1）解：以点O为原点，以所在的直线为x轴，建立直角坐标系，如图， 由题可得：， 设抛物线的解析式为， 解得： ∴， 当时，， ∴正中间的立柱的高度是． （2）解：设存在一根立柱的高度是的一半，即这根立柱的高度是5米． 则， 解得：， ∵相邻立柱之间的间距为米．最中间的立柱在y轴上， 根据题意每根立柱上的点的横坐标为的整数倍， ∴与题意不符， ∴不存在一根立柱，其高度恰好是高度的一半． 思考1：以直线为x轴，以直线为y轴，建立平面直角坐标系，计算较简便； 思考2：由题意，相邻立柱上的点的横坐标为10的整数倍． 21．（8 分） （1）抛物线过 C(0，5)，c＝5。又过 A(−2，1)，−4−2b＋5＝1，b＝0。故 y＝−x²＋5。 （2）联立 −x²＋5＝x＋3，得 x²＋x−2＝0，x＝−2 或 x＝1。故 B(1，4)。 （3）−x²＋5＜x＋3，即 x²＋x−2＞0，解得 x＜−2 或 x＞1。 22．（8 分） （1）每件利润为 (20＋a) 元，月销量为 (200−5a) 件。W＝(20＋a)(200−5a)＝−5a²＋100a＋4000（0≤a≤40）。 （2）W＝−5a²＋100a＋4000＝−5(a−10)²＋4500。当 a＝10 时 W 最大，最大值为 4500，此时售价为 40＋10＝50 元。答：售价定为 50 元时月销售利润最大，最大利润为 4500 元。 （3）令 W≥4000，得 −5a²＋100a＋4000≥4000，即 a²−20a≤0，a(a−20)≤0，解得 0≤a≤20。 23．（8 分） （1）联立 x−1＝−x²＋3x＋2，得 x²−2x−3＝0，x＝−1 或 x＝3。故 A(−1，−2)、B(3，2)。 （2）S△AOB＝|(−1)×2−3×(−2)|＝×4＝2。 （3）设 P(m，−m²＋3m＋2)，作 PE∥y 轴交直线 AB 于 E(m，m−1)，则 PE＝(−m²＋3m＋2)−(m−1)＝−m²＋2m＋3＝−(m−1)²＋4（−1＜m＜3）。当 m＝1 时 PE 最大，最大值为 4，此时 P(1，4)。S△PAB＝2PE，故 △PAB 面积的最大值为 8。 24．（10 分） （1）y＝−x²＋6x＋16＝−(x−3)²＋25。令 y＝0，得 x²−6x−16＝0，x＝−2 或 x＝8。故 A(−2，0)、B(8，0)、C(0，16)、D(3，25)。 （2）直线 BC 过 B(8，0)、C(0，16)，解析式为 y＝−2x＋16。设 P(m，−m²＋6m＋16)，F(m，−2m＋16)，则 PF＝(−m²＋6m＋16)−(−2m＋16)＝−m²＋8m＝−(m−4)²＋16（0＜m＜8）。当 m＝4 时 PF 最大，最大值为 16，此时 P(4，24)。 （3）C₁：y＝−(x−3−t)²＋25。与 x 轴交点：M(t−2，0)、N(t＋8，0)，MN＝10。与 y 轴交点：Q(0，16−t²−6t)。S△QMN＝×10×|16−t²−6t|＝45，故 |16−t²−6t|＝9。当 16−t²−6t＝9 时，t²＋6t−7＝0，t＝1 或 −7（舍）；当 16−t²−6t＝−9 时，t²＋6t−25＝0，t＝−3±，取 t＝−3。故 t＝1 或 t＝−3。 学科网（北京）股份有限公司 $