2.2函数的单调性和最值专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数单调性与最值核心考点，通过分层题型构建从定义应用到抽象拓展的知识逻辑，强化数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数的单调性|9题（含多选、填空）|定义辨析、含参单调性、抽象函数性质、反例构造|从单调性定义理解到性质应用，结合对称性、抽象函数综合拓展| |函数的最值|7题（含新定义、解答）|分段函数值域、新定义函数最值、抽象函数最值、恒成立问题|从基本函数值域到复合函数及新定义问题的综合求解，渗透转化思想|

2.2　函数的单调性和最值 考点1　函数的单调性 1.★(2026届福建连城一中月考,3)下列函数f(x)中,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),均有(x1-x2)·(f(x1)-f(x2))>0”的是 (　　) A. f(x)=　　　B. f(x)=x2-4x+4 C. f(x)=2x　　　D. f(x)=lox 　 2.★★(2026届黑龙江新时代教育联合体期中,6)若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(3-a)<f(2a-1),则a的取值范围是 (　　) A. 　 3.★★(2025届陕西西安模拟,3)若函数f(x)=在(1,+∞)上单调,则a的取值范围是 (　　) A.[-2,+∞)　　　B.[-1,+∞) C.(-∞,-2]　　　D.(-∞,-1] 　 4.★★★(2026届江苏南京一中月考,6)若函数f(x)=在(-1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 (　　) A.[-3,9]　　　B.[-3,+∞) C.[0,9]　　　D.(-∞,9] 　 5.★★★(2025届江苏扬州开学考,5)已知函数f(x)在[1,+∞)上单调递减且对任意x∈R满足f(x)=f(2-x),则不等式f(2x-3)>f(x)的解集是 (　　) A.∪(3,+∞)　　　B. C.　　　D.(3,+∞) 　 6.★★★(2026届山东济南摸底考,7)已知函数f(x)=+x,满足f(3a+2)+f(a)<1,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,-1)　　　B.(-1,+∞) C. 　 7.★★★(多选)(2026届福建百校联合测评,11)已知定义在R上的函数f(x)满足对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时, f(x)<0, f(2)=-4,则 (　　) A.f(0)=0 B.f(x)+f(-x)=0 C.f(x)在R上单调递增 D.f(x2-2x)-f(2-x)>4的解集为(0,1) 8.★★(2026届北京大学附中开学考,18)能说明“若f(x)+g(x)是R上的增函数,则f(x),g(x)至少一个是R上的增函数”为假命题的函数f(x)=　　　　,g(x)=　　　　.  9.★★★★(2026届安徽五校第一次联考,14)已知f(x)的定义域为(0,+∞),且f(2)=2,对于任意正数x,y,都有f(xy)+1=f(x)+f(y),若当x>1时, f(x)>1,则不等式f(2x-1)≤4的解集为　　　　.  考点2　函数的最值(值域) 1.★★(2025届山东威海模拟,5)已知函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,1)　　　B.(-1,+∞) C.[-1,1)　　　D.(1,+∞) 　 2.★★★(2025届黑龙江牡丹江一中开学考,7)记实数x1,x2,…,xn的最小数为min{x1,x2,…,xn},若f(x)=min{x+1,x2-2x+1,-x+8},则函数f(x)的最大值为 (　　) A.4　　　B.　　　C.1　　　D.5 　 3.★★★(2025届山西晋中部分校质检,8)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),若对于任意的x,y∈(0,+∞),都有f(x)+f(y)=f(xy)+2,当x>1时,都有f(x)>2,且f(3)=3,则函数f(x)在区间[1,27]上的最大值为 (　　) A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5 　 4.★★★(2026届江苏启东中学素质测试,8)设函数f(x)=max{x2+2x+4,|x-4|},其中max{a,b}表示a,b中的最大者,若f(x)在区间[m,n]上的最大值为7,最小值为4,则区间长度n-m的最大值和最小值分别为 (　　) A.3,1　　　B.4,1　　　C.5,2　　　D.7,2 　 5.★★★(新定义理解)(2025届江苏如东开学考,13)对于实数a,b,定义新运算:ab=设函数f(x)=|x2-2x|(|x|-1),当x∈(1,3)时,函数f(x)的值域为　　　　.  6.★★★★(2026届广东深圳模拟,14)若函数f(x)=x4+4x3+ax(a∈R)的图象存在对称轴,则f(x)的最小值为　　　　.  7.★★★(新定义理解)(2026届重庆十一中质检,16)函数f(x)=ax2+(其中a>0,b>0)的图象形如“三叉戟”,因而得名三叉戟函数.已知三叉戟函数f(x)=ax2+的图象经过点(1,2),且满足f(-1)=0. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若∀x∈(0,+∞), f(x)+f-2m≥0恒成立,求实数m的取值范围. 参考答案 2.2　函数的单调性和最值 考点1　函数的单调性 1.★(2026届福建连城一中月考,3)下列函数f(x)中,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),均有(x1-x2)·(f(x1)-f(x2))>0”的是 (　　) A. f(x)=　　　B. f(x)=x2-4x+4 C. f(x)=2x　　　D. f(x)=lox 答案　C　 2.★★(2026届黑龙江新时代教育联合体期中,6)若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(3-a)<f(2a-1),则a的取值范围是 (　　) A. 答案　B　 3.★★(2025届陕西西安模拟,3)若函数f(x)=在(1,+∞)上单调,则a的取值范围是 (　　) A.[-2,+∞)　　　B.[-1,+∞) C.(-∞,-2]　　　D.(-∞,-1] 答案　A　 4.★★★(2026届江苏南京一中月考,6)若函数f(x)=在(-1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 (　　) A.[-3,9]　　　B.[-3,+∞) C.[0,9]　　　D.(-∞,9] 答案　A　 5.★★★(2025届江苏扬州开学考,5)已知函数f(x)在[1,+∞)上单调递减且对任意x∈R满足f(x)=f(2-x),则不等式f(2x-3)>f(x)的解集是 (　　) A.∪(3,+∞)　　　B. C.　　　D.(3,+∞) 答案　B　 6.★★★(2026届山东济南摸底考,7)已知函数f(x)=+x,满足f(3a+2)+f(a)<1,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,-1)　　　B.(-1,+∞) C. 答案　C　 7.★★★(多选)(2026届福建百校联合测评,11)已知定义在R上的函数f(x)满足对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时, f(x)<0, f(2)=-4,则 (　　) A.f(0)=0 B.f(x)+f(-x)=0 C.f(x)在R上单调递增 D.f(x2-2x)-f(2-x)>4的解集为(0,1) 答案　ABD　 8.★★(2026届北京大学附中开学考,18)能说明“若f(x)+g(x)是R上的增函数,则f(x),g(x)至少一个是R上的增函数”为假命题的函数f(x)=　　　　,g(x)=　　　　.  答案　x2+2x;-x2+x(答案不唯一) 9.★★★★(2026届安徽五校第一次联考,14)已知f(x)的定义域为(0,+∞),且f(2)=2,对于任意正数x,y,都有f(xy)+1=f(x)+f(y),若当x>1时, f(x)>1,则不等式f(2x-1)≤4的解集为　　　　.  答案　 考点2　函数的最值(值域) 1.★★(2025届山东威海模拟,5)已知函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,1)　　　B.(-1,+∞) C.[-1,1)　　　D.(1,+∞) 答案　C　 2.★★★(2025届黑龙江牡丹江一中开学考,7)记实数x1,x2,…,xn的最小数为min{x1,x2,…,xn},若f(x)=min{x+1,x2-2x+1,-x+8},则函数f(x)的最大值为 (　　) A.4　　　B.　　　C.1　　　D.5 答案　B　 3.★★★(2025届山西晋中部分校质检,8)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),若对于任意的x,y∈(0,+∞),都有f(x)+f(y)=f(xy)+2,当x>1时,都有f(x)>2,且f(3)=3,则函数f(x)在区间[1,27]上的最大值为 (　　) A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5 答案　D　 4.★★★(2026届江苏启东中学素质测试,8)设函数f(x)=max{x2+2x+4,|x-4|},其中max{a,b}表示a,b中的最大者,若f(x)在区间[m,n]上的最大值为7,最小值为4,则区间长度n-m的最大值和最小值分别为 (　　) A.3,1　　　B.4,1　　　C.5,2　　　D.7,2 答案　B　 5.★★★(新定义理解)(2025届江苏如东开学考,13)对于实数a,b,定义新运算:ab=设函数f(x)=|x2-2x|(|x|-1),当x∈(1,3)时,函数f(x)的值域为　　　　.  答案　(0,2) 6.★★★★(2026届广东深圳模拟,14)若函数f(x)=x4+4x3+ax(a∈R)的图象存在对称轴,则f(x)的最小值为　　　　.  答案　-4 7.★★★(新定义理解)(2026届重庆十一中质检,16)函数f(x)=ax2+(其中a>0,b>0)的图象形如“三叉戟”,因而得名三叉戟函数.已知三叉戟函数f(x)=ax2+的图象经过点(1,2),且满足f(-1)=0. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若∀x∈(0,+∞), f(x)+f-2m≥0恒成立,求实数m的取值范围. 解析　(1)由函数f(x)=ax2+的图象经过点(1,2),得f(1)=a+b=2, 由f(-1)=0,得a-b=0,解得a=b=1, 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2+. (2)∀x∈(0,+∞),不等式f(x)+f-2m≥0⇔2m≤x2++x恒成立, 令g(x)=x2+-2,而当x>0时,x+≥2,当且仅当x=1时取等号, 因此g(x)≥22+2-2=4,当且仅当x=1时取等号,则2m≤4,解得m≤2, 所以实数m的取值范围是(-∞,2]. 1 学科网（北京）股份有限公司 $