第5课时 一元二次不等式 专项训练-2027届高三数学一轮复习

第5课时　 一元二次不等式同步练 1．下列不等式中解集为R的是(　　) A．－x2＋2x＋1≥0　　　 B．x2－2x＋>0 C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<0 2．若关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，则m的取值范围是(　　) A．m>0 B．0<m<2 C．m<0或m> D．m<0 3．已知两个集合A＝{x|y＝ln(－x2＋x＋2)}，B＝，则A∩B＝(　　) A. B. C．(－1，e) D．(2，e) 4．不等式(2x－1)(1－|x|)<0成立的必要不充分条件是(　　) A．x>1或x< B．x>1或－1<x< C．－1<x< D．x<－1或x> 5．不等式>0的解集为(　　) A. B. C. D. 6．若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a<2} B．{a|－1<a≤2} C．{a|－1<a<2} D．{a|－1≤a≤2} 7．关于x的不等式mx2＋2mx＋1<0的解集为空集，则m的取值范围为(　　) A．(0，1) B．(0，1] C．[0，1] D．[0，1) 8．某同学解关于x的不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)时，因弄错了常数c的符号，解得其解集为(－∞，－3)∪(－2，＋∞)，则不等式bx2＋cx＋a>0的解集为(　　) A． B．(－∞，－1)∪ C． D．∪(1，＋∞) 9．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1(i＝1，2，3)都成立的x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 10．【多选题】设[x]表示不大于实数x的最大整数，则关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为(　　) A． B．3 C．－3.5 D．－5 11．【多选题】已知a∈R，关于x的不等式(ax－2)(x＋2)>0的解集可能是(　　) A． B．{x|x>－2} C． D． 12．已知二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3，不等式f(x)≥m的解集的区间长度为6(规定：闭区间[a，b]的长度为b－a)，则实数m的值是________． 13．若不等式a·4x－2x＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________． 14．已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}． (1)求a，b的值； (2)解不等式ax2－(am＋b)x＋bm<0. 15．【多选题】已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，则(　　) A．x1＋x2＝2 B．x1x2＜－8 C．－2＜x1＜x2＜4 D．x2－x1＞6 16．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是________． 17．已知函数f(x)＝x2＋2ax－a＋2. (1)若对于∀x∈R，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围； (2)若对于∀x∈[－1，1]，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围； (3)若∃x∈[－1，1]，使得f(x)≥0成立，求实数a的取值范围； (4)若对于∀a∈[－1，1]，f(x)＞0恒成立，求实数x的取值范围； (5)∀x1，x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|≤4恒成立，求实数a的取值范围． 第5课时 一元二次不等式同步练参考答案 1．答案　C 解析　在C中，函数图象开口向上，且Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式解集为R. 2．答案　D 3．答案　B 解析　由题意得A＝{x|－x2＋x＋2>0}＝{x|－1<x<2}，B＝，故A∩B＝. 4．答案　B 解析　原不等式成立的充要条件为或∴或 ∴x>1或－1<x<.故选B. 5．答案　C 解析　>0⇔>0⇔(x＋2)(x－1)(x－3)>0，由数轴标根法，得－2<x<1或x>3. 6．答案　B 解析　当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R；当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1<a<2.综上，－1<a≤2，故a的取值范围为{a|－1<a≤2}．故选B. 7．答案　C 解析　当m＝0时，不等式为1<0，解集为空集，符合题意； 当m≠0时，要使不等式mx2＋2mx＋1<0的解集为空集， 则需解得0<m≤1. 综上所述，m的取值范围是[0，1]．故选C. 8．答案　C 解析　由题意可知a<0，且－3＋(－2)＝－，－3×(－2)＝－，所以b＝5a，c＝－6a，所以bx2＋cx＋a>0可化为5x2－6x＋1<0，即(5x－1)(x－1)<0，解得<x<1.故选C. 9．答案　B 解析　由(1－aix)2<1(i＝1，2，3)，得ax2－2aix<0， 即解得 由题意知<<，∴x∈.故选B. 10．答案　ABC 解析　因为不等式[x]2＋[x]－12≤0，所以([x]－3)([x]＋4)≤0, 即－4≤[x]≤3，又因为[x]表示不大于实数x的最大整数，所以不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为，3，－3.5.故选ABC. 11．答案　ACD 解析　当a＝0时，(ax－2)(x＋2)＝－2(x＋2)>0，解得x<－2.当a>0时，(ax－2)(x＋2)＝a·(x＋2)>0，解得x>或x<－2，故A正确．当a<0时，(ax－2)(x＋2)＝a·(x＋2)>0，若＝－2，则a＝－1，则解集为空集；若<－2，则－1<a<0，则不等式的解集为，故D正确；若>－2，则a<－1，则不等式的解集为，故C正确． 12．答案　－5 解析　不等式f(x)≥m可化为x2－2x－3＋m≤0，令x2－2x－3＋m≤0的解集为[x1，x2]，则x2－x1＝6，又∴(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝36，∴4－4(m－3)＝36，解得m＝－5. 13．答案　 解析　不等式可变形为a>＝－，令＝t，则t>0. ∴y＝－＝t－t2＝－＋，因此当t＝时，y取最大值，故实数a的取值范围是. 14．答案　(1)a＝1，b＝2　(2)见解析 解析　(1)因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根，所以解得 (2)由(1)知原不等式为x2－(m＋2)x＋2m<0，即(x－m)(x－2)<0，当m>2时，不等式的解集为{x|2<x<m}；当m＝2时，不等式的解集为∅；当m<2时，不等式的解集为{x|m<x<2}． 15．答案　ABD 解析　因为关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的两个不同的根，所以x1＋x2＝2，故A正确； x1x2＝a－8＜－8，故B正确； x2－x1＝＝2＞6，故D正确； 由x2－x1＞6，x1＋x2＝2，可得x1＜－2，x2＞4， 故－2＜x1＜x2＜4不成立，故C错误． 16．答案　[－2，－1)∪(3，4] 解析　由题意得，原不等式可化为(x－1)(x－a)<0，当a>1时，解得1<x<a，此时解集中的整数为2，3，则3<a≤4；当a<1时，解得a<x<1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a<－1，故a∈[－2，－1)∪(3，4]． 17．答案　(1)[－2，1]　(2)[－3，1]　(3)R (4){x|x≠－1}　(5)[－1，1] 解析　(1)由题意得Δ＝(2a)2－4(－a＋2)≤0，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，所以实数a的取值范围是[－2，1]． (2)因为对于∀x∈[－1，1]，f(x)≥0恒成立，所以f(x)min≥0，x∈[－1，1]．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a. 当－a≤－1，即a≥1时，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，则f(x)min＝f(－1)＝3－3a≥0，得a≤1，所以a＝1. 当－1＜－a＜1，即－1＜a＜1时，f(x)min＝f(－a)＝－a2－a＋2≥0，得－2≤a≤1，所以－1＜a＜1. 当－a≥1，即a≤－1时，f(x)在区间[－1，1]上单调递减，则f(x)min＝f(1)＝a＋3≥0，得a≥－3，所以－3≤a≤－1. 综上，实数a的取值范围是[－3，1]． (3)若∃x∈[－1，1]，使得f(x)≥0成立，则f(x)max≥0，x∈[－1，1]．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a. 当－a≤0，即a≥0时，f(x)max＝f(1)＝a＋3≥0，得a≥－3，所以a≥0. 当－a＞0，即a<0时，f(x)max＝f(－1)＝3－3a≥0，得a≤1，所以a＜0. 综上，实数a的取值范围是R. (4)因为对于∀a∈[－1，1]，f(x)＞0，令g(a)＝(2x－1)a＋x2＋2，则g(a)＞0在[－1，1]上恒成立，所以解得x≠－1，故实数x的取值范围是{x|x≠－1}． (5)由(2)知，当a≥1时，f(x)min＝f(－1)＝3－3a，f(x)max＝f(1)＝3＋a. ∴f(x)max－f(x)min≤4，即(3＋a)－(3－3a)≤4，解得a≤1，∴a＝1. 当－1<a<1时，f(x)min＝f(－a)＝－a2－a＋2，f(x)max＝max{f(1)，f(－1)}． ∴ 解得－1≤a≤1，∴－1<a<1. 当a≤－1时，f(x)min＝f(1)＝3＋a，f(x)max＝f(－1)＝3－3a. ∴3－3a－(3＋a)≤4，解得a≥－1，∴a＝－1. 综上，实数a的取值范围是[－1，1]． 探究　(1)本题的几个小题表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用各类成立问题的充要条件． (2)本题第(4)问已知a的取值范围求x的取值范围，要注意变换主元．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 学科网（北京）股份有限公司 $