专题12 三角函数的图象与性质 专项训练-2027届高考数学一轮复习（新高考全国卷）

专题12　三角函数的图象与性质 群哥高中数学辅导资料 专题12　三角函数的图象与性质 一、核心知识 1．五点作图与图象变换： 的图象可由 经平移（）、横向伸缩（）、纵向伸缩（）与上下平移（）得到；作图时取相位为 的五个关键点。 2．由图象求解析式：，，（ 为最小正周期），再代入最高点（相位为 ）或零点解出 并按题目约定的范围取值。 3．周期性： 与 的最小正周期为 ， 为 ； 的周期为 。 4． 的取值范围：由单调性得 即 ；由零点或极值点个数可列出关于 的不等式组。处理顺序一律是**先定周期范围，再反解 **。 5．对称性： 的对称轴由 确定，对称中心由 确定（纵坐标为 ）； 的对称轴由 确定，对称中心由 确定。 6．奇偶性： 为奇函数， 为偶函数；一般地， 时 为奇函数， 时为偶函数。 7．单调性：把相位 视为整体， 在 上递增、在 上递减； 在 上递增、在 上递减。 8．最值与值域：先求相位区间，再在单位圆上找出该区间内 （或 ）的最大、最小值； 化为 后最值为 。 9．综合应用：方程 的解的个数等于直线 与 图象的交点个数；恒成立问题转化为求最值；有解问题转化为求值域。数形结合是本讲一切综合题的入口。 二、题型精练 题型一　三角函数的图象与解析式（由图象求 y=Asin(ωx+φ)+B） 【方法与技巧】 由图象求 的固定三步：① 、；② 由周期 得 （）；③ 代入一个已知点（优先选最高点或零点）解 ，并用 （题目给的约定）定终值。 周期怎么从图上读： 是相邻两个最高点与最低点的横向距离， 是相邻零点与极值点的横向距离。读不准全长时，读半周期或四分之一周期往往更稳。 求 时代最高点最省事：最高点处 ，代入坐标即可解出 （再调整到约定范围）。代零点时要先判断该零点处曲线是上升还是下降，否则会差一个 。 别忘了上下平移：图的中轴线不是 轴时， 就是中轴线的纵坐标，先把它减掉再按标准步骤求 、、。漏掉 是最常见的失分点。 【例题精讲】 1．如图是函数 在一个周期内的图象，则其解析式为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．把 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位，所得图象对应的函数是（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．用“五点法”画 在 上的图象时，五个关键点的横坐标分别是 、、、______、．　　　　 　 【变式训练】 1．如图是函数 的图象，则其解析式为（　　） A． B． C． D． 2．把 的图象向右平移 个单位，所得图象对应的函数是（　　） A． B． C． D． 3．在 中， 的几何意义是（　　） A．决定周期的长短， 越大周期越短 B．决定振幅的大小 C．决定上下平移量 D．决定左右平移量 4．函数 的振幅为______．　　　　 5．已知函数 的图象在 处取到最大值，且最小正周期为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．把 的图象向左平移 后，再把横坐标缩短到原来的 ，所得函数为 ______．　　　　 【巩固练习】 1．如图是函数 的图象，则其解析式为（　　） A． B． C． D． 2．把 的图象向右平移 个单位，所得函数为（　　） A． B． C． D． 3．已知函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 与 分别为（　　） A． B． C． D． 4．把 的图象上各点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变），所得函数为______．　　　　 5．将 的图象向右平移 个单位，所得函数为（　　） A． B． C． D． 6．函数 在一个周期内，五个关键点的相位依次为 、、、、，其中相位为 时对应的 值为______．　　　　 7．已知函数 的图象与 轴交于点 ，且 、、，则 ______．　　　　 8．关于图象变换的顺序，下列说法正确的是（　　） A．先平移后伸缩与先伸缩后平移，平移的量不同，结果一般也不同 B．两种顺序的总结果一定相同 C．只能先平移后伸缩 D．只能先伸缩后平移 题型二　ω 的取值范围与最值问题（先定周期范围再反解） 【方法与技巧】 问题一律倒推：**先由条件定出周期的范围，再由 反解 的范围**，最后结合单调区间或零点个数取交集。硬代数值进去试，试到高考结束也试不完。 “在 上单调”翻译成周期条件：该区间必须落在某个长度为 的单调区间内，故 ，即 。这是 上界最常用的一条不等式。 “在 上恰有 个零点（或极值点）”的处理：先写出零点（极值点）的通式，再让它们落在 内，数出个数并令其等于 ，解出 的范围。数个数时端点是否取到要单独验。 的最值题常与“ 在 上不单调”“至少有一个极值点”等否定式表述结合，此时先写出肯定式的范围再取补集，比正面列式清晰得多。 【例题精讲】 1．已知函数 在 上单调递增，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．已知函数 在 上单调递减，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．已知函数 的最小正周期不小于 ，则 的取值范围是______．　　　　 【变式训练】 1．已知函数 在 上至少有一个极大值点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．已知函数 ，若 在 上恰有 个零点（含端点 ），则 的取值范围是______．　　　　 3．处理 的取值范围问题时，合理的顺序是（　　） A．先由条件定出周期的范围，再反解 B．直接代几个 的值试 C．先求 再求 D．先画图量出 4．已知函数 在 上单调递增，则 的最大值为______．　　　　 5．已知函数 在 上单调递减，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．已知函数 的最小正周期为 ，则 的值为______．　　　　 【巩固练习】 1．已知函数 在 上单调递增，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．已知函数 的最小正周期为 ，则 ______．　　　　 3．已知函数 在 上恰有 个零点（含端点 ），则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．由“ 在区间 上单调”推出 的上界时，依据的关系式是区间长度不超过______．　　　　 5．已知函数 在 上的最大值为 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．已知函数 在 上的最小值为 ，则 的最小值为______．　　　　 7．已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知函数 在 上恰有 个极大值点，则 的取值范围是______．　　　　 题型三　单调性、奇偶性与对称性（对称轴、对称中心的判定） 【方法与技巧】 对称轴与对称中心要分清： 的对称轴是 （过最高、最低点），对称中心是 （过零点）； 反过来，对称轴 ，对称中心 。 对 ：令整体 解出的 就是对称轴；令 解出的点是**对称中心**（纵坐标为 ，若有上下平移）。两个令法别记混。 奇偶性的判定： 是奇函数， 是偶函数；带 时， 为奇函数， 为偶函数，其余非奇非偶。判定时直接看能否化成这两种形式。 单调区间的求法：把 看成一个整体 ，先写出 （或 ）的单调区间，再解出 的范围。注意 时不等号方向不变， 时要先用诱导公式把 化正。 【例题精讲】 1．函数 的一个单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．函数 是（　　） A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 　 　 　 3．函数 图象的一条对称轴方程是______．　　　　 　 　 　 【变式训练】 1．函数 的一个单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 2．函数 为奇函数，则 可以取（　　） A． B． C． D．（也可以） 3．函数 的对称轴方程是 ______（）．　　　　 4．函数 图象的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 5．已知函数 ，则 在 上的单调性是（　　） A．先增后减 B．单调递增 C．单调递减 D．先减后增 6．函数 的奇偶性是______．　　　　 【巩固练习】 1．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的图象关于点 对称，这是因为它满足 ______（填入一个含 的式子，）．　　　　 3．下列函数中，最小正周期为 且为偶函数的是（　　） A． B． C． D． 4．函数 的对称中心是（　　） A． B． C． D．不存在 5．已知函数 ，若 且 ，则 的值可能是（　　） A． B． C． D． 6．函数 在 上单调递______（填“增”或“减”）．　　　　 7．已知函数 的最小正周期为 ，且图象关于直线 对称，则 的值为______．　　　　 8．关于函数 的对称性，下列说法正确的是（　　） A．对称轴由 确定，对称中心由 确定 B．对称轴由 确定，对称中心由 确定 C．正弦函数既有对称轴也有对称中心，余弦函数只有对称轴 D．正弦函数没有对称中心 题型四　周期、最值与值域（含闭区间上的最值讨论） 【方法与技巧】 最小正周期： 与 都是 ； 是 。加绝对值（如 ）会把周期减半，这类变式要小心。 闭区间上求值域的套路：先由 的范围算出**相位** 的范围，再在这个相位区间上求 （或 ）的最值，最后乘 加 。跳过了相位这一步就容易取错端点。 求最值时先看相位区间是否跨过关键点： 在 取最大值 、在 取最小值 。若相位区间跨过了这些点，最值就在内部取到；否则在端点取到。 的最值用辅助角化为 ，最值为 。这是把两个三角函数合成一个的标准动作，也是求值域题的常客。 【例题精讲】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 2．函数 在 上的最大值是（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．函数 的值域是______．　　　　 　 　 　 【变式训练】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 2．函数 在 上的最小值是______．　　　　 3．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 4．函数 在 上的值域是______．　　　　 5．函数 的最小正周期与最大值分别是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 6．函数 的最大值与最小值之和为______．　　　　 【巩固练习】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 2．函数 在 上的值域是______．　　　　 3．函数 的最小正周期与最大值分别是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 4．函数 的最大值是______．　　　　 5．函数 在 上的值域是（　　） A． B． C． D． 6．已知函数 的最小正周期为 ，则 的最大值为______．　　　　 7．函数 在 上的最小值是（　　） A． B． C． D． 8．函数 的最大值与最小值之差为______．　　　　 题型五　三角函数与函数、方程的综合 【方法与技巧】 三角与方程的综合，本质是数形结合：方程 的解的个数，就是直线 与 图象的交点个数。**先画图，再数交点**，比纯代数快得多。 含参恒成立（如 恒成立）的处理：先化辅助角求出左边的最大值，再令 不小于这个最大值。凡是“恒”“都”“任意”都翻译成最值。 与函数性质交汇时（奇偶、单调、周期），优先用周期把自变量化到同一个周期内，再用单调性比较大小，最后才考虑代入计算顺序。 方程有解/无解的判断：先求出左边的值域 ，则 时有解、否则无解；有几个解则由单调段数决定。值域是解决一切“有解性”问题的钥匙。 【例题精讲】 1．方程 在 上的解的个数为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．若方程 有实数解，则 的取值范围是______．　　　　 　 　 　 3．函数 与 在 上的交点个数为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．若不等式 对任意 恒成立，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．方程 在 上解的个数为______．　　　　 3．已知函数 ，若 在 上有两个不同的解，则 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． D． 4．函数 与直线 在 上的交点个数为______．　　　　 5．已知函数 ，则方程 在 上解的个数为（　　） A． B． C． D． 6．若函数 在 上有两个零点，则 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． D． 【巩固练习】 1．方程 在 上解的个数为（　　） A． B． C． D． 2．若函数 在 上的值域为 ，则 的最小值为______．　　　　 3．已知函数 ，若 在 上的值域为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 4．方程 的实数解的个数为（　　） A． B． C． D． 5．若 在 上恒成立，则 的最大值为______．　　　　 6．已知函数 在 上的值域为 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．函数 在 上与直线 的交点个数为______．　　　　 8．关于三角函数与其他函数的交汇，下列思路最恰当的是（　　） A．先画草图数交点，再用值域判断有解性 B．一律用代数法解方程组 C．直接令两个函数相等后求导 D．只用特殊值代入判断 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 2．函数 图象的一条对称轴方程是（　　） A． B． C． D． 3．已知函数 在 上单调递增，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．函数 在区间 上的最小值是（　　） A． B． C． D． 6．函数 的单调递减区间可表示为（　　） A． B． C． D． 7．已知函数 的最大值为 ，最小正周期为 ，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．函数 的图象的对称中心是（　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 B．最大值为 C．图象关于点 对称 D．在区间 上单调递减 10．关于 的图象变换，下列说法正确的是（　　） A． 决定横向伸缩， 越大周期越短 B． 决定纵向伸缩，影响最大值与最小值 C． 决定左右平移 D． 会影响最小正周期 11．已知函数 ，下列结论正确的是（　　） A．最小正周期为 B．最大值为 C．在 上单调递增 D．是奇函数 【填空题】 12．函数 的最小正周期是______．　　　　 13．已知函数 的最小正周期为 ，则 ______．　　　　 14．函数 在 上的值域是______．　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题12　三角函数的图象与性质 群哥高中数学辅导资料 专题12　三角函数的图象与性质 一、核心知识 1．五点作图与图象变换： 的图象可由 经平移（）、横向伸缩（）、纵向伸缩（）与上下平移（）得到；作图时取相位为 的五个关键点。 2．由图象求解析式：，，（ 为最小正周期），再代入最高点（相位为 ）或零点解出 并按题目约定的范围取值。 3．周期性： 与 的最小正周期为 ， 为 ； 的周期为 。 4． 的取值范围：由单调性得 即 ；由零点或极值点个数可列出关于 的不等式组。处理顺序一律是**先定周期范围，再反解 **。 5．对称性： 的对称轴由 确定，对称中心由 确定（纵坐标为 ）； 的对称轴由 确定，对称中心由 确定。 6．奇偶性： 为奇函数， 为偶函数；一般地， 时 为奇函数， 时为偶函数。 7．单调性：把相位 视为整体， 在 上递增、在 上递减； 在 上递增、在 上递减。 8．最值与值域：先求相位区间，再在单位圆上找出该区间内 （或 ）的最大、最小值； 化为 后最值为 。 9．综合应用：方程 的解的个数等于直线 与 图象的交点个数；恒成立问题转化为求最值；有解问题转化为求值域。数形结合是本讲一切综合题的入口。 二、题型精练 题型一　三角函数的图象与解析式（由图象求 y=Asin(ωx+φ)+B） 【方法与技巧】 由图象求 的固定三步：① 、；② 由周期 得 （）；③ 代入一个已知点（优先选最高点或零点）解 ，并用 （题目给的约定）定终值。 周期怎么从图上读： 是相邻两个最高点与最低点的横向距离， 是相邻零点与极值点的横向距离。读不准全长时，读半周期或四分之一周期往往更稳。 求 时代最高点最省事：最高点处 ，代入坐标即可解出 （再调整到约定范围）。代零点时要先判断该零点处曲线是上升还是下降，否则会差一个 。 别忘了上下平移：图的中轴线不是 轴时， 就是中轴线的纵坐标，先把它减掉再按标准步骤求 、、。漏掉 是最常见的失分点。 【例题精讲】 1．如图是函数 在一个周期内的图象，则其解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图读出 、，故 ；相邻最高点与最低点的横向距离为 ，即 ，，。最高点横坐标 处相位为 ，即 ，得 ，符合 。故解析式为 。故选：A。 2．把 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位，所得图象对应的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】横坐标缩短到 得 ；再向左平移 ，把 换成 ，得 。**注意平移量要乘在函数整体的自变量上，即左移是对 加，不是对 加**。故选：A。 3．用“五点法”画 在 上的图象时，五个关键点的横坐标分别是 、、、______、．　　　　 【答案】 【详解】五点法取相位为 的五个点，对应 的值为 ，描出这五点再用光滑曲线连接即可。故答案为：。 【变式训练】 1．如图是函数 的图象，则其解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 、 得 ；由图象可读出周期 ，故 。取最高点 ，令 ，得 （满足 ）。故解析式为 。故选：A。 2．把 的图象向右平移 个单位，所得图象对应的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】右移 即把 换成 ：。平移是对自变量 而言的，别忘了乘上 。故选：A。 3．在 中， 的几何意义是（　　） A．决定周期的长短， 越大周期越短 B．决定振幅的大小 C．决定上下平移量 D．决定左右平移量 【答案】A 【详解】， 越大周期越短（横向压缩）； 决定振幅， 决定上下平移， 决定左右平移。四个参数各管一件事，记清分工就不会混。故选：A。 4．函数 的振幅为______．　　　　 【答案】 【详解】振幅就是 ，它等于 。故答案为：。 5．已知函数 的图象在 处取到最大值，且最小正周期为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。最高点处相位为 ：，得 ，满足 。故选：A。 6．把 的图象向左平移 后，再把横坐标缩短到原来的 ，所得函数为 ______．　　　　 【答案】 【详解】先左移 得 ；再横坐标缩短到 （把 换成 ）得 。注意变换顺序不同结果也不同：先平移后伸缩，平移量只加在 上；先伸缩后平移，平移量要乘 。故答案为：。 【巩固练习】 1．如图是函数 的图象，则其解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 、 得 、；由图象可读出周期 ，故 。取最高点 ，令 得 。故解析式为 。故选：A。 2．把 的图象向右平移 个单位，所得函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】右移 就是把 换成 ，得 。平移只作用于自变量，绝不写成整体减 。故选：A。 3．已知函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 与 分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。中轴线的纵坐标就是 ，千万别把它当成 。故选：A。 4．把 的图象上各点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变），所得函数为______．　　　　 【答案】 【详解】纵坐标伸长到 倍就是把函数值乘 ，得 。纵向伸缩直接乘在 上。故答案为：。 5．将 的图象向右平移 个单位，所得函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把 换成 ：。故选：A。 6．函数 在一个周期内，五个关键点的相位依次为 、、、、，其中相位为 时对应的 值为______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 ，，这正是最高点的横坐标。故答案为：。 7．已知函数 的图象与 轴交于点 ，且 、、，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】代入 得 ，，结合 得 。用交点求 时一定要检查是否符合题目给定的范围。故答案为：。 8．关于图象变换的顺序，下列说法正确的是（　　） A．先平移后伸缩与先伸缩后平移，平移的量不同，结果一般也不同 B．两种顺序的总结果一定相同 C．只能先平移后伸缩 D．只能先伸缩后平移 【答案】A 【详解】先平移 再伸缩（横坐标变为 ）得到 型；先伸缩再平移 得到 型，两者平移量相差一个 倍，结果一般不同。做题时必须严格按题目给的顺序来。故选：A。 题型二　ω 的取值范围与最值问题（先定周期范围再反解） 【方法与技巧】 问题一律倒推：**先由条件定出周期的范围，再由 反解 的范围**，最后结合单调区间或零点个数取交集。硬代数值进去试，试到高考结束也试不完。 “在 上单调”翻译成周期条件：该区间必须落在某个长度为 的单调区间内，故 ，即 。这是 上界最常用的一条不等式。 “在 上恰有 个零点（或极值点）”的处理：先写出零点（极值点）的通式，再让它们落在 内，数出个数并令其等于 ，解出 的范围。数个数时端点是否取到要单独验。 的最值题常与“ 在 上不单调”“至少有一个极值点”等否定式表述结合，此时先写出肯定式的范围再取补集，比正面列式清晰得多。 【例题精讲】 1．已知函数 在 上单调递增，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 含 的递增区间为 。要在 上递增，需 ，即 ，最大值为 。倒推顺序是：递增区间长度 不小于给定区间长度。故选：A。 2．已知函数 在 上单调递减，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 上递减，对应 。要在 上递减，需 ，即 ，最大值为 。故选：A。 3．已知函数 的最小正周期不小于 ，则 的取值范围是______．　　　　 【答案】 【详解】，故 ；又 ，所以 。凡是给出周期范围的题，都用 直接反解。故答案为：。 【变式训练】 1．已知函数 在 上至少有一个极大值点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】极大值点中最小的是 。要让它落在 内，需 ，即 ，最小值为 。故选：A。 2．已知函数 ，若 在 上恰有 个零点（含端点 ），则 的取值范围是______．　　　　 【答案】 【详解】零点为 。区间内的零点为 ；恰有 个即 ，解得 。端点是否取到必须单独验一次。故答案为：。 3．处理 的取值范围问题时，合理的顺序是（　　） A．先由条件定出周期的范围，再反解 B．直接代几个 的值试 C．先求 再求 D．先画图量出 【答案】A 【详解】标准顺序是：把条件（单调、零点个数、极值点个数）翻译成关于周期 的不等式，再由 反解 ，最后取交集。硬代数值去试既慢又容易漏。故选：A。 4．已知函数 在 上单调递增，则 的最大值为______．　　　　 【答案】 【详解】含 的递增区间为 ，需 ，即 ，得 。故答案为：。 5．已知函数 在 上单调递减，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】递减区间 要覆盖 ，需 ，即 ，最大值为 。故选：A。 6．已知函数 的最小正周期为 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】，得 。周期只由 决定，与 无关。故答案为：。 【巩固练习】 1．已知函数 在 上单调递增，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】需 ，即 ，最大值为 。区间越短，允许的 越大。故选：A。 2．已知函数 的最小正周期为 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】，得 。系数 只影响振幅，不影响周期。故答案为：。 3．已知函数 在 上恰有 个零点（含端点 ），则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】零点 落在 内即 ，。含 在内共 个，说明 可取而 不可取，即 。故选：A。 4．由“ 在区间 上单调”推出 的上界时，依据的关系式是区间长度不超过______．　　　　 【答案】 【详解】单调区间的长度为半个周期 ，故给定区间长度 ，由此得 。这是 上界最常用的来源。故答案为：。 5．已知函数 在 上的最大值为 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要取到最大值 ，需相位 能达到 ，即 ，得 ，最小值为 。故选：A。 6．已知函数 在 上的最小值为 ，则 的最小值为______．　　　　 【答案】 【详解】 需 ，故 ，得 ，最小值为 。故答案为：。 7．已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】单调的条件是 ，即 ；故“不单调”为 。否定式表述先写出肯定式的范围再取补集，思路最清晰。故选：A。 8．已知函数 在 上恰有 个极大值点，则 的取值范围是______．　　　　 【答案】 【详解】极大值点由 确定，即 ，依次为 、、。恰有 个落在 内即 ，解得 。故答案为：。 题型三　单调性、奇偶性与对称性（对称轴、对称中心的判定） 【方法与技巧】 对称轴与对称中心要分清： 的对称轴是 （过最高、最低点），对称中心是 （过零点）； 反过来，对称轴 ，对称中心 。 对 ：令整体 解出的 就是对称轴；令 解出的点是**对称中心**（纵坐标为 ，若有上下平移）。两个令法别记混。 奇偶性的判定： 是奇函数， 是偶函数；带 时， 为奇函数， 为偶函数，其余非奇非偶。判定时直接看能否化成这两种形式。 单调区间的求法：把 看成一个整体 ，先写出 （或 ）的单调区间，再解出 的范围。注意 时不等号方向不变， 时要先用诱导公式把 化正。 【例题精讲】 1．函数 的一个单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ，得 ，即 ；取 得 。把相位当整体是求单调区间的标准做法。故选：A。 2．函数 是（　　） A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】A 【详解】，是偶函数。一般结论： 时为偶函数， 时为奇函数。故选：A。 3．函数 图象的一条对称轴方程是______．　　　　 【答案】 【详解】令 ，得 ，；取 得 。对称轴过最高（低）点，令相位等于 即可。故答案为：。 【变式训练】 1．函数 的一个单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 上递减，令 得 ，即 。故选：A。 2．函数 为奇函数，则 可以取（　　） A． B． C． D．（也可以） 【答案】A 【详解】 时为奇函数（ 即 ，此时 为奇函数）； 时为偶函数。取 满足。故选：A。 3．函数 的对称轴方程是 ______（）．　　　　 【答案】 【详解】正弦曲线关于过最高点与最低点的竖直线对称，最高点处 、最低点处 ，合起来就是 。故答案为：。 4．函数 图象的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 （余弦的零点即对称中心），得 ，；取 得对称中心 。故选：A。 5．已知函数 ，则 在 上的单调性是（　　） A．先增后减 B．单调递增 C．单调递减 D．先减后增 【答案】A 【详解】相位 随 从 到 而从 增到 ：跨过 （最大值点）后开始递减，故先增后减。判断单调性就是看相位区间跨过了哪些关键点。故选：A。 6．函数 的奇偶性是______．　　　　 【答案】偶函数 【详解】 是偶函数， 保持偶性（）。常数项与系数不影响奇偶性，只有 决定。故答案为：偶函数。 【巩固练习】 1．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ，得 ，即 。故选：A。 2．函数 的图象关于点 对称，这是因为它满足 ______（填入一个含 的式子，）．　　　　 【答案】 【详解】正弦曲线的对称中心即零点，令相位 解得。代入 ：，确为 （）。故答案为：。 3．下列函数中，最小正周期为 且为偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的周期 ，且 是偶函数，符合； 周期为 但是奇函数； 是偶函数但周期为 。故选：A。 4．函数 的对称中心是（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】正切曲线关于每一个零点 中心对称（ 为偶数时是零点本身， 为奇数时对应渐近线与曲线的对称中心），它没有对称轴。故选：A。 5．已知函数 ，若 且 ，则 的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】相等的两个函数值对应的两点关于一条对称轴左右对称，故中点是对称轴。对称轴由 得 ，于是 ；取 得 。另外三选项中点处的相位都不是 ，函数值不可能相等。故选：A。 6．函数 在 上单调递______（填“增”或“减”）．　　　　 【答案】增 【详解】 在 上单调递增，这是最基本的单调区间，其余区间都由它平移得到。故答案为：增。 7．已知函数 的最小正周期为 ，且图象关于直线 对称，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 。检验对称轴：，确为 （），符合题意。故答案为：。 8．关于函数 的对称性，下列说法正确的是（　　） A．对称轴由 确定，对称中心由 确定 B．对称轴由 确定，对称中心由 确定 C．正弦函数既有对称轴也有对称中心，余弦函数只有对称轴 D．正弦函数没有对称中心 【答案】A 【详解】正弦的对称轴过最高（低）点，令相位为 ；对称中心是零点，令相位为 ，A 正确、B 把两者弄反；余弦既有对称轴也有对称中心，C、D 都错。故选：A。 题型四　周期、最值与值域（含闭区间上的最值讨论） 【方法与技巧】 最小正周期： 与 都是 ； 是 。加绝对值（如 ）会把周期减半，这类变式要小心。 闭区间上求值域的套路：先由 的范围算出**相位** 的范围，再在这个相位区间上求 （或 ）的最值，最后乘 加 。跳过了相位这一步就容易取错端点。 求最值时先看相位区间是否跨过关键点： 在 取最大值 、在 取最小值 。若相位区间跨过了这些点，最值就在内部取到；否则在端点取到。 的最值用辅助角化为 ，最值为 。这是把两个三角函数合成一个的标准动作，也是求值域题的常客。 【例题精讲】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】正切函数的周期为 。**正切是 而不是 **，这是它与正余弦的关键区别。故选：A。 2．函数 在 上的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】相位 随 而从 增到 ，区间跨过了 （此处 ），故最大值为 。先算相位区间再找关键点，是求值域的固定动作。故选：A。 3．函数 的值域是______．　　　　 【答案】 【详解】辅助角：（因为 ），故值域为 。 的值域恒为 。故答案为：。 【变式训练】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的周期为 ，加绝对值后负半周翻到正半轴，周期减半为 。凡出现绝对值（或平方）都要重新判断周期，不能直接套 。故选：A。 2．函数 在 上的最小值是______．　　　　 【答案】 【详解】相位 随 而从 增到 ： 在 处取最大值 ，最小值只能在端点取到，、，故 的最小值为 ， 的最小值为 。故答案为：。 3．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，周期为 。降幂后看 的周期即可。故选：A。 4．函数 在 上的值域是______．　　　　 【答案】 【详解】相位 时 （跨过 取到 ），故 。端点值 给出下界。故答案为：。 5．函数 的最小正周期与最大值分别是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】A 【详解】，周期为 ，最大值为 。先化成一个函数再看周期与最值，比分别讨论快得多。故选：A。 6．函数 的最大值与最小值之和为______．　　　　 【答案】 【详解】最大值为 、最小值为 ，和为 。没有上下平移时，正弦型函数的最值关于 对称，和恒为 。故答案为：。 【巩固练习】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 时周期是 的三分之一。故选：A。 2．函数 在 上的值域是______．　　　　 【答案】 【详解】 在 上增、 上减，最大值为 ，最小值为 ，故值域为 。故答案为：。 3．函数 的最小正周期与最大值分别是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】A 【详解】，周期为 ，最大值为 。二倍角公式先化简再判断。故选：A。 4．函数 的最大值是______．　　　　 【答案】 【详解】辅助角：，最大值为 。系数平方和开根号就是最大值。故答案为：。 5．函数 在 上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】相位 随 而从 增到 ：跨过 取到 ；端点值 、，故最小值为 ，值域为 。故选：A。 6．已知函数 的最小正周期为 ，则 的最大值为______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 ，但最大值只由 决定，为 。周期与最值各由不同参数决定，别混着求。故答案为：。 7．函数 在 上的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 上增、 上减，最大值在 处为 ，最小值在端点取到：，，故最小值为 。故选：A。 8．函数 的最大值与最小值之差为______．　　　　 【答案】 【详解】最大值为 ，最小值为 ，差为 。上下平移 会同时抬高最大与最小值，但**差值（极差）不受 影响**，只等于 。故答案为：。 题型五　三角函数与函数、方程的综合 【方法与技巧】 三角与方程的综合，本质是数形结合：方程 的解的个数，就是直线 与 图象的交点个数。**先画图，再数交点**，比纯代数快得多。 含参恒成立（如 恒成立）的处理：先化辅助角求出左边的最大值，再令 不小于这个最大值。凡是“恒”“都”“任意”都翻译成最值。 与函数性质交汇时（奇偶、单调、周期），优先用周期把自变量化到同一个周期内，再用单调性比较大小，最后才考虑代入计算顺序。 方程有解/无解的判断：先求出左边的值域 ，则 时有解、否则无解；有几个解则由单调段数决定。值域是解决一切“有解性”问题的钥匙。 【例题精讲】 1．方程 在 上的解的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在 内 的解为 与 ，共 个。也可看成直线 与正弦曲线在一个周期内有 个交点。故选：A。 2．若方程 有实数解，则 的取值范围是______．　　　　 【答案】 【详解】左边 ；方程有解当且仅当 落在这个值域内。“有解”翻译成“ 属于值域”。故答案为：。 3．函数 与 在 上的交点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，在 内解为 与 ，共 个。也可由图象看出两曲线在一个周期内交于两点。故选：A。 【变式训练】 1．若不等式 对任意 恒成立，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】“恒成立”翻译成最大值： 的最大值为 ，故 ， 的最小值为 。凡是“恒”“都”“任意”都往最值上翻译。故选：A。 2．方程 在 上解的个数为______．　　　　 【答案】 【详解】化为 。相位 随 而从 增到 ，长度为 （一个完整周期）， 在长度 的区间内恰有 个解。故答案为：。 3．已知函数 ，若 在 上有两个不同的解，则 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 与一个周期内的正弦曲线有两个交点，当且仅当 且 （ 时有 三个交点， 时只有一个切点）。端点情形必须单独验。故选：A。 4．函数 与直线 在 上的交点个数为______．　　　　 【答案】 【详解】 在 内解为 与 ，共 个。画图数交点最快。故答案为：。 5．已知函数 ，则方程 在 上解的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 即 ，在 内 有 个解、 有 个解，共 个。加绝对值后负半周的曲线翻上来，交点数翻倍。故选：A。 6．若函数 在 上有两个零点，则 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． D． 【答案】A 【详解】零点个数即方程 的解的个数，与前面同理： 且 时恰有两个解（ 时有三个， 时只有一个）。故选：A。 【巩固练习】 1．方程 在 上解的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 或 （在 内），即 或 ，均在 内，共 个。注意 的范围是 ，不要只取一半。故选：A。 2．若函数 在 上的值域为 ，则 的最小值为______．　　　　 【答案】 【详解】起点 处 ；最大值 在相位 即 处取到。还要取到 ，即 ，最小的对应相位为 ，由 得 。此时区间 上相位从 走到 ，恰好覆盖 （取到 ）与 （取到 ），故 的最小值为 。故答案为：。 3．已知函数 ，若 在 上的值域为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，；最大值 在相位 即 处取到。区间 上 从 增到 ，值域恰为 ，故 。故选：A。 4．方程 的实数解的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】数形结合： 的值域为 ，故只需看 （ 时无解）。在 上两图象交于 点，在 上 而 无交点，在 与 上各交 点，共 个。这类题只能靠画图数交点。故选：A。 5．若 在 上恒成立，则 的最大值为______．　　　　 【答案】 【详解】，在 上相位从 增到 ，最小值在端点取到： 或 时值均为 。故最小值为 ， 的最大值为 。故答案为：。 6．已知函数 在 上的值域为 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要取到最小值 ，相位需达到 ：，需 ，即 ，最小值为 （此时在 处恰好取到 ）。故选：A。 7．函数 在 上与直线 的交点个数为______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 ，相位 从 增到 ；在此区间内 （起点，）与 （）两处满足，共 个交点。画图数交点最直观。故答案为：。 8．关于三角函数与其他函数的交汇，下列思路最恰当的是（　　） A．先画草图数交点，再用值域判断有解性 B．一律用代数法解方程组 C．直接令两个函数相等后求导 D．只用特殊值代入判断 【答案】A 【详解】交汇题的入口是数形结合：先画草图数出交点个数（解的个数），再用值域判定有解性（ 是否落在值域内）。纯代数解往往解不出来，求导与特殊值只能作为辅助手段。故选：A。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。只由 决定，与 、 无关。故选：A。 2．函数 图象的一条对称轴方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ，得 ，；取 得 。故选：A。 3．已知函数 在 上单调递增，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的单调递增区间满足 ，取含 的一段得 。要在 上递增，需 ，即 ，最大值为 。故选：A。 4．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】辅助角：（），故最大值为 。一般地 的最大值为 。故选：A。 5．函数 在区间 上的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 上递增、 上递减，故最小值在端点取到：，，最小值为 。故选：A。 6．函数 的单调递减区间可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 上递减，令 ，得 ，即 。故选：A。 7．已知函数 的最大值为 ，最小正周期为 ，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由最大值 得 ；由 得 ；由 得 ，，结合 得 。故选：A。 8．函数 的图象的对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】正弦曲线关于每一个零点中心对称，零点为 ，故对称中心为 。注意对称轴是过最高、最低点的竖直线 ，两者不要混淆。故选：A。 【多项选择题】 9．关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 B．最大值为 C．图象关于点 对称 D．在区间 上单调递减 【答案】ABC 【详解】，A 正确；最大值为 ，B 正确；令 得 ，取 得对称中心 ，C 正确；由 得递增区间为 ，故 上递增，D 错。故选：ABC。 10．关于 的图象变换，下列说法正确的是（　　） A． 决定横向伸缩， 越大周期越短 B． 决定纵向伸缩，影响最大值与最小值 C． 决定左右平移 D． 会影响最小正周期 【答案】ABC 【详解】 决定周期 ， 越大 越小，A 正确； 决定振幅（最值），B 正确； 决定左右平移，C 正确；周期只由 决定，与 无关，D 错。故选：ABC。 11．已知函数 ，下列结论正确的是（　　） A．最小正周期为 B．最大值为 C．在 上单调递增 D．是奇函数 【答案】ABC 【详解】，周期为 ，A 正确；最大值为 ，B 正确；相位 在 内时 递增，对应 ，C 正确；，不是奇函数，D 错。故选：ABC。 【填空题】 12．函数 的最小正周期是______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 13．已知函数 的最小正周期为 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 。故答案为：。 14．函数 在 上的值域是______．　　　　 【答案】 【详解】相位 时 ，故 。乘系数 后值域同步伸缩。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $