专题14 解三角形 专项训练-2027届高考数学一轮复习（新高考全国卷）

专题14　解三角形 群哥高中数学辅导资料 专题14　解三角形 一、核心知识 1．正弦定理：（ 为外接圆半径）。用途：已知两角一边求其余边；已知两边及其中一边的对角求另一角的正弦。 2．解的个数的讨论：已知 、、（ 为锐角），由 判断—— 无解； 一解； 两解； 一解。算出候选角后要逐个验 。 3．余弦定理：，变形 （、、 同理轮换）。用于已知两边及其夹角求第三边、已知三边求角。 4．边角互化与射影定理：；射影定理 。含 的等式化边，含 的等式用射影定理或余弦定理的变形。 5．面积与周长：；周长 。已知两边及其夹角时用面积公式最直接。 6．中线：若 为 中点，则 ，故 ；角平分线定理：若 平分 交 于 ，则 。 7．形状判断：统一成边或统一成角后再因式分解。（等腰）； 或 （等腰或直角）；（直角）。 8．最值与范围：固定 与 时 （ 时为 ），取等条件 ；角的范围由 与各角为锐角的限制联立解出，端点是否取到要单独说明。 9．结构不良与实际测量：先判断所选条件能否唯一确定三角形（避开 SSA 的两解与无解），再选计算量最小的一组；测量题先翻译成三角形（注意仰角是视线与水平线的夹角，方位角要先化成内角），再选定理。 二、题型精练 题型一　正弦定理的基本应用（含解的个数的讨论） 【方法与技巧】 正弦定理 的本质是**边与对角正弦成正比**，所以它有两个用处：已知两角一边求其余边；已知两边及其中一边的对角求另一边对角的正弦。拿到题先判断是哪种。 **解的个数的讨论是本讲第一个坎**。已知 、、（ 为锐角）时：。① 无解；② 一解（直角）；③ 两解；④ 一解。记不住就画三角形：以 为圆心、 为半径画弧，看与射线交几次。 两解判定别只算正弦值：算出 的两个候选值后，**必须逐个代回去验 **（等价于 ）。很多学生数出“两解”，其实第二个候选已经让内角和超过 ，是假解。 外接圆半径 是正弦定理的副产品，凡题目提到外接圆、 的外接圆面积，第一反应就是先把 求出来。 【例题精讲】 1．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理 。两角一边，直接用正弦定理，三角形唯一确定。故选：A。 2．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。正弦值恰为 时角唯一，不存在“两解”的问题——这是讨论解的个数时最容易误判的情形。故选：A。 3．在 中，，，，则 为______．　　　　 【答案】 【详解】。两角一边先用内角和求出第三角，再用正弦定理，是最稳的一条路。故答案为：。 【变式训练】 1．在 中，，，则其外接圆半径 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。凡提到外接圆，第一步就是把 求出来。故选：A。 2．在 中，，，，则该三角形解的个数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】，故 有两个候选值 与 ；又 ，，两解都成立，故有 解。**算出候选角后必须逐个验内角和**。故选：A。 3．在 中，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】由正弦定理 。正弦之比就是边之比，这是边角互化最直接的推论。故选：A。 4．正弦定理 的比值等于______（ 为外接圆半径）．　　　　 【答案】 【详解】比值等于外接圆的直径 。记住这一点，凡涉及外接圆的题就有抓手。故答案为：。 5．在 中，，，，则 等于（　　） A． 或 B． C． D．无解 【答案】A 【详解】，故 或 ；验内角和：、 都成立，故两解都成立。故选：A。 6．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 或 ；但 ，舍去，故 。也可由 直接得 ，一解。故选：A。 【巩固练习】 1．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。故 。故选：A。 2．在 中，，，，则 等于（　　） A． 或 B． C． D．无解 【答案】A 【详解】，故 或 ；验内角和：、 都成立，故两解都成立（分别对应直角三角形与等腰三角形）。故选：A。 3．在 中，，，则其外接圆的面积为______．　　　　 【答案】 【详解】，，故外接圆面积 。求圆面积前先求 。故答案为：。 4．在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】由正弦定理，、，代入得 ，即 。由 、 得 ，故为等腰三角形。故选：A。 5．在 中，，，若该三角形有两解，则边 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。两解需满足：① ，即 ；② 第二大候选角 也要满足 ，即 ，从而 ，即 。故 。故选：A。 6．在 中，若 ，则 是______三角形．　　　　 【答案】等腰 【详解】由射影定理 ，代入得 ，即 ；再由正弦定理得 ，即 ，故 ，为等腰三角形。故答案为：等腰。 7．在 中，若 ，则 是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】由正弦定理把 换成边：，故 ，为直角三角形。 齐次出现时，换成边往往一眼看清。故选：A。 8．关于正弦定理的应用，下列说法正确的是（　　） A．已知两角与一边可以唯一确定三角形 B．已知两边与其中一边的对角一定能唯一确定三角形 C．正弦定理只能用于锐角三角形 D．正弦定理不能用来求外接圆半径 【答案】A 【详解】A 对：两角一边时第三角由内角和确定，再用正弦定理求边，唯一确定；B 错——SSA 可能一解、两解甚至无解，必须讨论；C 错——对任意三角形成立；D 错——比值 正是外接圆直径。故选：A。 题型二　余弦定理与边角互化 【方法与技巧】 余弦定理 用于两类情形：① 已知两边及其夹角求第三边；② 已知三边求角（用变形 ）。**看到“两边一夹角”或“三边”就直接用余弦定理，不要绕到正弦定理去**。 余弦定理的变形还能判角： 为锐角，， 为钝角。只需算 的符号即可，不用把角算出来——判断形状时这一招最快。 **边角互化**是解三角形的总枢纽：见正弦凑正弦定理（），见余弦凑余弦定理。凡是等式两边一边是边、一边是角的函数，先化成同一类再化简。 射影定理 （同理可轮换）在含 的等式化简中非常好用，能一步把边换成角的余弦。它本质上是余弦定理的线性组合，记不住就现推：把 拆成两段分别在两条边上投影。 【例题精讲】 1．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两边及其夹角用余弦定理：，故 。故选：A。 2．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】三边求角用余弦定理的变形：，故 。故选：A。 3．在 中，，，，则 为______．　　　　 【答案】 【详解】，故 。故答案为：。 【变式训练】 1．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。用变形时分子是“另外两边的平方和减去所求角对边的平方”，别把边搞混。故选：A。 2．在 中，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。看到 这个组合，直接想到 的分子。故选：A。 3．在 中，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】左边 ，故 ，于是 ，。先用平方差公式整理，再认出余弦定理的分子。故选：A。 4．在 中，，，，则 为______．　　　　 【答案】 【详解】，故 。故答案为：。 5．在 中，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，故 。故选：A。 6．在 中，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理 ，设 、、，则 。**先把正弦比换成边比，再用余弦定理**。故选：A。 【巩固练习】 1．在 中，，，，则最大内角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】最大边为 ，最大角为 。。大边对大角，先定位最大角。故选：A。 2．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。故选：A。 3．在 中，，，，则其最大内角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】最大边为 ，，故 。故选：A。 4．射影定理：______．　　　　 【答案】 【详解】（另两个式子同理轮换）。它把一条边写成另外两条边在该边上的投影之和，处理含 的等式特别快。故答案为：。 5．在 中，若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，当且仅当 时取等号，故最小值为 。基本不等式与余弦定理联用是求最值的标准动作。故选：A。 6．在 中，，，，则 等于（　　） A． 或 B． C． D．无解 【答案】A 【详解】用余弦定理：，即 ，整理得 ，故 或 ，两解都满足三角形条件。SSA 情形用余弦定理会得到一个二次方程，解的个数一目了然。故选：A。 7．在 中，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由射影定理 ，故 ，即 ，。认出左边就是射影定理，一步出结果。故选：A。 8．关于正弦定理与余弦定理的选用，下列说法正确的是（　　） A．已知两边及其夹角求第三边用余弦定理；已知三边求角用余弦定理的变形 B．已知三边求角用正弦定理 C．已知两边及其中一边的对角用余弦定理最方便 D．两个定理不能同时使用 【答案】A 【详解】A 是余弦定理的两个典型场景；B 错——三边时正弦定理无法直接求角（缺正弦值）；C 错——SSA 用正弦定理（或直接列余弦定理的二次方程），且要讨论解的个数；D 错——综合题里两个定理经常先后使用。故选：A。 题型三　面积、周长、中线、角平分线 【方法与技巧】 面积公式首选 （两边及其夹角）。已知三边时用 需要先由余弦定理求出一个角的余弦再转成正弦，别硬套海伦公式。 周长与面积的最值常用**基本不等式**：由余弦定理得 ，配合 可推出 的上界（当 时正好得到 ），面积的最值随之而来。 中线用向量最省事：若 为 中点，则 ，平方即得 。**不要死记中线长公式，用向量现推**。 角平分线用**角平分线定理**：，把线段比转成边比，再配合面积（两小三角形的高相同，面积比等于底边比）就能处理绝大多数角平分线问题。 【例题精讲】 1．在 中，，，，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两边及其夹角：。求面积首选“两边及其夹角”的公式。故选：A。 2．在 中，，，，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先由余弦定理求角：，故 ，。于是 。三边求面积就是这两步。故选：A。 3．在 中，，，，则其面积为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 【变式训练】 1．在 中，，，，则其周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 ，三边都是 ，为等边三角形，周长 。故选：A。 2．在 中，，，，且 为锐角，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，即 ，故 或 ；再由 为锐角取 。由面积反求角时若无附加条件会有两解，一定要看清题给的限制。故选：A。 3．在 中，，，， 为 的中点，则 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】用向量：，故 ，。中线一律用向量现推，不要死记公式。故选：A。 4．在 中， 为 的平分线，交 于 ，则 等于______．　　　　 【答案】 【详解】角平分线定理：。把线段比转成边比，再配合面积（两小三角形高相同，面积比等于底边比）即可处理多数角平分线问题。故答案为：。 5．在 中，，，，则其面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 知 ，故 。特殊边比先认出直角三角形，计算量立刻降下来。故选：A。 6．在 中，，，，则 等于（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，，故 或 ；又 ，两种情形下三角形都存在（分别为等边与顶角 的等腰），故两解都成立。故选：A。 【巩固练习】 1．在 中，，，则其面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理 ，即 。故 ，当 时取到。固定角及其对边时用基本不等式夹 是通法。故选：A。 2．在 中，，，，则 边上的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 ，三角形为等边三角形，高 。也可用面积反求：，。故选：A。 3．在 中，，，，则其面积为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 4．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。钝角时 ，第三边会变长，别漏掉负号。故选：A。 5．在 中，，，，则 边上的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 知 ，面积 。设 边上的高为 ，则 ，故 。同一三角形用不同的底与高，面积相等——这是求高的常用手法。故选：A。 6．在 中，，，， 为 的中点，则 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。故选：A。 7．在 中，，，，则其外接圆半径 为______．　　　　 【答案】 【详解】由 知 ，直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，故 。也可由 得到。故答案为：。 8．关于三角形面积公式的选用，下列说法正确的是（　　） A．已知两边及其夹角时，用 最直接 B．已知三边时优先用海伦公式 C．已知两角一边时只能用余弦定理求面积 D．面积公式只适用于锐角三角形 【答案】A 【详解】A 对；B 错——三边时先用余弦定理求一个角的余弦再转正弦，比海伦公式运算量小；C 错——两角一边可先用正弦定理求出边，再用面积公式；D 错——面积公式对任意三角形成立。故选：A。 题型四　三角形形状的判断与边角关系 【方法与技巧】 判断形状的标准动作：**先统一成边或统一成角**。见到 、 就用正弦定理换成 、；见到 、 混合就考虑余弦定理。统一之后再因式分解，形状（等腰、直角、等边）自然浮出来。 等腰的代数特征：（或 ）、、。化简到 这类式子时，由 、 得 ，只能 ，不能想当然地说 。 直角的代数特征：、、、。特别注意由 得到的是 **或** ，即“等腰或直角”，漏掉后一半是最常见的错误。 等边的判定要三个条件（ 或 ），只推出两个角相等不能下结论。反过来，若已知 ，可化为 ，再由正切在 上的性质得 。 【例题精讲】 1．在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】，故 ，即 。由 、 得 ，故为等腰三角形。**把 写成 展开**是这类题的第一动作。故选：A。 2．在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】由正弦定理得 ，即 。故 或 ，即 （等腰）或 （直角）。**由 得到的是两种可能，漏掉“直角”这一半是最典型的错误**。故选：A。 3．在 中，若 ，则 是______三角形．　　　　 【答案】直角 【详解】由正弦定理（比值 ）得 ，故 ，为直角三角形。故答案为：直角。 【变式训练】 1．在 中，若 ，则 是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】由正弦定理 等代入，得 ，即 。余切在 上单调，故 ，为等边三角形。故选：A。 2．在 中，若 ，则 是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】A 【详解】，故 为钝角，三角形是钝角三角形。判形状只需看 的符号，不必把角算完。故选：A。 3．在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】由正弦定理代入得 ，即 ；约去 得 ，即 ，故 或 ，为等腰或直角三角形。故选：A。 4．在 中，若 ，则 是______角．　　　　 【答案】锐 【详解】由 知 ，为锐角。判角只需看 的符号。故答案为：锐。 5．在 中，若 且 ，则 是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】由 得 或 ；又 排除了 ，故 ，即 ，为直角三角形。附加条件常用来排除其中一支。故选：A。 6．在 中，若 ，则其最大内角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理 ，设 、，则 ，故 。故选：A。 【巩固练习】 1．在 中，若 ，则 是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】由 得 ，即 ，故 。再由余弦定理 ，得 ，即 ，故 。半角公式先升幂，再边角互化。故选：A。 2．在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】左边用积化和差的思路：；右边 。故 ，即 ，为等腰三角形。故选：A。 3．在 中，若 ，则 是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】由 得 ，故 ；此时 、，为直角三角形。故选：A。 4．在 中， 是 为______三角形的充要条件．　　　　 【答案】锐角 【详解】三角形中最多只有一个钝角。若三个余弦之积为正，则负因子个数为偶数（ 或 ），而三角形中不可能有两个钝角，故只能三个余弦全为正，即三个角都是锐角。故答案为：锐角。 5．在 中，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】左边 ，故 ，于是 ，。故选：A。 6．在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】，故 ，即 ，故 ，为等腰三角形。故选：A。 7．在 中，若 ，则 是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】由正弦定理代入得 ，即 。正切在 上单调、在 上单调，而三角形中至多一个钝角，故 ，为等边三角形。故选：A。 8．判断三角形形状时，最恰当的思路是（　　） A．先把边化成角或把角化成边，统一成一类后再化简 B．先算出三个角的具体度数 C．先假设是等边三角形再验证 D．只看最长边与最短边的大小关系 【答案】A 【详解】形状判断的钥匙就是**统一**：含 的用正弦定理换成边，含 的用余弦定理（或射影定理）换成边，统一后因式分解，等腰（）、直角（）、等边（）自然出现。B 计算量太大；C 是先入为主，容易漏掉“等腰或直角”这种双支结论；D 判不出形状。故选：A。 题型五　最值与范围问题（角的范围、边长范围、面积周长最值） 【方法与技巧】 最值问题的两条主线：**边化角**（用正弦定理把边写成 ，再化辅助角，最值由振幅给出）与**角化边**（用余弦定理写成关于两的二次式，再用基本不等式）。已知一角及其对边时，后者几乎必用。 固定角 及其对边 时， 有上界：由 ，得 （ 时即 ）。由此可得面积、周长的最值，取等条件是 。 **范围问题一定要写清端点能不能取到**。三角形中 且每个角都在 ；若再加“锐角三角形”，则每个角都小于 。把这两个限制写成不等式组再解，别凭感觉给区间。 求 、 这类和的范围时，常用 ，再用余弦定理把 换成 ，配成只含 的式子，配合 的范围即可。 【例题精讲】 1．在 中，，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理 ，故 ，当 时取到最大值 。固定角及其对边时夹 的通法：余弦定理 + 基本不等式。故选：A。 2．在 中，，，则其周长的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。又 ，故 ，周长 ，当 （等边）时取到 。故选：A。 3．在 中，，，则 的最大值为______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 ；，故 ，当 时取到。故答案为：。 【变式训练】 1．在 中，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 ，当 时取到。**两角和固定时用和差化积的思路（或把其中一个角用另一个表示）**，最值由余弦部分给出。故选：A。 2．在 中，，，则其面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，故 ，当 时取到。故选：A。 3．在锐角 中，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。锐角三角形要求 且 ，后者即 ，得 。故 。**“锐角三角形”要翻译成三个角都小于 的不等式组**。故选：A。 4．在 中，，，则 的最大值为______．　　　　 【答案】 【详解】由 且 ，得 ，当 时取到。故答案为：。 5．在 中，，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。由 得 ，故 ，当 时取到最小值 。故选：A。 6．在 中，，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】即已知 、，求 的最大值。由 得 ；，故 ，当 时取到。故选：A。 【巩固练习】 1．在 中，，，则其面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，故 ，当 时取到。故选：A。 2．在 中，，，，则 的值为（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 或 ；验内角和：、 均成立，两解都成立（对应 与 ）。故选：A。 3．在 中，，，则其面积的最大值为______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 ，当 时取到。故答案为：。 4．在 中，若 且 ，则其面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。又 ，故 ，，当 时取到。故选：A。 5．在锐角 中，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。锐角要求 且 ，即 ，得 。故 。故选：A。 6．在 中，，，则其周长 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由三角形两边之和大于第三边：；两边之差小于第三边：。故 ，周长 。端点取不到（退化三角形），区间两端都是开区间。故选：A。 7．在 中，，，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】由余弦定理 。认出这个组合就是 ，比逐个求 、 快得多。故答案为：。 8．关于三角形中的最值问题，下列方法最恰当的是（　　） A．用余弦定理写成关于两边的二次式，再用基本不等式求最值 B．把三个角都当成变量分别求极值 C．先假设三角形为等边再取最值 D．直接用边长越大面积越大的直观判断 【答案】A 【详解】A 是通法：固定一角及其对边后，余弦定理给出 ，配合 即可夹出 （进而面积、周长）的界，取等条件为另两边相等。B 变量太多；C 是猜测不是证明（虽然很多最值恰在等边时取到，但必须用不等式说明）；D 不成立。故选：A。 题型六　结构不良与实际情境（缺条件自选、测量问题） 【方法与技巧】 **结构不良题考的是“选条件”的判断力**，三个条件里哪个最好算本身就是考点。判断顺序：先看与已知条件组合后三角形是否唯一确定（会不会两解、无解），再看计算量（能否一步正弦定理或余弦定理出结果）。 选条件的三条经验：① 已知一角及其对边时，再给一条边可直接用正弦定理；② 给一角及另一角（两角一边）一定唯一确定且最好算；③ 给两边及其中一边的对角（SSA）要先验解的个数，容易踩坑，能不选就不选。 实际测量题的建模顺序：先把文字翻译成三角形（谁是谁的仰角、方位角，边是哪一段距离），再标出已知量与所求量，最后选正弦或余弦定理。**先画图（哪怕草图）再列式，比直接读题快得多**。 仰角与方位角的常用处理：仰角是视线与水平线的夹角，常与直角三角形的正切联系；方位角（如北偏东 ）要先化成三角形的内角，别把方位角直接当内角代进去。 【例题精讲】 1．在 中，已知 ，，再从① 、② 、③ 中选一个作为条件。若使该三角形恰有两解，应选（　　） A．① B．② C．③ D．三个都不行 【答案】A 【详解】本题已知角 、其对边 与另一边 ，是典型的 SSA。 为锐角时两解的充要条件是 ：，故需 。① 落在区间内，有两解；② ，恰有一解（）；③ ，只有一解。故选①。 2．某人在 处测得建筑物顶端 的仰角为 ，沿水平方向向建筑物前进 m 到达 处，测得仰角为 ，则建筑物的高（人眼高度不计）为（　　） A． m B． m C． m D． m 【答案】A 【详解】设塔基为 ，、。由 得 ；由 得 。联立：，，故 m。**仰角问题先画出直角三角形，再用正切列两个方程联立**。故选：A。 3．一艘船从 处向正北航行，在 处测得灯塔 在北偏东 ，航行 海里到达 处，测得灯塔在北偏东 ，则此时船与灯塔的距离 为______海里．　　　　 【答案】 【详解】在 中，；北偏东 与正北方向的夹角就是 ；在 处北偏东 ，而 指向正南，故 。于是 ，故 海里。**方位角要先化成三角形的内角**（在 处尤其容易忘掉 朝正南）。故答案为：。 【变式训练】 1．在 中，已知 ，，要唯一确定 ，下列可添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】给 即“两边及其夹角”，三角形唯一确定；给 时 ，两个候选角都与 相容，有两解；给 时 ，无解；给 时 ，无解。故选 。 2．为测量某塔的高度，在地面上选 、 两点， m，且 、 与塔基 在同一直线上（ 离塔更近）。在 处测得塔顶仰角为 ，在 处测得仰角为 ，则塔高为（　　） A． m B． m C． m D． m 【答案】A 【详解】设 、塔高 。，。联立 ，，故 m。故选：A。 3．在 中，，，，则该三角形解的个数为______．　　　　 【答案】 【详解】，故 或 ；两个候选角与 相加都小于 ，故有 解。故答案为：。 4．在 中，已知 ，，现要从① 、② 、③ 中选一个条件，以便直接（一步）用正弦定理求出 。应选（　　） A．① B．② C．③ D．三个都一样 【答案】A 【详解】正弦定理需要“一对边角 + 另一条边（或其对角）”。已知 、，再给 即可由 一步求出 ；② 给的是 ，要先转成正弦还要绕；③ 给 可求 ，但求的是 不是 ，还得再用内角和。故选①。 5．甲、乙两船同时从某港口出发，甲船以 km/h 向正东航行，乙船以 km/h 向正北航行，则 小时后两船相距（　　） A． km B． km C． km D． km 【答案】A 【详解】 小时后甲船在港口正东 km 处，乙船在正北 km 处，两船与港口构成等腰直角三角形，故相距 km。运动问题先画出位移三角形，再解三角形。故选：A。 6．在 中，，，，则 为______．　　　　 【答案】 或 【详解】，故 或 ；验内角和：、 均成立，两解都成立。故答案为： 或 。 【巩固练习】 1．在 中，，，要使该三角形无解， 可以取（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。无解的条件是 ，即 ，只有 满足。参考： 时有两解， 或 时都只有一解（第二个候选角会使内角和超过 ）。故选：A。 2．为测量河对岸 、 两点间的距离，在岸边选一点 ，测得 m， m，，则 等于（　　） A． m B． m C． m D． m 【答案】A 【详解】，故 m。测距问题的模型就是“已知两边及其夹角求第三边”。故选：A。 3．在 中，，，，则该三角形解的个数为______．　　　　 【答案】 【详解】，故 有两个候选值 与 ；两者与 相加都小于 ，故有 解。故答案为：。 4．在 中，已知 ，再从① 、② 、③ 中任选两个作为补充条件。下列选法中不能唯一确定 的是（　　） A．选①和② B．选①和③ C．选②和③ D．三种选法都能唯一确定 【答案】A 【详解】选①②：已知 、、，这是 SSA，且 ，三角形无解，当然不能唯一确定；选①③：两角一边，唯一（实为等边）；选②③：同样两角一边，唯一。故选①②。 5．某观测站在 处测得两目标 、 的张角 ，且 km， km，则 等于（　　） A． km B． km C． km D． km 【答案】A 【详解】，故 km。故选：A。 6．在 中，，，，则该三角形解的个数为______．　　　　 【答案】 【详解】，故 有两个候选值 与 ；两者与 相加都小于 ，故有 解。故答案为：。 7．在 中，，，若该三角形有两解，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。两解需同时满足：① ，即 ；② 第二个候选角 也要与 相容，即 ，从而 ，即 。故 。故选：A。 8．关于结构不良题（缺条件自选）的应对，下列做法最恰当的是（　　） A．先判断所选条件与已知条件组合后三角形是否唯一确定、是否可解，再选计算量最小的一组 B．随便选一个条件，能算出结果就行 C．必须选三个条件里看起来最复杂的那个 D．只能选含有边的条件，含角的条件不可用 【答案】A 【详解】结构不良题考的就是“选条件”的判断力：先看唯一性（避开 SSA 的两解与无解），再看计算量（能否一步正弦定理或余弦定理出结果）。B 撞上无解就麻烦了；C、D 没有依据。故选：A。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理 ，故 。正弦值等于 时只有一解，不必讨论两解。故选：A。 2．在 中，，，，则最大内角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】最大边是 ，故最大角为 。。大边对大角，先认出最大角是 。故选：A。 3．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两边及其夹角，用余弦定理：，故 。故选：A。 4．在 中，，，，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两边及其夹角：。故选：A。 5．在 中，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理 。边与对角的正弦成正比，故边之比就等于对角正弦之比。故选：A。 6．在 中，，，，则该三角形解的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 或 。验算：，，两个都成立，故有 解。故选：A。 7．在 中，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。这是勾股定理的余弦定理形式。故选：A。 8．在 中，，，则 面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理 ，即 。故 ，当 时取到最大值 。故选：A。 【多项选择题】 9．关于正弦定理，下列说法正确的是（　　） A．（ 为外接圆半径） B．可实现边与角的互化 C．大边对大角、小边对小角 D．只适用于直角三角形 【答案】ABC 【详解】A 是正弦定理的完整形式（比值就是外接圆直径）；B 是它的主要用途；C 由 与三角形内角性质可得；D 错——正弦定理对任意三角形成立。故选：ABC。 10．关于余弦定理，下列说法正确的是（　　） A． B． C．已知三边可以求出三个角 D．已知两边及其中一边的对角时一定用余弦定理 【答案】ABC 【详解】A 是余弦定理，B 是它的变形（已知三边求角用），C 是 B 的直接推论；D 错——两边及一边对角（SSA）要用正弦定理，并且还要讨论解的个解，用余弦定理会得到一个二次方程，反而绕。故选：ABC。 11．关于三角形中的最值问题，下列做法正确的是（　　） A．常用基本不等式求边的乘积的上界 B．常用辅助角求含角的式子的最值 C．求角的范围时要结合内角和与各角为锐角的限制 D．三角形中边长可以任意大 【答案】ABC 【详解】A、B 是两条主线，C 是范围问题的必备约束；D 错——固定一角及其对边后，其余两边受余弦定理约束，不可能任意大。故选：ABC。 【填空题】 12．在 中，，，则其外接圆半径 为______．　　　　 【答案】 【详解】由正弦定理 ，故 。提到外接圆就先求 。故答案为：。 13．在 中，，，，则 为______．　　　　 【答案】 【详解】，故 。故答案为：。 14．在 中，，，则 为______．　　　　 【答案】 【详解】。内角和定理是最容易忘的一步。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题14　解三角形 群哥高中数学辅导资料 专题14　解三角形 一、核心知识 1．正弦定理：（ 为外接圆半径）。用途：已知两角一边求其余边；已知两边及其中一边的对角求另一角的正弦。 2．解的个数的讨论：已知 、、（ 为锐角），由 判断—— 无解； 一解； 两解； 一解。算出候选角后要逐个验 。 3．余弦定理：，变形 （、、 同理轮换）。用于已知两边及其夹角求第三边、已知三边求角。 4．边角互化与射影定理：；射影定理 。含 的等式化边，含 的等式用射影定理或余弦定理的变形。 5．面积与周长：；周长 。已知两边及其夹角时用面积公式最直接。 6．中线：若 为 中点，则 ，故 ；角平分线定理：若 平分 交 于 ，则 。 7．形状判断：统一成边或统一成角后再因式分解。（等腰）； 或 （等腰或直角）；（直角）。 8．最值与范围：固定 与 时 （ 时为 ），取等条件 ；角的范围由 与各角为锐角的限制联立解出，端点是否取到要单独说明。 9．结构不良与实际测量：先判断所选条件能否唯一确定三角形（避开 SSA 的两解与无解），再选计算量最小的一组；测量题先翻译成三角形（注意仰角是视线与水平线的夹角，方位角要先化成内角），再选定理。 二、题型精练 题型一　正弦定理的基本应用（含解的个数的讨论） 【方法与技巧】 正弦定理 的本质是**边与对角正弦成正比**，所以它有两个用处：已知两角一边求其余边；已知两边及其中一边的对角求另一边对角的正弦。拿到题先判断是哪种。 **解的个数的讨论是本讲第一个坎**。已知 、、（ 为锐角）时：。① 无解；② 一解（直角）；③ 两解；④ 一解。记不住就画三角形：以 为圆心、 为半径画弧，看与射线交几次。 两解判定别只算正弦值：算出 的两个候选值后，**必须逐个代回去验 **（等价于 ）。很多学生数出“两解”，其实第二个候选已经让内角和超过 ，是假解。 外接圆半径 是正弦定理的副产品，凡题目提到外接圆、 的外接圆面积，第一反应就是先把 求出来。 【例题精讲】 1．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．在 中，，，，则 为______．　　　　 　 　 　 【变式训练】 1．在 中，，，则其外接圆半径 等于（　　） A． B． C． D． 2．在 中，，，，则该三角形解的个数为（　　） A． B． C． D．无法确定 3．在 中，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D．无法确定 4．正弦定理 的比值等于______（ 为外接圆半径）．　　　　 5．在 中，，，，则 等于（　　） A． 或 B． C． D．无解 6．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．在 中，，，，则 等于（　　） A． 或 B． C． D．无解 3．在 中，，，则其外接圆的面积为______．　　　　 4．在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．在 中，，，若该三角形有两解，则边 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．在 中，若 ，则 是______三角形．　　　　 7．在 中，若 ，则 是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 8．关于正弦定理的应用，下列说法正确的是（　　） A．已知两角与一边可以唯一确定三角形 B．已知两边与其中一边的对角一定能唯一确定三角形 C．正弦定理只能用于锐角三角形 D．正弦定理不能用来求外接圆半径 题型二　余弦定理与边角互化 【方法与技巧】 余弦定理 用于两类情形：① 已知两边及其夹角求第三边；② 已知三边求角（用变形 ）。**看到“两边一夹角”或“三边”就直接用余弦定理，不要绕到正弦定理去**。 余弦定理的变形还能判角： 为锐角，， 为钝角。只需算 的符号即可，不用把角算出来——判断形状时这一招最快。 **边角互化**是解三角形的总枢纽：见正弦凑正弦定理（），见余弦凑余弦定理。凡是等式两边一边是边、一边是角的函数，先化成同一类再化简。 射影定理 （同理可轮换）在含 的等式化简中非常好用，能一步把边换成角的余弦。它本质上是余弦定理的线性组合，记不住就现推：把 拆成两段分别在两条边上投影。 【例题精讲】 1．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．在 中，，，，则 为______．　　　　 　 　 　 【变式训练】 1．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．在 中，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．在 中，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．在 中，，，，则 为______．　　　　 5．在 中，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．在 中，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．在 中，，，，则最大内角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 2．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．在 中，，，，则其最大内角为（　　） A． B． C． D． 4．射影定理：______．　　　　 5．在 中，若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．在 中，，，，则 等于（　　） A． 或 B． C． D．无解 7．在 中，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．关于正弦定理与余弦定理的选用，下列说法正确的是（　　） A．已知两边及其夹角求第三边用余弦定理；已知三边求角用余弦定理的变形 B．已知三边求角用正弦定理 C．已知两边及其中一边的对角用余弦定理最方便 D．两个定理不能同时使用 题型三　面积、周长、中线、角平分线 【方法与技巧】 面积公式首选 （两边及其夹角）。已知三边时用 需要先由余弦定理求出一个角的余弦再转成正弦，别硬套海伦公式。 周长与面积的最值常用**基本不等式**：由余弦定理得 ，配合 可推出 的上界（当 时正好得到 ），面积的最值随之而来。 中线用向量最省事：若 为 中点，则 ，平方即得 。**不要死记中线长公式，用向量现推**。 角平分线用**角平分线定理**：，把线段比转成边比，再配合面积（两小三角形的高相同，面积比等于底边比）就能处理绝大多数角平分线问题。 【例题精讲】 1．在 中，，，，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 　 2．在 中，，，，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 3．在 中，，，，则其面积为______．　　　　 　 　 　 【变式训练】 1．在 中，，，，则其周长为（　　） A． B． C． D． 2．在 中，，，，且 为锐角，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．在 中，，，， 为 的中点，则 的长为（　　） A． B． C． D． 4．在 中， 为 的平分线，交 于 ，则 等于______．　　　　 5．在 中，，，，则其面积为（　　） A． B． C． D． 6．在 中，，，，则 等于（　　） A． 或 B． C． D． 【巩固练习】 1．在 中，，，则其面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．在 中，，，，则 边上的高为（　　） A． B． C． D． 3．在 中，，，，则其面积为______．　　　　 4．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．在 中，，，，则 边上的高为（　　） A． B． C． D． 6．在 中，，，， 为 的中点，则 的长为（　　） A． B． C． D． 7．在 中，，，，则其外接圆半径 为______．　　　　 8．关于三角形面积公式的选用，下列说法正确的是（　　） A．已知两边及其夹角时，用 最直接 B．已知三边时优先用海伦公式 C．已知两角一边时只能用余弦定理求面积 D．面积公式只适用于锐角三角形 题型四　三角形形状的判断与边角关系 【方法与技巧】 判断形状的标准动作：**先统一成边或统一成角**。见到 、 就用正弦定理换成 、；见到 、 混合就考虑余弦定理。统一之后再因式分解，形状（等腰、直角、等边）自然浮出来。 等腰的代数特征：（或 ）、、。化简到 这类式子时，由 、 得 ，只能 ，不能想当然地说 。 直角的代数特征：、、、。特别注意由 得到的是 **或** ，即“等腰或直角”，漏掉后一半是最常见的错误。 等边的判定要三个条件（ 或 ），只推出两个角相等不能下结论。反过来，若已知 ，可化为 ，再由正切在 上的性质得 。 【例题精讲】 1．在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 　 　 　 2．在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 　 　 　 3．在 中，若 ，则 是______三角形．　　　　 　 　 　 【变式训练】 1．在 中，若 ，则 是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．在 中，若 ，则 是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 3．在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 4．在 中，若 ，则 是______角．　　　　 5．在 中，若 且 ，则 是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 6．在 中，若 ，则其最大内角为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．在 中，若 ，则 是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 2．在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．在 中，若 ，则 是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4．在 中， 是 为______三角形的充要条件．　　　　 5．在 中，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 7．在 中，若 ，则 是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 8．判断三角形形状时，最恰当的思路是（　　） A．先把边化成角或把角化成边，统一成一类后再化简 B．先算出三个角的具体度数 C．先假设是等边三角形再验证 D．只看最长边与最短边的大小关系 题型五　最值与范围问题（角的范围、边长范围、面积周长最值） 【方法与技巧】 最值问题的两条主线：**边化角**（用正弦定理把边写成 ，再化辅助角，最值由振幅给出）与**角化边**（用余弦定理写成关于两的二次式，再用基本不等式）。已知一角及其对边时，后者几乎必用。 固定角 及其对边 时， 有上界：由 ，得 （ 时即 ）。由此可得面积、周长的最值，取等条件是 。 **范围问题一定要写清端点能不能取到**。三角形中 且每个角都在 ；若再加“锐角三角形”，则每个角都小于 。把这两个限制写成不等式组再解，别凭感觉给区间。 求 、 这类和的范围时，常用 ，再用余弦定理把 换成 ，配成只含 的式子，配合 的范围即可。 【例题精讲】 1．在 中，，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．在 中，，，则其周长的最大值为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．在 中，，，则 的最大值为______．　　　　 　 　 　 【变式训练】 1．在 中，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．在 中，，，则其面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．在锐角 中，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．在 中，，，则 的最大值为______．　　　　 5．在 中，，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．在 中，，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．在 中，，，则其面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．在 中，，，，则 的值为（　　） A． 或 B． C． D． 3．在 中，，，则其面积的最大值为______．　　　　 4．在 中，若 且 ，则其面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．在锐角 中，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．在 中，，，则其周长 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．在 中，，，则 的值为______．　　　　 8．关于三角形中的最值问题，下列方法最恰当的是（　　） A．用余弦定理写成关于两边的二次式，再用基本不等式求最值 B．把三个角都当成变量分别求极值 C．先假设三角形为等边再取最值 D．直接用边长越大面积越大的直观判断 题型六　结构不良与实际情境（缺条件自选、测量问题） 【方法与技巧】 **结构不良题考的是“选条件”的判断力**，三个条件里哪个最好算本身就是考点。判断顺序：先看与已知条件组合后三角形是否唯一确定（会不会两解、无解），再看计算量（能否一步正弦定理或余弦定理出结果）。 选条件的三条经验：① 已知一角及其对边时，再给一条边可直接用正弦定理；② 给一角及另一角（两角一边）一定唯一确定且最好算；③ 给两边及其中一边的对角（SSA）要先验解的个数，容易踩坑，能不选就不选。 实际测量题的建模顺序：先把文字翻译成三角形（谁是谁的仰角、方位角，边是哪一段距离），再标出已知量与所求量，最后选正弦或余弦定理。**先画图（哪怕草图）再列式，比直接读题快得多**。 仰角与方位角的常用处理：仰角是视线与水平线的夹角，常与直角三角形的正切联系；方位角（如北偏东 ）要先化成三角形的内角，别把方位角直接当内角代进去。 【例题精讲】 1．在 中，已知 ，，再从① 、② 、③ 中选一个作为条件。若使该三角形恰有两解，应选（　　） A．① B．② C．③ D．三个都不行 2．某人在 处测得建筑物顶端 的仰角为 ，沿水平方向向建筑物前进 m 到达 处，测得仰角为 ，则建筑物的高（人眼高度不计）为（　　） A． m B． m C． m D． m 3．一艘船从 处向正北航行，在 处测得灯塔 在北偏东 ，航行 海里到达 处，测得灯塔在北偏东 ，则此时船与灯塔的距离 为______海里．　　　　 　 　 　 【变式训练】 1．在 中，已知 ，，要唯一确定 ，下列可添加的条件是（　　） A． B． C． D． 2．为测量某塔的高度，在地面上选 、 两点， m，且 、 与塔基 在同一直线上（ 离塔更近）。在 处测得塔顶仰角为 ，在 处测得仰角为 ，则塔高为（　　） A． m B． m C． m D． m 3．在 中，，，，则该三角形解的个数为______．　　　　 4．在 中，已知 ，，现要从① 、② 、③ 中选一个条件，以便直接（一步）用正弦定理求出 。应选（　　） A．① B．② C．③ D．三个都一样 5．甲、乙两船同时从某港口出发，甲船以 km/h 向正东航行，乙船以 km/h 向正北航行，则 小时后两船相距（　　） A． km B． km C． km D． km 6．在 中，，，，则 为______．　　　　 【巩固练习】 1．在 中，，，要使该三角形无解， 可以取（　　） A． B． C． D． 2．为测量河对岸 、 两点间的距离，在岸边选一点 ，测得 m， m，，则 等于（　　） A． m B． m C． m D． m 3．在 中，，，，则该三角形解的个数为______．　　　　 4．在 中，已知 ，再从① 、② 、③ 中任选两个作为补充条件。下列选法中不能唯一确定 的是（　　） A．选①和② B．选①和③ C．选②和③ D．三种选法都能唯一确定 5．某观测站在 处测得两目标 、 的张角 ，且 km， km，则 等于（　　） A． km B． km C． km D． km 6．在 中，，，，则该三角形解的个数为______．　　　　 7．在 中，，，若该三角形有两解，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．关于结构不良题（缺条件自选）的应对，下列做法最恰当的是（　　） A．先判断所选条件与已知条件组合后三角形是否唯一确定、是否可解，再选计算量最小的一组 B．随便选一个条件，能算出结果就行 C．必须选三个条件里看起来最复杂的那个 D．只能选含有边的条件，含角的条件不可用 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．在 中，，，，则最大内角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 3．在 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．在 中，，，，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 5．在 中，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．在 中，，，，则该三角形解的个数为（　　） A． B． C． D． 7．在 中，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．在 中，，，则 面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．关于正弦定理，下列说法正确的是（　　） A．（ 为外接圆半径） B．可实现边与角的互化 C．大边对大角、小边对小角 D．只适用于直角三角形 10．关于余弦定理，下列说法正确的是（　　） A． B． C．已知三边可以求出三个角 D．已知两边及其中一边的对角时一定用余弦定理 11．关于三角形中的最值问题，下列做法正确的是（　　） A．常用基本不等式求边的乘积的上界 B．常用辅助角求含角的式子的最值 C．求角的范围时要结合内角和与各角为锐角的限制 D．三角形中边长可以任意大 【填空题】 12．在 中，，，则其外接圆半径 为______．　　　　 13．在 中，，，，则 为______．　　　　 14．在 中，，，则 为______．　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $