专题13 三角恒等变换 专项训练-2027届高考数学一轮复习（新高考全国卷）

专题13三角恒等变换 群哥高中数学辅导资料 专题13三角恒等变换 一、核心知识 1.两角和与差的正弦：sin(a±B)=sin a cosβ±cosa sinβ；余弦： osa±)-co5acsA于sinsin(注意符号相反)；正切：ana±)1ngiane 2.配凑角（本讲核心技巧）：用已知角表示所求角，常用a(=(α+B)-B、B=(Q+B)-a、 2=a+p)+e-以、=a-号》-贤-B.章到题先预这一步，别盒若套公式 3.二倍角公式：sin2a=2 sina cos a;cos2a=cos2a-sin2a=2cos2-1=1-2sin2a; tan 2= 2tana 。求值时按已知量选cos2(的写法可少开一次方。 1-tano 4.升幂与降幂：1+cos2a=2cosa,1-c0s2a=2sin2a(升幂)：c0s'a=1+cos2g 2 sin'a=1-cos2g(降幂)。讨论周期与最值前先降幂。 2 5.半角公式：sn=± 1-cosa 2 s4-+1+cosa ,c0s2 1-cosa 2 tan 2 1+cos *符号一律由2 所在的象限决定*。 .箱助角公式：asin x+bcos x=Q+bsnx+p其中an0合且p的象限由点a, 确定：由此最值为±√a2+b。 7.和积互求：(sina+cosa)2=1+sin2a,(sina-cos a)2=1-sin2a。由sina±cosa可求 sin2a与sina cosa,反之符号由a的范围确定。 1+tana cos2a=1-tan'a 8.由ana求二倍角（万能式）：sin2a=,2tana 1+tan'。此路无需开方、无需讨 论象限。 9.综合应用：把f(x)化为Asn(0X+p)+B后再讨论性质一一最小正周期T=27, o,最值为 B士A,对称轴由。X+0=)+kπ确定。定义域在化简前后要保持一致。 1/12 专题13三角恒等变换 群哥高中数学辅导资料 二、题型精练 题型一和差角公式的应用（含角的配凑与拆角） 【方法与技巧】 和差角公式的正用与逆用要分开练：正用是已知单角求复角(sn(α+β)这类)，逆用是把一个式子并 成一个角（看到sin a cos B+cos a sin B要立刻认出它是sin(a+β）)。逆用不熟，化简就卡死。 *配凑角是本讲学生卡得最多的一步*，务必集中练。常用配法：α=(《+β）-B、B=(α+B)-Q、 2a=(a+B)+(a-B).q-a+B)+(a-B) 拿到题先问：要求的角能不能用已知的几个角加减出 来？ tan的和差公式分母是1干tan a tan B,与sin、cos的符号习惯相反，最容易记混。记法： tan(ac+阝)的分母是「减」，tanc-B）的分母是「加」。另外公式有意义的前提是分母不为0且各 角的正切存在。 求角的时候不要只求函数值：己知sina、CoS(后还要*由角的范围定象限*，再决定sin(Q+B)的 正负：若题目要求角的大小，还要看该角是否落在所求函数值对应的唯一区间内，否则会有两个答案。 【例题精讲】 1.已知sina= ae受.osB=是Be0,》,则cosa-B)等于() 3 16 56 16 33 A.65 B. 65 c.-65 D.65 2已知&、B都是餐角，osa-号osa+B-=是则cos月等f() 1 V3 A.2 1 B.2 c.3 3.sin75°的值为_ 2/12 专题13三角恒等变换 群哥高中数学辅导资料 【变式训练】 1.sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ化简为() A.sina B.cosa c.sina+2β D.sinB 2.已知tanc=2,tanB=3,则tan(a+B)等于() A.-1 B.1 c.5 D.-5 3已知an1a+B创=号mB-牙子则ama+景等于() 3 2 B.3 C.2 A.22 D.17 4.cos20°c0s40°-sin20°sin40°的值为_ 5尼知sn军-a)-子则os子+a)等于() A.3 c,23 2 3 D.3 6.已知cosa子a∈0，号.则sina-名》的值为一 【巩固练习】 1.sin15°的值为（) A. 6-2 6+V2 2-6 4 B. C. 4. 4 D.4 2.已知a、B都是锐角，5ina= 5,sinB=10 0,则α+B等于() A B. c D. 6 3.已知ana=方ana-B)=-号则amB等于() 8 A.8 B.9 D 4.sin(平+x)+sin(牙-x)化简为 5,知a、Be0,受.且sna是cosg+B)=是则snB等于《） 63 33 16 56 A.65 B.65 C.65 D.65 3/12 专题13三角恒等变换 群哥高中数学辅导资料 1+tan15 6. 1-tanl5。的值为 7.已知sina= 号x.osB=景B∈受.则cose+Bl等于{） ∈( 。 4V2-V5 B. 4V2+/5 c.、 4V2+V5 D. V5-4V2 A. 9 9 9 9 8.关于“配凑角”，下列做法正确的是() A.用己知角通过加减表示出所求角，再套和差角公式 B.把已知角的值先全部算出来，再逐一代入 C.直接用和差角公式展开后解方程 D.先把所有角都化到(0，受)内再算 题型二二倍角与半角（升幂降幂、降幂求值） 【方法与技巧】 二倍角公式cos2c(有三种写法：cos2a-sina、2cos2a-1、1-2sin2a。*求值时按已知量选写法 *(己知Sina用第三种，己知cOsc用第二种)，能省掉一次开方。 升幂与降幂是一对：1+cos2a=2cosa、1-cos2a=2sina叫升幂（把一次式写成二次式）；反过 sin'=1-cos2a cos1+cos 2a 2 2 叫降幂。凡是求周期、最值，一律先降幂把次数降下来。 sina±cosa与sin2a的互求：把sina+cosa平方得1+sin2a,把sina-cosa平方得 1-sn2a。这条年年考，且常与「由范围定符号」配合，符号错了整题白做。 半角公式sin =±1-cosa 2 2 的*符号由2所在象限决定*，不是由α决定一一这是最典型的失 分点。做题时先写出 的范围，再定正负号。 【例题精讲】 1.己知sina=3 ae(受m.则sin2a等于() 24 B.25 c. 7 D.25 4/12 专题13三角恒等变换 群哥高中数学辅导资料 2.已知cosa= ,则cos2a等于() 7 A.g 7 B.9 89 D. 3.2sin15°cos15°的值为 【变式训练】 1.as骨sn'得的值为() 2 3 2 A.2 B. C.2 D,4 2.已知si血a-osa=克：则sin2a等于（) B.4 c 1-2 D. 3.1-2sin2 12 的值为()， 3 A.2 B.2 c.、3 2 2 D. 2 4.已知tanc=2,则tan2a的值为 ae(受，，则cs2a等于() 3 5.已知sina= 7 7 B.-25 4 A.25 c.5 D.25 6.函数y=2c0s2x-1的最小正周期为() A.π B.2π c.2 D.4π 5/12 专题13三角恒等变换 群哥高中数学辅导资料 【巩固练习】 1.已知cos2a 3,则sin2a等于() B D. 6 3π 2.已知a∈(n,,且cosa=-则sin号 等于() 310 10 10 A.10 B.- 10 C. 10 4-5 D. 3.把sinx降幂写成一次式的形式为 4.已知sina+cosa= 2, 则sin2a等于() A.、3 3 4 B. D 5.cos T 的值为() V2+2 2 1+V2 A. B.2-2 2 2 C.2 D. 4 sin2a 6.已知tanc=3,则 cos2a 等于() A.6 B.3 D.9 7.1+cos2x 2 化简为 8已加cos(学-a1-景则n2a等于(） 7 A.-25 7 8 C.25 8 B.25 D.- 25 6/12 专题13三角恒等变换 群哥高中数学辅导资料 题型三辅助角公式与化简求值 【方法与技巧】 Q 铺助角公式asin x+bcos x=RVd+Bsin(x+p,其中cosp=a+ sin=+b(卿 但要按(a,b)所在象限定p),*4只记tan0=b tanp=b 会定错象限*。 辅助角的最大用处是求最值与值域：化成一个sin之后，最大值就是√a+b、最小值是-Va+b, 周期、单调区间也都一目了然。凡是式子同时出现sn与cos的一次项，先化辅助角。 π 1的代换”是化简求值的暗器：把1换成sina+cosa、tan牙、sin月 2 等，往往能把式子凑成可 约的形式。遇到 1+tan x 这类，直接认成tan(匹+x)。 1-tan x 4 知tana求sin2a、cos2a用万能式：sin2a= 2tana cos2a=1-tan'a 1+tan a 。这条路不用开方、 1+tan a 不用讨论象限，比先求sina、cosa再代公式稳得多。 【例题精讲】 1.sinx+3cosx可化为() A.2sinx+号 B.2sin(x+君 c.2cosx+号) D.3snx+岩 2.函数y=sinx-cosx的最大值为（) A.2 B.1 C.2 2 D. 3.把V3sinx+cosx化为Asin(x+p)(A>0)的形式为 【变式训练】 1.函数y=3sinx+4cosx的最大值为() A.5 B.7 C.7 D.12 7/12 专题13三角恒等变换 群哥高中数学辅导资料 2.已知nx+cosX=号x∈(0，.则anX等于() c.3 D 3.cosx-3sinx可化为() A.2cos(x+I 3 B.2sin(x+ c.2cos(x) D.2sin(x- 4.函数y=sinx+只3cosx的最小正周期为 5.已知tana=2,则sin2a+cos2a等于() D. 6.已知sina+cosa= 2,则sinacosa等于() A. B.4 c D 【巩固练习】 1.函数y=2 sin xcos x+2cos2x-1的最大值为() A.2 B.2 c.1 D.2V2 2.把sinx+cosx化为Asin(x+p)(A>0)的形式为， 3.已知sina-cosa= 2,则singcosa等于() 3 A.8 c、3 8 D.日 4.函数y=sinx+cosx在[0，]上的取值范围是() A.[1,/2] B.[0,V2] c.[-V2,2] D.[1,2] 5.把2sinx-23cosx化为Asin(x+p)(A>0)的形式为 6E起a-专则22a+(） A.1 B.2 c.2 5 D. 7若X+cosX且xe0,.则snX-csx等于() A.3 17 1 3 C.3 2-3 D. 8/12 专题13三角恒等变换 群哥高中数学辅导资料 8.关于辅助角公式，下列说法正确的是() b A.asin x+bcos x=a+bsin(x+o,其中tan=2且p由点(a,b)的象限确定 B.asin x+bcos x的最大值为a+b C.辅助角公式会改变函数的周期 D.p只能取第一象限的角 题型四三角恒等变换与三角函数的综合 【方法与技巧】 恒等变换与函数性质综合的*标准动作只有一条：先把f(x)化成Asn(ωx+p)+B的形式，再谈 周期、最值、单调区间、对称轴*。不化简就直接讨论性质，等于给自己增加难度。 化简顺序建议：先用二倍角（或降幂）把次数降到一次，再用辅助角把sin与COs合成一个，最后整理 成Asn(⊙x+p+B。注意降幂后会出现常数项，那个常数就是最后的B。 综合题里“给值求值”的套路：先把要求的角用己知角配出来（见题型一的配凑角），再套公式；若中间 要开方，*先定范围再开方*，符号写错是这类题唯一的失分来源。 定义域要跟着变换走：tn型式子要排除使分母为0的取值，分式化简（如 1-cos2X=tanx)时约 sin2x 掉的因式不能忘一一化简前后定义域不同的话，取值要单独说明。 【例题精讲】 1.函数f(x)=2 sin xcos x+2cosx-1的最小正周期为() A.π B.2π C.2 D.4π 2.函数y=sin2x+/3 sin xcos x的最大值为() 3 A.2 B.1 C.2 3.函数y=sin xcos x的最小正周期为 9/12 专题13三角恒等变换 群哥高中数学辅导资料 【变式训练】 1.函数y=2 sin xcos x的最大值为() A.1 B.2 C.2 D.2 2.已知sin骨-a-子则cos+2a等于() 7 7 2 A.一g B.9 C.-g 1-cos2x 3.化简 sin2x 的结果为一 函数y=sinx+snx+?）的最大值为() A.3 3 B.2 C.1 D.2 5.已知函数fx)=2cos2x+23 sin xcosx-1,则f(x)的最大值为() A.2 B.1 c.3 D.23 6.函数y=2sinx-1的最小正周期为 【巩固练习】 1.函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为() A.π B.2π c π D.4 2已知sna=3 a∈(2，则ana-好)等于() A.-7 B.7 c D. 3.化简sin(军+x)cos(牙-x)-cos(穿+x)sin军-X)的结果为 4.函数y=cos2x+/3 sin xcosx的最小值为() B. c~3 D.0 sin2a 5.已知tana=2,则 1+cos2a 等于() A.2 c.4 D.1 10/12 专题13三角恒等变换 群哥高中数学辅导资料 6.函数y= sin2x+ 1 3 os2x可化为sin(2x+). VG 7.已知sina+cos= 2， 则sin2a等于() B.-2 c 3 D.2 8.做“三角恒等变换与函数性质综合”题时，最恰当的顺序是() A.先化简为Asin(OX+p)+B的形式，再讨论周期、最值、单调性 B.先讨论单调性，再化简 C.先求定义域，再逐项讨论 D.直接代特殊值判断 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1.sin15°cos15°的值为() A4 B.2 3 V2 C.4 D.4 2.已知tana=2,则an(a+牙)等于() A.-3 B.3 C.3 D 3.cos22.50-sin2.5°的值为() 2 3 A.2 C.2 D.2 4.函数y=sin xcos x的最大值为() 1 2 A.2 B.1 C.2 D.2 5.已知sina= ae(受，u，则sin2a等于() A.-4/2 c.-22 9 B.42 9 9 D日 6.sin(a+β)+sin(a-B)等于() A.2sin a cos B B.2 cos a sinβ c.2 sina sinβ D.sin2a 11/12 专题13三角恒等变换 群哥高中数学辅导资料 7.函数y=2 sin xcos x+1的最小正周期为() A.π B.2π D.4π 8已知osa-是ae0,,则osa+号等于() 3 3-4V3 3+4V3 4-3V3 4V3-3 A. B. D. 10 10 10 10 【多项选择题】 9.关于二倍角公式，下列等式恒成立的是() A.cos2a=2 cos'a-1 B.cos2a=1-2sin2a C.cos 2a=cos2a-sin2a D sin 2=2sina 10.关于辅助角公式asin x+bcos x=a+bsin(x+p,下列说法正确的是() A.最大值为Va+b B.最小正周期为2π c.可化为Va+bsin(x+p)的形式 b D.p由tanp=二唯一确定 a 11.关于三角恒等变换，下列做法正确的是（) A.求值时先用己知角把所求角配出来，再套公式 B.讨论周期与最值前先降幂、再化辅助角 C.化简后更容易讨论函数的性质 D.恒等变换可以改变函数的定义域 【填空题】 12.计算c0s75°的值为 13.已知tana=3,则tan2a的值为 14.函数y=sinx+V3cosx的最大值为 12/12专题13　三角恒等变换 群哥高中数学辅导资料 专题13　三角恒等变换 一、核心知识 1．两角和与差的正弦：；余弦：（注意符号相反）；正切：。 2．配凑角（本讲核心技巧）：用已知角表示所求角，常用 、、、。拿到题先做这一步，别急着套公式。 3．二倍角公式：；；。求值时按已知量选 的写法可少开一次方。 4．升幂与降幂：，（升幂）；，（降幂）。讨论周期与最值前先降幂。 5．半角公式：，，。**符号一律由 所在的象限决定**。 6．辅助角公式：，其中 且 的象限由点 确定；由此最值为 。 7．和积互求：，。由 可求 与 ，反之符号由 的范围确定。 8．由 求二倍角（万能式）：，。此路无需开方、无需讨论象限。 9．综合应用：把 化为 后再讨论性质——最小正周期 ，最值为 ，对称轴由 确定。定义域在化简前后要保持一致。 二、题型精练 题型一　和差角公式的应用（含角的配凑与拆角） 【方法与技巧】 和差角公式的正用与逆用要分开练：正用是已知单角求复角（ 这类），逆用是把一个式子并成一个角（看到 要立刻认出它是 ）。逆用不熟，化简就卡死。 **配凑角是本讲学生卡得最多的一步**，务必集中练。常用配法：、、、。拿到题先问：要求的角能不能用已知的几个角加减出来？ 的和差公式分母是 ，与 、 的符号习惯相反，最容易记混。记法： 的分母是「减」， 的分母是「加」。另外公式有意义的前提是分母不为 且各角的正切存在。 求角的时候不要只求函数值：已知 、 后还要**由角的范围定象限**，再决定 的正负；若题目要求角的大小，还要看该角是否落在所求函数值对应的唯一区间内，否则会有两个答案。 【例题精讲】 1．已知 ，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ；由 得 。故 。**先由象限定符号，再代公式**。故选：A。 2．已知 、 都是锐角，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】**配凑角**：。由 得 ；由 且 得 。故 。故选：A。 3． 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。拆成两个特殊角是本讲的看家本领。故答案为：。 【变式训练】 1． 化简为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】逆用公式：原式 。看到「 乘 减 乘 」的形状要立刻认出它是一个差角的正弦。故选：A。 2．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。注意分母是 ，不是 。故选：A。 3．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】**配凑角**：。故 。这类题的功夫全在配角这一步。故选：A。 4． 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】逆用余弦的和角公式：原式 。不用算任何一个具体值。故答案为：。 5．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】**配凑角**：注意到 ，即 。故 。两角互余时直接换函数名。故选：A。 6．已知 ，，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 。故 。故答案为：。 【巩固练习】 1． 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。注意 与 相等，不要与 （）混淆。故选：A。 2．已知 、 都是锐角，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由锐角得 ，。。又 ，故 。**求角要先算函数值、再由范围定角**。故选：A。 3．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】**配凑角**：。故 。故选：A。 4． 化简为______．　　　　 【答案】 【详解】展开：两式中的 项互相抵消，剩下 。凡是这类对称结构，先展开看能否对消。故答案为：。 5．已知 、，且 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】**配凑角**：。由 为锐角得 ；由 且 得 。故 。故选：A。 6． 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】把 看成 ，原式 。这是“ 的代换”最经典的用法。故答案为：。 7．已知 ，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ；由 得 。故 。两个钝角相加超过 ，余弦可正可负，只能老老实实算。故选：A。 8．关于“配凑角”，下列做法正确的是（　　） A．用已知角通过加减表示出所求角，再套和差角公式 B．把已知角的值先全部算出来，再逐一代入 C．直接用和差角公式展开后解方程 D．先把所有角都化到 内再算 【答案】A 【详解】配凑角的要义就是**先做角的加减、再套公式**——所求角一旦能用已知角加减出来，公式只需用一次。B 会多开好几次方且容易丢符号，C 往往解不出，D 完全没必要。常用配法：、。故选：A。 题型二　二倍角与半角（升幂降幂、降幂求值） 【方法与技巧】 二倍角公式 有三种写法：、、。**求值时按已知量选写法**（已知 用第三种，已知 用第二种），能省掉一次开方。 升幂与降幂是一对：、 叫升幂（把一次式写成二次式）；反过来 、 叫降幂。凡是求周期、最值，一律先降幂把次数降下来。 与 的互求：把 平方得 ，把 平方得 。这条年年考，且常与「由范围定符号」配合，符号错了整题白做。 半角公式 的**符号由 所在象限决定**，不是由 决定——这是最典型的失分点。做题时先写出 的范围，再定正负号。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，故 。二倍角的值可正可负，符号完全由 与 的符号决定。故选：A。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知 ，就选 这种写法：。若改用 ，还得先由 转一次，多绕一步。故选：A。 3． 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】由 得原式 。不必算出 、 各自的值。故答案为：。 【变式训练】 1． 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】逆用 ：原式 。故选：A。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两边平方：，故 。和积互求只差一次平方，符号由公式本身决定，不用讨论象限。故选：A。 3． 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】逆用 ：原式 。故选：A。 4．已知 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。给正切求二倍角最省事，不用开方也不用定象限。故答案为：。 5．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知 ，选 ：。注意 是钝角但 为正—— 落在第三、四象限，符号不能凭感觉。故选：A。 6．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 。看到 先降幂（或逆用二倍角），周期立刻出来。故选：A。 【巩固练习】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由降幂公式 。降幂公式就是把二次式换成一次式，求周期最值时必用。故选：A。 2．已知 ，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，在第二象限，** 取正**。故 。半角符号看的是 的象限，不是 的。故选：A。 3．把 降幂写成一次式的形式为______．　　　　 【答案】 【详解】由 反解即得 。降幂后次数从 降到 、角频率由 变成 ，讨论周期与最值立刻方便。故答案为：。 4．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两边平方：，故 。注意与 的情形相差一个符号：加号对应 ，减号对应 。故选：A。 5． 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】半角：，故 。 不是特殊角，只能靠半角公式。故选：A。 6．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。分子分母同除以 即可，不必分别求 与 。故选：A。 7． 化简为______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 。这是升幂公式，把一次式写成二次式，常用于通分与因式分解。故答案为：。 8．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】**配凑角**：令 ，则 ，。故 。把二倍角与配凑角结合，是这一讲的典型综合。故选：A。 题型三　辅助角公式与化简求值 【方法与技巧】 辅助角公式 ，其中 、（即 ，但要按 所在象限定 ）。**只记 会定错象限**。 辅助角的最大用处是求最值与值域：化成一个 之后，最大值就是 、最小值是 ，周期、单调区间也都一目了然。凡是式子同时出现 与 的一次项，先化辅助角。 “ 的代换”是化简求值的暗器：把 换成 、、 等，往往能把式子凑成可约的形式。遇到 这类，直接认成 。 知 求 、 用万能式：，。这条路不用开方、不用讨论象限，比先求 、 再代公式稳得多。 【例题精讲】 1． 可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、，， 且 在第一象限，故 ，即 。定 时一定要看点 的象限。故选：A。 2．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故最大值为 。一般地 的最大值为 ，这里 。故选：A。 3．把 化为 （）的形式为______．　　　　 【答案】 【详解】， 且 在第一象限，故 ，即 。故答案为：。 【变式训练】 1．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】最大值为 。注意不是 ——两个函数不会同时取到最大值，这一点最容易被想当然。故选：A。 2．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平方得 ，故 。又 时 ，所以 ，即 为钝角。由 、 解得 、，故 。**先由积的符号定象限，再解方程组**。故选：A。 3． 可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。也可以提 后写成 再认出余弦的和角公式。故选：A。 4．函数 的最小正周期为______．　　　　 【答案】 【详解】，，故 。辅助角只改变振幅与初相，**不改变角频率**，周期不变。故答案为：。 5．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】用万能式：，，和为 。已知正切时这条路最快，且完全不需要讨论象限。故选：A。 6．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平方得 ，故 。和比 小，说明两因子异号，积为负是合理的。故选：A。 【巩固练习】 1．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先化简：，，故 ，最大值为 。**不化简就看不出最值**。故选：A。 2．把 化为 （）的形式为______．　　　　 【答案】 【详解】， 且 在第一象限，故 。这条最常用，建议直接记住。故答案为：。 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平方得 ，故 。与“加”的情形对照记忆：。故选：A。 4．函数 在 上的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 时相位 ， 在此区间上最小值为两端点的值 、最大值为中间的 ，故 。先化辅助角，再看相位区间。故选：A。 5．把 化为 （）的形式为______．　　　　 【答案】 【详解】， 且点 在第四象限，故 ，即 。只记 会得到 ，必须看象限修正。故答案为：。 6．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】万能式：；又 ，而 ，故分母 ，分子 ，比值为 。分母先化成 是关键。故选：A。 7．若 ，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平方得 ，故 。于是 。又 时 ，而 说明 ，故 ，取 。**开方前先定符号**。故选：A。 8．关于辅助角公式，下列说法正确的是（　　） A．，其中 且 由点 的象限确定 B． 的最大值为 C．辅助角公式会改变函数的周期 D． 只能取第一象限的角 【答案】A 【详解】A 是完整的表述—— 只能定到相差 的两个角，必须再由 所在象限才能唯一确定 。B 错（应为 ）；C 错（只改振幅与初相，角频率 不变，周期不变）；D 错（ 可在任意象限）。故选：A。 题型四　三角恒等变换与三角函数的综合 【方法与技巧】 恒等变换与函数性质综合的**标准动作只有一条：先把 化成 的形式，再谈周期、最值、单调区间、对称轴**。不化简就直接讨论性质，等于给自己增加难度。 化简顺序建议：先用二倍角（或降幂）把次数降到一次，再用辅助角把 与 合成一个，最后整理成 。注意降幂后会出现常数项，那个常数就是最后的 。 综合题里“给值求值”的套路：先把要求的角用已知角配出来（见题型一的配凑角），再套公式；若中间要开方，**先定范围再开方**，符号写错是这类题唯一的失分来源。 定义域要跟着变换走： 型式子要排除使分母为 的取值，分式化简（如 ）时约掉的因式不能忘——化简前后定义域不同的话，取值要单独说明。 【例题精讲】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先化简：，，故 ，，。**不化简就看不出周期**。故选：A。 2．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先降幂：，。故 ，最大值为 。降幂是本类题的第一步。故选：A。 3．函数 的最小正周期为______．　　　　 【答案】 【详解】，，故 。凡是 先化二倍角，周期与最值一步到位。故答案为：。 【变式训练】 1．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故最大值为 。系数 正好被二倍角公式里的 抵消，别再乘一遍。故选：A。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】**配凑角**：令 ，则 ，于是 。故原式 。配完角再套二倍角，两次变换连着用。故选：A。 3．化简 的结果为______．　　　　 【答案】 【详解】，，故原式 。注意原式要求 ，化简后的 也要求 ，两边定义域一致。故答案为：。 4．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】展开 ，故 ，振幅 ，最大值为 。故选：A。 5．已知函数 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故最大值为 。降幂与辅助角连用，是综合题的标准动作。故选：A。 6．函数 的最小正周期为______．　　　　 【答案】 【详解】，，故 。故答案为：。 【巩固练习】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 。辅助角不改变角频率，周期只看 。故选：A。 2．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，。故 。注意减角公式分母是「加」。故选：A。 3．化简 的结果为______．　　　　 【答案】 【详解】逆用差角的正弦公式，原式 。看到「 乘 减 乘 」就往一个角上并。故答案为：。 4．函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】降幂：，。故 ，最小值为 。故选：A。 5．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。分母用 是化简的关键。故选：A。 6．函数 可化为 ______．　　　　 【答案】 【详解】，故空格填 。把系数 、 认成特殊角的正余弦即可。故答案为：。 7．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平方得 ，故 。和大于 说明两因子同号，故 ，与结果一致。故选：A。 8．做“三角恒等变换与函数性质综合”题时，最恰当的顺序是（　　） A．先化简为 的形式，再讨论周期、最值、单调性 B．先讨论单调性，再化简 C．先求定义域，再逐项讨论 D．直接代特殊值判断 【答案】A 【详解】综合题的标准动作只有一条：**先化简成一个正弦（或余弦），再谈性质**。化成 后，周期 、最值 、对称轴由 给出，全都一目了然。B、D 顺序颠倒，C 是必要但不充分的一步。故选：A。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1． 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。看到 先想二倍角，别去硬算 的值。故选：A。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。注意分母是「减」，与 相反。故选：A。 3． 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ，取 得原式 。这是 第一种写法的逆用。故选：A。 4．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故最大值为 。凡是 先化 ，周期、最值立刻出来。故选：A。 5．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，故 。先定象限再开方，符号别丢。故选：A。 6． 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】展开：。 项一加一减正好抵消。故选：A。 7．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 。加常数不影响周期。故选：A。 8．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，故 。故选：A。 【多项选择题】 9．关于二倍角公式，下列等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A、B、C 是 的三种等价写法，分别由 消去另一项得到，都恒成立；D 少了 ，只有 时才碰巧成立，不是恒等式。故选：ABC。 10．关于辅助角公式 ，下列说法正确的是（　　） A．最大值为 B．最小正周期为 C．可化为 的形式 D． 由 唯一确定 【答案】ABC 【详解】化成一个正弦后，最值就是 ， 故周期为 ，A、B、C 都对；D 错在 只能定到相差 的两个角，必须再由点 所在象限才能唯一确定 。故选：ABC。 11．关于三角恒等变换，下列做法正确的是（　　） A．求值时先用已知角把所求角配出来，再套公式 B．讨论周期与最值前先降幂、再化辅助角 C．化简后更容易讨论函数的性质 D．恒等变换可以改变函数的定义域 【答案】ABC 【详解】A 是配凑角（本讲核心），B 是综合题的标准顺序，C 是变换的目的，三条都对；D 错——恒等变换必须保持定义域不变，若化简时约去了可能为零的因式，要单独说明。故选：ABC。 【填空题】 12．计算 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。亦可用 来算，结果相同。故答案为：。 13．已知 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。给 求二倍角直接代公式，不必先求 、。故答案为：。 14．函数 的最大值为______．　　　　 【答案】 【详解】辅助角：，故最大值为 。一般地 的最大值为 。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $