专题10 导数的综合应用（二）压轴模型 专项训练-2027届高考数学一轮复习（新高考全国卷）

专题10　导数的综合应用（二）压轴模型 群哥高中数学辅导资料 专题10　导数的综合应用（二）压轴模型 一、核心知识 1．极值点偏移：若 在 处取极值，且 ，则 与 的大小关系由函数在极值点两侧的\"陡缓\"决定；处理方法是**先画草图定方向**，再构造对称函数 判符号。 2．对称构造的标准流程：不妨设 ，构造 （），求导判出 恒正（或恒负）；由 及 在右侧的单调性，把 与 比出大小，即得 与 的关系。 3．隐零点（虚设零点）：当 无法显式求解时，设其根为 ，由 得到关系式（如 ），把该关系式**整体代入** 实现降次化简，再用 的范围估计出 的界。 4．隐零点的范围估计：先用零点存在性定理确定 （取便于计算的整数或半整数端点），再把区间端点代入化简后的表达式，得到 的取值范围。 5．同构法：把等式（或不等式）两边化为同一函数在不同点处的值，即 的形式；常用恒等变形有 、、。 6．同构后的推理：由 与 在某区间上单调，推出 （或大小关系）；使用前必须确认 、 落在 的同一单调区间内。 7．端点效应：处理含参恒成立 时，先看 趋于 的端点（含 ）时 的极限，据此排除不可能的参数段，再在剩余参数段上求最小值。 8．必要性探路：代入特殊点（端点、极值点、使对数或指数取特殊值的点）得到参数的必要条件，缩小范围后再证明其充分性；探路得到的只是必要条件，**必须补证充分性**才完整。 9．压轴抢分：第一问（求导—因式分解—列表判单调）必须拿满；分类讨论按分界点从小到大分段书写、不重不漏；不会做时写必要性探路拿步骤分；最后用特殊值检验选项与结论。 二、题型精练 题型一　双变量问题与极值点偏移（含对称构造） 【方法与技巧】 极值点偏移先画图：拿到 证 这类题，**先在草稿上画出 的草图**，看清两个交点位于极值点哪一侧、整体偏左还是偏右，再决定构造哪个函数。上来就套公式最容易把方向写反。 对称构造是标准做法：要证 ，通常构造 （ 或 一侧），判出 的符号，再由 与单调性推出 与 的大小关系。 偏移方向由三阶导数（或函数图象的\"陡缓\"）决定：极大值点两侧，若左侧上升比右侧下降\"更陡\"，则两零点的中点偏右。不会算三阶导数时，代入一个具体的对称点算函数值也能定方向。 对数型偏移常用换元：遇到 且 之类的关系，先换元 （不妨设 ），把双变量化单变量，再构造函数。 【例题精讲】 1．已知函数 ，若 且 ，则（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．已知函数 ，若 且 ，则 与 的大小关系为 ______（填“”“”或“”）．　　　　 　 　 　 3．设 ，则 与 的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 　 　 　 【变式训练】 1．已知函数 （），若 且 ，则（　　） A． B． C． D． 2．已知函数 ，若 且 ，则 ______．　　　　 3．设 ，则 与 的大小关系为 ______（填“”或“”）．　　　　 4．已知函数 ，若 且 ，则（　　） A． B． C． D． 5．已知函数 ，设 ，由 可得 ______．　　　　 6．关于极值点偏移，下列说法正确的是（　　） A．凡满足 的题都有 B．只有在函数图象严格对称时才有 C．偏移方向只能由计算三阶导数确定 D．对称构造 只在极大值点处适用 【巩固练习】 1．已知函数 ，若 且 ，则 与 的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 2．设 且 ，令 ，则 可表示为______．　　　　 3．证明 时，通常构造的函数是（　　） A． B． C． D． 4．已知函数 ，若 且 ，则 与 的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 5．设 ，由对数均值不等式可得 ______．　　　　 6．由 可推出 ______．　　　　 7．用对称构造处理极值点偏移时，构造的函数通常是（　　） A． B． C． D． 8．已知函数 （），若 且 ，则 ______．　　　　 题型二　隐零点与虚设零点（设而不求、整体代入） 【方法与技巧】 隐零点（虚设零点）的做法：当 解不出显式的根时，**设 ，把 当作已知量**，利用这个等式把 中的高次项或超越项替换掉，最终化成只含 的简单表达式，再用 的范围估值。 设而不求的三步：① 由零点存在性定理说明 存在并估计它落在哪个区间；② 由 得到关系式（如 ）；③ 把关系式**整体代入** ，化简后再用 的范围放缩。 估范围是最后一步的关键：把 的范围（如 ）代进化简后的式子，就能得到 的整数界，从而证出 或 这类结论。 千万不要试图解出 ：隐零点题的设计就是让你解不出来。凡出现 、 这类方程，一律虚设，不要浪费时间求精确解。 【例题精讲】 1．函数 的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．设 是方程 的正根，则 ______．　　　　 　 　 　 3．设 满足 ，则 ______．　　　　 　 　 　 【变式训练】 1．函数 的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 2．设 是方程 的根，则 ______．　　　　 3．设 满足 ，则 ______．　　　　 4．函数 的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 5．设 满足 ，则 ______．　　　　 6．关于隐零点（虚设零点），下列做法正确的是（　　） A．必须先用求根公式解出 才能继续 B．设 后把得到的关系式整体代入化简，而不去解 C．隐零点题无法求出 的任何信息 D． 的范围只能用二分法逐次逼近得到 【巩固练习】 1．函数 的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 2．设 是方程 的根，则 ______．　　　　 3．函数 的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 4．设 满足 ，则 ______．　　　　 5．设 是 在 内的零点，则由 可得 ______．　　　　 6．设 是 在 内的零点，则 可化为（　　） A． B． C． D． 7．用隐零点估计 的范围时，最后一步是（　　） A．把 的范围端点代进化简后的式子 B．求出 的精确值再代入 C．对 再求一次导 D．直接取 为区间中点代入 8．设 满足 且 ，则 的范围可估计为（　　） A． B． C． D． 题型三　同构与指对互化（指数与对数的同构模型） 【方法与技巧】 同构的本质是把不同位置上的 统一成同一个整体：见 与 同时出现，先想两边能否写成 的形式，若可以，则由 的单调性直接得 。 指对互化的常用恒等式：（）、。遇到 想 ，遇到 想 ，这是凑同构的两把钥匙。 常见同构模型： 型（配 ）、 型（配 ）、 型（配 ）。把等式两边化成\"同一个函数在两个点的值\"，问题就转化为比较这两个点的大小。 同构之后别忘了定义域：由 与 单调推出 时，必须确认 、 都落在 的同一个单调区间内，否则只能得到大小关系而不能得到相等。 【例题精讲】 1．把 （）写成 的形式，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．若 且 ，则 与 的关系为______．　　　　 　 　 　 3．把 写成 的形式，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．方程 的实数解的个数为（　　） A． B． C． D． 2．由 可得 ______．　　　　 3．若 ，则 与 的关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 4．把 （）合并成一个对数，应写为 ______．　　　　 5．方程 的实数解的个数为（　　） A． B． C． D． 6．化简 （）的结果为______．　　　　 【巩固练习】 1．函数 （）的单调性为（　　） A．在 上单调递减 B．在 上单调递增 C．先增后减 D．先减后增 2．若 （），则 与 的关系为______．　　　　 3．方程 的实数解的个数为（　　） A． B． C． D． 4．把 （）写成 的形式，则 ______．　　　　 5．若 ，则 ______．　　　　 6．由 （）推出 的关键依据是（　　） A．函数 的值域为 B． 与 都是正数 C．方程 总有解 D．函数 在 上严格递增 7．若 ，则 ______．　　　　 8．用同构法处理 与 同时出现的等式时，第一步通常是（　　） A．两边同时求导 B．直接移项构造函数作差 C．用 或取对数把两边化为同一函数的形式 D．令 代入试探 题型四　端点效应与必要性探路（先找必要条件再证充分） 【方法与技巧】 端点效应：处理 这类含参恒成立时，**先看 趋于区间端点（含无穷）时 的走向**，往往能直接排除掉一大半参数范围，剩下的参数段再求最小值即可。 必要性探路：先由特殊点（端点、极值点、某个便于计算的点）代出一个**必要条件** ，把参数范围缩小；再证当 时不等式成立，从而说明这个范围就是充要的。探路点要挑代入后式子最简的那个。 探路后必须补充分性：只由特殊点得到的是必要条件，要写\"下面证明当 时不等式恒成立\"，否则逻辑上是断的。这是阅卷时最常扣的一步。 探路点的选择：端点（、、区间端点）、极值点（ 的点）、以及能让对数或指数取到特殊值的点（如 、）。多试一两个，选能给出最紧的界的那个。 【例题精讲】 1．用必要性探路处理 ，代入 得到的必要条件是（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．若不等式 对任意 恒成立，由探路得到的 的取值范围是 ______．　　　　 　 　 　 3．若不等式 对任意 恒成立，代入端点 得到的必要条件是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 ______．　　　　 2．用端点效应处理 时，由 首先得到的条件是（　　） A． B． C． D． 3．若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是 ______．　　　　 4．用必要性探路得到参数的必要条件之后，还必须（　　） A．再换一个点探路 B．直接写出答案 C．证明该条件是充分的 D．对参数求导 5．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 ______．　　　　 6．选择必要性探路的代入点时，首要考虑的是（　　） A．选最大的 B．代入后式子最简且能给出最紧的界 C．选使导数为零的点 D．随机选一个点 【巩固练习】 1．若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是 ______．　　　　 2．用端点效应处理含参恒成立问题的第一步是（　　） A．求导并令导数为零 B．看 趋于区间端点（含无穷远）时函数的走向 C．分离参数 D．代入 3．若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是 ______．　　　　 4．若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是 ______．　　　　 5．做必要性探路时，下面哪一类点通常不作为探路点（　　） A．区间端点 B．函数的极值点 C．使式子中出现无法化简的无理数的点 D．使对数取到 或 的点 6．由特殊点代入得到的参数条件，其逻辑性质是（　　） A．充分而不一定必要 B．充要 C．既不充分也不必要 D．必要而不一定充分 7．若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是 ______．　　　　 8．用端点效应与必要性探路解题的合理顺序是（　　） A．先看端点排除参数段，再探路得必要条件，最后证充分性 B．先证充分性，再探路 C．先求最值，再看端点 D．先分离参数，再取极限 题型五　导数与三角、数列的压轴交汇 【方法与技巧】 导数与三角交汇： 与多项式、指数搭配时，反复用 、 放缩；求导后常出现 型，按 的值域 对 分类。 三角型恒成立的分界：令 这类，讨论标准是 能否取到 ，即 与否。分界点永远是让导数恰好为 的那些参数值。 导数与数列交汇在压轴中的形态：由导数不等式得到 （或更精细的界），再累加成 的估计；有时还要配合 。 交汇题的抢分点：第一问往往是纯导数（求单调区间或极值），必须拿满；第二问若涉及求和，先把通项的不等式写清楚，哪怕最后一步累加没算完也有步骤分。 【例题精讲】 1．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．用导数证明 （）时，构造的函数 ______．　　　　 　 　 　 3．由 累加可得 ______．　　　　 　 　 　 【变式训练】 1．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．函数 在 上单调递______（填“增”或“减”）．　　　　 3．函数 在 上的单调性为（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．不单调 4．求和 ______．　　　　 5．方程 在 上的解的个数为（　　） A． B． C． D． 6．数列 的前 项和 ______．　　　　 【巩固练习】 1．函数 在 上单调递______（填“增”或“减”）．　　　　 2．函数 在 上的零点个数为（　　） A． B． C． D． 3．由 令 并累加，可得 ______．　　　　 4．在处理含 或 的恒成立问题时，最常用的放缩依据是（　　） A． B． 与 C． D． 5．由 累加可得 ______．　　　　 6．数列 的一个上界是______．　　　　 7．已知函数 ，则 ______．　　　　 8．对含三角的含参恒成立 进行分类讨论时，分界点应取（　　） A． B． C． D． 与 题型六　导数压轴题的抢分策略（分步得分、特殊值验证、书写规范） 【方法与技巧】 抢分第一原则：**第一问必须拿满**。求导、因式分解、列表（或写单调区间）三步写全，哪怕第二问完全不会，这几分也是稳的。求导后一定要分解因式，不分解等于没写完。 分类讨论的书写规范：分界点从小到大排列，写成\"当 时……；当 时……；当 时……\"，每段有结论、不重不漏。阅卷按段给分，条理清楚比答案正确更重要。 不会做时也要写\"必要性探路\"：代几个特殊点得到参数的必要条件，再写\"由题意可知……\"，这部分常常能拿到 2—3 分的步骤分，比空着强得多。 最后一定要检验：把求出的参数代回原式，取区间内一两个点验证不等式是否成立；再用特殊值（、、）快速检验选项。这一步能救回大量\"算错符号\"的分。 【例题精讲】 1．导数压轴题第一问求导之后，紧接着必须做的一步是（　　） A．把导函数分解因式并判断符号 B．直接写出单调区间 C．代入端点求值 D．求二阶导数 　 　 　 2．写出函数的多个单调递增区间时，区间之间应当（　　） A．用并集符号 连接 B．只写最大的那个区间 C．合并成一个大区间 D．用“和”或逗号隔开，不用并集符号 　 　 　 3．第二问完全没有思路时，最有效的抢分做法是（　　） A．空着不写 B．把第一问的结论抄一遍 C．随意猜一个参数值 D．写出必要性探路：代入特殊点得到参数的必要条件 　 　 　 【变式训练】 1．在区间上若 ，则 在该区间上单调递______（填“增”或“减”）．　　　　 2．求得含参问题的答案后，检验时最宜代入的点通常是（　　） A．随便一个无理数 B． 等使式子最简的点 C．区间中点 D．使导数为零的点 3．求闭区间 上函数的最值时，必须比较的是（　　） A．只需要比较极值点 B．区间内所有极值点与两个端点的函数值 C．只需要比较端点 D．只需要比较驻点 4．含参单调性讨论的分界点通常来自（　　） A．任意取几个参数值 B． 的根 C．使 的根落在区间端点或两根恰好相等 D． 的根 5．求导之后，规范的书写应先写“令 ，得 ______”，再列表判断符号．　　　　 6．关于第一问的抢分，下列说法正确的是（　　） A．第一问分值低可以放弃 B．第一问通常是求导判单调，必须拿满分 C．先做第二问再回头做第一问 D．第一问只要写出答案即可 【巩固练习】 1．把 的导函数分解因式，结果为 ______．　　　　 2．列表判断 符号时，表格中一般要列出的行是（　　） A．只需要 的取值 B． 的分区间、 的符号、 的单调性 C．只需要 的值 D．只需要驻点 3．已知 ，则 ______．　　　　 4．用特殊值检验选择题选项时，其核心作用是（　　） A．代替严格计算得出答案 B．证明选项一定正确 C．快速排除明显错误的选项，缩小范围 D．节省写过程的时间 5．函数 的单调递增区间应写为______．　　　　 6．第二问涉及证明不等式但无从下手时，可以先把要证的不等式（　　） A．直接断言成立 B．两边同时平方 C．令参数等于 D．移项作差，构造出一个新函数并求导 7．已知 ，则 ______．　　　　 8．关于解答最后的“综上”，下列做法规范的是（　　） A．每段后面都写一个“综上” B．在分段讨论结束后，用“综上”汇总各段结论并给出最终答案 C．全文只写一次“综上”放在开头 D．不需要写“综上” 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．已知函数 ，若 且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．设 是 的零点，则 所在的区间为（　　） A． B． C． D． 3．将 写成同构形式 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．用必要性探路处理 时，首先应代入的点是（　　） A． B． C． D． 5．已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．导数压轴题第一问求导后，紧接着必须做的一步是（　　） A．把导函数分解因式 B．直接写出单调区间 C．代入端点求值 D．令导函数等于零求出所有根 7．已知 有两个零点 ，则（　　） A． B． C． D． 8．关于分类讨论的书写，下列做法规范的是（　　） A．想到哪段写哪段，最后补一句综上即可 B．分界点从小到大排列，各段不重不漏且都有结论 C．只写使结论成立的那一段 D．分界点用开区间隔开，端点不讨论 【多项选择题】 9．关于极值点偏移，下列说法正确的是（　　） A．动笔前应先画出函数草图，判断偏移方向 B．常用对称构造 来判符号 C．偏移方向由极值点两侧函数图象的陡缓决定 D．凡 的题都有 10．关于隐零点（虚设零点），下列做法正确的是（　　） A．设 而不去求 的精确值 B．把 得到的关系式整体代入 化简 C．先用零点存在性定理确定 的范围，再估 的界 D．必须解出 才能继续做题 11．关于导数压轴题的抢分，下列做法有效的是（　　） A．第一问求导后一定分解因式并判符号 B．完全不会时写出必要性探路的步骤 C．最后用特殊值检验所得参数或选项 D．先做第二问，第一问留到最后 【填空题】 12．已知 是方程 的正根，则 所在区间为 ，由此可估 ______．　　　　 13．若 ，则 在 上是单调递______（填“增”或“减”）的．　　　　 14．用端点效应处理 时，由 应首先得到 的必要条件是 ______（填“”或“”）．　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题10　导数的综合应用（二）压轴模型 群哥高中数学辅导资料 专题10　导数的综合应用（二）压轴模型 一、核心知识 1．极值点偏移：若 在 处取极值，且 ，则 与 的大小关系由函数在极值点两侧的\"陡缓\"决定；处理方法是**先画草图定方向**，再构造对称函数 判符号。 2．对称构造的标准流程：不妨设 ，构造 （），求导判出 恒正（或恒负）；由 及 在右侧的单调性，把 与 比出大小，即得 与 的关系。 3．隐零点（虚设零点）：当 无法显式求解时，设其根为 ，由 得到关系式（如 ），把该关系式**整体代入** 实现降次化简，再用 的范围估计出 的界。 4．隐零点的范围估计：先用零点存在性定理确定 （取便于计算的整数或半整数端点），再把区间端点代入化简后的表达式，得到 的取值范围。 5．同构法：把等式（或不等式）两边化为同一函数在不同点处的值，即 的形式；常用恒等变形有 、、。 6．同构后的推理：由 与 在某区间上单调，推出 （或大小关系）；使用前必须确认 、 落在 的同一单调区间内。 7．端点效应：处理含参恒成立 时，先看 趋于 的端点（含 ）时 的极限，据此排除不可能的参数段，再在剩余参数段上求最小值。 8．必要性探路：代入特殊点（端点、极值点、使对数或指数取特殊值的点）得到参数的必要条件，缩小范围后再证明其充分性；探路得到的只是必要条件，**必须补证充分性**才完整。 9．压轴抢分：第一问（求导—因式分解—列表判单调）必须拿满；分类讨论按分界点从小到大分段书写、不重不漏；不会做时写必要性探路拿步骤分；最后用特殊值检验选项与结论。 二、题型精练 题型一　双变量问题与极值点偏移（含对称构造） 【方法与技巧】 极值点偏移先画图：拿到 证 这类题，**先在草稿上画出 的草图**，看清两个交点位于极值点哪一侧、整体偏左还是偏右，再决定构造哪个函数。上来就套公式最容易把方向写反。 对称构造是标准做法：要证 ，通常构造 （ 或 一侧），判出 的符号，再由 与单调性推出 与 的大小关系。 偏移方向由三阶导数（或函数图象的\"陡缓\"）决定：极大值点两侧，若左侧上升比右侧下降\"更陡\"，则两零点的中点偏右。不会算三阶导数时，代入一个具体的对称点算函数值也能定方向。 对数型偏移常用换元：遇到 且 之类的关系，先换元 （不妨设 ），把双变量化单变量，再构造函数。 【例题精讲】 1．已知函数 ，若 且 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，在 上为正、 上为负，极大值点为 。由 得 ，取对数得 ，即 。设 ，则 、，于是 。令 ，则 ，，故 ，，即 。故选：C。 2．已知函数 ，若 且 ，则 与 的大小关系为 ______（填“”“”或“”）．　　　　 【答案】 【详解】，极大值点为 。由 得 。设 ，则 ，，于是 。同上题所证 ，故 ，即 。故答案为：。 3．设 ，则 与 的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【详解】这是对数均值不等式的左半：令 ，则要证 。构造 ，则 ，故 ，结论成立。故选：C。 【变式训练】 1．已知函数 （），若 且 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，极小值点为 。由 得 。设 ，则 ；由例题所证 ，故 。故选：A。 2．已知函数 ，若 且 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】二次函数图象关于对称轴 对称，相等的两个函数值对应的自变量关于 对称，故 。这正是**没有偏移**的情形——只有图象严格对称时才取等号，一般函数会出现偏移。故答案为：。 3．设 ，则 与 的大小关系为 ______（填“”或“”）．　　　　 【答案】 【详解】令 ，则要证 。构造 ，则 ，故 ，结论成立。故答案为：。 4．已知函数 ，若 且 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，极小值点为 。构造 （），记 ，则 ；令 ，则 ，故 ，从而 ，即 。由 及 在 上递增得 ，故 。故选：C。 5．已知函数 ，设 ，由 可得 ______．　　　　 【答案】 【详解】，两边除以 得 ，即 ，故 。换元后双变量就化成了单变量 。故答案为：。 6．关于极值点偏移，下列说法正确的是（　　） A．凡满足 的题都有 B．只有在函数图象严格对称时才有 C．偏移方向只能由计算三阶导数确定 D．对称构造 只在极大值点处适用 【答案】B 【详解】只有图象关于 严格对称（如二次函数）时， 才推出 ，B 错；偏移方向除三阶导数外，也可用对称构造或代入具体点比较来确定，C 错；对称构造对极大值点与极小值点同样适用，D 错。故选：B。 【巩固练习】 1．已知函数 ，若 且 ，则 与 的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】 与例题同理：，极大值点为 ，由 即得。这类\"幂函数乘负指数\"的题，结论都是两交点中点在极值点右侧。故选：C。 2．设 且 ，令 ，则 可表示为______．　　　　 【答案】 【详解】由 取对数得 ，即 ；又 ，故 ，，，相加得 。故答案为：。 3．证明 时，通常构造的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】移项作差应构造 ，则 ，，由 得 ，再由 得 。两次求导是因为一阶导的符号仍需判断。故选：C。 4．已知函数 ，若 且 ，则 与 的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】，极大值点为 。由 得 ，与例题同样化为 ，故 。故选：B。 5．设 ，由对数均值不等式可得 ______．　　　　 【答案】 【详解】对数均值不等式的完整形式是 （）。左半给出 ，右半给出 ，两头都能用来放缩。故答案为：。 6．由 可推出 ______．　　　　 【答案】 【详解】把 两边取倒数（各项均为正）得 ，即 。取倒数时不等号方向要改变。故答案为：。 7．用对称构造处理极值点偏移时，构造的函数通常是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对称构造是把 关于极值点 的对称点 处的函数值与 作差，即 ；判出 在极值点某一侧的符号后，结合该侧单调性即可比较 与 。故选：A。 8．已知函数 （），若 且 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 ，因 可约去 ，得 。这是少数能直接算出乘积的情形（对勾函数的对称性质）。故答案为：。 题型二　隐零点与虚设零点（设而不求、整体代入） 【方法与技巧】 隐零点（虚设零点）的做法：当 解不出显式的根时，**设 ，把 当作已知量**，利用这个等式把 中的高次项或超越项替换掉，最终化成只含 的简单表达式，再用 的范围估值。 设而不求的三步：① 由零点存在性定理说明 存在并估计它落在哪个区间；② 由 得到关系式（如 ）；③ 把关系式**整体代入** ，化简后再用 的范围放缩。 估范围是最后一步的关键：把 的范围（如 ）代进化简后的式子，就能得到 的整数界，从而证出 或 这类结论。 千万不要试图解出 ：隐零点题的设计就是让你解不出来。凡出现 、 这类方程，一律虚设，不要浪费时间求精确解。 【例题精讲】 1．函数 的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】（），，且 连续，故零点在 内。定位隐零点的标准动作就是取相邻整数代入看函数值符号。故选：C。 2．设 是方程 的正根，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】由 直接移项即得 。这就是设而不求的妙处：不求 的具体值，也能把含 的式子化成一个常数。故答案为：。 3．设 满足 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】把 整体代入：。隐零点的关键就是把关系式整体代入，而不是先解出 。故答案为：。 【变式训练】 1．函数 的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，且 在 上单调递增，故唯一零点在 内。故选：A。 2．设 是方程 的根，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】由 移项得 。这类题的共同点：把超越方程化成\"一个含 的式子等于常数\"，从而不求 也能得到结果。故答案为：。 3．设 满足 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】由 且 ，两边取对数得 ，即 。取对数是指数型隐零点化简的常用手段。故答案为：。 4．函数 的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，且 连续，故零点在 内。故选：D。 5．设 满足 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】由 移项即得 。代入化简后再结合 的范围（如 ）就能估计出更复杂的式子的界。故答案为：。 6．关于隐零点（虚设零点），下列做法正确的是（　　） A．必须先用求根公式解出 才能继续 B．设 后把得到的关系式整体代入化简，而不去解 C．隐零点题无法求出 的任何信息 D． 的范围只能用二分法逐次逼近得到 【答案】B 【详解】隐零点的核心就是设而不求：虚设 后由 得到关系式，把关系式整体代入 化简，再用 的范围估计出 的界。B 错在解不出也没必要解；C 错在恰恰能求出整数界；D 错在范围由零点存在性定理取整数端点即可。故选：B。 【巩固练习】 1．函数 的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，且 单调递增，故唯一零点在 内。故选：D。 2．设 是方程 的根，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】由 移项得 。故答案为：。 3．函数 的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，且 在 上递增，故零点在 内。故选：B。 4．设 满足 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 ，即 ，两边乘 得 。这里用的是\"取指数\"，与取对数互为逆操作。故答案为：。 5．设 是 在 内的零点，则由 可得 ______．　　　　 【答案】 【详解】由 直接移项得 。多项式型隐零点同样用整体代入：把高次项用低次项表示，实现\"降次\"。故答案为：。 6．设 是 在 内的零点，则 可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ，两边乘 得 。这就是降次：每乘一次 ，就把最高次用关系式换成低一次的表达式。故选：A。 7．用隐零点估计 的范围时，最后一步是（　　） A．把 的范围端点代进化简后的式子 B．求出 的精确值再代入 C．对 再求一次导 D．直接取 为区间中点代入 【答案】A 【详解】流程是：虚设 → 由 得关系式 → 整体代入化简 → **把 的范围端点代入化简后的式子**，得到 的界。B 与题意相悖，C 无必要，D 只能给近似值不能作为严格证明。故选：A。 8．设 满足 且 ，则 的范围可估计为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 得 ；又 ，故 。代入关系式把超越式化成一次式，再用 的范围估计，是隐零点的完整套路。故选：D。 题型三　同构与指对互化（指数与对数的同构模型） 【方法与技巧】 同构的本质是把不同位置上的 统一成同一个整体：见 与 同时出现，先想两边能否写成 的形式，若可以，则由 的单调性直接得 。 指对互化的常用恒等式：（）、。遇到 想 ，遇到 想 ，这是凑同构的两把钥匙。 常见同构模型： 型（配 ）、 型（配 ）、 型（配 ）。把等式两边化成\"同一个函数在两个点的值\"，问题就转化为比较这两个点的大小。 同构之后别忘了定义域：由 与 单调推出 时，必须确认 、 都落在 的同一个单调区间内，否则只能得到大小关系而不能得到相等。 【例题精讲】 1．把 （）写成 的形式，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 ，故 ，即 。把幂函数折进指数，是凑同构的第一步。故选：C。 2．若 且 ，则 与 的关系为______．　　　　 【答案】 【详解】令 ，则 ，故 在 上严格递增；由 即得 。同构后由单调性去函数符号，是这类题的标准收尾。故答案为：。 3．把 写成 的形式，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，故 。故选：A。 【变式训练】 1．方程 的实数解的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令 ，则 ：在 上递减、 上递增，最小值为 ；又 时 ，，。故在 上有且仅有 个解。故选：C。 2．由 可得 ______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 ，两边乘 得 。这是把对数方程改写成\" 与 的乘积为常数\"的常用变形。故答案为：。 3．若 ，则 与 的关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】令 ，则 ，故 在 上严格递增；由 即得 。 与 是一对同构模型。故选：A。 4．把 （）合并成一个对数，应写为 ______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 。这个变形能把 型与 型统一起来，是同构的\"翻译器\"。故答案为：。 5．方程 的实数解的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 （），则 ，在 上递减、 上递增，最小值为 ；又 时 ，，。故在 上有且仅有 个解。故选：A。 6．化简 （）的结果为______．　　　　 【答案】 【详解】。指对互化的基本依据就是 与 。故答案为：。 【巩固练习】 1．函数 （）的单调性为（　　） A．在 上单调递减 B．在 上单调递增 C．先增后减 D．先减后增 【答案】B 【详解】，故 在 上单调递增。这个单调性正是把 型同构为 后能\"去掉外层函数\"的依据。故选：B。 2．若 （），则 与 的关系为______．　　　　 【答案】 【详解】令 ，则 ，故 严格递增，由 得 。系数 不影响单调性，只影响同构的形式。故答案为：。 3．方程 的实数解的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】移项得 ，令 （），则 ，故 严格递增；又 时 ，，故有且仅有 个解。故选：D。 4．把 （）写成 的形式，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】，故 。故答案为：。 5．若 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】两边取对数得 ，即 （事实上此时 ）。取对数是指数型同构化简的第一步。故答案为：。 6．由 （）推出 的关键依据是（　　） A．函数 的值域为 B． 与 都是正数 C．方程 总有解 D．函数 在 上严格递增 【答案】D 【详解】同构后要\"去函数符号\"，靠的正是 在 上的严格递增（）。仅有 或值域信息都推不出相等。故选：D。 7．若 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】两边取指数得 ，即 。与上一题互为逆操作， 型与 型可以自由互化。故答案为：。 8．用同构法处理 与 同时出现的等式时，第一步通常是（　　） A．两边同时求导 B．直接移项构造函数作差 C．用 或取对数把两边化为同一函数的形式 D．令 代入试探 【答案】C 【详解】同构的第一步是凑形式：用 （或两边取对数）把等式化为 ，再由 的单调性得 。两边求导对等式无效，直接作差则失去了同构的便利。故选：C。 题型四　端点效应与必要性探路（先找必要条件再证充分） 【方法与技巧】 端点效应：处理 这类含参恒成立时，**先看 趋于区间端点（含无穷）时 的走向，往往能直接排除掉一大半参数范围，剩下的参数段再求最小值即可。 必要性探路：先由特殊点（端点、极值点、某个便于计算的点）代出一个**必要条件** ，把参数范围缩小；再证当 时不等式成立，从而说明这个范围就是充要的。探路点要挑代入后式子最简的那个。 探路后必须补充分性：只由特殊点得到的是必要条件，要写\"下面证明当 时不等式恒成立\"，否则逻辑上是断的。这是阅卷时最常扣的一步。 探路点的选择：端点（、、区间端点）、极值点（ 的点）、以及能让对数或指数取到特殊值的点（如 、）。多试一两个，选能给出最紧的界的那个。 【例题精讲】 1．用必要性探路处理 ，代入 得到的必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】代入 得 ，即 。这只是必要条件；再证充分性：当 时，由 （在 取等号）及 得 ，故 就是充要条件。故选：B。 2．若不等式 对任意 恒成立，由探路得到的 的取值范围是 ______．　　　　 【答案】 【详解】分离参数得 ，而 的最大值为 （在 处取到），故 。探路点取 恰好给出这个最紧的界。故答案为：。 3．若不等式 对任意 恒成立，代入端点 得到的必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】代入 得 ，即 。再证充分性： 时对称轴 ，函数在 上递增，最小值为 ，故 确为充要条件。故选：D。 【变式训练】 1．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 ______．　　　　 【答案】 【详解】令 ，则 ，故 在 上递增；当 时 且取不到，于是 （ 时 恒成立，等号取不到但不等式 仍成立）。故答案为：。 2．用端点效应处理 时，由 首先得到的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当 时， 中起主导作用的是 ；若 ，则该式趋于 ，不等式不可能恒成立。故必须 。这就是端点（无穷远端点）效应排除参数段的典型用法。故选：C。 3．若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是 ______．　　　　 【答案】 【详解】分离参数得 。令 ，在 上递减，最大值为 ，故 。故答案为：。 4．用必要性探路得到参数的必要条件之后，还必须（　　） A．再换一个点探路 B．直接写出答案 C．证明该条件是充分的 D．对参数求导 【答案】C 【详解】由特殊点代入得到的只是**必要条件**，逻辑上还必须补证\"当参数满足该条件时不等式确实恒成立\"，即充分性，否则解答是不完整的。这是阅卷中最常扣的一步。故选：C。 5．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 ______．　　　　 【答案】 【详解】令 ，则 。要在 时恒有 ，必须在 右侧不下降，即 ，得 （必要性）。反过来，当 时 ，故 递增，，条件充分。综上 。故答案为：。 6．选择必要性探路的代入点时，首要考虑的是（　　） A．选最大的 B．代入后式子最简且能给出最紧的界 C．选使导数为零的点 D．随机选一个点 【答案】B 【详解】探路点要挑代入后计算最方便、同时给出的界最紧的那个：常见的有区间端点（）、极值点，以及能让对数或指数取特殊值的点（如 、）。多试一两个，比较所得界的强弱。故选：B。 【巩固练习】 1．若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是 ______．　　　　 【答案】 【详解】分离参数得 。令 ，则 ，在 上为正、 上为负，最大值为 ，故 。故答案为：。 2．用端点效应处理含参恒成立问题的第一步是（　　） A．求导并令导数为零 B．看 趋于区间端点（含无穷远）时函数的走向 C．分离参数 D．代入 【答案】B 【详解】端点效应的第一步就是考察区间端点（包括 ）处函数的极限或走向，据此往往能直接排除一大半参数，剩下的参数段再求最小值即可，可以大幅减少分类讨论的篇幅。故选：B。 3．若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是 ______．　　　　 【答案】 【详解】 在 上递增，最小值为 ，故 。闭区间上恒成立就是取最小值，端点 处取到。故答案为：。 4．若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是 ______．　　　　 【答案】 【详解】分离参数得 。令 ，则 ，在 上为正、 上为负，最大值为 ，故 。故答案为：。 5．做必要性探路时，下面哪一类点通常不作为探路点（　　） A．区间端点 B．函数的极值点 C．使式子中出现无法化简的无理数的点 D．使对数取到 或 的点 【答案】C 【详解】探路点的价值在于代入后能快速算出参数的界，因此应选区间端点、极值点、以及使 或 取特殊值的点；代入后出现无法化简的无理数的点只会增加计算量，应尽量避开。故选：C。 6．由特殊点代入得到的参数条件，其逻辑性质是（　　） A．充分而不一定必要 B．充要 C．既不充分也不必要 D．必要而不一定充分 【答案】D 【详解】特殊点只是全体的一个点，能满足它是必须的（必要），但不能保证其余点也满足（不充分）。必须补证充分性后才能下结论。故选：D。 7．若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是 ______．　　　　 【答案】 【详解】由基本不等式 （ 时取等号），最小值为 ，故 。探路点取 恰好给出最紧的界 。故答案为：。 8．用端点效应与必要性探路解题的合理顺序是（　　） A．先看端点排除参数段，再探路得必要条件，最后证充分性 B．先证充分性，再探路 C．先求最值，再看端点 D．先分离参数，再取极限 【答案】A 【详解】标准顺序是：① 端点效应（看 趋于端点或无穷时的走向）排除不可能的参数段；② 在剩余范围内取特殊点探路，得到必要条件；③ 证明该条件充分。三步齐全才是完整解答。故选：A。 题型五　导数与三角、数列的压轴交汇 【方法与技巧】 导数与三角交汇： 与多项式、指数搭配时，反复用 、 放缩；求导后常出现 型，按 的值域 对 分类。 三角型恒成立的分界：令 这类，讨论标准是 能否取到 ，即 与否。分界点永远是让导数恰好为 的那些参数值。 导数与数列交汇在压轴中的形态：由导数不等式得到 （或更精细的界），再累加成 的估计；有时还要配合 。 交汇题的抢分点：第一问往往是纯导数（求单调区间或极值），必须拿满；第二问若涉及求和，先把通项的不等式写清楚，哪怕最后一步累加没算完也有步骤分。 【例题精讲】 1．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。在 上单调递增需 恒成立，即 对任意 成立；而 的最大值为 ，故 。三角型恒成立的讨论标准就是看 （或 ）能否取到 。故选：D。 2．用导数证明 （）时，构造的函数 ______．　　　　 【答案】 【详解】移项作差构造 ，则 ，故 在 上递增；又 ，所以 时 ，即 。故答案为：。 3．由 累加可得 ______．　　　　 【答案】 【详解】对 到 累加 ，左边裂项相消化为 ，右边为 ，故 。这是压轴题中数列求和放缩的起点。故答案为：。 【变式训练】 1．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】辅助角：（其中 ），故最大值为 。也可用导数： 得 ，代入得最大值 。故选：A。 2．函数 在 上单调递______（填“增”或“减”）．　　　　 【答案】增 【详解】，且只在孤立点 处取 ，故 在 上单调递增。这是证明 的核心依据。故答案为：增。 3．函数 在 上的单调性为（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．不单调 【答案】A 【详解】，且只在 处取 ，故 在 上单调递增。凡 与有界三角函数相加，一次项总会占主导。故选：A。 4．求和 ______．　　　　 【答案】 【详解】把各项合并成一个对数：，中间因子全部约掉。故答案为：。 5．方程 在 上的解的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令 。 但 不在区间内；，，故至少一解。又 在 的部分为正、之后为负， 先增后减，故正区间内至多一解，综上恰有 个解。故选：D。 6．数列 的前 项和 ______．　　　　 【答案】 【详解】，标准的裂项相消。故答案为：。 【巩固练习】 1．函数 在 上单调递______（填“增”或“减”）．　　　　 【答案】增 【详解】，且在 上只在 处取 ，故 在 上单调递增。故答案为：增。 2．函数 在 上的零点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】（不在区间内），，，故至少一解； 在 上为正、 上为负， 先增后减，故至多一解，综上恰有 个零点。故选：A。 3．由 令 并累加，可得 ______．　　　　 【答案】 【详解】代入得 ，即 ；累加后左边裂项为 ，右边为调和和 。故答案为：。 4．在处理含 或 的恒成立问题时，最常用的放缩依据是（　　） A． B． 与 C． D． 【答案】B 【详解】有界性 、 是把三角部分\"定死\"的最直接工具，配合一次项或指数项的主导作用即可定出参数分界； 只适用于 的比较，不是恒成立问题的通用手段。故选：B。 5．由 累加可得 ______．　　　　 【答案】 【详解】对 到 累加 ，右边裂项为 ，故 。与另一侧合起来就是 的双向估计。故答案为：。 6．数列 的一个上界是______．　　　　 【答案】 【详解】由 令 得 ，即 ，故 是它的一个上界（事实上就是它的极限）。故答案为：。 7．已知函数 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】直接求导：。由于 且 ，在 时有 之外的情形需另行判断（ 较大时 远大于 ，导数恒正）。故答案为：。 8．对含三角的含参恒成立 进行分类讨论时，分界点应取（　　） A． B． C． D． 与 【答案】D 【详解】因为 ：当 时 恒成立；当 时恒不成立；当 时只在部分区间成立。故分界点为 ，即由三角函数的值域端点确定。故选：D。 题型六　导数压轴题的抢分策略（分步得分、特殊值验证、书写规范） 【方法与技巧】 抢分第一原则：**第一问必须拿满**。求导、因式分解、列表（或写单调区间）三步写全，哪怕第二问完全不会，这几分也是稳的。求导后一定要分解因式，不分解等于没写完。 分类讨论的书写规范：分界点从小到大排列，写成\"当 时……；当 时……；当 时……\"，每段有结论、不重不漏。阅卷按段给分，条理清楚比答案正确更重要。 不会做时也要写\"必要性探路\"：代几个特殊点得到参数的必要条件，再写\"由题意可知……\"，这部分常常能拿到 2—3 分的步骤分，比空着强得多。 最后一定要检验：把求出的参数代回原式，取区间内一两个点验证不等式是否成立；再用特殊值（、、）快速检验选项。这一步能救回大量\"算错符号\"的分。 【例题精讲】 1．导数压轴题第一问求导之后，紧接着必须做的一步是（　　） A．把导函数分解因式并判断符号 B．直接写出单调区间 C．代入端点求值 D．求二阶导数 【答案】A 【详解】求导后必须把 分解因式（或化成能判符号的形式）并判断符号，否则既无法写单调区间，也拿不到这一问的全分。这是最实在的抢分动作：不求导没分，求导后不分解也只能拿一半。故选：A。 2．写出函数的多个单调递增区间时，区间之间应当（　　） A．用并集符号 连接 B．只写最大的那个区间 C．合并成一个大区间 D．用“和”或逗号隔开，不用并集符号 【答案】D 【详解】单调区间之间用“和”或逗号隔开，不能写并集——因为在并集上函数未必单调（两个递增区间的并集上可能出现\"跨区间递减\"）。这是书写规范中最常被扣的细节分。故选：D。 3．第二问完全没有思路时，最有效的抢分做法是（　　） A．空着不写 B．把第一问的结论抄一遍 C．随意猜一个参数值 D．写出必要性探路：代入特殊点得到参数的必要条件 【答案】D 【详解】代特殊点（端点、极值点）得到参数的必要条件并写出推导，常常能拿到 2—3 分的步骤分，比空着强得多。抄第一问结论不得分，猜参数值没有过程也不得分。故选：D。 【变式训练】 1．在区间上若 ，则 在该区间上单调递______（填“增”或“减”）．　　　　 【答案】增 【详解】 对应单调递增， 对应单调递减。判断时只看 的符号，与 本身的正负无关。故答案为：增。 2．求得含参问题的答案后，检验时最宜代入的点通常是（　　） A．随便一个无理数 B． 等使式子最简的点 C．区间中点 D．使导数为零的点 【答案】B 【详解】检验应当挑代入后计算最快的特殊点： 使指数为 、 使对数与指数都简化、 使 。快速检验能救回大量\"符号写反\"的分。故选：B。 3．求闭区间 上函数的最值时，必须比较的是（　　） A．只需要比较极值点 B．区间内所有极值点与两个端点的函数值 C．只需要比较端点 D．只需要比较驻点 【答案】B 【详解】闭区间上的最值出现在极值点或端点处，必须把区间内所有极值求出，再与 、 **全部**放在一起比大小。漏掉端点是丢分最多的地方。故选：B。 4．含参单调性讨论的分界点通常来自（　　） A．任意取几个参数值 B． 的根 C．使 的根落在区间端点或两根恰好相等 D． 的根 【答案】C 【详解】分界点就是\"临界\"的那些参数值：让 的根恰好落在区间端点上，或让两个根恰好相等（）。把它们从小到大排好就是分类标准，段与段之间不重不漏。故选：C。 5．求导之后，规范的书写应先写“令 ，得 ______”，再列表判断符号．　　　　 【答案】各驻点（导函数的零点） 【详解】规范顺序是：求导 → 令 求出驻点 → 列表（或分区间）判断 的符号 → 写出单调区间。省略\"令 \"这一步会让阅卷老师认为过程不完整。故答案为：各驻点（导函数的零点）。 6．关于第一问的抢分，下列说法正确的是（　　） A．第一问分值低可以放弃 B．第一问通常是求导判单调，必须拿满分 C．先做第二问再回头做第一问 D．第一问只要写出答案即可 【答案】B 【详解】第一问基本都是求导—分解因式—判单调，是整道题的送分部分，而且常为第二问铺垫（第二问要用第一问的单调性）。必须先拿满，且要写出完整过程，只写答案不给过程分。故选：B。 【巩固练习】 1．把 的导函数分解因式，结果为 ______．　　　　 【答案】 【详解】。分解因式后才能一眼看出符号变化：在 上为负，在 与 上为正。故答案为：。 2．列表判断 符号时，表格中一般要列出的行是（　　） A．只需要 的取值 B． 的分区间、 的符号、 的单调性 C．只需要 的值 D．只需要驻点 【答案】B 【详解】规范的表格包含三行：自变量的分区间（由驻点划开）、 在各区间上的符号、 相应的单调性（含极值）。三行齐全，阅卷按行给分。故选：B。 3．已知 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】乘积求导：。求导后同样要分解因式，才能判断符号：在 与 上为正、 上为负。故答案为：。 4．用特殊值检验选择题选项时，其核心作用是（　　） A．代替严格计算得出答案 B．证明选项一定正确 C．快速排除明显错误的选项，缩小范围 D．节省写过程的时间 【答案】C 【详解】特殊值只能证伪不能证实：代入一个点即可排除那些在该点不成立的选项，从而缩小范围甚至直接锁定答案；但要确认某一选项正确，仍需严格推理。故选：C。 5．函数 的单调递增区间应写为______．　　　　 【答案】 【详解】（），在 上为正、 上为负，故递增区间为 。注意定义域是 ，写区间时不能越出定义域。故答案为：。 6．第二问涉及证明不等式但无从下手时，可以先把要证的不等式（　　） A．直接断言成立 B．两边同时平方 C．令参数等于 D．移项作差，构造出一个新函数并求导 【答案】D 【详解】最通用的入口就是移项作差：把不等式化成 ，对 求导判单调、求最小值。即使最后没能算到底，\"构造 并求导\"这一步本身也常常能拿到步骤分。故选：D。 7．已知 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】（）。这是压轴题中最常见的基础求导，必须写得又快又准。故答案为：。 8．关于解答最后的“综上”，下列做法规范的是（　　） A．每段后面都写一个“综上” B．在分段讨论结束后，用“综上”汇总各段结论并给出最终答案 C．全文只写一次“综上”放在开头 D．不需要写“综上” 【答案】B 【详解】“综上”应出现在分段讨论**结束之后**，用来汇总各段结论、给出最终答案。每段后都写显得凌乱，放在开头则没有依据。最后再补一句检验，解答就完整了。故选：B。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．已知函数 ，若 且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，在 上为负、 上为正，极小值点为 。构造对称函数 （），则 ；由 得 ，故 递减，而 ，于是 ，即 。又 且 在 上递增，故 ，即 。故选：B。 2．设 是 的零点，则 所在的区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，（），且 连续，故零点在 内。这是隐零点题定位 范围的标准动作：取相邻整数代入看符号。故选：A。 3．将 写成同构形式 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 得 ，故 。这个变形是把 型与 型统一起来的关键。故选：D。 4．用必要性探路处理 时，首先应代入的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 上最便于计算且能给出紧界的点是 ，代入得 ，即 ，这就是必要条件。之后再证 时不等式恒成立即可。（探路点要挑代入后式子最简、且能给出最紧的界的那个。）故选：A。 5．已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。在 上单调递减需 恒成立，即 对任意 成立；而 的最大值为 ，故 。三角型恒成立的分界就是看 能否取到 。故选：D。 6．导数压轴题第一问求导后，紧接着必须做的一步是（　　） A．把导函数分解因式 B．直接写出单调区间 C．代入端点求值 D．令导函数等于零求出所有根 【答案】A 【详解】求导后必须把 分解因式（或化成能判符号的形式），否则无法判符号、无法写出单调区间，阅卷时也拿不到这一问的全分。这是抢分最实在的一步。故选：A。 7．已知 有两个零点 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 、 相减得 。极值点为 ，构造 （），记 ，则 ；对 求导得 ，故该式关于 递增且在 处取 ，于是 时 ，即 。由 及 在 上递减得 ，即 。于是 ，故 。故选：C。 8．关于分类讨论的书写，下列做法规范的是（　　） A．想到哪段写哪段，最后补一句综上即可 B．分界点从小到大排列，各段不重不漏且都有结论 C．只写使结论成立的那一段 D．分界点用开区间隔开，端点不讨论 【答案】B 【详解】规范做法是：先把分界点从小到大排好，再写成\"当 时……；当 时……；当 时……\"，段与段之间不重不漏，每段都要给出明确结论。其余写法都会丢步骤分。故选：B。 【多项选择题】 9．关于极值点偏移，下列说法正确的是（　　） A．动笔前应先画出函数草图，判断偏移方向 B．常用对称构造 来判符号 C．偏移方向由极值点两侧函数图象的陡缓决定 D．凡 的题都有 【答案】ABC 【详解】A 是框架强调的第一步（先画图看清偏哪边再动笔），B 是标准构造方法，C 是偏移方向的成因，均正确；D 错，只有两侧完全对称（如二次函数）才有 ，一般有偏移。故选：ABC。 10．关于隐零点（虚设零点），下列做法正确的是（　　） A．设 而不去求 的精确值 B．把 得到的关系式整体代入 化简 C．先用零点存在性定理确定 的范围，再估 的界 D．必须解出 才能继续做题 【答案】ABC 【详解】A、B、C 正是设而不求的三步：虚设—代入化简—估范围；D 错，隐零点题的设计意图就是解不出精确解，硬求只会浪费时间。故选：ABC。 11．关于导数压轴题的抢分，下列做法有效的是（　　） A．第一问求导后一定分解因式并判符号 B．完全不会时写出必要性探路的步骤 C．最后用特殊值检验所得参数或选项 D．先做第二问，第一问留到最后 【答案】ABC 【详解】A 能稳拿第一问的分，B 在不会做时也能拿步骤分，C 能救回算错符号的分，均有效；D 错，第一问是送分且常为第二问铺垫，应先拿满。故选：ABC。 【填空题】 12．已知 是方程 的正根，则 所在区间为 ，由此可估 ______．　　　　 【答案】 【详解】由 直接移项即得 。这正是隐零点的妙处：不求 的具体值，也能把含 的式子化简成一个常数。故答案为：。 13．若 ，则 在 上是单调递______（填“增”或“减”）的．　　　　 【答案】增 【详解】，故 在 上单调递增。这个单调性是把 型同构为 后能够\"去函数符号\"的依据。故答案为：增。 14．用端点效应处理 时，由 应首先得到 的必要条件是 ______（填“”或“”）．　　　　 【答案】 【详解】当 时， 的主导项是 ；若 ，则 ，不等式必不成立。故必须有 （进一步还需 才有界），这就是由端点得到的必要条件。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $