专题9 导数的综合应用（一）恒成立与零点 专项训练-2027届高考数学一轮复习（新高考全国卷）

专题09　导数的综合应用（一）恒成立与零点 群哥高中数学辅导资料 专题09　导数的综合应用（一）恒成立与零点 一、核心知识 1．恒成立与存在性：“”等价于 在 上的最小值大于等于 ；“”等价于最大值大于等于 。两个量词的翻译方向相反，读题务必先圈出来。 2．分离参数的一般步骤：把含参不等式化为 （或 ）的形式，其中 不含参数；再求 在 上的最值，恒成立取“最苛刻”的那个值。 3．不宜分离参数时（参数与 纠缠）改走分类讨论：直接令 ，求导后按 的根与区间端点的位置关系分段，逐段求出最小值再令其非负。 4．零点存在性定理：若 在 上连续且 ，则 在 内至少有一个零点；若 在 上单调，则零点至多一个，二者结合即得“恰好一个”。 5．零点个数的判定流程：求导 → 划出单调区间 → 逐段算端点函数值的符号（含趋于无穷时的极限符号）→ 由存在性定理与单调性数出各段零点数 → 求和。 6．由极值反求参数：由 解出参数后必须代回检验 在 左右是否异号；由最值反求参数则要把极值点与端点的函数值全部写出再比大小。 7．导数证明不等式的三条路：① 移项作差构造函数求最值；② 两边取对数化简后再作差；③ 借助已知不等式放缩（、 等），并交代等号能否取到。 8．讨论标准的书写规范：分界点从小到大排列，写为“当 时……；当 时……；当 时……”，段与段不重不漏，每段都要有明确结论。 9．导数与数列的交汇：由导数不等式 、 出发，令 取 、 等，累加（或累乘）即得数列求和型不等式；代值前务必确认落在区间内。 二、题型精练 题型一　恒成立与存在性问题（分离参数、分类讨论、端点效应） 【方法与技巧】 恒成立与存在性先翻译：“”就是 在 上的最小值不小于 ；“”就是最大值不小于 。两个量词别看反。 分离参数的适用条件： 中 能单独搬到一边、剩下部分只是 的函数时，才分离参数（如 ）。若参数与 纠缠（如 ），直接分类讨论。 分离参数后怎么算：令 等于右边那一堆，求 在 上的最值；“恒成立”对应 的最小值（或 的最大值），注意端点是否取到决定等号的取舍。 端点效应： 这类题，先看 与 时 的走向排除不可能的参数段，再在剩下的段上求最小值。这一步能少写一整页分类讨论。 【例题精讲】 1．已知函数 ，若 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】“恒成立”翻译为最小值： 对任意 成立，等价于 不超过 的最小值。，最小值为 （在 处取到），故 ；等号可以取到，因为最小值确实能达到。故选：B。 2．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分离参数：由 知 ，可化为 。令 ，在 上 ，故 递增，最小值为 。要使 不大于 的一切值，只需 。故选：B。 3．已知函数 ，若 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先看端点： 时，，若 则 ，不合题意，故 。此时 ，令 得 ； 在其左侧为负、右侧为正，故 在 处取最小值 。令 得 。故选：C。 【变式训练】 1．已知函数 ，若 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】“恒成立”取最小值：，在 上的驻点为 。算出 ，，，，最小值为 ，故 。故选：A。 2．若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】“存在”翻译为最小值：存在 使 ，等价于 大于 在 上的**最小值**。令 ，在 上递增，最小值为 ，故 （严格不等号，因为原不等式是“”）。故选：D。 3．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分离参数：由 得 。令 ，则 ，在 上为正、 上为负，故最大值为 。于是 。故选：D。 4．若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 【答案】C 【详解】二次项系数为 ，开口向上；恒为正当且仅当与 轴无交点，即 ，解得 。注意这里是严格“”，故不能取等号。故选：C。 5．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最大值为______．　　　　 【答案】 【详解】分离参数得 。令 ，则 ，在 上为负、 上为正，故最小值为 。于是 ， 的最大值为 。故答案为：。 6．已知函数 ，若 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。在 上单调递增需 恒成立，即 对任意 成立；而 在 上的最小值为 （在 处取到），故 。故选：B。 【巩固练习】 1．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分离参数得 。令 ，在 上最大值为 ，故 ；这里是严格不等号，等号不取。故选：C。 2．若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】“存在”翻译为最大值：存在 使 ，等价于 小于 在 上的最大值。 递增，最大值为 ，故 。故选：A。 3．已知函数 ，若 在 上恒为正，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对称轴 在区间 左侧，故 在该区间上单调递增，最小值为 。恒为正需 ，即 。故选：D。 4．若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先讨论退化情形： 时不等式为 ，对 不成立，舍去。 时需开口向上且无实根，即 且 ，解得 。故选：C。 5．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最大值为______．　　　　 【答案】 【详解】“恒成立”取最苛刻值： 不超过 在 上的最小值。由基本不等式 ，等号在 处取到，故最小值为 ， 的最大值为 。（也可求导验证： 在 上成立，函数递增。）故答案为：。 6．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分离参数（ 故 ）得 。令 ，由 得 ，此处取最小值 ，故 。故选：A。 7．若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分离参数得 。令 ，则 ，在 上为负、 上为正，最小值为 ，故 。故选：B。 8．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分离参数（ 故 ）得 。令 ，由经典不等式 知 ；又当 时 ，故 在 上的上确界为 且取不到，于是 即可（等号时原不等式化为 ，成立）。故选：C。 题型二　导数与函数的零点、方程的根（含零点个数讨论） 【方法与技巧】 零点问题的通法：先求导判单调，把函数分成若干段单调区间；再在每段上算端点（含 的极限）的函数值符号；由零点存在性定理定每段是否有一个零点。 单调区间上零点至多一个——这是判断零点个数的关键依据。所以“有几个零点”的题，答案永远是“各单调段上零点数之和”。 与 的交点个数可以互相转化：令 ，则交点个数就是 的零点个数。画不出图时优先构造函数作差。 含参讨论零点个数：先找使 有根的参数分界（、根落在定义域边界），按参数分段后每段内单调性确定，再逐段数零点。分界点一定要代回去检验端点。 【例题精讲】 1．函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，在 、 上递增，在 上递减。极大值 ，极小值 。又 时 ， 时 ，故三段单调区间上各有 个零点，共 个。故选：D。 2．函数 （）的零点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，在 上为正、 上为负，故 在 处取最大值 。又 时 故 ， 时 占主导故 。两段单调区间上零点各一个，共 个。故选：D。 3．方程 的不同实根个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因式分解：。故实根为 （二重）与 ，不同的实根共 个。注意“重根只算一个”。故选：B。 【变式训练】 1．函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，在 、 上递增，在 上递减。极大值 ，极小值 ；结合两端分别趋于 与 ，三段各一个零点，共 个。故选：D。 2．函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，在 上递减、 上递增，最小值 。当 时 ，故 ；而 、。因此负半轴上无零点，正半轴上恰有 个零点。故选：D。 3．函数 （）的零点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 在 上单调递增。又 ，，由零点存在性定理知在 内有唯一零点。故选：A。 4．方程 的正实数解的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直接观察得 （）与 （）是两个解。再说明没有其他正解：令 ，在 上 （如 时 ），在 上 （如 时 ），在 上指数函数增长快于幂函数，。故正解恰为 个。故选：B。 5．已知函数 ，若 恰有两个零点，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【详解】，极大值 ，极小值 。三次函数恰有两个零点，意味着极大值与极小值中有一个恰好为 （这时对应的驻点是重根）： 得 ，或 得 。故选：C。 6．函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，在 上为负、 上为正，故 在 处取最小值 。最小值恰为 ，故 是唯一零点（其余各点 ）。故选：C。 【巩固练习】 1．函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，在 、 上递增，在 上递减。极大值 ，极小值 ，结合两端趋向往返，三段各一个零点，共 个。故选：A。 2．函数 （）的零点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故 在 上单调递增。又 ，，故在 内有且仅有 个零点。故选：C。 3．方程 在 上的解的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 。 但 不在区间内；，，故在 内至少有一解。又 在 上为正、 上为负， 先增后减，故正区间内至多一解，综上恰有 个解。故选：A。 4．函数 的不同零点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，令 得 或 （二重）。不同的零点共 个。故选：A。 5．函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故 在 上单调递增。又 ，，故有且仅有 个零点。故选：C。 6．已知函数 ，若 恰有一个零点，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【详解】，极大值 ，极小值 。恰有一个零点，需要极大值小于 （图象全部在 轴下方穿过一次）或极小值大于 ，即 或 ，解得 或 。故选：A。 7．若方程 有两个不同的实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分离参数得 。令 ，，在 上递增、 上递减，最大值 ；且 时 ， 时 。故水平线 与 有两个交点当且仅当 。故选：A。 8．函数 （）的零点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，在 上为负、 上为正，故最小值为 。最小值大于 ，故 恒成立，没有零点。故选：B。 题型三　由极值、最值反求参数（含讨论标准的书写） 【方法与技巧】 由极值反求参数的两步：先由 解出参数候选值，再**代回去检验** 在 两侧是否变号。不变号的要舍掉，这是最常被漏掉的一步。 “在 处取极大值”与“”不等价：前者要左正右负，后者只是必要条件。凡“取极值”的题都不能停在 。 讨论标准的书写：把分界参数值从小到大排成一列，写成“当 时……；当 时……；当 时……”，每段都给出结论，段与段之间不重不漏。 含参最值题要先定“最值在何处取到”：极值点与端点的函数值都写出来，比出大小后再对参数分段。端点常常在某个参数段上反超极值点，是最容易漏掉的情形。 【例题精讲】 1．已知函数 在 处取得极值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，由 得 ，即 。代回检验：，在 左侧为负、右侧为正，确实变号，故 符合题意。故选：D。 2．已知函数 在 上的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。若 ，则 ， 递增，最小值为 ，舍去。故 ，驻点为 。若 （即 ）， 在 上递减，最小值为 ，得 （满足 ）；若 ，最小值为 ，得 ，与 矛盾。综上 。故选：D。 3．已知函数 在 处取得极小值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由 得 ，即 。检验：，在 左侧为负、右侧为正，是极小值点，符合题意。故选：A。 【变式训练】 1．已知函数 在 处取得极值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，由 得 ，即 。检验：，在 左侧为负、右侧为正，确有极值。故选：D。 2．已知函数 在 上的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，在 上为负、 上为正，故最小值为 。令 得 。故选：C。 3．已知函数 在 处取得极小值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，由 得 ，即 。检验：，在 左侧为负、右侧为正，确为极小值点。故选：C。 4．已知函数 在 上的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对称轴 。若 ， 在 上递增，最小值为 ，舍去；若 ，最小值为 ，得 （落在区间端点，符合）；若 ， 递减，最小值为 ，得 ，与 矛盾。综上 。故选：A。 5．已知函数 在 处取得极值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由 得 ，即 。检验：，在 左侧为负、右侧为正，确有极值。故选：B。 6．已知函数 在 处取得极大值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由 得 ，即 。检验：，在 上为正、 上为负，故 处确为极大值点。故选：B。 【巩固练习】 1．已知函数 在 处取得极值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由 得 ，即 。检验：，在 左侧为负、右侧为正，确有极值。故选：A。 2．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。在 上单调递增需 恒成立；二次项系数 ，故只需 ，即 ，解得 。故选：A。 3．已知函数 在 处取得极大值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由 得 ，即 。检验：，在 左侧为正、右侧为负，确为极大值点。故选：B。 4．已知函数 的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】配方：。由于 且在 时取到 ，故最小值为 。令 得 。故选：C。 5．已知函数 在 上的最大值为 ，则实数 的最小值为______．　　　　 【答案】 【详解】，在 上递增、 上递减、 上递增；，，，。要使 上的最大值等于 ，区间必须包含取到 的点 ，故 ；又当 时最大值不超过 ，条件满足。因此 的最小值为 。故答案为：。 6．函数 的极大值为______．　　　　 【答案】 【详解】，在 与 上为负、 上为正，故 处取极大值 。故答案为：。 7．函数 在 上的最大值为______．　　　　 【答案】 【详解】，在 上为负、 上为正，故最小值在 处，最大值只能在端点取到。，，故最大值为 。故答案为：。 8．已知函数 在 处取得极值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由 得 ，即 。检验：，在 左侧为负、右侧为正，确有极值。故选：B。 题型四　导数证明不等式（构造函数、移项作差、放缩） 【方法与技巧】 证不等式的主流做法（移项作差）：把要证的不等式移成 的形式，求导判单调，再算出 的最小值（或下界）不小于 。构造哪个函数，就把哪一边移到另一边。 构造函数的方向：要证 ，就令 ；若直接作差后求导仍很乱，可试着两边取对数（要求两边都为正）或同除以一个正因式化简。 放缩是不得已的手段：常用的有 （，等号在 ）、、。用放缩时必须说明等号能否取到，否则只能证出严格不等号。 双变量问题（如 时证 ）通常先由拉格朗日中值定理或单调性把双变量化成一个变量，再走移项作差的老路。 【例题精讲】 1．用导数证明 时，通常构造函数（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】移项作差，把不等式化成“某函数 ”：令 ，则 ，在 上为负、 上为正，故最小值为 ，于是 ，即 （等号在 取到）。故选：A。 2．用导数证明 （）时，令 ，则 的最小值为______．　　　　 【答案】 【详解】，在 上为负、 上为正，故 在 处取最小值 。由此得 ，即 。故答案为：。 3．用导数证明 （）时，令 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】。由于 ，故 ，即 在 上单调递增；又 ，所以当 时 ，即 。故答案为：。 【变式训练】 1．用导数证明 （）时，通常构造函数（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】移项作差：令 ，则 ，在 上为负、 上为正，故最小值为 ，从而 ，即 。故选：B。 2．用导数证明 时，令 ，则 的最小值为______．　　　　 【答案】 【详解】，在 上为负、 上为正，故最小值为 ，于是 ，即 （等号在 取到）。故答案为：。 3．用导数证明 （）时，函数 的最小值为______．　　　　 【答案】 【详解】，令 得 ； 在其左侧为负、右侧为正，故最小值为 ，从而 。故答案为：。 4．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】求导：，令 得 ，即 。在 处 取最大值 （也可由辅助角 直接看出）。故选：C。 5．用导数证明 （）时，令 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】，。当 时 ，故 ， 递增；又 ，所以 时 ， 递增；再由 得 时 ，即所证成立。故答案为：。 6．由导数可证不等式 （），其中等号成立当且仅当 ______．　　　　 【答案】 【详解】由 的最小值为 知，等号只能在最小值点 处取到。这个等号条件是后续放缩中判断能否取等的关键。故答案为：。 【巩固练习】 1．用导数证明 （）时，构造函数 的最小值为______．　　　　 【答案】 【详解】，在 上为负、 上为正，最小值为 ，故 恒成立。故答案为：。 2．用导数证明 时，构造函数 的最小值为______．　　　　 【答案】 【详解】，在 上为负、 上为正，最小值为 ，故 恒成立。故答案为：。 3．要证 （），令 ，则 在 上的最小值为______．　　　　 【答案】 【详解】，故 在 上递增，最小值为 ，从而 时 ，即 。故答案为：。 4．设 （），则 ，由此可知 在 上单调递______（填“增”或“减”）．　　　　 【答案】减 【详解】当 时 ，故 ， 在 上单调递减；在 上 ，单调递增，所以 是最小值点。故答案为：减。 5．由导数可证不等式 （），其中等号成立当且仅当 ______．　　　　 【答案】 【详解】令 ，则 ，在 上为负、 上为正，最小值为 ，故等号在 时取到。故答案为：。 6．要证 （），令 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】，故 在 上单调递增，结合 得 时 ，即 。故答案为：。 7．在不等式 中令 （），可化为 ______．　　　　 【答案】 【详解】代入 得 ，即 ，移项得 。这说明两个基本不等式本质上是同一件事，记住一个即可。故答案为：。 8．用导数证明 （）时，令 ，则 的最小值为______．　　　　 【答案】 【详解】，在 上为负、 上为正，故最小值为 ，于是 ，即 。故答案为：。 题型五　导数与数列、不等式的交汇 【方法与技巧】 导数与数列交汇的固定套路：先由导数得出一个关于 的不等式（如 ），再把 换成 、 之类，累加或累乘得到数列不等式。 裂项求和要配导：若导数给出 ，则累加得 ，这就是数列求和放缩的标准形态。 先猜后证：数列不等式的右端往往由前几项猜出来，再用导数不等式逐项放缩去证。猜的时候多算 三项能省掉一半弯路。 注意定义域：由导数得到的不等式只在某个区间上成立（如 只在 ），代 之前先确认所代的值落在区间内，否则整段推证作废。 【例题精讲】 1．由 （）令 （ 为正整数），可得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】把 且 代入 ，得 ，即 。这是数列求和放缩最常用的一个式子。故选：B。 2．由 对 累加，可得 ______．　　　　 【答案】 【详解】对 累加 ，左边为 （中间项全部抵消），右边为 ，故 。故答案为：。 3．对 （）分别取 与 ，累加后可得 的上界是______．　　　　 【答案】 【详解】由 累加得 ，这就是 的上界；再由 可得下界 ，合起来就是双向放缩。故答案为：。 【变式训练】 1．由 （）令 （ 为正整数），可得 ______．　　　　 【答案】 【详解】代入 且 ，得 ，两边乘 得 。注意乘负数时不等号要反向。故答案为：。 2．由 对 累加，可得 ______．　　　　 【答案】 【详解】对 累加 ，左边同样叠成 ，右边为 ，故 。故答案为：。 3．对任意正整数 ，下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 （）分别代入 与 ，即得 与 ，合起来是 。这条不等式链是放缩求和的标准工具。故选：D。 4．由 令 （ 为正整数），可得 ______．　　　　 【答案】 【详解】直接代入 得 。两边取对数还可得 ，与前面的结论一致。故答案为：。 5．由 （）令 ，可得 ，进而 ______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 ，即 。这正是数列 单调递增且有上界 的证明要点。故答案为：。 6．由 （）取 ，可得 ______．　　　　 【答案】 【详解】代入 得 ，即 ，两边乘 得 。结合取 得 ，于是 。故答案为：。 【巩固练习】 1．求和 ______．　　　　 【答案】 【详解】利用对数运算把各项合并：，中间因子全部约掉，这是裂项相消的对数版本。故答案为：。 2．由 （）取 可得 ______．　　　　 【答案】 【详解】代入 得 。与 合起来给出 ，是估算对数值时最常用的界。故答案为：。 3．取 ，由 可得 ______．　　　　 【答案】 【详解】 时左边为 ，右边为 ，故 。故答案为：。 4．用导数证明 时，关键的一步是（　　） A．在 中令 再累加 B．直接对 求导 C．在 中令 再累加 D．在 中令 再累加 【答案】C 【详解】标准做法是：由导数先得 （），再令 得到 ，最后对 到 累加、利用对数裂项相消化成 。其余选项都凑不出可以相消的形式。故选：C。 5．由 （）令 ，可得 ______．　　　　 【答案】 【详解】直接代入即得 。这类代入常用于证明 型级数求和的上界。故答案为：。 6．记 ，则数列 的前 项和为______．　　　　 【答案】 【详解】，标准的裂项相消。故答案为：。 7．由 可知，数列 的一个上界是______．　　　　 【答案】 【详解】不等式对每个正整数 都成立，故 是数列的一个上界；再结合该数列单调递增，就得到极限存在且不超过 （事实上极限正是 ）。故答案为：。 8．关于用导数处理数列不等式，下列做法正确的是（　　） A．直接对数列通项求导 B．把 看成连续变量后对 求导即可，无需累加 C．只要得到函数不等式就自然得到数列不等式，无需检验定义域 D．先由导数得到函数不等式，再令自变量取与 有关的式子，最后累加或累乘 【答案】D 【详解】正确流程是：导数 → 函数不等式 → 代入与 有关的自变量 → 累加（或累乘）并利用裂项相消化简。B 错在数列不能求导；C 错在缺少累加与相消这一步；D 错在必须检验所代的值落在该函数不等式的定义域内（如 只在 时有效）。故选：D。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分离参数得 。令 ，其最大值为 （在 处取到）。要使 不小于 的一切值，只需 。故选：B。 2．已知函数 ，则 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，令 得 ，共 个零点。故选：C。 3．若函数 在 处取得极值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，由 得 ，即 。代回检验：，在 左侧为负、右侧为正，确为极小值点，符合题意。故选：D。 4．要证明不等式 ，可构造函数（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】移项作差应把不等式化为“某函数 ”的形式，即令 ，再证 ：，在 上为负、在 上为正，故最小值为 ，从而 。故选：B。 5．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。在 上单调递增需 恒成立，即 对任意 成立。而 的下确界为 （ 时趋于 但取不到），故 。故选：D。 6．设 ，则 的极小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，驻点为 与 。 在 上为负、在 上为正，故 处取极小值 。故选：A。 7．若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】“存在”翻译为最大值：即 不小于 在 上的**最小值**。 在 上递增，最小值为 ，故 。故选：D。 8．由 令 （ 为正整数），可得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把 代入 ，且 时严格不等，得 ，即 ，累加即得调和级数下界。故选：A。 【多项选择题】 9．已知函数 ，则下列说法正确的是（　　） A． 在 处取得极大值 B． 在 处取得极小值 C． 恰有两个零点 D． 的图象关于点 对称 【答案】ABD 【详解】，在 上为正、 上为负、 上为正，故 处取极大值 ， 处取极小值 ，A、B 正确；极大值 、极小值 ，且三次函数两端异号，故共有三个零点，“恰有两个”不对，C 错；由 知图象关于点 对称，D 正确。故选：ABD。 10．关于恒成立问题，下列做法正确的是（　　） A．“”等价于 在 上的最小值不小于 B．“”等价于 在 上的最大值不小于 C．分离参数时要先把含参项单独移到不等式一边 D．凡恒成立问题都必须用分离参数处理 【答案】ABC 【详解】A 是全称量词的正确翻译，B 是存在量词的正确翻译，C 是分离参数的必要前提，均正确；D 错，当参数与 纠缠（如 型）时分离不开，应转分类讨论。故选：ABC。 11．已知函数 （ 为实数），下列结论正确的是（　　） A．当 时， 在 上单调递增 B．当 时， 有最大值 C．当 时， 恰有两个零点 D． 的零点个数最多为 【答案】ABD 【详解】。 时 恒成立，单调递增，A 正确； 时 得 ，左侧正右侧负，最大值 ，B 正确；零点个数取决于 的符号：大于 时两个、等于 时一个、小于 时零个，故 C 错；由单调性知零点至多两个，D 正确。故选：ABD。 【填空题】 12．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最大值为______．　　　　 【答案】 【详解】“恒成立”取最苛刻值：即 不超过 在 上的最小值。由基本不等式 （ 时取等号），最小值为 ，故 ， 的最大值为 。故答案为：。 13．已知函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是______．　　　　 【答案】 【详解】，极大值 ，极小值 。三次函数有三个不同零点等价于极大值大于 且极小值小于 ，即 且 ，解得 。故答案为：。 14．由 累加可得：______（）．　　　　 【答案】 【详解】令 （），由 时严格不等得 。对 到 累加，左边为 ，右边为 ，故 。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题09　导数的综合应用（一）恒成立与零点 群哥高中数学辅导资料 专题09　导数的综合应用（一）恒成立与零点 一、核心知识 1．恒成立与存在性：“”等价于 在 上的最小值大于等于 ；“”等价于最大值大于等于 。两个量词的翻译方向相反，读题务必先圈出来。 2．分离参数的一般步骤：把含参不等式化为 （或 ）的形式，其中 不含参数；再求 在 上的最值，恒成立取“最苛刻”的那个值。 3．不宜分离参数时（参数与 纠缠）改走分类讨论：直接令 ，求导后按 的根与区间端点的位置关系分段，逐段求出最小值再令其非负。 4．零点存在性定理：若 在 上连续且 ，则 在 内至少有一个零点；若 在 上单调，则零点至多一个，二者结合即得“恰好一个”。 5．零点个数的判定流程：求导 → 划出单调区间 → 逐段算端点函数值的符号（含趋于无穷时的极限符号）→ 由存在性定理与单调性数出各段零点数 → 求和。 6．由极值反求参数：由 解出参数后必须代回检验 在 左右是否异号；由最值反求参数则要把极值点与端点的函数值全部写出再比大小。 7．导数证明不等式的三条路：① 移项作差构造函数求最值；② 两边取对数化简后再作差；③ 借助已知不等式放缩（、 等），并交代等号能否取到。 8．讨论标准的书写规范：分界点从小到大排列，写为“当 时……；当 时……；当 时……”，段与段不重不漏，每段都要有明确结论。 9．导数与数列的交汇：由导数不等式 、 出发，令 取 、 等，累加（或累乘）即得数列求和型不等式；代值前务必确认落在区间内。 二、题型精练 题型一　恒成立与存在性问题（分离参数、分类讨论、端点效应） 【方法与技巧】 恒成立与存在性先翻译：“”就是 在 上的最小值不小于 ；“”就是最大值不小于 。两个量词别看反。 分离参数的适用条件： 中 能单独搬到一边、剩下部分只是 的函数时，才分离参数（如 ）。若参数与 纠缠（如 ），直接分类讨论。 分离参数后怎么算：令 等于右边那一堆，求 在 上的最值；“恒成立”对应 的最小值（或 的最大值），注意端点是否取到决定等号的取舍。 端点效应： 这类题，先看 与 时 的走向排除不可能的参数段，再在剩下的段上求最小值。这一步能少写一整页分类讨论。 【例题精讲】 1．已知函数 ，若 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．已知函数 ，若 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．已知函数 ，若 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 5．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最大值为______．　　　　 6．已知函数 ，若 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知函数 ，若 在 上恒为正，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最大值为______．　　　　 6．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型二　导数与函数的零点、方程的根（含零点个数讨论） 【方法与技巧】 零点问题的通法：先求导判单调，把函数分成若干段单调区间；再在每段上算端点（含 的极限）的函数值符号；由零点存在性定理定每段是否有一个零点。 单调区间上零点至多一个——这是判断零点个数的关键依据。所以“有几个零点”的题，答案永远是“各单调段上零点数之和”。 与 的交点个数可以互相转化：令 ，则交点个数就是 的零点个数。画不出图时优先构造函数作差。 含参讨论零点个数：先找使 有根的参数分界（、根落在定义域边界），按参数分段后每段内单调性确定，再逐段数零点。分界点一定要代回去检验端点。 【例题精讲】 1．函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 2．函数 （）的零点个数为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．方程 的不同实根个数为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 3．函数 （）的零点个数为（　　） A． B． C． D． 4．方程 的正实数解的个数为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数 ，若 恰有两个零点，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 6．函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 2．函数 （）的零点个数为（　　） A． B． C． D． 3．方程 在 上的解的个数为（　　） A． B． C． D． 4．函数 的不同零点个数为（　　） A． B． C． D． 5．函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 6．已知函数 ，若 恰有一个零点，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 7．若方程 有两个不同的实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．函数 （）的零点个数为（　　） A． B． C． D． 题型三　由极值、最值反求参数（含讨论标准的书写） 【方法与技巧】 由极值反求参数的两步：先由 解出参数候选值，再**代回去检验** 在 两侧是否变号。不变号的要舍掉，这是最常被漏掉的一步。 “在 处取极大值”与“”不等价：前者要左正右负，后者只是必要条件。凡“取极值”的题都不能停在 。 讨论标准的书写：把分界参数值从小到大排成一列，写成“当 时……；当 时……；当 时……”，每段都给出结论，段与段之间不重不漏。 含参最值题要先定“最值在何处取到”：极值点与端点的函数值都写出来，比出大小后再对参数分段。端点常常在某个参数段上反超极值点，是最容易漏掉的情形。 【例题精讲】 1．已知函数 在 处取得极值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．已知函数 在 上的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．已知函数 在 处取得极小值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．已知函数 在 处取得极值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 2．已知函数 在 上的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 3．已知函数 在 处取得极小值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 4．已知函数 在 上的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数 在 处取得极值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 6．已知函数 在 处取得极大值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知函数 在 处取得极值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 2．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知函数 在 处取得极大值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 4．已知函数 的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数 在 上的最大值为 ，则实数 的最小值为______．　　　　 6．函数 的极大值为______．　　　　 7．函数 在 上的最大值为______．　　　　 8．已知函数 在 处取得极值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 题型四　导数证明不等式（构造函数、移项作差、放缩） 【方法与技巧】 证不等式的主流做法（移项作差）：把要证的不等式移成 的形式，求导判单调，再算出 的最小值（或下界）不小于 。构造哪个函数，就把哪一边移到另一边。 构造函数的方向：要证 ，就令 ；若直接作差后求导仍很乱，可试着两边取对数（要求两边都为正）或同除以一个正因式化简。 放缩是不得已的手段：常用的有 （，等号在 ）、、。用放缩时必须说明等号能否取到，否则只能证出严格不等号。 双变量问题（如 时证 ）通常先由拉格朗日中值定理或单调性把双变量化成一个变量，再走移项作差的老路。 【例题精讲】 1．用导数证明 时，通常构造函数（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．用导数证明 （）时，令 ，则 的最小值为______．　　　　 　 　 　 3．用导数证明 （）时，令 ，则 ______．　　　　 【变式训练】 1．用导数证明 （）时，通常构造函数（　　） A． B． C． D． 2．用导数证明 时，令 ，则 的最小值为______．　　　　 3．用导数证明 （）时，函数 的最小值为______．　　　　 4．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．用导数证明 （）时，令 ，则 ______．　　　　 6．由导数可证不等式 （），其中等号成立当且仅当 ______．　　　　 【巩固练习】 1．用导数证明 （）时，构造函数 的最小值为______．　　　　 2．用导数证明 时，构造函数 的最小值为______．　　　　 3．要证 （），令 ，则 在 上的最小值为______．　　　　 4．设 （），则 ，由此可知 在 上单调递______（填“增”或“减”）．　　　　 5．由导数可证不等式 （），其中等号成立当且仅当 ______．　　　　 6．要证 （），令 ，则 ______．　　　　 7．在不等式 中令 （），可化为 ______．　　　　 8．用导数证明 （）时，令 ，则 的最小值为______．　　　　 题型五　导数与数列、不等式的交汇 【方法与技巧】 导数与数列交汇的固定套路：先由导数得出一个关于 的不等式（如 ），再把 换成 、 之类，累加或累乘得到数列不等式。 裂项求和要配导：若导数给出 ，则累加得 ，这就是数列求和放缩的标准形态。 先猜后证：数列不等式的右端往往由前几项猜出来，再用导数不等式逐项放缩去证。猜的时候多算 三项能省掉一半弯路。 注意定义域：由导数得到的不等式只在某个区间上成立（如 只在 ），代 之前先确认所代的值落在区间内，否则整段推证作废。 【例题精讲】 1．由 （）令 （ 为正整数），可得（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．由 对 累加，可得 ______．　　　　 3．对 （）分别取 与 ，累加后可得 的上界是______．　　　　 【变式训练】 1．由 （）令 （ 为正整数），可得 ______．　　　　 2．由 对 累加，可得 ______．　　　　 3．对任意正整数 ，下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 4．由 令 （ 为正整数），可得 ______．　　　　 5．由 （）令 ，可得 ，进而 ______．　　　　 6．由 （）取 ，可得 ______．　　　　 【巩固练习】 1．求和 ______．　　　　 2．由 （）取 可得 ______．　　　　 3．取 ，由 可得 ______．　　　　 4．用导数证明 时，关键的一步是（　　） A．在 中令 再累加 B．直接对 求导 C．在 中令 再累加 D．在 中令 再累加 5．由 （）令 ，可得 ______．　　　　 6．记 ，则数列 的前 项和为______．　　　　 7．由 可知，数列 的一个上界是______．　　　　 8．关于用导数处理数列不等式，下列做法正确的是（　　） A．直接对数列通项求导 B．把 看成连续变量后对 求导即可，无需累加 C．只要得到函数不等式就自然得到数列不等式，无需检验定义域 D．先由导数得到函数不等式，再令自变量取与 有关的式子，最后累加或累乘 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数 ，则 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 3．若函数 在 处取得极值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 4．要证明不等式 ，可构造函数（　　） A． B． C． D． 5．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．设 ，则 的极小值为（　　） A． B． C． D． 7．若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．由 令 （ 为正整数），可得（　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．已知函数 ，则下列说法正确的是（　　） A． 在 处取得极大值 B． 在 处取得极小值 C． 恰有两个零点 D． 的图象关于点 对称 10．关于恒成立问题，下列做法正确的是（　　） A．“”等价于 在 上的最小值不小于 B．“”等价于 在 上的最大值不小于 C．分离参数时要先把含参项单独移到不等式一边 D．凡恒成立问题都必须用分离参数处理 11．已知函数 （ 为实数），下列结论正确的是（　　） A．当 时， 在 上单调递增 B．当 时， 有最大值 C．当 时， 恰有两个零点 D． 的零点个数最多为 【填空题】 12．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最大值为______．　　　　 13．已知函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是______．　　　　 14．由 累加可得：______（）．　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $