零点、隐零点构造函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

零点·隐零点·构造函数专题训练（20 题） 全部压轴难度 · 每题配函数图象 · 对标新高考导数压轴 · 数学符号规范公式排版 使用说明：本卷聚焦高考导数压轴的三大核心技法——零点存在性与个数讨论、隐零点（设而不求）代换、构造函数证明不等式。题号即难度序，每题配函数图象示意图。答案与解析见另册《参考答案与解析》。 第1—10题　压轴攻坚（一） 1.（零点存在定理与区间精化）★★★★ 设函数 。 （1）求 ，证明 在 上单调递增； （2）证明 存在唯一零点 ，且 ； （3）进一步证明 。 图1 2.（含参零点个数）★★★★ 设函数 （）。 （1）设 ，求 及 的单调区间与最大值； （2）讨论 的零点个数（按 分类）； （3）写出 取何值时 恰有一个零点。 图2 3.（隐零点：设而不求与代换）★★★★★ 设函数 。 （1）证明 在 上单调递增，并证明 存在唯一零点 ； （2）利用 （）与 （）证明 ； （3）由 证明 。 图3 4.（构造函数证不等式）★★★★ 设 （）。 （1）求 ，求 的最小值； （2）由此证明：当 时，； （3）比较 与 在 时的强弱（说明哪个更”紧”）。 图4 5.（用零点解不等式）★★★★ （1）利用第 3 题结论，判断函数 在 上的单调性； （2）解不等式 （用第 3 题中的 表示解集）； （3）写出 的一个区间估计（精确到十分位）。 图5 6.（含参两根问题）★★★★★ 设关于 的方程 （）有两个不同的实根。 （1）设 ，求 及 的最大值； （2）求 的取值范围； （3）证明：两个根之积大于 。 图6 7.（构造函数证统一不等式）★★★★ 设 （）。 （1）求 及 的单调区间； （2）求 的最小值； （3）证明：当 时，。 图7 8.（含参零点个数的完整讨论）★★★★★ 设函数 （）。 （1）讨论 时 的单调性与零点个数； （2） 时求 的零点及 的最小值； （3）由（2）讨论 的零点个数（按 与 的关系分类）。 图8 9.（唯一零点的定位）★★★★ 设函数 （）。 （1）证明 在 上单调递增； （2）证明 有唯一零点 ，且 ； （3）若 ，证明 。 图9 10.（零点个数与最值的关系）★★★★★ 设函数 （）。 （1）求 及 的最小值（用 表示）； （2）设 ，讨论 的零点个数（按 与 的关系分类）； （3）指出 时 的零点位置。 图10 第11—20题　压轴攻坚（二） 11.（双零点的不等式：倒数之和）★★★★★ 设函数 （）有两个零点 。 （1）由 证明 ； （2）证明 （提示：令 ，证明 ）； （3）证明 。 图11 12.（不动点与迭代收敛）★★★★★ 设方程 的根为 。 （1）设 ，证明 在 上单调递增，并证明 ； （2）设 ，证明：当 时 ，且存在常数 使 ； （3）设数列满足 ，，证明 收敛于 。 图12 13.（零点个数的完整分析）★★★★★ 设函数 。 （1）证明：当 时 ，并求 在 上的零点个数； （2）验证 ； （3）通过分析 的根的个数（说明 至多有两个零点），证明 恰有 个零点。 图13 14.（对数型唯一零点）★★★★ 设函数 （，）。 （1）证明 在 上单调递增； （2）证明 有唯一零点 ，且 ； （3）若 ，证明 。 图14 15.（用构造函数解不等式）★★★★ 解关于 的不等式：（）。 （1）设 ，求 与 的单调区间； （2）求 的最小值，并说明 恒成立； （3）写出原不等式的解集。 图15 16.（互为反函数的两根之和）★★★★★ 设 是方程 的根， 是方程 的根。 （1）证明各方程分别有唯一实根，并判断 、； （2）证明 与 ； （3）证明 。 图16 17.（二次方程根的分布）★★★★ 设方程 ，。 （1）求两根均大于 的 的取值范围（考虑 、对称轴、 的符号）； （2）求一根在 内、另一根大于 的 的取值范围； （3）在（2）的条件下，指出另一根与 的大小关系并说明理由。 图17 18.（零点与指数式互化）★★★★ 设函数 （）。 （1）证明 在 上单调递增； （2）证明 有唯一零点 ，且 ； （3）证明 。 图18 19.（相切条件下的两根）★★★★★ 关于 的方程 （，）有两个不同的实根。 （1）设 （），求 、 的单调区间与最小值； （2）求 的取值范围； （3）指出 取何值时方程恰有一个实根，并说明其几何意义（相切）。 图19 20.（综合压轴：唯一零点与对数式代换）★★★★★ 设函数 （）。 （1）求 及 的最小值（用 表示）； （2）证明 恰有一个零点 ，且 ； （3）证明 。 图20 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1—10题　参考答案与解析 1.（零点存在定理与区间精化） 答案：（1）；（2）（3）见解析。 解析： （1） 对一切 成立，故 在 上单调递增。 （2），（因 ）。由零点存在定理与单调性， 有唯一零点 。 （3）。由 （），取 ：，故 。 结合 ，得 。 2.（含参零点个数） 答案：（1），增区间 ，减区间 ，最大值 ；（2）（3） 时 个， 时 个， 时 个。 解析： （1）。 时 ， 时 ，故最大值 （2）。因 时 、 时 ，而最大值为 ： · （即 ）： 个零点； · （）： 个零点（）； · （）： 个零点。 （3） 时恰有一个零点。 3.（隐零点：设而不求与代换） 答案：（2）；（3）见解析。 解析： （1）（），故 在 上单调递增。，，故存在唯一零点 。 （2）： 需 ，即 。由 （），取 ：，成立。 ： 需 ，即 。由 （），取 ： 成立。故 。 （3）由 两边取对数：，即 。 4.（构造函数证不等式） 答案：（1），最小值 ；（2）（3）见解析。 解析： （1）。 时 ， 时 ，故最小值 （2），即 ，故 。 （3）比较 与 （）。令 ： 故当 时 ，此时 更”紧”；当 时 ，此时 更”紧”。 5.（用零点解不等式） 答案：（1），递增；（2）解集 （）；（3）。 解析： （1），（），故 在 上单调递增。 （2）。因 是方程 的唯一正根（第 3 题），且 递增，故 解集为 。 （3）由第 3 题，（精确到十分位为 ）。 6.（含参两根问题） 答案：（1），最大值 ；（2）；（3）见解析。 解析： （1），。 在 增、 减，最大值 。 （2）。由 的图象（ 时 ； 时 且先增后减，最大 ； 时 ， 时 ）： 方程有两个不同实根 。 （3）设两根 。由 、 相减与相加： 先证引理：对 ，。设 ， ，故 。 取 ：，即 。于是 7.（构造函数证统一不等式） 答案：（1）减区间 ，增区间 ；（2）最小值 ；（3）见解析。 解析： （1）。 时 ， 时 。 （2）最小值 。 （3）因 ，故 ，于是 ，即 ，。 8.（含参零点个数的完整讨论） 答案：（1） 时单调递减，恰有 个零点；（2） 的零点为 ，最小值 ；（3） 时 个， 时 个， 时 个。 解析： （1）。 时 ，故 ， 严格递减。 时 有 （，）， 有 ，故恰有一个零点； 时 ，一个零点 。故 时恰有一个零点。 （2） 时 。 故最小值 。 （3） 时 均有 ，零点个数由最小值符号决定： · （）： 个零点； · （）： 个零点（）； · （）： 个零点。 9.（唯一零点的定位） 答案：（2）；（3）见解析。 解析： （1）（），故 在 上单调递增。 （2）。 由 ，取 ：，故 。 于是 。 （3） 即 ，故 ，两边取指数： 10.（零点个数与最值的关系） 答案：（1），最小值 ；（2） 时 个， 时 个， 时 个；（3）。 解析： （1）。 在 减、 增，最小值 （2）记 。因 时 ，零点个数由最小值符号决定： · （）： 个； · ： 个； · ： 个。 （3） 时最小值恰为 ，零点为 （曲线在 轴相切）。 第11—20题　参考答案与解析 11.（双零点的不等式：倒数之和） 答案：（2）；（3）见解析。 解析： （1）由 、 相减：，故 （2）令 。先证 ：设 ， 故 时 ，即 。 由（1）：。代入 ： （最后一步用了 ，即 ）。故 。 （3）由基本不等式 ，结合（2）： 12.（不动点与迭代收敛） 答案：（1）；（2）取 ；（3）见解析。 解析： （1），故 在 上单调递增。 ，，故 ，且 是 的唯一零点。 （2）当 时，，故 把 映入自身。 ，当 时 ，取 （3），且由（2）以后各项都在 内。由中值定理，对 ： 故 （），即 。 13.（零点个数的完整分析） 答案：（1）唯一负零点， 个零点共。 解析： （1）。 时 、，故 ， 在 上单调递增。 ，，故在 上恰有一个零点 。 （2），。 （3）。，且 关于 递增，故 在 上递增且恰有一个零点，于是 先减后增， 至多有两个零点。 结合数值 ，，，，知 在 与 各有一个零点，记为 。于是 在 上递增、 上递减、 上递增。 由 、、，递减段上恰有零点 ；由 、，递增段上恰有零点 。故 在 上只有 两个零点。 综上， 恰有 个零点：、、。 14.（对数型唯一零点） 答案：（1）（2）（3）见解析。 解析： （1）（），故 在 上单调递增。 （2）； 时 ，。故由单调性， 有唯一零点 ，且由 知 。 （3） 即 ，故 ，两边乘 ： 15.（用构造函数解不等式） 答案：（2）最小值 ；（3）解集 。 解析： （1）。 时 ， 时 。 （2） 在 上递减、 上递增，最小值 故 恒成立，等号当且仅当 。 （3） 且 。 解集为 。 16.（互为反函数的两根之和） 答案：（3）。 解析： （1）设 ，， 严格递增，故 有唯一根 。 ，，故 。 设 ，， 严格递增；，，故唯一根 。 （2）由 得 。 由 得 ，即 （3）令 ，则（2）给出 ，即 是方程 的根。 由（1）该方程有唯一根 ，故 ，即 17.（二次方程根的分布） 答案：（1）；（2）；（3）另一根大于 ，且小根大于 。 解析： （1）两根均大于 的条件： · 或 ； · 对称轴 ； · ，恒成立。 综合得 。 （2）一根在 、另一根大于 ，需 （开口向上， 位于两根之间）： 此时 （）✔，对称轴 ✔，故 。 （3） 时 且开口向上，故 在两根之间，另一根大于 ；又 ，故 在两根之外，结合 知 ，即小根也大于 。 18.（零点与指数式互化） 答案：（3）见解析。 解析： （1）（），故 在 上单调递增。 （2），，故有唯一零点 。 （3） 即 ，故 ，两边取指数： 19.（相切条件下的两根） 答案：（1），减区间 、增区间 ，最小值 ；（2）；（3） 时恰一个根，曲线 与 相切于 。 解析： （1）， 时 ， 时 ，最小值 （2）。 时 ， 时 ，且 在 上递减、 上递增，最小值 。故方程有两个不同实根 。 （3） 时方程恰有一个实根 。几何意义：曲线 与 相切于点 （在该点处两曲线有公切线，切线斜率均为 ）。 20.（综合压轴：唯一零点与对数式代换） 答案：（1），最小值 ；（2）（3）见解析。 解析： （1）。 在 上递减、 上递增，最小值 （2） 时 ，故 （）；又最小值 ，而 时 。 在 上 严格递增，且 、，故在 内恰有一个零点 ，即 恰有一个零点。 （3） 即 ，两边取对数： 学科网（北京）股份有限公司 $