专题11 任意角、三角函数概念与同角关系 专项训练-2027届高考数学一轮复习（新高考全国卷）

专题11任意角、三角函数概念与同角关系 群哥高中数学辅导资料 专题11任意角、三角函数概念与同角关系 一、核心知识 1.弧度制：把等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1。角度与弧度的换算关系为 180=π，即1°=180,1=1800 π。 2.弧长与扇形面积：若圆心角为Q(弧度制)、半径为r,则弧长1=Qr,扇形面积 180,S=nnr2 S=r=lar:若用角度制n,则1=n, 360。 3.任意角的三角函数：设角Q终边上任一点P(x,y)(不与原点重合)，记r=x+y,则 sina=上，cos&=X,tana=义(x≠0)：函数值只与终边位置有关，与所取点无关。 4.三角函数值的符号：第一象限全为正；第二象限sina>0,其余为负；第三象限tana>0,其余 为负：第四象限C0sQ>0,其余为负。即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”。 5.单位圆与三角函数线：在单位圆x2+y2=1中，cosQ是终边与圆交点的横坐标，sin&是纵坐 标；正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，可用来比较三角函数值的大小。 6同角基本关系：平方关系sina+cs2a=1,商数关系an8=0&cosa≠0：由此可推出 cos a 1+tana=- 1 osa 7.和积互求：由(sina-+cosa}=1+2 sina cosa与(sina-cosa2=1-2 sina cosa,可在 sina±cosa与sina cosa之间互求，符号由a所在象限确定。 8.齐次式化简：关于sina、cosa的一次齐次式（分子分母同次）同除以cosa化为tana;二次 齐次式先除以sina+cos2a=1,再同除以cos2a化为tana。 9.诱导公式：概括为“奇变偶不变，符号看象限”一一角为乞的奇数倍加减时函数名改变（正 弦与余弦互换、正切与余切互换)，偶数倍时不变：符号由把视为锐角时原角所在象限的三角函数 符号决定。 1/11 专题11任意角、三角函数概念与同角关系 群哥高中数学辅导资料 二、题型精练 题型一任意角与弧度制（含扇形弧长与面积） 【方法与技巧】 弧度制的核心公式只有两条：弧长1ar,扇形面积S=r=ar(a必须用弧度）·看到“扇 2 形”两个字，先问自己单位是不是弧度。 角使与弦改互化2准180=元，于是1品1=1贸、常用位更袋口而出：30-号、45” 180 4 4、150=5n 60-学0-受120-号135= 69 终边相同角的写法：与Q终边相同的角是2kπ+Q(k∈Z)。判断某角在第几象限，就把它减去2π 的整数倍，化到[0,2π)内再看。 象限角的集合表示要会用：第一象限角写为2k元<αa<2km+,其余同理。注意轴线角（终边在坐标 轴上)不属于任何象限，别漏掉这种情形。 【例题精讲】 1.120°化为弧度是() A.3 B.3 π c.4 π D.6 2.半径为3，圆心角为 的扇形的弧长为() A.2π B.3 C.3π D.π 3.与若终边相同的角的架合可表示为 (k∈Z). 2/11 专题11任意角、三角函数概念与同角关系 群哥高中数学辅导资料 【变式训练】 1.-300°是第几象限角() A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 2.3 π 化为角度是 3.扇形面积公式5=aP巾，角a的单位必须是(） A.角度 B.弧度 C.两者都可以 D.梯度 4.半径为4，圆心角为60°的扇形的弧长为： 5.终边在y轴正半轴上的角的集合可表示为() A.2kπ+π(k∈Z)B.kπ+S(k∈Z)C.2kπ+5(k∈Z)D.2kπ(k∈Z) 6.已知扇形的弧长为3π，半径为3，则该扇形的圆心角（弧度）为 【巩固练习】 1.-1000°是第几象限角() A.第二象限角 B,第一象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 2.4 ·化为角度是 3.半径为2，弧长为2的扇形面积为() A.1 B.2 C.4 D.π 4.已知扇形面积为2π，半径为2，则其圆心角（弧度）为 5.若口是第二象限角，则受是《) A.第一象限角 B.第三象限角 C.第二或第四象限角 D.第一或第三象限角 6.45°化为弧度是 7.若Q是锐角，则π+a是第几象限角() A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D,第四象限角 3/11 专题11任意角、三角函数概念与同角关系 群哥高中数学辅导资料 8.弧度为2的角，用角度制表示约为。. 题型二三角函数的定义与符号判断（单位圆、三角函数线） 【方法与技巧】 定义的本质：设角a终边上一点P(X,y则r-+y,sina=cosa=兰 tan=义(x≠0)。*三角函数值与P的位置无关，只与角的终边有关*。 符号判断口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”一一第一象限全正，第二象限只有Sn为正，第 三象限只有tn为正，第四象限只有cos为正。判断时先定象限再用口诀。 单位圆上r=1,此时sina=y、cosa=x,三角函数线就是单位圆中的有向线段。凡“比较sina与 C0sQ大小”的题，画单位圆最快。 知一求二的套路：给出终边上一点的坐标（常含参数），先由r=Vx+y2求r,再代定义：若已知 sina(或cosα)的值求其余，先由平方关系求另一个的绝对值，再由象限定符号。 【例题精讲】 1.已知角a的终边经过点P(-3,4),则sina等于() A.5 4 B.-5 3 C.5 2.已知角&的终边经过点P5,-12),则cosa=一 3 3.已知sina=亏，且a是第二象限角，则cosa等于（) 4 A.5 B.-5 c.-5 n 【变式训练】 1.若sina cosa<0,则角c的终边在() A.第一或第三象限B.第二或第三象限C.第一或第四象限 D.第二或第四象限 2.已知角a的终边经过点P(-1,-1),则tana= 3.已知Q0sa=克且&是第二象限角，则血0等于() 3 A.2 B.3 2 C.2 4/11 专题11任意角、三角函数概念与同角关系 群哥高中数学辅导资料 4.已知角c的终边经过点P(a,3),且sina 5则a= 5.在单位圆中，sina的几何意义是() A.终边与单位圆交点的横坐标 B.终边的长度 C.角的弧度数 D.终边与单位圆交点的纵坐标 6.已知ana=-2,且a是第四象限角，则sina=. 【巩固练习】 1.已知角c&的终边经过点P(-4,-3),则sina+cosa等于() B.5 c D.5 2.己知角a的终边经过点P(1,2),则tan=一 3.若 inc<0,则角a的终边在() tang A.第一或第四象限 B.第一或第二象限C.第二或第三象限 D.第三或第四象限 4.已知sina=-昌且&是第三象限角，则an= 5.已知角a的终边在直线y=-2x上，则tnc等于() 1 A.2 B.-2 c.-2 D. 2 6.若角a满足sina>0且cosa<0,则a是第 象限角. 7.已知角a的终边经过点P(-2,1),则sina·cosa等于() c.3 D号 5/11 专题11任意角、三角函数概念与同角关系 群哥高中数学辅导资料 8.已知cosc= ，且a是第四象限角，则sina-tana= 题型三同角三角函数基本关系（和积互求与齐次式） 【方法与技巧】 平方关系sin2a+cos2a=1是同角关系的根基，商数关系tanc= sina cos a 是桥梁。已知一个函数值求其 余，永远先平方关系、后商数关系。 sina+cosa与sina cos a的互求：把sina(+cosa&平方得1+2 sin a cosa,于是由和可以求积， 由积也可以求和（注意符号由象限决定）。这是年年考的小技巧。 sina+2 cosa 齐次式的处理：遇到分子分母关于sinC、cosa次数相同的式子（如 ),*分子分母同 3sina-cosa 除以cosa*化为只含tanc的式子，一步到位。 二次齐次式（如sina+2 sina cosa)的处理：把它除以sina+cosa(等于1，不改变值），再分 子分母同除以cosc,同样化为tana的式子。 【例题精讲】 1.已知sina=3 且&∈（受m,则ana等于《） 4 B.4 C. 3 D.3 2.已知tana=2,则 sin a+cos a_ sina-cosa 8.已知sina-cosa=则sin acosa 6/11 专题11任意角、三角函数概念与同角关系 群哥高中数学辅导资料 【变式训练】 1.己知tana=-3,则sin a+3 sin a cosa等于（) B.0 A.1 C.-1 D.2 2.已知sina cosa= 8:且a为锐角，则sina+cosc= 3.已知sina cosa= 4,则sin4a+cosa等于() B.4 7 A.8 C.8 4.己知tana 2,则 2sina+3cosa_ sina-cosa 5.下列恒等式中正确的是() A.1+tan2a=-1 B.1+tan?g=-1 sin a cosa C.1-tan'a=-1 cos a D.tan'a-1=1 cos a 6.己知sina= 3,且&是第二象限角，则tana= 【巩固练习】 1.已知tanc=3,则 sina-cosc等于(） sina+cosa B.2 c.3 D.3 7 2.已知sina+co0sc= 5,则sinacos= 3.已知tana=2,则2sina-3 sina cosa等于() B 1 c.5 3-5 D. 4.已知sinc+cosa= F3,则sinx-cosc的平方等于 sin+cosa=2,则tanc等于（） 5.若2sina-cosc A.3 B.3 C.-3 D.1 7/11 专题11任意角、三角函数概念与同角关系 群哥高中数学辅导资料 6.已知a是第三象限角，且sinc(=- 5,则tana= 7.化简 1+1 可得() sin a cos a 2 1 1 A. B.1 C. sin-a cosa sina-cosa D.sin?a cos'c 8.己知tana=-2,则 3sina+cosa= sina-2cosa 题型四诱导公式的应用（奇变偶不变，符号看象限） 【方法与技巧】 诱导公式不要背表，用单位圆推两遍就记住了：先看是 2 的奇数倍还是偶数倍（决定“变”与“不 变”)，再把Q看成锐角、判断原角所在象限（决定符号）。 a.2 奇偶不变的具体含义：π士Q,2π士a是受的偶数倍，函数名不变：艺 π 亚士Q是奇数倍，正弦 变余弦、余弦变正弦、正切变余切。*符号一律由“把当锐角时原角所在象限”决定*。 常用结论直接记：sin(π-a)=sina,cosπ-a)=-cosa,sin(π+a)=-sina. cos()-cossin()=ccos)in 负角与互补互余：sin(-a)=-sinc,cos(-&)=cosc,tan(-a)=-tana。化简时先把负角化正， 再用“奇变偶不变”逐层剥，最后合并同类项。 【例题精讲】 1.sin(π+a）等于() A.sina B.-sina C.cosa D.-cos 2.os7-a)等于() A.-sina B.cosa C.-cosa D.sina 8/11 专题11任意角、三角函数概念与同角关系 群哥高中数学辅导资料 3.sin 7元 6 的值为· 【变式训练】 1.cos(-a)等于() A.-cosa B.cosa C.sina D.-sina 2.tanπ-a)= 3.sin 5n 6 的值为() 3 1 3 B.2 c.2 D. 2 4π 4.C0s 3 的值为 5.sin受+a)等于() A.-cos a B.cosa C.sina D.-sina c.aint 的值为一 【巩固练习】 1.0s-号)的值为一 2.tan 3π 4 的值为() A.-1 B.1 c.3 D.-V/3 9/11 专题11任意角、三角函数概念与同角关系 群哥高中数学辅导资料 2π 3.sin 3 的值为 sin(n-a)cos(π+a 4.化简 n(号+a 的结果为 Tπ 5.cos3的值为 6已知sin名-a)3则cos(写+a)等于(） B. 22 2V2 3 3 D. 7.sin(- 6 的值为一· 8.诱导公式口诀“奇变偶不变”中的“奇”“偶”指的是() A.角的奇偶性 B.函数名次数的奇偶 c.乏的奇数倍或偶数倍 D.系数的奇偶 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1.300°化为弧度是() 5π 3π A.3 π B.6 c. π D.3 2.已知角a的终边经过点P(3,-4),则sina等于() B.5 D 3.已知tana=2,则 sina+2cosa 3sina-cosa :等于（ 5 A.5 B. 4.sin(π-a)等于() A.-sina B.cosa C.sina D.-cosa 1 5.已知sina+cosa= 2 则sin a cosa等于() A昌 B.8 C.-3 4 D. 10/11 专题11任意角、三角函数概念与同角关系 群哥高中数学辅导资料 6.半径为2，圆心角为3的扇形面积是（) 4π A.3 B.3 C.π D.3 7.若sina<0且tana>0,则角a是() A.第二象限角 B,第四象限角 C. 第三象限角 D.第一象限角 8.化简cos(37-a)的结果是（） A.-sina B.sina C.cosa D.-cosa 【多项选择题】 9.下列关于弧度制的说法正确的是() A.180°=π B.弧长公式为l=ar(a为弧度) C扇形面我5号ar D.弧长公式中的角可以用角度制直接代入 10.已知0是第二象限角，则下列结论正确的是() A.sina>0 B.cosa<0 C.tana<0 D.sinacosa>0 11.关于同角三角函数关系，下列式子正确的是（) A.sina+cos a=1 B.tang=sina cosa C.(sin a+cosa=1+2sin a cosa D.sin a-cosa=1 【填空题】 7π 12.6 化为角度是。 13.已知tana=3,则sin2a+2 sina cos a= cos(π+a)sin2π-a) 14.化简 咖号*aw 的结果为 11/11专题11　任意角、三角函数概念与同角关系 群哥高中数学辅导资料 专题11　任意角、三角函数概念与同角关系 一、核心知识 1．弧度制：把等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度的角，记作 。角度与弧度的换算关系为 ，即 ，。 2．弧长与扇形面积：若圆心角为 （弧度制）、半径为 ，则弧长 ，扇形面积 ；若用角度制 ，则 ，。 3．任意角的三角函数：设角 终边上任一点 （不与原点重合），记 ，则 ，，；函数值只与终边位置有关，与所取点无关。 4．三角函数值的符号：第一象限全为正；第二象限 ，其余为负；第三象限 ，其余为负；第四象限 ，其余为负。即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”。 5．单位圆与三角函数线：在单位圆 中， 是终边与圆交点的横坐标， 是纵坐标；正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，可用来比较三角函数值的大小。 6．同角基本关系：平方关系 ，商数关系 ；由此可推出 。 7．和积互求：由 与 ，可在 与 之间互求，符号由 所在象限确定。 8．齐次式化简：关于 、 的一次齐次式（分子分母同次）同除以 化为 ；二次齐次式先除以 ，再同除以 化为 。 9．诱导公式：概括为“奇变偶不变，符号看象限”——角为 的奇数倍加减 时函数名改变（正弦与余弦互换、正切与余切互换），偶数倍时不变；符号由把 视为锐角时原角所在象限的三角函数符号决定。 二、题型精练 题型一　任意角与弧度制（含扇形弧长与面积） 【方法与技巧】 弧度制的核心公式只有两条：弧长 ，扇形面积 （ 必须用弧度）。看到“扇形”两个字，先问自己单位是不是弧度。 角度与弧度互化记住 ，于是 ，。常用值要脱口而出：、、、、、、。 终边相同角的写法：与 终边相同的角是 。判断某角在第几象限，就把它减去 的整数倍，化到 内再看。 象限角的集合表示要会用：第一象限角写为 ，其余同理。注意轴线角（终边在坐标轴上）不属于任何象限，别漏掉这种情形。 【例题精讲】 1． 化为弧度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。角度化弧度乘 ，反过来弧度化角度乘 。故选：A。 2．半径为 ，圆心角为 的扇形的弧长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】弧长公式 。使用公式前务必确认角是弧度制，本题已给弧度，直接代入即可。故选：D。 3．与 终边相同的角的集合可表示为______（）．　　　　 【答案】 【详解】终边相同的角相差 的整数倍，故为 。也可以写成 ，两者等价。故答案为：。 【变式训练】 1． 是第几象限角（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【详解】，而 是第一象限角，故 是第一象限角。判断任意角所在象限，就是加（或减） 的整数倍化到 内再看。故选：A。 2． 化为角度是______°．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 3．扇形面积公式 中，角 的单位必须是（　　） A．角度 B．弧度 C．两者都可以 D．梯度 【答案】B 【详解】公式 与 都要求 用弧度制；若给的是角度 ，应用 、。这是初学者最常犯的错误。故选：B。 4．半径为 ，圆心角为 的扇形的弧长为______．　　　　 【答案】 【详解】先把 化为 ，再代入 。故答案为：。 5．终边在 轴正半轴上的角的集合可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】终边在 轴正半轴上，最小正角为 ，故集合为 。注意 C 包含了终边在 轴负半轴的情形（ 为奇数时），范围扩大了。故选：C。 6．已知扇形的弧长为 ，半径为 ，则该扇形的圆心角（弧度）为______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 。故答案为：。 【巩固练习】 1． 是第几象限角（　　） A．第二象限角 B．第一象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【详解】，而 是第一象限角。加 的整数倍时，取使结果落在 内的那个倍数。故选：B。 2． 化为角度是______°．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 3．半径为 ，弧长为 的扇形面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 。已知弧长与半径时用 最省事，不必再求圆心角。故选：B。 4．已知扇形面积为 ，半径为 ，则其圆心角（弧度）为______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 ，故 。故答案为：。 5．若 是第二象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第一或第三象限角 【答案】D 【详解】设 ，则 ： 为偶数时在第一象限， 为奇数时在第三象限。这类题必须对 的奇偶分类，不能只看 。故选：D。 6． 化为弧度是______．　　　　 【答案】 【详解】。常用角度与弧度的对应要记熟：、、、。故答案为：。 7．若 是锐角，则 是第几象限角（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【详解】锐角 ，则 ，属于第三象限。把 当锐角判断所在象限，正是诱导公式“符号看象限”的同一个动作。故选：C。 8．弧度为 的角，用角度制表示约为______°．　　　　 【答案】 【详解】。弧度为 的角是钝角，这一点在比较三角函数值大小时很有用。故答案为：。 题型二　三角函数的定义与符号判断（单位圆、三角函数线） 【方法与技巧】 定义的本质：设角 终边上一点 ，则 ，，，。**三角函数值与 的位置无关，只与角的终边有关**。 符号判断口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”——第一象限全正，第二象限只有 为正，第三象限只有 为正，第四象限只有 为正。判断时先定象限再用口诀。 单位圆上 ，此时 、，三角函数线就是单位圆中的有向线段。凡“比较 与 大小”的题，画单位圆最快。 知一求二的套路：给出终边上一点的坐标（常含参数），先由 求 ，再代定义；若已知 （或 ）的值求其余，先由平方关系求另一个的绝对值，再由象限定符号。 【例题精讲】 1．已知角 的终边经过点 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由定义 。点在第二象限，正弦为正，与“二正弦”一致。故选：A。 2．已知角 的终边经过点 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】，由定义 。第四象限余弦为正，符合“四余弦”。故答案为：。 3．已知 ，且 是第二象限角，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ，故 ；又 在第二象限，余弦为负，故 。先求绝对值再定符号，两步都不能省。故选：B。 【变式训练】 1．若 ，则角 的终边在（　　） A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第一或第四象限 D．第二或第四象限 【答案】D 【详解】 说明 与 异号：第二象限（ 正、 负）与第四象限（ 负、 正）满足，故选 A。同号的是第一、第三象限。 2．已知角 的终边经过点 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】由定义 。第三象限正切为正，符合“三正切”。故答案为：。 3．已知 ，且 是第二象限角，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 ；第二象限正弦为正，故 。故选：A。 4．已知角 的终边经过点 ，且 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】，由 得 ，即 ，。注意 取正值时在第一象限、取负值时在第二象限，两者都满足正弦为正。故答案为：。 5．在单位圆中， 的几何意义是（　　） A．终边与单位圆交点的横坐标 B．终边的长度 C．角的弧度数 D．终边与单位圆交点的纵坐标 【答案】D 【详解】单位圆中 ，故 ，即交点的纵坐标； 为横坐标。把三角函数看成单位圆上的坐标，比较大小、判断符号都变得直观。故选：D。 6．已知 ，且 是第四象限角，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 ，代入 得 ，；第四象限余弦为正，，故 。故答案为：。 【巩固练习】 1．已知角 的终边经过点 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，故 。第三象限正弦、余弦均为负。故选：C。 2．已知角 的终边经过点 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】由定义 。故答案为：。 3．若 ，则角 的终边在（　　） A．第一或第四象限 B．第一或第二象限 C．第二或第三象限 D．第三或第四象限 【答案】C 【详解】（），故条件即 ，对应第二、第三象限（以及 轴负半轴，但那里 原式无意义）。故选：C。 4．已知 ，且 是第三象限角，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】，第三象限余弦为负，；故 。第三象限正切为正，结果合理。故答案为：。 5．已知角 的终边在直线 上，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】终边在直线 上，取终边上一点 （或 ），则 。三角函数值只与终边位置有关，取哪个点都不影响结果。故选：B。 6．若角 满足 且 ，则 是第______象限角．　　　　 【答案】二 【详解】 且 只有第二象限满足，即“二正弦”的含义：第二象限只有正弦为正。故答案为：二。 7．已知角 的终边经过点 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，故 。第二象限正弦正、余弦负，乘积为负。故选：D。 8．已知 ，且 是第四象限角，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】，，故 。故答案为：。 题型三　同角三角函数基本关系（和积互求与齐次式） 【方法与技巧】 平方关系 是同角关系的根基，商数关系 是桥梁。已知一个函数值求其余，永远先平方关系、后商数关系。 与 的互求：把 平方得 ，于是由和可以求积，由积也可以求和（注意符号由象限决定）。这是年年考的小技巧。 齐次式的处理：遇到分子分母关于 、 次数相同的式子（如 ），**分子分母同除以 ** 化为只含 的式子，一步到位。 二次齐次式（如 ）的处理：把它除以 （等于 ，不改变值），再分子分母同除以 ，同样化为 的式子。 【例题精讲】 1．已知 ，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第二象限余弦为负，，故 。先定符号再作商。故选：A。 2．已知 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】分子分母同除以 ：。一次齐次式的固定动作就是同除以 。故答案为：。 3．已知 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】两边平方：，故 ，。故答案为：。 【变式训练】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】除以 后同除以 ：。故选：B。 2．已知 ，且 为锐角，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】； 为锐角时 ，故 。开方时符号由象限决定。故答案为：。 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。配方是关键一步。故选：C。 4．已知 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】分子分母同除以 ：。故答案为：。 5．下列恒等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。这个式子在做“ 与 混合”的题时非常好用。故选：B。 6．已知 ，且 是第二象限角，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】，故 。第二象限正切为负，结果合理。故答案为：。 【巩固练习】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】同除以 ：。故选：A。 2．已知 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】，故 ，。故答案为：。 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】除以 后同除以 ：。故选：B。 4．已知 ，则 的平方等于______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 ；故 。注意这里不必开方，题目只求平方值。故答案为：。 5．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分子分母同除以 得 ，即 ，故 ，。代回检验：，符合题意。故选：D。 6．已知 是第三象限角，且 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】第三象限余弦为负：，故 。第三象限正切为正，结果合理。故答案为：。 7．化简 可得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】通分：。分子用平方关系化为 ，是最常见的化简手法。故选：D。 8．已知 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】同除以 ：。故答案为：。 题型四　诱导公式的应用（奇变偶不变，符号看象限） 【方法与技巧】 诱导公式不要背表，用单位圆推两遍就记住了：先看是 的奇数倍还是偶数倍（决定“变”与“不变”），再把 看成锐角、判断原角所在象限（决定符号）。 奇偶不变的具体含义：、 是 的偶数倍，函数名不变；、 是奇数倍，正弦变余弦、余弦变正弦、正切变余切。**符号一律由“把 当锐角时原角所在象限”决定**。 常用结论直接记：，，，，，。 负角与互补互余：，，。化简时先把负角化正，再用“奇变偶不变”逐层剥，最后合并同类项。 【例题精讲】 1． 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 是 的偶数倍，函数名不变；把 看成锐角时 在第三象限，正弦为负，故 。故选：B。 2． 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 是 的奇数倍，函数名改变（余弦变正弦）；把 看成锐角时 在第一象限，余弦为正，故结果为 。故选：D。 3． 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。把钝角拆成 加一个特殊角，是求特殊角三角函数值的通用做法。故答案为：。 【变式训练】 1． 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】把 看成 ， 是 的偶数倍，函数名不变； 在第四象限，余弦为正，故 。余弦是偶函数。故选：B。 2．______．　　　　 【答案】 【详解】偶数倍不变名， 在第二象限，正切为负，故 。故答案为：。 3． 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 4． 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 5． 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】奇数倍变名（正弦变余弦）， 在第二象限，正弦为正，故结果为 。故选：B。 6． 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】（也可写成 ）。故答案为：。 【巩固练习】 1． 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】，余弦是偶函数。故答案为：。 2． 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 3． 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 4．化简 的结果为______．　　　　 【答案】 【详解】逐项化简：，，；代入得 。故答案为：。 5． 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】特殊角的值直接记忆：。故答案为：。 6．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】注意到 ，两角互余，故 。发现“两角和为 ”是这类题的题眼。故选：D。 7． 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】，正弦是奇函数。故答案为：。 8．诱导公式口诀“奇变偶不变”中的“奇”“偶”指的是（　　） A．角的奇偶性 B．函数名次数的奇偶 C． 的奇数倍或偶数倍 D．系数的奇偶 【答案】C 【详解】“奇”“偶”是指所加减的角（、、、 等）是 的奇数倍还是偶数倍：奇数倍函数名改变，偶数倍不变。符号则由“把 当锐角时原角所在象限”决定。故选：C。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1． 化为弧度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。角度化弧度就乘 ，反之乘 。故选：A。 2．已知角 的终边经过点 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，由定义 。点在第四象限，正弦为负，与口诀“四余弦”（只有余弦为正）一致。故选：C。 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分子分母同除以 ：。这是一次齐次式的标准处理。故选：A。 4． 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 是 的偶数倍，函数名不变；把 看成锐角时 在第二象限，正弦为正，故 。故选：C。 5．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两边平方：，故 ，。故选：A。 6．半径为 ，圆心角为 的扇形面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。也可先求弧长 ，再算 。故选：D。 7．若 且 ，则角 是（　　） A．第二象限角 B．第四象限角 C．第三象限角 D．第一象限角 【答案】C 【详解】由“三正切”知只有第三象限满足 与 同时成立（第一象限全正，第三象限只有正切为正）。故选：C。 8．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 是 的奇数倍，函数名改变（余弦变正弦）；把 看成锐角时 在第三象限，余弦为负，故结果为 。故选：A。 【多项选择题】 9．下列关于弧度制的说法正确的是（　　） A． B．弧长公式为 （ 为弧度） C．扇形面积 D．弧长公式中的角可以用角度制直接代入 【答案】ABC 【详解】A 是换算基准，B、C 是弧长与面积公式（均要求 用弧度制），都正确；D 错，公式中的角必须化为弧度，用角度直接代入要换成 。故选：ABC。 10．已知 是第二象限角，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】第二象限“只有正弦为正”，故 A 正确，B、C 正确； 为正乘负，结果小于 ，D 错。故选：ABC。 11．关于同角三角函数关系，下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A 是平方关系，B 是商数关系，C 是和积互求的依据，均正确；D 错，正确的是 ，差没有这个恒等式。故选：ABC。 【填空题】 12． 化为角度是______°．　　　　 【答案】 【详解】由 得 。故答案为：。 13．已知 ，则 ______．　　　　 【答案】 【详解】除以 后同除以 ：。故答案为：。 14．化简 的结果为______．　　　　 【答案】 【详解】逐项化简：，，。故原式 。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $