4.1 三角函数的概念、同角关系与诱导公式 专项训练 - 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数概念、同角关系与诱导公式，以考点-考法架构系统覆盖核心内容，通过精选模拟题强化知识应用与逻辑迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |任意角与弧度制|4题（考法1-2）|终边相同角判定、扇形弧长面积计算|从角的概念拓展到度量体系，为三角函数奠基| |三角函数概念|9题（考法3-4）|定义法坐标运算、与恒等变形综合|建立坐标与三角函数的关联，体现数学抽象| |同角三角函数关系|7题（考法5-7）|化简求值、弦切互化、双曲函数类比|深化基本关系应用，培养推理与迁移能力| |诱导公式应用|5题（考法8）|角的转化与求值|实现角的统一化处理，强化运算与逻辑思维|

2027届高三数学一轮复习专项训练 4.1 三角函数的概念、同角关系与诱导公式 练习卷 考点一：任意角与弧度制 1 考法1：终边相同角判定与象限角分析 1 考法2：弧度制下扇形弧长与面积的计算 1 考点二：任意角三角函数的概念 2 考法3：三角函数定义法与坐标运算 2 考法4：三角函数定义与恒等变形综合 3 考点三：同角三角函数基本关系式 4 考法5：同角关系的基本应用与化简求值 4 考法6：弦切互化与分式齐次转化 4 考法7：同角关系在双曲函数中的类比迁移 5 考点四：诱导公式的应用 5 考法8：角的形式转化与诱导公式求值 5 考点一：任意角与弧度制 考法1：终边相同角判定与象限角分析 1.（2024·广东华师附中·模拟）已知 ，则“”是“角 为第一或第四象限角”的（　　） A. 既不充分又不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 2.（2026·重庆万州一中·模拟）（多选）下列各角中，与 终边相反的有（　　） A. B. C. D. 考法2：弧度制下扇形弧长与面积的计算 3.（2025·广东·联考）已知某扇形的圆心角为 ，面积为 ，则该扇形所对应圆的面积为（　　） A. B. C. D. 4.（2026·湖北黄冈·一模）（多选）下列说法正确的是（　　） A. B. 若圆心角为 的扇形的面积为 ，则扇形的弧长为 C. 终边落在直线 上的角的集合是 D. 函数 的定义域为 考点二：任意角三角函数的概念 考法3：三角函数定义法与坐标运算 5.（2026·吉林吉林·检测）已知角 的终边过点 ，则 （　　） A. B. C. D. 6.（2026·安徽皖南八校·检测）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系 ．设时针长为 ，若某时刻时针指向 点到 点之间，且针尖所在点的纵坐标为 ，则在经过 小时后，时针针尖所在点的横坐标为（　　） A. B. C. D. 7.（2026·江苏南京盐城·一模）设 和 表示坐标平面内的几何变换， 表示将几何对象绕原点 逆时针旋转 ， 表示将几何对象关于 轴对称，（）表示连续 次 变换．已知角 的终边经过点 ，若对角 的终边先进行 变换，再进行 变换，得到角 的终边，则 （　　） A. B. C. D. 8.（2025·福建福州一中·模拟）（多选）已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合， 终边经过点 ，，则（　　） A. B. 终边在第二象限 C. D. 9.（2026·湖北随州·模拟）在平面直角坐标系中，角 的终边经过点 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 考法4：三角函数定义与恒等变形综合 10.（2026·安徽鼎尖·联考）已知平面直角坐标系中，角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，则 （　　） A. B. C. D. 11.（2026·河南湘豫名校·联考）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，则 （　　） A. B. C. D. 12.（2025·河北运东五校·二模）如图，点 是角 终边上一点． （1）求 ； （2）化简并求值 ． 13.（2026·浙江强基联盟·联考）设点 沿 的圆周按逆时针方向旋转角 后到点 ． （1）当 时，求 的值； （2）若 ，求 的取值范围． 考点三：同角三角函数基本关系式 考法5：同角关系的基本应用与化简求值 14.（2026·浙江台州·二模）已知 为第二象限角，且 ，则 （　　） A. B. C. D. 15.（2026·云南百万联考·联考）“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16.（2026·河北T8联考·联考）已知 ，则 （　　） A. B. C. D. 17.（2026·安徽滁州·二模）若 ， 是方程 的一个根，则 （　　） A. B. C. D. 18.（2026·湖北黄冈·一模）已知 ，则 ＿＿＿＿＿＿． 考法6：弦切互化与分式齐次转化 19.（2026·陕西西安中学·模拟）已知 ，则 （　　） A. B. C. D. 考法7：同角关系在双曲函数中的类比迁移 20.（2025·广东江门·一模）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线．在 17 世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是 ，其中 为参数．当 时，该方程就是双曲余弦函数 ．相应地就有双曲正弦函数 ．已知三角函数的三个关系式：①平方关系：；②二倍角关系：；③导数关系：．（1）类比关系式①②③，写出 和 之间的三种关系式（不需要证明）． 考点四：诱导公式的应用 考法8：角的形式转化与诱导公式求值 21.（2025·河北运东五校·二模）已知角 的终边过点 ，则 （　　） A. B. C. D. 22.（2026·四川泸县五中·模拟）已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A. B. C. D. 23.（2026·四川雅安·检测）若 ，则 （　　） A. B. C. D. 24.（2025·江西上进联考·联考）定义进位函数 ，其函数值为 的正约数的个数，例如 ．当 ，已知 ，则 （　　） A. B. C. D. 25.（2026·山西三重教育·二模）已知 ，则 ＿＿＿＿＿＿． 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习专项训练 4.1 三角函数的概念、同角关系与诱导公式 解析卷 答案速查表 1 考点一：任意角与弧度制 1 考法1：终边相同角判定与象限角分析 1 考法2：弧度制下扇形弧长与面积的计算 2 考点二：任意角三角函数的概念 3 考法3：三角函数定义法与坐标运算 3 考法4：三角函数定义与恒等变形综合 5 考点三：同角三角函数基本关系式 7 考法5：同角关系的基本应用与化简求值 7 考法6：弦切互化与分式齐次转化 9 考法7：同角关系在双曲函数中的类比迁移 9 考点四：诱导公式的应用 10 考法8：角的形式转化与诱导公式求值 10 4.1 三角函数的概念、同角关系与诱导公式 方法总结 12 答案速查表 1 2 3 4 5 C BD C ABD B 6 7 8 9 10 B D AD C 11 12 13 14 15 B 见解析 （1）；（2） B D 16 17 18 19 20 D B 1 A 见解析 21 22 23 24 25 D B A B 考点一：任意角与弧度制 考法1：终边相同角判定与象限角分析 1.（2024·广东华师附中·模拟）已知 ，则“”是“角 为第一或第四象限角”的（　　） A. 既不充分又不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 【答案】C 【思路】考查象限角与三角函数值正负的关系.审题时注意轴线角（如终边落在坐标轴上的角）不属于任何象限，这是充要条件判断中最容易忽略的细节. 【解析】当 时， 的终边可以落在第一、四象限或 轴正半轴上（例如 时 ，但 不是象限角），所以“”不能推出“角 为第一或第四象限角”；反之，若角 为第一或第四象限角，则必有 .因此，“”是“角 为第一或第四象限角”的必要不充分条件.故选 C. 2.（2026·重庆万州一中·模拟）（多选）下列各角中，与 终边相反的有（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【思路】先将大角化为 内的角确定终边所在位置，再根据终边相反的角相差 写出角集并逐项代入检验. 【解析】依题意，，则 角与 角终边相同.与 角终边相反的角可以为 ，因此与 角终边相反的所有角的集合为 .显然 ，，，.故选 BD. 考法2：弧度制下扇形弧长与面积的计算 3.（2025·广东·联考）已知某扇形的圆心角为 ，面积为 ，则该扇形所对应圆的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】抓住扇形面积公式 与圆面积公式的关系，直接利用圆心角与面积求出半径 ，进而计算圆的面积. 【解析】方法一：已知扇形的圆心角 ，面积 .由扇形面积公式 ，可得 ，即 ，解得 .故该扇形所对应圆的面积为 .方法二：设该扇形所对应圆的面积为 ，由扇形面积公式的推导过程可得 ，解得 .故选 C. 4.（2026·湖北黄冈·一模）（多选）下列说法正确的是（　　） A. B. 若圆心角为 的扇形的面积为 ，则扇形的弧长为 C. 终边落在直线 上的角的集合是 D. 函数 的定义域为 【答案】ABD 【思路】逐项审视三角函数符号（注意 2 与 3 是弧度制）、扇形面积与弧长公式、直线对称角集合的合并表达，以及正切函数的定义域限制条件. 【解析】对于 A，由 ，得 ，，则 ，A 正确； 对于 B，设扇形半径为 ，由圆心角为 的扇形的面积为 ，得 ，解得 ，因此扇形的弧长为 ，B 正确； 对于 C，终边落在射线 上的角集合为 ，终边落在射线 上的角集合为 ，因此终边落在直线 上的角的集合是 ，C 错误； 对于 D，由 ，得 ，因此函数 的定义域为 ，D 正确.故选 ABD. 考点二：任意角三角函数的概念 考法3：三角函数定义法与坐标运算 5.（2026·吉林吉林·检测）已知角 的终边过点 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】根据任意角三角函数的坐标定义，先计算终边上点到原点的距离 ，直接应用公式 求解. 【解析】由已知角 的终边过点 ，则 .由任意角三角函数的定义，得 .故选 B. 6.（2026·安徽皖南八校·检测）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系 ．设时针长为 ，若某时刻时针指向 点到 点之间，且针尖所在点的纵坐标为 ，则在经过 小时后，时针针尖所在点的横坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】将时钟实际问题转化为单位圆上的角旋转模型，先求出初始位置点 的三角函数值，再利用时针旋转顺时针转过的角（即角减小 ），结合两角差的余弦公式计算新位置的横坐标. 【解析】由题意可知，针尖所在点初始位置在第二象限内，设为 点，且在单位圆上. 如图所示， 点的纵坐标为 ，设 轴，垂足为 ，单位圆交 轴正半轴于点 . 设经过 小时后，时针针尖所在点的坐标为 ，则 . 在直角三角形 中，，∵ ，∴ . 又∵ ，∴ 点 在第一象限内，设 ，则点 坐标为 . 设点 ，由 ，解得 或 （舍去）. 设 ，则 . ∴ .故选 B. 7.（2026·江苏南京盐城·一模）设 和 表示坐标平面内的几何变换， 表示将几何对象绕原点 逆时针旋转 ， 表示将几何对象关于 轴对称，（）表示连续 次 变换．已知角 的终边经过点 ，若对角 的终边先进行 变换，再进行 变换，得到角 的终边，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】审清轴对称和旋转变换对角终边位置的影响：关于 轴对称使横坐标变号，逆时针旋转则角增加相应的弧度，最后运用正切的两角和公式求值. 【解析】对角 的终边先进行 变换后，角 的终边经过 ，则 . 再进行 变换得到角 的终边，则 . ∴ .故选 D. 8.（2025·福建福州一中·模拟）（多选）已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合， 终边经过点 ，，则（　　） A. B. 终边在第二象限 C. D. 【答案】AD 【思路】由三角函数坐标定义将 的三角函数用 表示，注意 时角 象限不唯一，计算 时利用齐次式技巧转化为 求解. 【解析】由题意，点 在角 的终边上， 则 ，故 A 正确； ∵ ，∴ 在第一或第三象限.当 在第一象限时，，点 在第二象限， 为第二象限角；当 在第三象限时，，点 在第四象限， 为第四象限角，故 B 错误； 由定义，点 到原点的距离 ， ∴ ，， ∴ ，故 C 错误； ，故 D 正确.故选 AD. 9.（2026·湖北随州·模拟）在平面直角坐标系中，角 的终边经过点 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】先由定义直接得出 ，再展开两角差的正切公式代入计算. 【解析】角 的终边经过点 ， 则 ， 则 . 考法4：三角函数定义与恒等变形综合 10.（2026·安徽鼎尖·联考）已知平面直角坐标系中，角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】由终边坐标确定 ，再套用二倍角正切公式化简求值. 【解析】依题意，，故 .故选 C. 11.（2026·河南湘豫名校·联考）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】利用倍角公式将点坐标进行三角化简求出 ，再结合已知参数 的范围确定点所在象限，从而准确确定 与 的关系. 【解析】因为 ，所以 ，，所以 为第四象限角.因为 ，又 ，所以 .故选 B. 12.（2025·河北运东五校·二模）如图，点 是角 终边上一点． （1）求 ； （2）化简并求值 ． 【答案】（1），，；（2），． 【思路】第（1）问运用三角函数的定义求值；第（2）问先利用诱导公式化简分式，再代入第一问求得的切值. 【解析】（1）由已知点 是角 终边上一点，得 ， 则 ，，； （2）. 13.（2026·浙江强基联盟·联考）设点 沿 的圆周按逆时针方向旋转角 后到点 ． （1）当 时，求 的值； （2）若 ，求 的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【思路】第（1）问设出初始角，利用旋转后的三角函数定义和和角公式化简；第（2）问将目标代数式统一转化为关于 的二次函数，求出 的取值范围后结合二次函数单调性求最值. 【解析】（1）设射线 与 轴正半轴的夹角为 ，则 ，. 由三角函数定义可知 ，. 因为 ，则 ， 所以 . （2）由题知 . 由 ，，可知初始位置，即 ， 得 ； 终边位置，即 ，即 . 由（1）知 ，所以 ，所以当 时， 取得最小值 ， 所以 的取值范围为 . 因为 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以当 时，； 由 ， 可知 时，. 所以 的取值范围为 . 考点三：同角三角函数基本关系式 考法5：同角关系的基本应用与化简求值 14.（2026·浙江台州·二模）已知 为第二象限角，且 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】根据同角基本关系式 以及第二象限角余弦为负的符号特征直接求值. 【解析】由 为第二象限角，知 .而 ，故 .故选 B. 15.（2026·云南百万联考·联考）“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【思路】通过特殊角反例或三角方程通解（正弦相等对应角相等或互补，余弦相等对应角相等或互为相反数）直接进行充分性与必要性判断. 【解析】若 ，则 或 . 若 ，则 或 . 故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选 D. 16.（2026·河北T8联考·联考）已知 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】观察含两个未知角 的方程组结构，利用消参思想，将 的正余弦分离后平方相加消去参数 ，得到关于 的一元二次方程求解. 【解析】由题意得 ，，两式平方相加得 ，整理得 .故选 D. 17.（2026·安徽滁州·二模）若 ， 是方程 的一个根，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】先根据方程根和区间范围确定 ，再利用“分母配 ”将二次齐次式化为关于 的表达式求值. 【解析】方程 的根为 或 .因为 ，所以 ，即 . .故选 B. 18.（2026·湖北黄冈·一模）已知 ，则 ＿＿＿＿＿＿． 【答案】1 【思路】展开二倍角公式化为二次齐次式，既可以通过求出具体正余弦代入，也可以直接上下同除以 转化为关于 的分式计算. 【解析】∵ ，，， ∴ 或 . ①当 且 时，； ②当 且 时，. 故答案为：1. 考法6：弦切互化与分式齐次转化 19.（2026·陕西西安中学·模拟）已知 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】先将已知分式条件分子分母同除以 解出 ，再将目标式构造二次齐次式化切求值，注意检验两种切值下的结果. 【解析】由题意得 ，且 ， 可得 ，解得 或 . 则 . 当 时，； 当 时，. 综上所述，.故选 A. 考法7：同角关系在双曲函数中的类比迁移 20.（2025·广东江门·一模）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线．在 17 世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是 ，其中 为参数．当 时，该方程就是双曲余弦函数 ．相应地就有双曲正弦函数 ．已知三角函数的三个关系式：①平方关系：；②二倍角关系：；③导数关系：．（1）类比关系式①②③，写出 和 之间的三种关系式（不需要证明）． 【答案】（1）①平方关系：；②二倍角关系：；③导数关系：，． 【思路】根据双曲正弦与双曲余弦的指数定义式，类比三角函数的同角平方差、二倍角与求导公式，进行结构联想与验证迁移. 【解析】（1）双曲函数关系式： ①平方关系：； ②二倍角关系：； ③导数关系：，． 考点四：诱导公式的应用 考法8：角的形式转化与诱导公式求值 21.（2025·河北运东五校·二模）已知角 的终边过点 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】先由三角函数定义求得 ，再结合诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”化简 . 【解析】因为角 的终边过点 ，所以 ，.故选 D. 22.（2026·四川泸县五中·模拟）已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】利用诱导公式将 转化为 ，再由终边坐标计算正弦值. 【解析】因为角 的终边经过点 ，则 ，所以 .故选 B. 23.（2026·四川雅安·检测）若 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】观察两角之间的互余/互补关系，发现 ，直接运用诱导公式 转化求值. 【解析】因为 ，所以 .故选 A. 24.（2025·江西上进联考·联考）定义进位函数 ，其函数值为 的正约数的个数，例如 ．当 ，已知 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】先分析完全平方数的正约数个数必为奇数，将新定义函数值确定为奇数 的整数倍，再结合诱导公式连续化简求值. 【解析】易知 为正奇数，所以 .故选 B. 25.（2026·山西三重教育·二模）已知 ，则 ＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】找准已知角 与所求角 的互余关系，直接利用互余角的正弦与余弦转换公式. 【解析】因为 ，所以 .所以 . 4.1 三角函数的概念、同角关系与诱导公式 方法总结 1. 终边相同与象限角判定：掌握与角 终边相同的角的集合表达 ；与 终边相反的角相差 ；注意终边落在坐标轴上的角为轴线角，不属于任何象限.（第1、2题） 2. 弧度制与扇形度量公式：熟练运用 及 进行基本量计算，审题时严防角度制与弧度制混淆.（第3、4题） 3. 三角函数定义的坐标运算：若角 终边上任一点为 ，点到原点距离为 ，则 ，，.几何图形或时钟旋转模型中，优先以角始边、终边建立直角坐标系，利用坐标定义法求解.（第5、6、7、8、9、10、11、12、13题） 4. 同角三角函数基本关系的消参与转化： （1） 遇到二元方程组（如含 ）时，利用两式平方相加 快速消参； （2） “知一求二”时必须严格结合角所在的象限确定三角函数值的符号.（第14、15、16题） 5. 弦切互化与齐次分式技巧： （1） 遇到形如 的二次齐次整式，可分母乘以或配上 ，分子分母同除以 ，转化为关于 的分式求值； （2） 分式结构上下同次时，直接分子分母同除以 实现弦切互化.（第17、18、19题） 6. 诱导公式的转化与拆角技巧： （1） 核心口诀“奇变偶不变，符号看象限”； （2） 遇到非特殊角求值时，重点探寻已知角与未知角之间的“互余”（和为 ）、“互补”（和为 ）或差为 的关系，通过配角与拆角实现整体代换.（第21、22、23、24、25题） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $