专题8 导数的概念与几何意义及应用 专项训练-2027届高考数学一轮复习（新高考全国卷）

专题08 导数的概念与几何意义及应用 一、核心知识 1．导数的定义： 函数 在 处的导数 ，就是差商 当 时的极限，它刻画的是函数在该点处的瞬时变化率。 2．导数的几何意义： (1) 是曲线 在点 处切线的斜率； (2) 切线方程为 ， (3) 法线方程为 （）。 3．基本初等函数的导数： (1) ， (2) ， (3) ， (4) ， (5) 。 (6) ， (7) ， (8) ， (9) （ 为常数）。 4．四则运算法则： (1) ， (2) ， (3) ， (4) 。 5．复合函数求导（链式法则）： 若 、，则 ，即从外到内逐层求导并把各层导数相乘。 6．单调性： (1) 若在区间 上 ，则 在 上单调递增； (2) 若 ，则单调递减；若 ，则 为常数函数。 7．极值： (1) 可导函数在 处取极值的必要条件是 ； (2) 充分条件是 在 两侧异号（左正右负为极大值，左负右正为极小值）。 8．最值： (1) 闭区间 上连续函数的最值，出现在极值点或端点处； (2) 求法是先求区间内各极值，再与 、 一起比较大小。 含参单调性的讨论按“ 的符号—两根大小—根与定义域的关系”三层依次进行。 二、题型精练 题型一　导数的概念与几何意义（割线逼近、瞬时变化率） 【方法与技巧】 导数的本质是“增量比的极限”： 就是函数值增量 与自变量增量 之比当 时的极限，读题时先认出“瞬时”“变化率”这类词。 几何意义要记牢： 是曲线在点 处**切线**的斜率，不是割线也不是法线；法线斜率是 （）。 用定义求导的三步：算 → 与 作差 → 除以 再取极限。凡“用定义求”的题都按这三步写，别跳步。 平均变化率就是割线斜率 ，瞬时变化率才是导数；把“平均”与“瞬时”分清楚，选择题最爱在这里设陷阱。 【例题精讲】 1．已知函数 ，则 在 处的瞬时变化率为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．函数 从 到 的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．设 ，则差商 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．一质点做直线运动，位移 （米）与时间 （秒）的关系为 ，则 时的瞬时速度为（　　） A． 米/秒 B． 米/秒 C． 米/秒 D． 米/秒 2．函数 在 处的导数为（　　） A． B． C． D． 3．曲线 在点 处的切线斜率为（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．函数 在 处的导数为（　　） A． B． C． D． 6．函数 在 处的瞬时变化率为　　　　 【巩固练习】 1．已知函数 的图象在点 处的切线倾斜角为 ，则 在 处的导数为（　　） A． B． C． D．不存在 2．用定义求 在 处的导数时，差商 化简后为（　　） A． B． C． D． 3．物体做直线运动，位移 （米），则 时的瞬时速度为（　　） A． 米/秒 B． 米/秒 C． 米/秒 D． 米/秒 4．函数 在 上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 5．曲线 在点 处的切线方程为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．若 ，则当 时， 的极限为（　　） A． B． C．不存在 D．无法确定 7．曲线 在点 处的法线方程为（　　） A． B． C． D． 8．已知函数 ，则当 时，差商 的值为　　　　 题型二　导数的四则运算与复合函数求导 【方法与技巧】 八个基本公式要背死：，，，，，，，。 四则运算：，，。商法则的口诀是“上导下不导，减上不导下导，再除以下的平方”，分子顺序别写反。 复合函数求导（链式法则）： 则 。做法是从外到内一层层剥，每剥一层就乘一次内层的导数，常数倍可以提到最前面。 求导前先看能不能化简：多项式先展开、分式先拆项、根式先写成分数指数，往往能少用一次商法则或链式法则，也就少一次算错的机会。 【例题精讲】 1．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 3．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 4．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 5．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 6．函数 的导数为　　　　 【巩固练习】 1．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 3．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 4．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 5．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 6．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 7．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，则 　　　　 题型三　切线方程（在某点与过某点、公切线） 【方法与技巧】 “在”与“过”要分清：“在点 处的切线”说明 就是切点，直接算 ；“过点 的切线”说明 未必是切点，必须另设切点 再列方程解 。 求切线的固定三步：① 求切点 ；② 求斜率 ；③ 代点斜式 再化成一般式或斜截式。 “过点 的切线有几条”题型：设切点横坐标为 ，由切线过 列出关于 的方程，**这个方程的实根个数就是切线条数**，注意重根只算一条。 公切线的做法：在两条曲线上各设一个切点，利用“两处斜率相等”与“两处切线是同一条直线（截距相等）”列两个方程，解两个切点横坐标。 【例题精讲】 1．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．过点 作曲线 的切线，则切线方程为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 2．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 3．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 4．曲线 在点 处的切线斜率为（　　） A． B． C． D． 5．若曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．曲线 在点 处的切线方程为　　　　 【巩固练习】 1．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 2．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 3．过点 作曲线 的切线，则切点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 4．曲线 的切线过点 ，则切线方程为（　　） A． B． 或 C． D． 5．若直线 与曲线 相切，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．曲线 在点 处的切线与 轴交点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 7．若曲线 在点 处的切线与直线 平行，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．过点 且与曲线 相切的直线方程为　　　　 题型四　导数与函数的单调性（含含参讨论） 【方法与技巧】 判单调只看 的符号： 则递增， 则递减，与 本身的正负毫无关系。写答案时多个递增区间之间用“和”或逗号，不要用并集符号。 “在区间 上递增”翻译成不等式： 在 上恒成立，且 不在 的任何子区间上恒为 。求参数范围就分离参数或求 的最值。 含参单调性的固定三层：① 看 的符号（有没有两个根）；② 若有两个根，比两根的大小；③ 再看这两个根与定义域（如 、给定的区间）的位置关系。三层缺一不可。 讨论的分界点来自哪里：就是让 的根恰好落在区间端点、或两根恰好相等（）的那些参数值，把它们从小到大排好就是分类的标准。 【例题精讲】 1．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． 和 C． D． 　 　 　 2．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数 的单调递减区间为（　　） A． 和 B． C． D． 2．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 3．函数 的单调性是（　　） A．在 上单调递减 B．在 上递增、在 上递减 C．在 上单调递增 D．在 上递减、在 上递增 4．函数 在 上（　　） A．单调递减 B．先增后减 C．先减后增 D．单调递增 5．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．函数 的单调递增区间为　　　　 【巩固练习】 1．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 3．若函数 在 上单调递增，则 等于（　　） A． B． C． D．任意实数 4．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．函数 的单调递增区间为（　　） A． 和 B． C． D． 6．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D．不存在 8．若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是　　　　 题型五　导数与极值、最值（含闭区间最值） 【方法与技巧】 极值看“左右变号”： 在 左侧为正、右侧为负，则 是极大值；左侧负右侧正是极小值。只由 不能下结论，必须验符号。 闭区间求最值的固定动作：先求出区间内所有极值，再算出两个端点的函数值，然后把它们**全部**放在一起比大小。端点是丢分最多的地方，千万别漏。 “在 处取极值”求参数：先由 解出参数，再**代回去检验** 在 两侧是否真的变号，不变号就要舍掉。 三次函数 有极大值与极小值的充要条件： 有两个不等实根，即 ；此时两极值点关于对称轴对称。 【例题精讲】 1．函数 的极大值为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．函数 在 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．若函数 在 处取得极小值，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．函数 的极大值为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的极小值为（　　） A． B． C． D． 3．函数 在 上的最小值为（　　） A． B． C． D．不存在 4．函数 在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．若函数 在 处取得极值 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．函数 的极小值为　　　　 【巩固练习】 1．函数 的极大值为（　　） A． B． C． D． 2．函数 在 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．函数 的极大值与极小值之和为（　　） A． B． C． D． 4．函数 的极大值为（　　） A． B． C． D． 5．函数 的极小值为（　　） A． B． C． D． 6．函数 在 上的最大值与最小值之差为（　　） A． B． C． D． 7．若函数 在 上的最大值为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．函数 在 上的最小值为　　　　 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．已知函数 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．曲线 在点 处的切线方程是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的单调递增区间是（　　） A． 和 B． C． D． 和 4．函数 的极大值为（　　） A． B． C．不存在 D． 5．已知函数 在 处取得极值，则 （　　） A． B． C． D． 6．函数 在 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．函数 在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减 C． 在 处取得极大值 D． 在 处取得极大值 10．关于曲线 的切线，下列说法正确的是（　　） A．在点 处的切线斜率为 B．在点 处的切线方程为 C．过点 的切线恰有 条 D．过点 的切线恰有 条 11．关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．当 时， 在 上单调递增 B．当 时， 有两个极值点 C．当 时， 的极小值为 D．当 时， 在 上的最大值为 【填空题】 12．已知函数 ，则 　　　　 13．曲线 在点 处的切线方程为　　　　 14．函数 在 上的最小值为　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 导数的概念与几何意义及应用 一、核心知识 1．导数的定义： 函数 在 处的导数 ，就是差商 当 时的极限，它刻画的是函数在该点处的瞬时变化率。 2．导数的几何意义： (1) 是曲线 在点 处切线的斜率； (2) 切线方程为 ， (3) 法线方程为 （）。 3．基本初等函数的导数： (1) ， (2) ， (3) ， (4) ， (5) 。 (6) ， (7) ， (8) ， (9) （ 为常数）。 4．四则运算法则： (1) ， (2) ， (3) ， (4) 。 5．复合函数求导（链式法则）： 若 、，则 ，即从外到内逐层求导并把各层导数相乘。 6．单调性： (1) 若在区间 上 ，则 在 上单调递增； (2) 若 ，则单调递减；若 ，则 为常数函数。 7．极值： (1) 可导函数在 处取极值的必要条件是 ； (2) 充分条件是 在 两侧异号（左正右负为极大值，左负右正为极小值）。 8．最值： (1) 闭区间 上连续函数的最值，出现在极值点或端点处； (2) 求法是先求区间内各极值，再与 、 一起比较大小。 (3) 含参单调性的讨论按“ 的符号—两根大小—根与定义域的关系”三层依次进行。 二、题型精练 题型一　导数的概念与几何意义（割线逼近、瞬时变化率） 【方法与技巧】 导数的本质是“增量比的极限”： 就是函数值增量 与自变量增量 之比当 时的极限，读题时先认出“瞬时”“变化率”这类词。 几何意义要记牢： 是曲线在点 处切线的斜率，不是割线也不是法线；法线斜率是 （）。 用定义求导的三步：算 → 与 作差 → 除以 再取极限。凡“用定义求”的题都按这三步写，别跳步。 平均变化率就是割线斜率 ，瞬时变化率才是导数；把“平均”与“瞬时”分清楚，选择题最爱在这里设陷阱。 【例题精讲】 1．已知函数 ，则 在 处的瞬时变化率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】瞬时变化率就是导数。，故 。它刻画的是 这一瞬间函数值变化的快慢，与某一段区间上的平均变化率不是一回事。故选：B。 2．函数 从 到 的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平均变化率是割线斜率 。注意它与 处的瞬时变化率 、与 处的瞬时变化率 都不相同。故选：C。 3．设 ，则差商 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，故差商为 。它与 无关，取极限仍是 ，即 ——这也正是一次函数处处斜率为 的代数解释。故选：D。 【变式训练】 1．一质点做直线运动，位移 （米）与时间 （秒）的关系为 ，则 时的瞬时速度为（　　） A． 米/秒 B． 米/秒 C． 米/秒 D． 米/秒 【答案】C 【详解】瞬时速度是位移对时间的导数：，代入 得 米/秒。故选：C。 2．函数 在 处的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，代入 得 。故选：D。 3．曲线 在点 处的切线斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由导数的几何意义，切线斜率就是该点的导数值：，在 处为 。故选：B。 4．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】把 写成 ，则 ，代入 得 。负号说明函数在该点是下降的。故选：C。 5．函数 在 处的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】把 写成 ，则 ，代入 得 。故选：B。 6．函数 在 处的瞬时变化率为　　　　 【答案】 【详解】，代入 得 。故答案为：。 【巩固练习】 1．已知函数 的图象在点 处的切线倾斜角为 ，则 在 处的导数为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【详解】导数等于切线斜率，而斜率等于倾斜角的正切：，故该点导数为 。故选：B。 2．用定义求 在 处的导数时，差商 化简后为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，相减得 ，再除以 得 。令 才是导数 ，两步别混在一起。故选：A。 3．物体做直线运动，位移 （米），则 时的瞬时速度为（　　） A． 米/秒 B． 米/秒 C． 米/秒 D． 米/秒 【答案】C 【详解】，代入 得 米/秒。故选：C。 4．函数 在 上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。一次函数在任意区间上的平均变化率都等于它的斜率 ，这也是一次函数的特征。故选：D。 5．曲线 在点 处的切线方程为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】切线斜率就是该点导数，由切线方程 读出斜率 ，故 。切点 也满足 ，正好自洽。故选：B。 6．若 ，则当 时， 的极限为（　　） A． B． C．不存在 D．无法确定 【答案】A 【详解】这正是导数的定义式： 就是差商当 时的极限，已知它等于 ，故所求极限为 。故选：A。 7．曲线 在点 处的法线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】切线斜率 ，法线与切线垂直，斜率为 。过 得 ，即 。故选：D。 8．已知函数 ，则当 时，差商 的值为　　　　 【答案】 【详解】，，故差商为 。注意这是割线斜率而不是导数，真正的导数 ，差商只是它的近似值， 越小越接近。故答案为：。 题型二　导数的四则运算与复合函数求导 【方法与技巧】 八个基本公式要背死：，，，，，，，。 四则运算：，，。商法则的口诀是“上导下不导，减上不导下导，再除以下的平方”，分子顺序别写反。 复合函数求导（链式法则）： 则 。做法是从外到内一层层剥，每剥一层就乘一次内层的导数，常数倍可以提到最前面。 求导前先看能不能化简：多项式先展开、分式先拆项、根式先写成分数指数，往往能少用一次商法则或链式法则，也就少一次算错的机会。 【例题精讲】 1．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】多项式逐项求导：，，，，相加得 。常数项的导数为 ，别把它留着。故选：C。 2．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】用乘积法则 ：取 、，则 。故选：A。 3．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】用商法则：。分子是“上导下不导减上不导下导”，顺序写反就会差一个符号。故选：A。 【变式训练】 1．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】和的导数等于导数的和：，，故 。注意定义域为 。故选：D。 2．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。 的负号最容易漏。故选：B。 3．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】复合函数求导：外层是 （导数为 ），内层是 （导数为 ），故 。别忘了乘内层的 。故选：C。 4．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】写成幂函数 ，则 。用幂函数公式比用商法则快得多，也不容易错。故选：A。 5．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】外层 的导数为 ，内层 的导数为 ，故 。故选：D。 6．函数 的导数为　　　　 【答案】 【详解】写成 ，则 （）。故答案为：。 【巩固练习】 1．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】（）。故选：C。 2．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】（）。故选：D。 3．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】外层 的导数仍是 ，内层 的导数为 ，故 。注意 而 ，这里是前者。故选：A。 4．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先拆项化简：，于是 。求导前先化简，能避开商法则，既快又准。故选：B。 5．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把 看成 ：外层 的导数为 ，内层 的导数为 ，故 （也可写成 ）。故选：A。 6．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 7．函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】（）。故选：A。 8．已知 ，则 　　　　 【答案】 【详解】逐项求导：，，故 。故答案为：。 题型三　切线方程（在某点与过某点、公切线） 【方法与技巧】 “在”与“过”要分清：“在点 处的切线”说明 就是切点，直接算 ；“过点 的切线”说明 未必是切点，必须另设切点 再列方程解 。 求切线的固定三步：① 求切点 ；② 求斜率 ；③ 代点斜式 再化成一般式或斜截式。 “过点 的切线有几条”题型：设切点横坐标为 ，由切线过 列出关于 的方程，**这个方程的实根个数就是切线条数**，注意重根只算一条。 公切线的做法：在两条曲线上各设一个切点，利用“两处斜率相等”与“两处切线是同一条直线（截距相等）”列两个方程，解两个切点横坐标。 【例题精讲】 1．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】三步走：切点 （代入验证 ，确在曲线上）；斜率 ；点斜式 ，化简得 。故选：D。 2．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先验证切点：，点确在曲线上。，在 处 。点斜式 ，即 。故选：A。 3．过点 作曲线 的切线，则切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】注意是“过”不是“在”：点 不在曲线 上。设切点为 ，斜率 ，切线为 。代入 得 ，即 ，。故切点 、斜率 ，切线为 ，即 。故选：A。 【变式训练】 1．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，在 处 ；切点 满足 。点斜式 ，即 。故选：C。 2．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，在 处 ；切点 。点斜式 ，即 。这是 最重要的一条切线，也是不等式 的几何来源。故选：C。 3．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，在 处 ；点斜式 ，即 。故选：B。 4．曲线 在点 处的切线斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，在 处 。切点验证：，确在曲线上。故选：A。 5．若曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平行即斜率相等。，在 处 ，令 得 。故选：A。 6．曲线 在点 处的切线方程为　　　　 【答案】 【详解】，在 处 ；切点 满足 。点斜式 ，即 。故答案为：。 【巩固练习】 1．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，在 处 ；点斜式 ，即 。故选：B。 2．曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先验证：，点确在曲线上。，在 处 。点斜式 ，即 。故选：A。 3．过点 作曲线 的切线，则切点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点 不在曲线上（），须设切点。设切点为 ，斜率 ，切线 。代入 得 ，由 得 。故选：B。 4．曲线 的切线过点 ，则切线方程为（　　） A． B． 或 C． D． 【答案】B 【详解】点 不在曲线上（）。设切点 ，斜率 ，切线 。代入 ：，即 ，得 或 。 时切线 ； 时切点 、斜率 ，切线 。共两条。故选：B。 5．若直线 与曲线 相切，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点 （），斜率 ，切线 。它过原点，代入得 ，故 ，，。故选：D。 6．曲线 在点 处的切线与 轴交点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，在 处 ；切线 即 。令 得 ，。故选：B。 7．若曲线 在点 处的切线与直线 平行，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，与 平行即斜率为 ，故 得 ，纵坐标 ，切点为 。注意此时切线是 ，与已知直线平行而不重合。故选：C。 8．过点 且与曲线 相切的直线方程为　　　　 【答案】 或 【详解】点 不在曲线上。设切点 ，斜率 ，切线 。代入 得 ，即 ，得 或 。 时切线为 ； 时切点 、斜率 ，切线 。共两条。故答案为： 或 。 题型四　导数与函数的单调性（含含参讨论） 【方法与技巧】 判单调只看 的符号： 则递增， 则递减，与 本身的正负毫无关系。写答案时多个递增区间之间用“和”或逗号，不要用并集符号。 “在区间 上递增”翻译成不等式： 在 上恒成立，且 不在 的任何子区间上恒为 。求参数范围就分离参数或求 的最值。 含参单调性的固定三层：① 看 的符号（有没有两个根）；② 若有两个根，比两根的大小；③ 再看这两个根与定义域（如 、给定的区间）的位置关系。三层缺一不可。 讨论的分界点来自哪里：就是让 的根恰好落在区间端点、或两根恰好相等（）的那些参数值，把它们从小到大排好就是分类的标准。 【例题精讲】 1．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． 和 C． D． 【答案】A 【详解】。令 得 ，故递减区间为 ；其余部分 为递增。判断单调性只看 的符号，与 本身的正负无关。故选：A。 2．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。要在 上递增，需 对一切 成立，即 恒成立，而 的最小值为 ，故 。当 时 且只在 处为 ， 仍递增，等号可取。故选：B。 3．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法一（导数）：，它在 上递增，最小值在 处，只需 ，得 。法二（对称轴）：对称轴 应不超过区间左端，即 ，同样得 。故选：D。 【变式训练】 1．函数 的单调递减区间为（　　） A． 和 B． C． D． 【答案】B 【详解】，令 得 ，故递减区间为 。故选：B。 2．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】定义域 。，令 得 ，故递增区间为 。注意要先写定义域，别把 的部分也算进来。故选：B。 3．函数 的单调性是（　　） A．在 上单调递减 B．在 上递增、在 上递减 C．在 上单调递增 D．在 上递减、在 上递增 【答案】C 【详解】 恒成立，且只在 一处为 ，故 在 上单调递增。注意 不代表有极值，导数不变号就没有极值。故选：C。 4．函数 在 上（　　） A．单调递减 B．先增后减 C．先减后增 D．单调递增 【答案】D 【详解】。当 时 ，故 ， 在 上单调递增。故选：D。 5．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，需 恒成立，而 的最小值为 ，故 。当 时 在 上递增，等号可取。故选：A。 6．函数 的单调递增区间为　　　　 【答案】 和 【详解】。令 得 或 ，故递增区间为 和 （两个区间之间用“和”连接）。故答案为： 和 。 【巩固练习】 1．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】定义域 。，令 且 得 ，故递减区间为 。定义域的对数项决定了区间只能在 内。故选：D。 2．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，令 得 即 ，故递减区间为 。 处取最小值 ，这也是不等式 的来源。故选：B。 3．若函数 在 上单调递增，则 等于（　　） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【详解】 是开口向上的二次式。要它恒 ，需判别式 ，只能 。此时 且只在 处为 ， 确在 上递增。故选：C。 4．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，它在 上递增，故只需在左端点处非负：，得 。当 时 对 恒成立，等号可取。故选：D。 5．函数 的单调递增区间为（　　） A． 和 B． C． D． 【答案】C 【详解】。分母恒正，令 得 ，故递增区间为 。故选：C。 6．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 上递增，最小值在 处，只需 ，得 。也可由对称轴 得同一结论。故选：A。 7．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】定义域 。，令 得 ，故递减区间为 ； 处取最小值 。故选：A。 8．若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】。在 上 ，故需 恒成立，即 对一切 成立，而 在 上的上确界为 ，故 。故答案为：。 题型五　导数与极值、最值（含闭区间最值） 【方法与技巧】 极值看“左右变号”： 在 左侧为正、右侧为负，则 是极大值；左侧负右侧正是极小值。只由 不能下结论，必须验符号。 闭区间求最值的固定动作：先求出区间内所有极值，再算出两个端点的函数值，然后把它们全部放在一起比大小。端点是丢分最多的地方，千万别漏。 “在 处取极值”求参数：先由 解出参数，再代回去检验 在 两侧是否真的变号，不变号就要舍掉。 三次函数 有极大值与极小值的充要条件： 有两个不等实根，即 ；此时两极值点关于对称轴对称。 【例题精讲】 1．函数 的极大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。当 时 ，当 时 ，故 处导数由正变负，取极大值 。必须验左右变号，只由 不能下结论。故选：B。 2．函数 在 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，在 处取极小值 ；端点值 、。三者比较得最小值为 。求闭区间最值时极值点与端点都要算。故选：D。 3．若函数 在 处取得极小值，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。在 处取极值，先有 得 ；再检验：此时 ，在 左侧为负、右侧为正，确为极小值，符合题意。解出参数后必须代回验变号。故选：C。 【变式训练】 1．函数 的极大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。 时 ， 时 ，故 处取极大值 。故选：B。 2．函数 的极小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。 时 ， 时 ，故 处取极小值 。故选：D。 3．函数 在 上的最小值为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【详解】，在 上令 得 ； 时递减、 时递增，故 处取最小值 。这与基本不等式的结果一致。故选：B。 4．函数 在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。区间内极值点： 处极大值 ， 处极小值 ；端点 、。比较得最大值为 。故选：C。 5．若函数 在 处取得极值 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由极值 直接得 ，即 （本问只需这一式）。若再要分别求 ，还需用 联立。故选：D。 6．函数 的极小值为　　　　 【答案】 【详解】。 时 ， 时 ，故 处取极小值 。故答案为：。 【巩固练习】 1．函数 的极大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。 时 ， 时 ，故 处取极大值 。故选：C。 2．函数 在 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】区间内极值： 处极大值 ， 处极小值 ；端点 、。比较得最小值为 （在 与 处同时取到）。故选：C。 3．函数 的极大值与极小值之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，极大值 ，极小值 ，和为 。一般地，三次函数 的两极值之和恒为 ，即对称中心纵坐标的两倍。故选：A。 4．函数 的极大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。 时 ， 时 ，故 处取极大值 。故选：D。 5．函数 的极小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 时 ， 时 ，故 处取极小值 。故选：A。 6．函数 在 上的最大值与最小值之差为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】区间内极值点只有 ，极小值 ；端点 、。最大值为 ，最小值为 ，差为 。注意 不在区间内，不能算。故选：D。 7．若函数 在 上的最大值为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。在 上 递增，在 上 递减，故 处取极大值 ，端点 、。三者中最大的是 ，由 得最大值为 。故选：C。 8．函数 在 上的最小值为　　　　 【答案】 【详解】。 处极大值 ， 处极小值 ；端点 、。比较得最小值为 （在 与 处同时取到）。故答案为：。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．已知函数 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 ，代入 得 。故选：C。 2．曲线 在点 处的切线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，在 处斜率 ；切点为 ，代入点斜式得 ，即 。故选：D。 3．函数 的单调递增区间是（　　） A． 和 B． C． D． 和 【答案】A 【详解】，令 得 或 ，故递增区间为 和 （两个区间之间用“和”，不能写并集）。故选：A。 4．函数 的极大值为（　　） A． B． C．不存在 D． 【答案】D 【详解】定义域 ，。令 得 ；当 时 ，当 时 ，故 处取极大值 。故选：D。 5．已知函数 在 处取得极值，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。在 处取极值，必有 ，得 。此时 ，在 两侧由负变正， 确为极小值点，符合题意。故选：C。 6．函数 在 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，在 处取极小值 ；端点值 、。比较得最小值为 。故选：B。 7．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】用乘积法则：，代入 得 。故选：A。 8．函数 在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，在 处取极大值 ，在 处取极小值 ；端点 、。全部比较得最大值为 （在 与 处同时取到）。故选：C。 【多项选择题】 9．关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减 C． 在 处取得极大值 D． 在 处取得极大值 【答案】ABC 【详解】。当 时 ，递增，A 正确；当 时 ，递减，B 正确； 处导数由正变负，取极大值 ，C 正确； 处导数由负变正，取的是极小值 ，D 错。故选：ABC。 10．关于曲线 的切线，下列说法正确的是（　　） A．在点 处的切线斜率为 B．在点 处的切线方程为 C．过点 的切线恰有 条 D．过点 的切线恰有 条 【答案】ABC 【详解】，在 处斜率为 ，A 正确；切线为 即 ，B 正确；设切点为 ，切线过 得 ，化简得 ，只有 一个实根，故恰有 条，C 正确；同理过 得 即 ，实根为 与 （重根算一条），共 条，D 错。故选：ABC。 11．关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．当 时， 在 上单调递增 B．当 时， 有两个极值点 C．当 时， 的极小值为 D．当 时， 在 上的最大值为 【答案】ABC 【详解】。当 时 恒成立且只在个别点为 ， 在 上递增，A 正确；当 时 有两根 ，且导数在两根两侧变号，故有两个极值点，B 正确； 时极小值点为 ，，C 正确；此时 、极小值 、，最大值为 而非 ，D 错。故选：ABC。 【填空题】 12．已知函数 ，则 　　　　 【答案】 【详解】，代入 得 。也可由几何意义看出：抛物线 在顶点 处的切线是水平的，斜率为 。故答案为：。 13．曲线 在点 处的切线方程为　　　　 【答案】 【详解】，在 处斜率 ；切点 ，代入点斜式得 ，即 。故答案为：。 14．函数 在 上的最小值为　　　　 【答案】 【详解】 得 ，区间内只有 ，此时 ；端点 、。比较三者得最小值为 。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $