15导数的综合应用(一)零点问题与不等式题型训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以导数工具为核心，系统整合不等式证明、恒成立问题、零点分析三大模块，提炼凸凹反转、指数找朋友等8类解题方法，构建"知识梳理-方法提炼-典例应用"的完整逻辑链，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式证明|10-14题|作差比较法、放缩法、凸凹反转法、指数找朋友法|从基础变形到高阶技巧，逐步提升代数变形与函数构造能力| |恒成立问题|15-18题|参数讨论法、分离参数法、同构法|通过等价转化，建立函数最值与参数范围的逻辑关系| |零点问题|19-24题|零点存在定理、图象交点法、隐零点设而不求|结合单调性与极值分析，实现函数零点个数与参数范围的互化|

导数的综合应用 一、知识梳理 1. 利用导数证明不等式 2. 常见不等式 (1) . (2) (3) , 2. 常用方法:作差(商)比较法，放缩法，凸凹反转法, 指数找朋友法等. 3. 知识拓展 1. 凸凹反转法: 首先对原不等式进行等价变形, 然后根据变形后的不等式构造 ,转化为证 2. 指数找朋友法:在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的部分乘或除以一个多项式，这样再对变形的函数求导后, 无需考虑指数型部分的值, 使得后续解方程或求值的范围更加简单. 这种变形过程, 我们称为 “指数找朋友”. 4. 利用导数解决不等式恒(能)成立问题 1.转化策略一般有:(1)参数讨论法;(2)分离参数法; (3) 先特殊、后一般法; (4) 同构法等. 2. 常用的转化方法: (1) 恒成立 ； (2) 恒成立 ； (3) 能成立 ； (4) 能成立 . 3.双变量恒 (能) 成立问题的转化方法: (1) ; (2) (3) ; (4) . 5. 零点个数问题 判断函数零点个数常用的方法有: 1.直接根据零点存在定理判断; 2. 将 整理变形成 的形式,通过 的图象与 的图象的交点确定函数 的零点个数; 3.结合导数，求函数的单调性，从而确定极值的正负，从而判断函数零点个数. 6. 由零点个数求取值范围 7. 隐零点问题 导数的零点很多时候无法直接求解或者猜测出来,我们称之为 “隐零点” (即能确定零点存在,但无法用显性数字表达), 这类问题对学生的综合能力要求比较高, 往往为考查的难点. 解决 “隐零点” 问题的基本思路如下: (1)形式上虚设，变量为 时，设零点为 ； (2)运算上代换，对于含有隐零点 的恒等式， 根据需要通过移项将含有 的一项或几项移在等号一边代换到另外式子中； (3)数值上估算，估算零点所在的区间； (4)策略上等价转化，运用充要条件等价转化或恒等变形; (5)方法上分离参数，零点 用数学式子表示出来; (6)技巧上反客为主，零点 作为主变量，其他变量作为参变量. 二、练习题 题型一 利用导数研究不等式 1. 证明: . 2. 放缩法 已知函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)证明:当 时， . 3. 凸凹反转法 设函数 ,曲线 在点 处的切线方程为 . (1) 求 ； (2)证明: . 4. 已知函数 (1)当 时，讨论 的单调性； (2)当 时， ,求 的取值范围. 5. 已知函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若 ，求 的取值范围. 题型二 利用导数研究函数零点问题 6. 已知函数 ,讨论函数 的零点个数. 7. 关键元素变式 已知函数 (1)求曲线 在点 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积; (2)求 在区间 上的零点个数. 8. 已知函数 (1)当 时，求 的最大值; (2)若 恰有一个零点，求 的取值范围. 9. 已知函数 为 的导数. 证明: (1) 在区间 上存在唯一极大值点; (2) 有且仅有 2 个零点. 利用导数证明不等式 10. 已知函数 (1)求曲线 在 处切线的斜率； (2)当 时,证明: . 11. 设函数 ,已知 是函数 的极值点. (1)求； (2)设函数 . 证明: . 12. 已知函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程; (2)设 ，讨论函数 在 上的单调性; (3)证明:对任意的 ，有 13. 已知函数 (1)讨论 的单调性； (2)设 ，证明:当 时， . 14. 已知函数 . (1)讨论 的单调性; (2)设 为两个不相等的正数，且 ,证明: . 利用导数解决不等式恒(能)成立问题 15. 已知函数 . (1)求曲线 在 处的切线方程; (2)若 对任意 成立,求实数 的值. 16. 已知函数 (1)若 ，求 的极值； (2)当 时， ，求 的取值范围. 17. 已知函数 (1)若 ，且 ，求 的最小值； (2)证明:曲线 是中心对称图形； (3)若 当且仅当 ,求 的取值范围. 18. 已知函数 (1)当 时，讨论 的单调性； (2)当 时， ，求 的取值范围； (3)设 ，证明: 利用导数研究函数零点问题 19. 设函数 ,其中 . (1)讨论 的单调性; (2)若 的图象与 轴没有公共点,求 的取值范围. 20. 已知函数 . (1)当 时，讨论 的单调性; (2)若 有两个零点，求 的取值范围. 21. 已知 且 1,函数 . (1)当 时，求 的单调区间； (2)若曲线 与直线 有且仅有两个交点,求 的取值范围. 22. 已知 ，函数 (1)求曲线 在 处的切线方程. (2)若曲线 和 有公共点， (i) 当 时,求 的取值范围; (ii) 求证: . 23. 已知函数 和 有相同的最小值. (1)求； (2)证明:存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 24. 已知函数 (1)讨论函数 的单调性; (2)从下面两个条件中选一个，证明: 有一个零点. ① ； ② . 能力提升训练 25. 已知:函数 是定义在 上的可导函数,当 时, ,若 ,且对任意 ,不等式 恒成立，则实数 的取值范围是___. 26. 已知函数 . (1)设 是 的极值点，求 ，并求 的单调区间; (2)证明:当 时， . 27. 设曲线 在 处的切线垂直于 轴. (1)求函数 的单调区间； (2)若 ，证明: . 28. 已知函数 . (1)求证 ； (2)求方程 解的个数； (3)设 ，证明: 29. 已知当 时, 恒成立,则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 30. 已知函数 ,若对任意的 恒成立，则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 31. 对于函数 ,若对任意的 ,存在唯一的 使得 ，则实数 的取值范围是___. 32. 已知函数 (1)设函数 ，求函数 的极值; (2)若不等式 当且仅当在区间 上成立 (其中 为自然对数的底数),求 的最大值; (3)实数 满足 ,求证: 33. 已知函数 ,其中 . (1)当 时,求曲线 在点 , 处的切线方程; (2)若函数 的极小值为 0，求 的值； (3)在(2)的条件下,若对任意的 ， 成立，求实数 的最小值. 34. 已知函数 (1)当 时,求曲线 在 处的切线方程; (2)讨论 的单调性; (3)若 有两个零点,求实数 的取值范围. 35. 已知函数 的图象在 处的切线方程为 . (1)求实数 的值； (2)探究 在区间 内的零点个数, 并说明理由. 36. (新定义理解) 凸函数是数学中一个值得研究的分支,它包括数学中大多数重要的函数,如 等. 记 为 的导数. 现有如下定理: 在区间 上 为凸函数的充要条件为 (1)证明:函数 为 上的凸函数. (2)已知函数 . ①若 为 上的凸函数，求 的最小值; ②在①的条件下，当 取最小值时，证明: 在 上恒成立. 参考答案与解析 题型一 利用导数研究不等式 1. 证明 指数找朋友法. 欲证 ,即证 , 令 , 则 ,(多项式除以指数型的形式,只考虑分子部分即可) 令 , 则 , 所以函数 单调递减,且 , 所以当 时, ,当 时, , 所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减, 故 ,即 , 从而原不等式得证. 2. 解析 (1) 由 , 得 , ,即曲线 在点 处的切线斜率为 2, ,即 . (2)证明:由题意原不等式等价于证明 (放缩 , 因为 ,所以 ,所以 , 即证 , 因为 ,所以 . 故当 时， . 3. 解析 (1) 函数 的定义域为 , 由题意可得 . 故 . (2)证明:由(1)知， ， 从而 等价于 . (不等式两边同乘 ) 设函数 ,则 . 当 时, ; 当 时, . 故 在 上单调递减,在 上单调递增, 从而 在 上的最小值为 . 设函数 ,则 . 当 时, ; 当 时, . 故 在 上单调递增,在 上单调递减,从而 在 上的最大值为 . 综上,当 时, ,即 . 4. 解析 (1) 当 时, 1,设 ,则 ,因为 ,所以 在 上单调递增,即 在 上单调递增,因为 ,故当 时, ; 当 时, ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增. (2)解法一: 等价于 . (将不等式化简成指数与多项式乘积的形式, 可以在求导后省去研究指数函数, 有利于进行分类讨论) 设函数 , 则 . (i) 若 ,即 ,则当 时, . 所以 在 上单调递增,而 ,故当 时, 1 , 不合题意. (ii) 若 ,即 ,则当 时, ; 当 时, . 所以 在 1), 上单调递减,在 上单调递增. 由于 1,所以 当且仅当 ,即 . 所以当 时, . (iii) 若 ,即 ,则 . 由于 ,故由 (ii) 可得 . 故当 时, . 综上, 的取值范围是 . 解法二: ① 当 时,不等式恒成立,可得 . ②当 时，可得 ，(分离参数，构造新函数) 设 , 则 , 可设 ,则 , 设 ,则 , 由 ,可得 恒成立,可得 在 上单调递增,即 在 上单调递增,所以 ,所以 在 上单调递增,所以 ,令 ,可得 ,当 时, 在 上单调递增; 当 时, 在 上单调递减,所以 ,所以 .综上, 的取值范围是 . 5. 解析 的定义域为 (1)当 时， ，曲线 在点 处的切线方程为 , 即 . 直线 在 轴, 轴上的截距分别为 ,2. 因此所求三角形的面积为 .(6 分) (2)解法一:当 时， . 当 时， ， . 当 时， ; 当 时, . 所以当 时, 取得最小值,最小值为 ,从而 . 当 时, . 综上, 的取值范围是 . 解法二: 由 ,可得 , 即 , 即 . 令 ,则 , 在 上单调递增. , 即 . 令 , 当 时， ，函数 单调递增， 当 时, ,函数 单调递减, , 故 的取值范围为 . 题型二 利用导数研究函数零点问题 6. 解析 , 当 时, 时 ,故 在 , 上单调递增, 时, 单调递减, 则 在 处取到极大值,在 处取到极小值, 因为 ,所以根据零点存在定理知 在 上有一个零点; i) 若 ,则 ,则 在 上无零点,从而 在 上有 1 个零点; ii) 若 ,则 ,则 在 上有一个零点, ,故 在 上有一个零点,从而 在 上有 3 个零点; iii) 若 ,则 在 上有一个零点,从而 在 上有 2 个零点; 当 时, 在 上单调递增, 时, ,从而 在 上有一个零点; 当 时, 时 ,故 在 , 上单调递增, 时, 单调递减. 而 ,故 在 上无零点,又 ,由 ,得 , 则 ,从而 在 上有一个零点,从而 在 上有一个零点. 综上:当 时, 在 上只有 1 个零点; 当 时, 在 上有 2 个零点; 当 时, 在 上有 3 个零点. 7. 解析 (1) 由题意 ,且 , 则 , 故切线方程为 ,易得该直线与坐标轴的交点坐标分别为 , 故其与坐标轴所围成的三角形的面积为 . (2)由题意可得 ， 则 , 当 时, ,所以 在区间 上单调递减， 又 , 所以由零点存在定理得 在区间 上存在唯一零点. 当 时, ,此时函数无零点. 综上所述， 在 上存在唯一零点，即函数 在 上的零点个数为 1. 8. 解析 (1) 当 时, , , 令 ,得 , 时, 时, , 在 上单调递增,在 上单调递减. . (2) . (i) 当 时, 恒成立, 时, 单调递增, 时, 单调递减, . 此时 无零点,不合题意. (ii) 当 时,令 ,解得 或 , ① 当 时， ， 时， 单调递减， 或 时, 单调递增, 在 上单调递增,在 上单调递减, 的极大值为 时, 恰有 1 个零点. ② 当 时， ， 在 上单调递增， ，符合题意. ③ 当 时， ， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减, 的极小值为 时, 恰有 1 个零点. 综上所述， . 9. 证明 (1) 设 ,则 , 当 时, 单调递减, 由 ,可得 在 有唯一零点,设为 . (零点 设而不求) 则当 时, ; 当 时, . 所以 在 上单调递增,在 上单调递减,故 在 存在唯一极大值点, 即 在 上存在唯一极大值点. (2) 的定义域为 . (i) 当 时,由 (1) 知, 在 上单调递增,而 ,所以当 时, ,故 在 上单调递减,又 ,从而 是 在 上的唯一零点. (ii) 当 时,由 (1) 知, 在 上单调递增,在 上单调递减, 而 ,所以存在 ,使得 , (零点 设而不求) 且当 时, ; 当 时, . 故 在 上单调递增,在 上单调递减. 又 ,所以当 时, . 从而, 在 上没有零点. (iii) 当 时, ,则 在 上单调递减. 而 ,所以 在 上有唯一零点. (iv) 当 时, ,所以 ,从而 在 上没有零点. 综上, 有且仅有 2 个零点. 10. 解析 ,故曲线 在 2 处的切线斜率为 . (2)指数找朋友法. 证明: 当 时, ,令 ,故 在 上单调递增,因此 ,原不等式得证. 11. 解析 (1) 由题意得 , , 是函数 的极值点, ,可得 . 经检验, 时 是函数 的极值点. . (2)由(1)知 ， ， ， 当 时， ， 当 时, , 要证 ,只需证 . 只需证 , 只需证 , 令 , 则 , 当 时, 单调递增, 当 时, 单调递减, 当 时, , 在 上恒成立. . 12. 解析 , , 又 , 曲线 在点 处的切线方程为 . (2) , , 又 在 上恒成立. 在 上单调递增. (3)证明:由(2)知 在 上单调递增， 在 上单调递增, 不妨设 ,令 , 则 . 因此 在 上单调递减, , 又 . 13. 解析 的定义域为 , 若 ,则 ,故 在 上单调递减. 若 ,则由 得 , 当 时， ；当 时， . 故 在 上单调递减，在 上单调递增. (2)要证明 ，等价于证明 . 设 , 则 . 设 ,则 . 当 时, ,故 ,所以 在 , 上单调递减, 而 ,又因为 ,所以 . 故当 时, ,即 在 上单调递减. 由于 ,所以当 时, , 即当 时, . 14. 解析 (1) 函数 的定义域为 ,令 ,解得 ,令 ,解得 ,所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减. (2)证明:由 得 ， 即 , 令 ,则 为 的两个实根,当 时, ,当 时, ,且 ,故 , 不妨令 ,则 , 先证明 ,即证 , 即证 . 令 , 则 . 恒成立, 为增函数, . ,即 , . 再证 . 设 ,则 , 结合 , 可得 , 即 ,故 , 要证 ,即证 ,即证 , 即证 ,即证 , 令 , 则 . 因为 ,当且仅当 时等号成立),所以可得当 时, ,故 恒成立, 故 在 上为减函数,故 , 故 成立，即 成立. 综上所述， . 15. 解析 , 曲线 在 处切线的斜率 , 切线方程为 ,即 . (2) 恒成立，即 恒成立， 恒成立. 设 , 则 恒成立, . ① 时，令 ，得 ， 当 时, ,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增. 要使 恒成立, 则 . ② 时， 恒成立， 在 上单调递增， 不可能恒成立. 综上, . 16. 解析 (1) 函数 的定义域为 , 当 时, , 则 , 令 ,则 , 可得 在 上恒成立, 则 在 上单调递增, 又 当 时, ,当 时, ,即当 时, 单调递减,当 时, 单调递增, 在 处取得极小值, ,无极大值. (2) 当 时， ，又 ， 在 处取得最小值. 又 , 令 , 则 , 令 . ①当 ，即 时， 在 上恒成立,即 在 上恒成立, 则 在 上单调递增,又 ,从而 在 上恒成立, 即 在 上单调递增,又 在 , 上恒成立. ② 当 且 ,即 时， 在 上恒成立, 即 在 上恒成立,则 在 上单调递减，又 ， 从而 在 上恒成立， 在 上单调递减， 又 ,与题意不符. ③ 当 且 ,即 时,令 ,得 当 时, ,即 在 上恒成立, 在 上单调递减,又 在 上恒成立, 在 上恒成立,从而 在 上单调递减， 又 在 上恒成立,与题意不符. 综上, 的取值范围为 . 17. 解析 的定义域为 . 当 时, ,所以 , 因为 ,所以 ,依题意得 , 所以当 时, 取到最小值 -2. (2)证明:因为 ， 所以 , 所以 ,所以曲线 关于 中心对称, 即曲线 是中心对称图形. (3)由(2)知曲线 关于(1，a)中心对称，且 在(0，2) 内连续, 故 ,即 , 易知 , 所以当 时, 在 上恒成立, 单调递增, 所以 成立. 当 时,存在 ,使得 , 即 . 在 上, 单调递减, 又 ,所以在 上有 ,不符合题意. 综上,可得 . 18. 解析 (1) 当 时, ,则 , 当 时, 单调递减, 当 时, 单调递增. (2)不等式 等价于 ， 令 ,则 , 且 , ① 当 时， ， 在 上单调递减，所以 ，满足题意； ② 当 时，令 ， 则 ,故 , 所以存在 ,使得当 时, , 所以 在 上单调递增,故当 时, , 所以 在 上单调递增,故 ,不满足题意. 综上可知, 的取值范围是 . (3)证明:构造函数 ， 则 , 易知 在 上单调递增, , 令 ,则有 , , 1). 原式得证. 19. 解析 , . , 当 时, ; 当 时, , 函数 在 上单调递减,在 上单调递增. (2) 的图象与 轴没有公共点且 ， 在 上的图象在 轴的上方, 由 (1) 可得函数 在 上单调递减,在 上单调递增, , 解得 , 故实数 的取值范围是 . 20. 解析 (1) 当 时, ,则 . 当 时， ；当 时， . 所以 在 单调递减，在 单调递增. (2) . 当 时， ，所以 在 单调递增， 故 至多存在 1 个零点，不合题意. 当 时,由 可得 . 当 时, ; 当 时, . 所以 在 , ) 单调递减,在 单调递增,故当 时, 取得最小值,最小值为 . (i) 若 ,则 在 至多存在 1 个零点, 不合题意. (ii) 若 ,则 . 由于 ,所以 在 存在唯一零点. 由 (1) 知,当 时, ,所以当 且 时, 故 在 存在唯一零点. 从而 在 , 有两个零点. 综上, 的取值范围是 . 21. 解析 (1) 当 时, 令 ,得 ,当 时, ,当 时, , 函数 在 上单调递增,在 上单调递减. (2)第一步:将曲线 与直线 的交点问题转化为方程的根的问题. 令 ,则 ,所以 . 第二步:将幂指数形式转化为对数形式，并参变量分离. 两边同时取对数，可得 ，即 . 第三步:将方程的根的个数转化为两个函数图象的交点个数，并构造函数研究单调性. 根据题意可知,方程 有两个实数解. 设 ,则 , 令 ,则 . 当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减. 第四步:根据交点个数，数形结合写出参数范围. 又知 , 所以要使曲线 与直线 有且仅有两个交点,则只需 ,即 ,所以 , . 综上,实数 的取值范围为 . 22. 解析 (1) 由已知得 , 故曲线 在 处的切线方程为 . (2)(i)第一步，构造新函数. 由曲线 和 有公共点,得 有解, 设 ,则 有解,易知 . 设 ,则 , 故 在定义域上单调递增. 当 趋近于 0 时, ; 当 趋近于 时, . 第二步,隐零点代换. 故存在 ,使 ,即 . 在 上单调递减,在 上单调递增. 所以 ,求 即可. 又 , 所以 , 易知当 时, . 故实数 的取值范围是 . (ii) 证明: 依题意,存在实数 ,使得 ,即 . 设向量 ，由 ,得 , 因此 . 记 ,有 ,则 是增函数,故当 时, ,即 ,进而有 . 又当 时,有 ,所以对 , 恒有 . 因此, . 记函数 ,则 . 令 ,解得 或 (舍去). 当 变化时, 的变化情况如表: - 0 + ↘ 极小值 ↗ 故 的最小值为 . 下面只需证明 1) ,即 . 记函数 . 当 时,有 ,则 在 上单调递增,进而 ,即 . 所以, . 命题得证. 23. 解析 . 当 时, 恒成立, 在 上无最小值,不符合题意. . 令 ,得 ,令 ,得 . 易知 , ,即 ①. 令 , 则 , 在 上单调递增,则 最多有一个零点. 又 , 方程①有且仅有一解,为 ,即为所求. (2)由(1)知， ， ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增； 当 时， 单调递减，当 时， 单调递增. 不妨设直线 与 的图象的两交点的横坐标分别为 , ,与 的图象的两交点的横坐标分别为 ,且 . 则 , . 易知 ,则 , 又 在 上单调递减， ,同理 . 又 . 成等差数列. 24. 解析 , . ①当 时， 对任意 恒成立， 当 时， , 当 时， . 因此 在 上单调递减,在 上单调递增. ②当 时，令 . (i) 当 时, . 的大致图象如图 1 所示. 图 1 图 2 因此当 时, , 当 时, , 所以 在 和 上单调递增,在 , 0) 上单调递减. (ii) 当 时, ,此时 对任意 恒成立, 故 在 上单调递增. (iii) 当 时, , 的大致图象如图 2 所示. 因此,当 时, , 当 时， ， 所以 在 和 上单调递增，在 , 上单调递减. (2)选①. 证明: 由 (1) 知, 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,又 , 所以 在 上有唯一零点. 当 时, 因为 ,所以 , 所以 对任意 恒成立. 综上, 在 上有唯一零点. 选②. 证明: 由 知 在 上单调递增, 在 上单调递减,在 上单调递增, , 当 时, ,所以一定存在 , 使得 . 结合单调性知 在 上有唯一零点. 当 时， ,即 对任意 恒成立. 综上, 在 上有唯一零点. 25. 答案 解析 函数 是定义在 上的可导函数, , 则 的定义域为 ,则 为偶函数, 当 时, , 则 在 上单调递增, 当 时, ,则有 , 即 ,所以 , 由 ,可得 . 26. 解析 的定义域为 , 则 ,解得 ,故 . 易知 在区间 内单调递增,且 , 由 ,解得 ; 由 ,解得 , 所以 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . (2)放缩法 当 时， . 设 ,则 . 当 时, ; 当 时, . 所以 是 的极小值点,即是 的最小值点. 故当 时, . 因此,当 时, . 27. 解析 (1) 因为曲线 在 处的切线垂直于 轴,所以 . 由 得 ,则 , 则 , 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增. 则 的单调增区间为 ,单调减区间为 . (2)证明: ,即 , 即 ,设 , 则 ,令 , 则 , 令 ,则 ,因为 ,则 恒成立,则 在 上单调递增, 则易知 在 上单调递减, 则 ,则 在 上单调递减，则 ，则 在 上恒成立， 则 ,即 . 28. 解析 (1) 证明: 令 , 所以 , 所以 ,当且仅当 ,即 时，等号成立， 所以当 时， ， 单调递增，则 ,所以 得证. (2)由 得 ，即 ， 令 , 所以函数 的零点个数即为方程 解的个数, ,令 ,即 ,解得 , 随 的变化情况如表: ( ) - 0 + 单调递减 单调递增 因为 ,所以 在 上有唯一一个零点, 又 ,所以 在 上有唯一一个零点. 综上所述,方程 有两个解. (3) 证明: 由 (1) 知, , 令 ,则 ,即 , 设 ,满足 , 所以 ,即 ,所以 , 所以 ,即 . 29. 选 A. 令 ,则 , 令 ,得 , 当 时, ; 当 时, , 所以 在 上单调递减,在 上单调递增, 所以 ,即 . 令 , ,当 时, ; 当 时, ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 ,所以 . 故选 A. 30. 选 B. 当 时, 恒成立, ,即 恒成立. 令 ,则 . 设 ,有 , 当 时, 在 上单调递增,有 所以 时, ,当且仅当 时等号成立. 故 当且仅当 ,即 时上式取得等号, 由对数函数和一次函数的性质可知,方程 显然有解, 所以 ,得 . 故选 B. 31. 答案 解析 ,令 ,则 , 所以在 上, 单调递减; 在 上, 单调递增,所以 ,所以 单调递增,值域为 . 由 知,在 上 单调递减,在 上 单调递增,方程 在 上仅有一个根,则 ,所以 . 32. 解析 (1) 由 得 , 求导得 , 当 时, ,当 时, , 则函数 在 上单调递减,在 上单调递增, 所以当 时,函数 取得极小值 ,无极大值. (2)函数 ，求导得 ，易知 ,则函数 在 上单调递增, 依题意,并结合图象有 即 解得 , 于是 ,当且仅当 时取等号,所以 的最大值是 . (3) , 令 ,由 ,得 , 令 ,求导得 , 函数 在 上单调递增, ,因此 , 即 ,于是 . 令 ,求导得 , 易知 ,所以函数 在 上单调递减, ,因此 ,即 , 则 ,所以 . 33. 解析 (1) 当 时, ,则 , 故 ,又 , 故曲线 在点 处的切线方程为 . (2) , 故当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,故当 时, 取得极小值,故 ,故 . (3)由(2)知 ，故 ， 故对任意的 成立，只需对任意的 , 记 , 则 , ① 当 时， ， 故当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 故当 时, 取得极小值也是最小值, 故 ,不符合题意, ② 当 时， ， 故当 时， ， 单调递增， 故 ,符合题意, ③ 当 时， ， 故当 时, 单调递减, 故 ,不符合题意, ④ 当 时,当 时, 单调递减, 故 ,不符合题意. 综上可得, ,所以实数 的最小值为 . 34. 解析 (1) 当 时,函数 , 又 ,则 . 所以曲线 在点 处的切线方程为 . (2)由题意知， 的定义域为 ， ,显然 恒成立, ①若 ，则 ，此时 在 上单调递减； ②若 ，令 ，解得 . 当 时， ，当 时， . 所以 在 上单调递减,在 上单调递增. 综上,当 时, 在 上单调递减; 当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增. (3)若 ，由(2)知， 至多有一个零点，不符合题意； 若 ，由(2)知，当 时， 取得最小值，为 设 ,则 , 故 在 上单调递增,且 , (i) 当 时, ,此时 没有两个零点; (ii) 当 时, , 又 , 故 在 上有一个零点; 当 时,由 可得 ,即 ,得 ,则 , 故 ,即 ,又易知 , 则 ,即 , 因此 在 上也有一个零点. 综上,若 有两个零点,则实数 的取值范围为 . 35. 解析 (1) 由 的图象在 处的切线方程为 ,可知切点坐标为 , (2 分) 故 ,解得 . (4 分) (2)由(1)可知 , (5 分) 令 , 当 时, ,则 在区间 上单调递增. (6 分) , 由零点存在定理可知,存在 ,使得 , 即 , (7 分) 当 时, 在区间 上单调递减; 当 时, 在区间 上单调递增, (9 分) 又 , 由零点存在定理可知 在区间 上有且仅有一个零点. (11 分) 当 时, ; 当 时, , 在区间 上单调递增, (13 分) 又 , 由零点存在定理可知 在区间 上有且仅有一个零点, (14 分) 综上可得, 在区间 内有且仅有两个零点.(15 分) 36. 解析 (1) 证明: 因为 , 所以 , 因为 , 又 ,所以 , 故 在区间 上恒成立,即函数 为 上的凸函数. (2)①因为 ， 所以 , 由题知 在区间 上恒成立,即 在区间 上恒成立, 令 ,则 在区间 上恒成立, 令 ,当 时, 取到最大值 1, 所以 ,所以 的最小值为 . ② 证明: 由 ① 知 , 令 , 则 , 令 ,则 在区间 上恒成立,当且仅当 时取等号, 所以 在区间 上单调递增, 则 ,当且仅当 时取等号, 即 在区间 上恒成立,当且仅当 时取等号, 故 在区间 上单调递增, 所以 , 令 , 令 ,得到 , 则 在区间 上恒成立, 即 在区间 上单调递减, 所以 , 即当 时, ,当且仅当 时取等号, 所以 在 上恒成立 学科网（北京）股份有限公司 $