专题5 函数的概念与性质 专项训练-2027届高考数学一轮复习（新高考全国卷）

专题05　函数的概念与性质 群哥高中数学辅导资料 专题05　函数的概念与性质 一、核心知识 1．函数的概念：设 、 是非空数集，若对 中每一个 ，按某种对应关系 ，在 中都有唯一确定的 与之对应，则称 为函数，记作 ； 的取值范围叫定义域， 的取值范围叫值域。 2．同一函数的判定：定义域与对应法则都相同（值域随之相同），与用什么字母表示自变量无关。 3．定义域的限制条件：分母不为 0；偶次根号下的式子非负；对数的真数大于 0、底数大于 0 且不等于 1； 中 ；实际问题还要符合题意。 4．抽象函数的定义域：已知 的定义域为 ，则 的定义域由 解出；已知 的定义域为 ，则 （）的值域即 的定义域。 5．单调性：设 ，恒有 则增，恒有 则减；判断方法为定义法、图象法、复合法（同增异减）、导数法。 6．奇偶性：定义域关于原点对称是前提； 为奇函数（图象关于原点对称）， 为偶函数（图象关于 轴对称）；奇函数在 处有定义则 。 7．周期性：存在非零常数 ，使对定义域内任意 都有 ，则 为周期；由对称性可推周期：两对称轴相距 则 ，一个对称中心与一条对称轴相距 则 。 8．对称性通式：若 恒成立，则 的图象关于直线 对称；若 恒成立，则图象关于点 对称。 9．图象变换：平移“左加右减、上加下减”； 关于 轴对称得 ，关于 轴对称得 ； 把 轴下方翻上去， 保留 部分再关于 轴翻折。 二、题型精练 题型一　函数的概念、定义域与值域 【方法与技巧】 求定义域五条红线：分母不为 0、偶次根号下非负、对数真数大于 0、底数大于 0 且不等于 1、正切的自变量不等于 ；求完取交集写成区间。 抽象函数定义域两句话：已知 的定义域为 ，则 中令 解出 ；已知 的定义域为 ，则先求 的值域，它就是 的定义域。 值域七法：观察、配方、换元、判别式、单调性、图象、基本不等式；分式型 用分离常数或反解后令分母不为 0。 【例题精讲】 1．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．函数 的值域为　　　　 　 　 　 【变式训练】 1．函数 的定义域为　　　　 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 3．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 4．函数 ， 的值域为　　　　 5．函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 6．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是　　　　 【巩固练习】 1．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的值域为　　　　 3．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D．空集 4．函数 的值域为　　　　 5．函数 的最小值为（　　） A．2 B．4 C．1 D．不存在 6．函数 的定义域为　　　　 7．函数 的最小值为（　　） A．1 B．3 C．2 D．4 8．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为　　　　 题型二　单调性的判断与应用 【方法与技巧】 定义法五步：取值、作差、变形（因式分解或配方）、定号、下结论；变形必须做到能判断符号为止。 复合函数看“同增异减”：先拆成内外两层各自判单调再组合，且内层的值域要落在外层的单调区间内。 抽象函数单调性只能靠定义：把 凑成题设能定号的形式，没有恒等式可用时就设增量 。 含参单调区间先找分界点（对称轴或导数为 0 的点），再让给定区间落在增（减）区间内部，端点是否可取单独检验。 【例题精讲】 1．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．函数 的单调递减区间为　　　　 3．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数 在 上的最小值为　　　　 2．已知函数 在 上单调递增，则函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 3．若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是　　　　 4．已知 是偶函数，且在 上单调递增，则（　　） A． B． C． D． 5．函数 的单调递减区间为　　　　 6．已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 ，则 在 上（　　） A．单调递减 B．单调递增 C．先增后减 D．无单调性 【巩固练习】 1．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的单调递减区间为　　　　 3．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 4．已知函数 在 上单调递减，若 ，则实数 的取值范围是　　　　 5．函数 在 上的单调性是（　　） A．在 上递增 B．在 上递减 C．在 上递增，在 上递减 D．在 上递减，在 上递增 6．函数 的单调递增区间为　　　　 7．已知 在 上单调递增，且 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 或 8．函数 的单调递增区间为　　　　 题型三　奇偶性与周期性 【方法与技巧】 判奇偶先看定义域是否关于原点对称——这一步省了，后面全白做。 对称性通式要自己推：由 ，把 与 看作关于 对称的两个自变量，故图象关于直线 对称，不要死记结论。 周期三件宝：；两条对称轴相距 则周期 ；一个对称中心与一条对称轴相距 则周期 。 奇偶与单调联用：奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致，偶函数则相反；比较大小先化到同一单调区间。 【例题精讲】 1．函数 是（　　） A．偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．奇函数 D．非奇非偶函数 　 　 　 2．已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则当 时 　　　　 　 　 　 3．已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 （　　） A． B．6 C． D．3 　 　 　 【变式训练】 1．已知 是奇函数，且 ，，则 　　　　 2．已知 是偶函数，且在 上单调递增，则（　　） A． B． C． D． 3．若函数 满足 ，则 的图象关于直线______对称　　　　 4．已知定义在 上的函数 满足 ，则 的一个周期为（　　） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 5．已知 是周期为 3 的奇函数，且 ，则 　　　　 6．若函数 的图象关于直线 与直线 都对称，则 的一个周期为（　　） A．4 B．2 C．1 D．不能确定 【巩固练习】 1．下列函数中，是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 2．已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则当 时 　　　　 3．函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 4．已知 是定义在 上的偶函数，且满足 ，若 ，则 　　　　 5．若函数 满足 ，则 的图象（　　） A．关于直线 对称 B．关于点 对称 C．关于直线 对称 D．关于点 对称 6．已知 是定义在 上的偶函数，周期为 4，且 ，则 　　　　 7．若函数 是奇函数，则 的图象（　　） A．关于直线 对称 B．关于点 对称 C．关于直线 对称 D．关于点 对称 8．已知函数 的图象关于点 对称，且关于直线 对称，则 的一个周期为　　　　 题型四　函数图象的识别、变换与信息读取 【方法与技巧】 识图四看：看定义域（有无断点、渐近线）、看奇偶（是否对称）、看特殊点（与坐标轴交点、无穷远处的趋势）、看单调与极值。 变换口诀“左加右减、上加下减”； 是保留 的部分再关于 轴翻折， 是把 轴下方翻到上方。 【例题精讲】 1．如图，某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（　　） A．向左平移 1 个单位 B．向右平移 1 个单位 C．向上平移 1 个单位 D．向下平移 1 个单位 　 　 　 3．函数 的图象与直线 的交点个数为　　　　 【变式训练】 1．如图，函数 的图象与 轴交于点 、，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 2．将函数 的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式为　　　　 3．函数 的图象（　　） A．关于直线 对称 B．关于 轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 对称 4．函数 与 的图象的交点个数为　　　　 5．函数 的图象的两条渐近线是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 6．将函数 的图象向左平移 2 个单位后，再作关于 轴对称的变换，得到 的图象，则 　　　　 【巩固练习】 1．如图，该图象对应的函数是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的图象关于______对称　　　　 3．要得到函数 的图象，需将函数 的图象（　　） A．向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 B．向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 C．向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 D．向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 4．函数 的单调递增区间为　　　　 5．如图，函数 的图象由一条射线与一条水平射线组成，则 的值域为（　　） A． B． C． D． 6．函数 的值域为　　　　 7．函数 与 的图象的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 8．函数 的单调递减区间为　　　　 题型五　分段函数、函数方程与解不等式 【方法与技巧】 分段函数求值由内向外：先判断自变量落在哪一段，算出内层函数值再作为外层自变量，逐层往上，别跳步。 解分段函数不等式按段讨论：每段内解完后必须与该段的定义区间取交集，最后把各段结果取并集。 函数方程（如 ）用递推：把要求的自变量逐步化到已知区间上，系数按递推次数累乘。 【例题精讲】 1．已知函数 ，则 （　　） A．1 B． C．0 D．2 　 　 　 2．已知函数 ，则不等式 的解集为　　　　 　 　 　 3．已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 （　　） A．12 B．6 C．24 D．48 　 　 　 【变式训练】 1．已知函数 ，则 　　　　 2．已知 是奇函数，则 （　　） A． B．0 C．1 D． 3．已知函数 满足 ，则 　　　　 4．函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 5．已知 是 上的增函数，且 ，则实数 的取值范围是　　　　 6．已知 满足 ，且 ，则 （　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【巩固练习】 1．已知函数 ，则 （　　） A． B． C．2 D．5 2．已知 ，则 　　　　 3．已知函数 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 4．已知 满足 ，且 ，则 　　　　 5．已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知 满足 ，则 　　　　 7．已知函数 ，则方程 的解的个数为（　　） A．2 B．1 C．3 D．0 8．已知 ，则 　　　　 题型六　抽象函数与赋值法 【方法与技巧】 赋值法四板斧：令 、令 、令 、令 ，先把 、 这些特殊值逼出来。 由 推奇偶：先用 得 ，再令 得 。 抽象函数判断单调性：设 ，令 ，用题设恒等式把 化成符号已知的式子。 抽象函数选择题可用排除法：先构造一个满足条件的模型函数（如 、）代入选项验证，快速排除错项。 【例题精讲】 1．已知定义在 上的函数 满足 ，则 （　　） A．1 B．0 C． D．不能确定 　 2．已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 　　　　 3．已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 （　　） A．4 B．2 C．3 D．8 　 　 　 【变式训练】 1．已知 ，且 ，则 　　　　 2．已知定义在 上的 满足 ，且当 时 ，则 在 上（　　） A．单调递增 B．先减后增 C．单调递减 D．无单调性 3．已知 ，且 ，，则 　　　　 4．已知定义在 上的 满足 ，且 ，则 （　　） A．8 B．6 C．4 D．2 5．已知定义在 上的 满足 ，且 ，则 　　　　 6．已知定义在 上的 满足 ，则 是（　　） A．偶函数 B．非奇非偶函数 C．奇函数 D．不能确定 【巩固练习】 1．已知 ，且 ，则 （　　） A．2 B． C． D．4 2．已知 ，且 ，，则 　　　　 3．已知定义在 上的 满足 ，则 的值为（　　） A．1 B．0 C．不能确定 D．0 或 1 4．已知 满足 ，且 ，则 　　　　 5．已知定义在 上的 满足 ，且当 时 ，若 ，则（　　） A． B． C． D． 6．已知 满足 ，且 ，则 　　　　 7．已知 满足 ，且 是奇函数，若 ，则 （　　） A． B．0 C．2 D．1 8．已知 ，且 ，则 　　　　 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 3．下列函数中，在区间 上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 4．函数 是（　　） A．偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇函数 5．已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 （　　） A．1 B． C．3 D． 6．函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 7．已知 满足 ，且当 时 ，则 （　　） A．0.5 B．2.5 C．1.5 D．3.5 8．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．已知函数 ，则下列说法正确的是（　　） A． 是奇函数 B． 在 上单调递减 C． 的极大值为 2 D． 在 上单调递减 10．已知函数 的定义域为 ，且满足 ，则（　　） A． 的图象关于直线 对称 B． C． 是偶函数 D． 的周期为 2 11．已知函数 ，则（　　） A． B． C．不等式 的解集为 D． 的值域为 【填空题】 12．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为　　　　 13．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，若 ，则实数 的取值范围是　　　　 14．已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题05　函数的概念与性质 群哥高中数学辅导资料 专题05　函数的概念与性质 一、核心知识 1．函数的概念：设 、 是非空数集，若对 中每一个 ，按某种对应关系 ，在 中都有唯一确定的 与之对应，则称 为函数，记作 ； 的取值范围叫定义域， 的取值范围叫值域。 2．同一函数的判定：定义域与对应法则都相同（值域随之相同），与用什么字母表示自变量无关。 3．定义域的限制条件：分母不为 0；偶次根号下的式子非负；对数的真数大于 0、底数大于 0 且不等于 1； 中 ；实际问题还要符合题意。 4．抽象函数的定义域：已知 的定义域为 ，则 的定义域由 解出；已知 的定义域为 ，则 （）的值域即 的定义域。 5．单调性：设 ，恒有 则增，恒有 则减；判断方法为定义法、图象法、复合法（同增异减）、导数法。 6．奇偶性：定义域关于原点对称是前提； 为奇函数（图象关于原点对称）， 为偶函数（图象关于 轴对称）；奇函数在 处有定义则 。 7．周期性：存在非零常数 ，使对定义域内任意 都有 ，则 为周期；由对称性可推周期：两对称轴相距 则 ，一个对称中心与一条对称轴相距 则 。 8．对称性通式：若 恒成立，则 的图象关于直线 对称；若 恒成立，则图象关于点 对称。 9．图象变换：平移“左加右减、上加下减”； 关于 轴对称得 ，关于 轴对称得 ； 把 轴下方翻上去， 保留 部分再关于 轴翻折。 二、题型精练 题型一　函数的概念、定义域与值域 【方法与技巧】 求定义域五条红线：分母不为 0、偶次根号下非负、对数真数大于 0、底数大于 0 且不等于 1、正切的自变量不等于 ；求完取交集写成区间。 抽象函数定义域两句话：已知 的定义域为 ，则 中令 解出 ；已知 的定义域为 ，则先求 的值域，它就是 的定义域。 值域七法：观察、配方、换元、判别式、单调性、图象、基本不等式；分式型 用分离常数或反解后令分母不为 0。 【例题精讲】 1．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】需 得 ，且分母 得 ，取交集得 。故选：B。 2．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令 ，得 ，即 ，故定义域为 。故选：C。 3．函数 的值域为　　　　 【答案】 【详解】分离常数：，由 得 ，故值域为 。故答案为：。 【变式训练】 1．函数 的定义域为　　　　 【答案】 【详解】需真数 ，即 ，解得 或 。故答案为：。 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】D 【详解】同一函数要求定义域与对应法则都相同。 且定义域为 ，与 相同； 法则不同； 定义域为 ； 定义域为 。故选：D。 3．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 中 ，则括号内 ，这就是 作用对象的取值范围，故 的定义域为 。故选：C。 4．函数 ， 的值域为　　　　 【答案】 【详解】配方得 ，对称轴 ，最小值 ；端点 时 ， 时 ，故最大值为 6，值域 。故答案为：。 5．函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令 ，则 ，，当 时取最大值 ，且 时 ，故值域为 。故选：D。 6．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】需 恒成立。 时为 ，成立； 时需 且 ，得 。综上 。故答案为：。 【巩固练习】 1．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】需 且 ，即 且 ，故定义域为 。故选：C。 2．函数 的值域为　　　　 【答案】 【详解】由 得 ， 时取到 1， 时趋于 0 但取不到，故值域为 。故答案为：。 3．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D．空集 【答案】C 【详解】需 得 ，且 得 ，取交集得 。故选：C。 4．函数 的值域为　　　　 【答案】 【详解】令 ，则 ，当 即 时取等号，故值域为 。故答案为：。 5．函数 的最小值为（　　） A．2 B．4 C．1 D．不存在 【答案】A 【详解】令 ，则 ，当 即 时取等号，故最小值为 2。故选：A。 6．函数 的定义域为　　　　 【答案】 【详解】需 且 （根号在分母，严格大于），即 。故答案为：。 7．函数 的最小值为（　　） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【详解】由绝对值三角不等式 ，当 时取等号，故最小值为 3。故选：B。 8．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为　　　　 【答案】 【详解】 中 ，故 ，即 的定义域为 ；再由 得 。故答案为：。 题型二　单调性的判断与应用 【方法与技巧】 定义法五步：取值、作差、变形（因式分解或配方）、定号、下结论；变形必须做到能判断符号为止。 复合函数看“同增异减”：先拆成内外两层各自判单调再组合，且内层的值域要落在外层的单调区间内。 抽象函数单调性只能靠定义：把 凑成题设能定号的形式，没有恒等式可用时就设增量 。 含参单调区间先找分界点（对称轴或导数为 0 的点），再让给定区间落在增（减）区间内部，端点是否可取单独检验。 【例题精讲】 1．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】开口向上，对称轴 ，增区间为 ；需 ，即 （ 时增区间恰为 ，可取等号）。故选：C。 2．函数 的单调递减区间为　　　　 【答案】 与 【详解】在 与 上分别取 ，作差 ，均递减；两段不能并成一个区间。故答案为： 与 。 3．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先求定义域： 得 或 。外层 递减，内层 在 上递减，由“同增异减”知复合后在 上递增。故选：B。 【变式训练】 1．函数 在 上的最小值为　　　　 【答案】4 【详解】由对勾函数性质， 在 上递减、在 上递增，，故最小值为 。故答案为：4。 2．已知函数 在 上单调递增，则函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】外层 递增，故复合函数的单调性与内层 一致； 在 上递增，故所求为 。故选：D。 3．若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】对称轴 ，减区间为 ；需 ，即 ，得 。故答案为：。 4．已知 是偶函数，且在 上单调递增，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由偶函数得 ，化到同一单调区间 上比较：因 且递增，故 ，即 。故选：D。 5．函数 的单调递减区间为　　　　 【答案】 【详解】定义域 得 或 ；外层 递增，故递减区间即内层 在定义域内的递减部分，为 。故答案为：。 6．已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 ，则 在 上（　　） A．单调递减 B．单调递增 C．先增后减 D．无单调性 【答案】B 【详解】设 ，则 ，，故单调递增。故选：B。 【巩固练习】 1．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】开口向下，对称轴 ，故在 上递增、在 上递减。故选：B。 2．函数 的单调递减区间为　　　　 【答案】 【详解】外层 递增，故单调性与内层 一致； 在 上递减，故所求为 。故答案为：。 3．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，令 得 ，故递减区间为 。故选：A。 4．已知函数 在 上单调递减，若 ，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】递减函数中函数值小者对应的自变量大，故 ，解得 。故答案为：。 5．函数 在 上的单调性是（　　） A．在 上递增 B．在 上递减 C．在 上递增，在 上递减 D．在 上递减，在 上递增 【答案】D 【详解】由对勾函数性质，分界点为 ：在 上递减、在 上递增，最小值为 2。故选：D。 6．函数 的单调递增区间为　　　　 【答案】 【详解】定义域 得 或 ；外层 递增，内层在 上递增，故递增区间为 。故答案为：。 7．已知 在 上单调递增，且 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】D 【详解】递增函数中函数值大者自变量也大，故 ，即 ，解得 或 。故选：D。 8．函数 的单调递增区间为　　　　 【答案】 【详解】外层 递减，由“同增异减”，复合后递增要求内层递减；内层 在 上递减，故所求为 。故答案为：。 题型三　奇偶性与周期性 【方法与技巧】 判奇偶先看定义域是否关于原点对称——这一步省了，后面全白做。 对称性通式要自己推：由 ，把 与 看作关于 对称的两个自变量，故图象关于直线 对称，不要死记结论。 周期三件宝：；两条对称轴相距 则周期 ；一个对称中心与一条对称轴相距 则周期 。 奇偶与单调联用：奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致，偶函数则相反；比较大小先化到同一单调区间。 【例题精讲】 1．函数 是（　　） A．偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．奇函数 D．非奇非偶函数 【答案】C 【详解】定义域为 ，关于原点对称；，故为奇函数。故选：C。 2．已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则当 时 　　　　 【答案】 【详解】当 时 ，代入已知式得 ；由奇函数 。故答案为：。 3．已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 （　　） A． B．6 C． D．3 【答案】D 【详解】由 得 ，周期为 4；，故 。故选：D。 【变式训练】 1．已知 是奇函数，且 ，，则 　　　　 【答案】 【详解】由奇函数 ，，故 。故答案为：。 2．已知 是偶函数，且在 上单调递增，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】偶函数在对称区间上单调性相反，故在 上递减；，由 得 ，即 。故选：B。 3．若函数 满足 ，则 的图象关于直线______对称　　　　 【答案】 【详解】自变量 与 之和恒为 4，即二者关于 2 对称，而函数值相等，故图象关于直线 对称。故答案为：。 4．已知定义在 上的函数 满足 ，则 的一个周期为（　　） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】B 【详解】把 换成 得 ，故 2 是它的一个周期。故选：B。 5．已知 是周期为 3 的奇函数，且 ，则 　　　　 【答案】 【详解】，故 ；又 ，由奇函数 。故答案为：。 6．若函数 的图象关于直线 与直线 都对称，则 的一个周期为（　　） A．4 B．2 C．1 D．不能确定 【答案】A 【详解】两条对称轴相距 ，由“两轴相距 则周期 ”得周期为 4。也可用式子推导：由 、 联立得 。故选：A。 【巩固练习】 1．下列函数中，是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，为偶函数；、、 均满足 ，是奇函数。故选：B。 2．已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则当 时 　　　　 【答案】 【详解】当 时 ，；由奇函数 。故答案为：。 3．函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】A 【详解】定义域为 。，故 ，是奇函数。故选：A。 4．已知 是定义在 上的偶函数，且满足 ，若 ，则 　　　　 【答案】2 【详解】周期为 2，，故 。故答案为：2。 5．若函数 满足 ，则 的图象（　　） A．关于直线 对称 B．关于点 对称 C．关于直线 对称 D．关于点 对称 【答案】D 【详解】由 得自变量 与 关于 0 对称，函数值之和恒为 2，即中点的纵坐标为 1，故图象关于点 对称。故选：D。 6．已知 是定义在 上的偶函数，周期为 4，且 ，则 　　　　 【答案】3 【详解】，故 （最后一步用偶函数）。故答案为：3。 7．若函数 是奇函数，则 的图象（　　） A．关于直线 对称 B．关于点 对称 C．关于直线 对称 D．关于点 对称 【答案】D 【详解】设 为奇函数，则 ，即 ，故自变量 与 关于 1 对称且函数值互为相反数，图象关于点 对称。故选：D。 8．已知函数 的图象关于点 对称，且关于直线 对称，则 的一个周期为　　　　 【答案】4 【详解】对称中心与对称轴相距 ，由“心轴相距 则周期 ”得周期为 4。故答案为：4。 题型四　函数图象的识别、变换与信息读取 【方法与技巧】 识图四看：看定义域（有无断点、渐近线）、看奇偶（是否对称）、看特殊点（与坐标轴交点、无穷远处的趋势）、看单调与极值。 变换口诀“左加右减、上加下减”； 是保留 的部分再关于 轴翻折， 是把 轴下方翻到上方。 【例题精讲】 1．如图，某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图知图象开口向上、顶点为 、与 轴交于 ，对应 ； 顶点在 ， 开口向下， 是折线。故选：B。 2．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（　　） A．向左平移 1 个单位 B．向右平移 1 个单位 C．向上平移 1 个单位 D．向下平移 1 个单位 【答案】A 【详解】按“左加右减”，自变量 换成 表示图象向左平移 1 个单位。故选：A。 3．函数 的图象与直线 的交点个数为　　　　 【答案】3 【详解】解方程 ： 得 （2 个）； 得 即 （1 个）。共 3 个交点。故答案为：3。 【变式训练】 1．如图，函数 的图象与 轴交于点 、，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象知抛物线开口向上，函数在两零点之外的部分位于 轴上方，故 的解集为 。故选：C。 2．将函数 的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式为　　　　 【答案】 【详解】右移 1 个单位把 换成 得 ，下移 2 个单位再减 2，得 。故答案为：。 3．函数 的图象（　　） A．关于直线 对称 B．关于 轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 对称 【答案】A 【详解】 是把 的图象向右平移 1 个单位得到，对称轴由 变为 。故选：A。 4．函数 与 的图象的交点个数为　　　　 【答案】1 个，交点为 【详解】解方程 得 ，即 ，此时 ，故只有一个交点 。故答案为：1 个，交点为 。 5．函数 的图象的两条渐近线是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】B 【详解】由 的图象向右平移 1 个单位得到，故渐近线为 （竖直）与 （水平）。故选：B。 6．将函数 的图象向左平移 2 个单位后，再作关于 轴对称的变换，得到 的图象，则 　　　　 【答案】 【详解】倒推： 关于 轴对称得 ，再向右平移 2 个单位（还原左移）把 换成 ，得 。故答案为：。 【巩固练习】 1．如图，该图象对应的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】图象是位于一、三象限的双曲线，以两坐标轴为渐近线，且在 上递减，对应 ； 在二、四象限， 全在 轴上方。故选：D。 2．函数 的图象关于______对称　　　　 【答案】 轴 【详解】，是偶函数，图象关于 轴对称（即保留 部分后翻折）。故答案为： 轴。 3．要得到函数 的图象，需将函数 的图象（　　） A．向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 B．向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 C．向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 D．向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 【答案】D 【详解】 换成 表示左移 2 个单位，整体减 1 表示下移 1 个单位。故选：D。 4．函数 的单调递增区间为　　　　 【答案】 【详解】当 时 ， 递减；当 时 递增，故递增区间为 。故答案为：。 5．如图，函数 的图象由一条射线与一条水平射线组成，则 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象知函数在 时恒取 1，在 时从 1 起向上无限增大，故值域为 。故选：C。 6．函数 的值域为　　　　 【答案】 【详解】由 且底数 ，得 ，故值域为 。故答案为：。 7．函数 与 的图象的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【详解】当 时 而 ，无交点；当 时 递增、 递减，且 时 、 时 ，故在 内有且仅有一个交点。故选：A。 8．函数 的单调递减区间为　　　　 【答案】 与 【详解】去绝对值： 时 ，对称轴 ，减区间 ； 时 ，对称轴 ，减区间 。故答案为： 与 。 题型五　分段函数、函数方程与解不等式 【方法与技巧】 分段函数求值由内向外：先判断自变量落在哪一段，算出内层函数值再作为外层自变量，逐层往上，别跳步。 解分段函数不等式按段讨论：每段内解完后必须与该段的定义区间取交集，最后把各段结果取并集。 函数方程（如 ）用递推：把要求的自变量逐步化到已知区间上，系数按递推次数累乘。 【例题精讲】 1．已知函数 ，则 （　　） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【详解】先算内层：；因 ，再算 。故选：B。 2．已知函数 ，则不等式 的解集为　　　　 【答案】 【详解】按段讨论： 时 得 ，与该段取交集得 ； 时 得 ，与该段取交集得 。取并集得 。故答案为：。 3．已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 （　　） A．12 B．6 C．24 D．48 【答案】C 【详解】逐次递推：，，。故选：C。 【变式训练】 1．已知函数 ，则 　　　　 【答案】1 【详解】因 ，代入第二段得 。故答案为：1。 2．已知 是奇函数，则 （　　） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】奇函数在 处有定义则 ，得 ；当 时 ，，由 得 ，故 。所以 。故选：A。 3．已知函数 满足 ，则 　　　　 【答案】 【详解】令 得 ；令 得 。设 、，解 得 。故答案为：。 4．函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时 ； 时 。两段值域之并为 。故选：A。 5．已知 是 上的增函数，且 ，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】增函数中函数值小者自变量小，故 ，解得 。故答案为：。 6．已知 满足 ，且 ，则 （　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【详解】，。故选：D。 【巩固练习】 1．已知函数 ，则 （　　） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【详解】；因 ，故 。故选：B。 2．已知 ，则 　　　　 【答案】6 【详解】，，，故所求为 。故答案为：6。 3．已知函数 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 时 得 ，取交集得 ； 时 得 ，取交集得 。取并集得 。故选：B。 4．已知 满足 ，且 ，则 　　　　 【答案】8 【详解】，，。故答案为：8。 5．已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】需三条同时成立：第一段递减 ；对数底数 ；衔接处左段在 的值不小于右段在 的值，即 。综合得 。故选：A。 6．已知 满足 ，则 　　　　 【答案】 【详解】把 换成 得 。与原式联立，原式乘 2 减新式得 ，故 。故答案为：。 7．已知函数 ，则方程 的解的个数为（　　） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】A 【详解】 时 得 或 （舍）； 时 得 。共 2 个解。故选：A。 8．已知 ，则 　　　　 【答案】4 【详解】递推：，，而 ，故 。故答案为：4。 题型六　抽象函数与赋值法 【方法与技巧】 赋值法四板斧：令 、令 、令 、令 ，先把 、 这些特殊值逼出来。 由 推奇偶：先用 得 ，再令 得 。 抽象函数判断单调性：设 ，令 ，用题设恒等式把 化成符号已知的式子。 抽象函数选择题可用排除法：先构造一个满足条件的模型函数（如 、）代入选项验证，快速排除错项。 【例题精讲】 1．已知定义在 上的函数 满足 ，则 （　　） A．1 B．0 C． D．不能确定 【答案】B 【详解】令 得 ，故 。这是赋值法的第一步，几乎所有抽象函数题都从这里开局。故选：B。 2．已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 　　　　 【答案】9 【详解】由 ，。等价于 。故答案为：9。 3．已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 （　　） A．4 B．2 C．3 D．8 【答案】C 【详解】，。故选：C。 【变式训练】 1．已知 ，且 ，则 　　　　 【答案】 【详解】先由 得 ，再由 。故答案为：。 2．已知定义在 上的 满足 ，且当 时 ，则 在 上（　　） A．单调递增 B．先减后增 C．单调递减 D．无单调性 【答案】C 【详解】设 ，则 ，，故单调递减。故选：C。 3．已知 ，且 ，，则 　　　　 【答案】 【详解】，故 。故答案为：。 4．已知定义在 上的 满足 ，且 ，则 （　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【详解】，。故选：A。 5．已知定义在 上的 满足 ，且 ，则 　　　　 【答案】4 【详解】令 得 。故答案为：4。 6．已知定义在 上的 满足 ，则 是（　　） A．偶函数 B．非奇非偶函数 C．奇函数 D．不能确定 【答案】C 【详解】令 得 ；再令 得 ，故 ，是奇函数。故选：C。 【巩固练习】 1．已知 ，且 ，则 （　　） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【详解】由 得 ，又 ，故 。故选：B。 2．已知 ，且 ，，则 　　　　 【答案】4 【详解】，故 。故答案为：4。 3．已知定义在 上的 满足 ，则 的值为（　　） A．1 B．0 C．不能确定 D．0 或 1 【答案】D 【详解】令 得 。若存在 使 ，则 ；若 ，则 。故 为 0 或 1。故选：D。 4．已知 满足 ，且 ，则 　　　　 【答案】0 【详解】，，，，四项之和为 。故答案为：0。 5．已知定义在 上的 满足 ，且当 时 ，若 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先判单调性：设 ，则 ，，故递增；由 得 。故选：A。 6．已知 满足 ，且 ，则 　　　　 【答案】5 【详解】令 得 。故答案为：5。 7．已知 满足 ，且 是奇函数，若 ，则 （　　） A． B．0 C．2 D．1 【答案】C 【详解】周期为 2，，故 。故选：C。 8．已知 ，且 ，则 　　　　 【答案】 【详解】由 得 ；由 得 ；故 。故答案为：。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】需 （根号在分母，故严格大于）且 ，即 ，定义域为 。故选：A。 2．函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由基本不等式 ，当 时取等号，且 或 时 ，故值域为 。故选：C。 3．下列函数中，在区间 上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】底数 的指数函数在 上单调递减；、、 在 上均递增。故选：A。 4．函数 是（　　） A．偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇函数 【答案】D 【详解】定义域为 关于原点对称，，故为奇函数。故选：D。 5．已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 （　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】，，故 。故选：A。 6．函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分离常数：，由 得 ，故 ，从而 。故选：D。 7．已知 满足 ，且当 时 ，则 （　　） A．0.5 B．2.5 C．1.5 D．3.5 【答案】C 【详解】周期为 2，。故选：C。 8．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先求定义域： 得 或 。内层 在 上递增，外层 递增，故递增区间为 。故选：B。 【多项选择题】 9．已知函数 ，则下列说法正确的是（　　） A． 是奇函数 B． 在 上单调递减 C． 的极大值为 2 D． 在 上单调递减 【答案】ABC 【详解】，是奇函数，A 正确；，在 上 ，单调递减，B 正确； 处导数由正变负，取极大值 ，C 正确；在 上 ，单调递增，D 错。故选：ABC。 10．已知函数 的定义域为 ，且满足 ，则（　　） A． 的图象关于直线 对称 B． C． 是偶函数 D． 的周期为 2 【答案】AB 【详解】由 知自变量 与 关于 1 对称且函数值相等，故图象关于直线 对称，A 正确；令 得 ，B 正确；图象关于 对称不意味着关于 对称，C 错；仅有对称轴推不出周期，需两条对称轴才有周期，D 错。故选：AB。 11．已知函数 ，则（　　） A． B． C．不等式 的解集为 D． 的值域为 【答案】ACD 【详解】，A 正确；，B 错；解 ： 时 得 ，取交集得 ； 时 得 ，取交集得 ；并集为 ，C 正确；值域为 ，D 正确。故选：ACD。 【填空题】 12．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为　　　　 【答案】 【详解】需 ，解得 ，故定义域为 。故答案为：。 13．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，若 ，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 或 【详解】偶函数在 上递减，则 随 增大而减小，故 ，解得 或 。故答案为： 或 。 14．已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 　　　　 【答案】 【详解】由 得 ，故周期为 6；，所以 。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $