2 函数 综合测试 - 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数核心概念与综合应用，通过基础巩固、图像分析及跨知识整合题型，构建从性质探究到实际应用的逻辑链条，培养数学眼光、思维与表达能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与性质|选择1-5/填空12-13|函数定义、奇偶性、幂指对运算的基础辨析|概念生成→性质推导→简单应用| |函数图像与零点|选择6/填空14/解答15|图像识别、零点个数判定及单调性证明|图像特征→零点判定→性质论证| |综合应用与拓展|解答16-19|实际收益模型、函数与数列/多项式结合|性质应用→模型构建→跨知识整合|

2027届高三数学一轮复习综合测试 2 函数 解析卷 答案速查表 1 2 3 4 5 C C B A A 6 7 8 9 10 D D C BCD ABD 11 12 13 14 15 BCD 2 2 （1）； （2）单调递减，证明见解析 16 17 18 19 （1）； （2）2.6 元/ （1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）6 （1）见解析； （2）① ；② 证明见解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知函数 ，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【思路】审题抓住分段函数的自变量取值范围，当 时代入 转化为 ，再代入 时的对数解析式计算. 【解析】由已知可得 .故选：C. 2.若幂函数 的图象经过点 ，则函数 的零点个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【思路】先由幂函数定义设出 ，代入已知点坐标求出解析式，再将函数零点个数转化为反比例函数与二次函数图象交点个数，数形结合求解. 【解析】设 ，则 ，则 .由 ，得 .作出 的大致图象，如图所示， 由图可知这两个函数的图象有3个交点，所以 的零点个数为3.故选：C. 3.已知 是定义在 上的奇函数，且当 时，，则 A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【思路】根据奇函数在原点有定义的性质 确定参数 ，再利用奇函数性质 计算函数值. 【解析】∵ 是定义在 上的奇函数，∴ 当 时，，解得 .∴ 当 时，.∴ .故选：B. 4.若 ，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】比较指数式与对数式大小，选取中间值0和1作为参照基准，先定符号再结合底数在 上的单调性进行比较. 【解析】∵ ，，∴ .∵ ，∴ 指数函数 为递减函数.又 ，∴ ，即 .综上所述，.故选：A. 5.化简 A. B. C. 5 D. 3 【答案】A 【思路】利用对数恒等式 化简分母，再利用同底数幂相除指数相减以及对数的减法运算法则化简分子. 【解析】.故选：A. 6.函数 在区间 上的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】观察函数解析式的奇偶性与定义域内的函数值正负符号，通过特殊区间取值排除不符合特征的图象选项. 【解析】∵ ，∴ 为奇函数，图象关于原点对称，排除A、B.当 时，，，故 ，排除C.故选：D. 7.已知 是增函数，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】分段函数在定义域上单调递增，必须同时满足各段自身单调递增以及分段交界点处函数值“左低右高（或相等）”的不等式条件. 【解析】若 在 上单调递增，则需满足：① 在 上单调递增，恒成立.② 的对称轴为 ，在 上单调递增，需 .③ 分段点处满足左端点值不大于右侧极限值，即 ，整理得 ，解得 或 .综合可得 ，即实数 的取值范围是 .故选：D. 8.设 分别是函数 与 的正零点，则 的最大值为 A. B. C. 6 D. 【答案】C 【思路】将两函数零点方程整理为同构的圆方程形式，识别出指数函数与对数函数的反函数互逆性及关于 对称的几何本质，转化为圆上点的坐标关系，利用三角换元求线性组合最值. 【解析】已知 是 的正零点，，代入 得：，通分整理得：，即点 同时在第一象限的圆 和曲线 上.再代入 （ 是 的正零点）得：，两边平方整理得：，即点 同时在第一象限的圆 和曲线 上.又 与 互为反函数，图象关于直线 对称，且圆 也关于 对称，因此点 关于 的对称点 一定在 上，且仍在圆 上.∵ 时 单调递增，与圆只有一个第一象限交点，即点 就是 .∴ ，代入 得：.设 .代入得：.正弦最大值为1，∴ 的最大值为6.故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.已知函数 的定义域为 ，对 都有 ，，记 ，则下列说法正确的是 A. 数列 是等差数列 B. 当 时， C. 当 时， D. 【答案】BCD 【思路】对抽象函数赋值求出 ，通过令 构造倒数递推关系确定通项公式 ，得到 ，再逐项利用根式有理化与不等式放缩进行判断. 【解析】令 ，得 ，解得 .在原式中令 ，得 ，两边取倒数得 .因此当 时，，∴ 数列 是以 为首项，1为公差的等差数列，故 ，即 ，从而 .对于A，，不是等差数列，故A错误.对于B，当 时，，故B正确.对于C，当 时，，故C正确.对于D，，累加得 ，故D正确.故选：BCD. 10.已知函数 ，则 A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 在 上单调递增 D. 有且仅有 2 个零点 【答案】ABD 【思路】抓住定义域对数真数大于0的要求，利用函数图象对称性与奇偶性定义判断B，利用导数判断基本初等函数复合后的单调性排除C，结合端点极限与零点存在性定理分析零点个数. 【解析】对于 A，令 ，解得 ，则 的定义域为 ，故 A 正确.对于 B，由已知得 的定义域关于原点对称，而 ，则 是偶函数，故 B 正确.对于 C，当 时，得到 ，则 ，此时 ，得到 在 上单调递减，故 C 错误.对于 D，由题意得 的定义域为 ，不妨令 ，讨论 时的情况即可：当 时，设 ，可得 ，此时 ，得到 在 上单调递减，而 ，，由零点存在性定理得存在 作为 零点；当 时，，此时 无零点；当 时，结合偶函数性质得 有 1 个零点.综上可得， 有且仅有 2 个零点，故 D 正确.故选：ABD. 11.已知函数 则 A. B. C. 在 上单调递减 D. 有且仅有 1 个零点 【答案】BCD 【思路】由递推式探究函数性质，两次迭代得出周期的结论，利用周期性平移自变量区间至已知解析式的基准区间，结合单调性与零点方程判定各选项. 【解析】由 ，则当 时 ，进而当 时 ，所以周期为2，B正确.，故A错误.当 时，由周期性 ，令 ，，其在 上为减函数，C正确.当 时， 为唯一零点；当 时，设 （），则 ，所以在 上无零点，故 在 上有且仅有 1 个零点 ，D正确.故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设函数 则 ＿＿＿＿＿＿ 【答案】2 【思路】逐层计算复合函数的值，先判断自变量所属区间，由内向外代入对应的分段解析式求解. 【解析】∵ ，∴ .故答案为：2. 13.若 ，则 ＿＿＿＿＿＿ 【答案】2 【思路】利用指数式与对数式的互化公式，将分母上的自变量转化为常用对数的倒数形式，结合对数的加法运算法则求和. 【解析】由 得 ，；由 得 ，，∴ .故答案为：2. 14.已知函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围是 ＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【思路】分段讨论零点分布，先确定定义域在 内的解析解零点个数，将剩余两个零点转化为区间 内的一元二次方程根的分布问题，列出不等式组求解参数范围. 【解析】当 时，令 ，得 ，可知函数 在 上有一个零点.则 在 上有两个零点，故当 时，方程 有两个不同的根，故 在 上有两个不同的根，即函数 在 上有两个零点.当 时，， 结合函数 的图象可得 解得 .故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）函数 是定义在 上的奇函数，且 . （1）求 的值； （2）判断并证明 在 的单调性. 【答案】（1）；（2） 在 上单调递减，证明见解析. 【思路】第（1）问利用奇函数定义及其在原点的值确定待定系数；第（2）问利用单调性定义“设元—作差—变形—定号—下结论”严格证明函数单调性. 【解析】（1）∵ 是定义在 上的奇函数， 2分 ∴ ， 4分 又由 ，故 . 6分 （2）由（1）中可知 ， 在 上单调递减. 8分 证明：设 ，且 ， 9分 则 ， 11分 ∵ ， ∴ ，，， 从而 ，即 ， 12分 故 在 上单调递减. 13分 16.（15分）某地区上年度天然气价格为 2.8 元/，年用气量为 .本年度计划将天然气单价下调到 2.55 元/ 至 2.75 元/ 之间.用户期望天然气单价为 2.4 元/.经调查测算，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为 ）.已知该地区天然气的成本价为 2.3 元/. （1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益 （单位：元）关于实际单价 （单位：元/）的函数解析式；（收益实际用气量（实际单价成本价）） （2）设 ，当天热气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加 20%？ 【答案】（1）；（2）2.6 元/. 【思路】第（1）问根据反比例模型与实际背景准确建立函数关系式，并写出定义域；第（2）问列出收益增长不等式组，化简求解一元二次不等式并结合自变量区间求得最小值. 【解析】（1）设下调后的天然气单价为 元/，由题意知新增用气量为 ， 2分 实际用气量为 ， 4分 则 . 6分 （2）由题意可知要同时满足以下条件： 9分 化简得 ，即 ， 11分 整理得 ，即 ， 13分 解得 或 ，结合 ，得 ， 14分 即天然气单价最低定为 2.6 元/. 15分 17.（15分）已知函数 . （1）求函数 图象的对称中心； （2）设方程 的两个实数根为 ，求证： 为常数； （3）在数列 中，，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【思路】第（1）问通过分离常数将分式函数转化为反比例函数平移形式；第（2）问借助不动点与齐次代数式消去自变量证明定值；第（3）问将不动点差比关系构造为等比数列求出通项，分奇偶性利用放缩与裂项求和证明不等式. 【解析】（1）， 2分 其图象是由 的图象平移而得到的，对称中心为 ， ∴ 函数 图象的对称中心为 . 4分 （2）由已知 ，， 5分 ， 7分 ∴ （常数），∴ 结论成立. 9分 （3）由已知 ，设 ，解得 ， 10分 由（2）知 ，则 ， 11分 ∴ 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，即 . 12分 当 为偶数时，， ∴ ； 13分 当 为大于 1 的奇数时，， ∵ ， ∴ ， ∴ . 14分 当 时， 也成立，综上所述，结论成立. 15分 18.（17分）初中学过多项式的基本运算法则，其实多项式与方程的根也有密切关联.对一组变量 ，幂和对称多项式 ，且 ；初等对称多项式 表示在 中选出 个变量进行相乘再相加，且 .例如：对 .已知三次函数 有 3 个零点 ，且 .记 ，. （1）证明：； （2）（i）证明：； （ii）证明：，且 ； （3）若 ，求 . 【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；（3）. 【思路】审题理解新定义多项式符号与韦达定理的关系；第（1）问展开多项式比对系数；第（2）问将根代入方程后乘以相应幂次累加建立牛顿递推关系；第（3）问递推计算初等对称多项式与高次幂和. 【解析】（1）证明：， 2分 ∴ ， ∴ . 4分 （2）证明：由（1）可知 6分 （i）由①+②+③得 . 8分 （ii）①，②，③各乘 得 10分 ④+⑤+⑥得 ，即 . 12分 （3）由题可知 ，， 13分 ， 14分 ，由 ，得 ，解得 ， 15分 由（2）（ii）得 ，解得 ， 16分 ，解得 ，即 . 17分 19.（17分）已知函数 . （1）判断函数 的单调性； （2）若方程 有两个根 . ①求实数 的取值范围； ②证明：. 【答案】（1）见解析；（2）① ；② 证明见解析. 【思路】第（1）问求导后根据导数单调性求零点并讨论单调区间；第（2）问先分离参数转化为函数最值与零点存在性求参数范围，再利用极值点偏移技巧（构造对称差函数 ）证明 ，最后放缩完成不等式证明. 【解析】（1）∵ ，∴ . 1分 ∵ 函数 在 上单调递增，解 得 ， 2分 ∴ 当 时，，当 时，. 3分 ∴ 函数 在 上单调递减，在 上单调递增. 4分 （2）①解：方程 ，即 ， 则 . 5分 设 ，则方程 有两个根 ，即函数 的图象与直线 有两个不同的交点. 6分 ∵ ， 7分 当 时，，∴ 当 时，，当 时，， ∴ 函数 在 上单调递减，在 上单调递增. ∴ 当 时，函数 取得极小值，也是最小值，. 8分 ∵ 时，，当 时，， ∴ ，即实数 的取值范围是 . 10分 ②证明：由①可知，， 则证不等式 即 ， 转化为证 . 12分 令 ，则 ， 令 ，则 ， ∵ 在 上恒成立，∴ 在 上单调递增，∴ ， ∴ 当 时，. ∴ 当 时，，当 时，， ∴ 函数 在 上单调递减，在 上单调递增. ∴ . 14分 由①知 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， ∵ ，∴ ， ∴ 在 上单调递增，∴ ， ∴ 当 时，， ∴ 单调递增，∴ ， ∴ 当 时，. 由①及题意可知，，∴ . ∵ 且 在 上单调递减，∴ ， ∴ ，∴ . 16分 ∴ ， ∴ . 17分 2 函数 方法总结 1. 处理分段函数求值、零点及单调性问题时，务必坚持“分段讨论、各司其职”原则.求复合函数值由内及外逐步代入对应区间解析式；处理分段函数递增时，除保证各段内单调递增外，必须强制交界点满足“左端点值不超过右侧极限值”的衔接不等式.（第1、7、12、14题） 2. 函数奇偶性与周期性常结合出现.利用奇函数 （定义域含0时）可快速定参；递推关系如 进行二次迭代即可得出周期 ，进而将远端自变量平移至基准区间研究单调性与零点.（第3、10、11题） 3. 指数与对数式大小比较，优先寻找0与1等特殊基准值划分符号区间；对于互为反函数的同构方程零点问题（如 与 ），挖掘图象关于 对称的几何本质，可建立两根平方和的几何约束，结合三角换元化为正弦型函数求最值.（第4、5、8、13题） 4. 抽象函数与实际应用模型注重化归转化.抽象函数通过特殊值（）赋值探求递推规律，利用倒数法构造等差数列；实际应用题紧扣反比例等数学模型，列出约束不等式组精确求解参数可行域.（第9、15、16题） 5. 综合性多项式零点与导数不等式证明是函数考查的核心高地.多项式根的问题可通过牛顿恒等式建立幂和递推关系；含参方程多零点问题先分离参数转化为单函数极值，双零点不等式证明常借助构造对称差函数（如 ）实现极值点偏移的严格转化.（第17、18、19题） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习综合测试 2 函数 练习卷 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知函数 ，则 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.若幂函数 的图象经过点 ，则函数 的零点个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.已知 是定义在 上的奇函数，且当 时，，则 （　　） A. B. C. 1 D. 2 4.若 ，，，则（　　） A. B. C. D. 5.化简 （　　） A. B. C. 5 D. 3 6.函数 在区间 上的图象大致为（　　） A. B. C. D. 7.已知 是增函数，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8.设 分别是函数 与 的正零点，则 的最大值为（　　） A. B. C. 6 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.已知函数 的定义域为 ，对 都有 ，，记 ，则下列说法正确的是（　　） A. 数列 是等差数列 B. 当 时， C. 当 时， D. 10.已知函数 ，则（　　） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 在 上单调递增 D. 有且仅有 2 个零点 11.已知函数 则（　　） A. B. C. 在 上单调递减 D. 有且仅有 1 个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设函数 则 ＿＿＿＿＿＿ 13.若 ，则 ＿＿＿＿＿＿ 14.已知函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围是 ＿＿＿＿＿＿ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）函数 是定义在 上的奇函数，且 . （1）求 的值； （2）判断并证明 在 的单调性. 16.（15分）某地区上年度天然气价格为 2.8 元/，年用气量为 .本年度计划将天然气单价下调到 2.55 元/ 至 2.75 元/ 之间.用户期望天然气单价为 2.4 元/.经调查测算，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为 ）.已知该地区天然气的成本价为 2.3 元/. （1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益 （单位：元）关于实际单价 （单位：元/）的函数解析式；（收益实际用气量（实际单价成本价）） （2）设 ，当天热气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加 20%？ 17.（15分）已知函数 . （1）求函数 图象的对称中心； （2）设方程 的两个实数根为 ，求证： 为常数； （3）在数列 中，，求证：. 18.（17分）初中学过多项式的基本运算法则，其实多项式与方程的根也有密切关联.对一组变量 ，幂和对称多项式 ，且 ；初等对称多项式 表示在 中选出 个变量进行相乘再相加，且 .例如：对 .已知三次函数 有 3 个零点 ，且 .记 ，. （1）证明：； （2）（i）证明：； （ii）证明：，且 ； （3）若 ，求 . 19.（17分）已知函数 . （1）判断函数 的单调性； （2）若方程 有两个根 . ①求实数 的取值范围； ②证明：. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $